4.3.2第2课时等比数列前n项和的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和的应用，通过细菌杀病毒、古代行程等实际问题导入，衔接等比数列定义与通项公式，以自主学习的步骤归纳和例题解析为支架，帮助学生从基础公式过渡到实际问题解决。 其亮点在于以情境化问题（如贷款还款、几何图形）培养数学眼光，通过递推公式推导和综合问题分析发展数学思维，借助模型构建提升数学语言表达。采用自主探究与互动研讨结合的教学方法，课堂小结系统梳理知识与方法，能有效提升学生应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第四章　数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的应用 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 自主学习通道 √ × √ × 自主学习通道 C 自主学习通道 自主学习通道 D 自主学习通道 自主学习通道 B 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 B 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 6 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 A 巩固提升通道 B 巩固提升通道 6.245 巩固提升通道 243 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并利用等比数列前n项和解决相应的问题． 等比数列前n项和的实际应用 (1)解应用问题的核心是建立数学模型． (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 【提醒】　(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 练一练 1．判断正误 (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝ eq \f(a1－an＋1,1－q).(　　) (2)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an-1＝ eq \f(1－an,1－a).(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)＋2n－1))的前n项和为n2＋ eq \f(1,2n).(　　) 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要 (　　) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 解析　根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列， 设细菌将病毒全部杀死需要n秒， 则1＋2＋22＋23＋…＋2n-1≥200， ∴ eq \f(1－2n,1－2)≥200， ∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8， 即细菌将病毒全部杀死至少需要8秒钟． 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完，则此人第一天走的路程是(　　) A．86里 B．172里 C．96里 D．192里 解析　设此人第n天走的路程为an里，n∈{1，2，3，4，5，6}，所以此人每天走的路程可形成等比数列{an}，依题可知，公比为 eq \f(1,2)，所以378＝ eq \f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up32(6))),1－\f(1,2))，解得a1＝192.故选D. 4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还(　　) A． eq \f(a(1＋γ),(1＋γ)5－1)万元 B． eq \f(aγ(1＋γ)5,(1＋γ)5－1)万元 C． eq \f(aγ(1＋γ)5,(1＋γ)4－1)万元 D． eq \f(aγ,(1＋γ)5)万元 解析　设每年偿还x万元，则x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，所以x eq \f(1－(1＋γ)5,1－(1＋γ))＝a(1＋γ)5，解得x＝ eq \f(aγ(1＋γ)5,(1＋γ)5－1).故选B. 类型一　等比数列前n项和在几何中的应用 【例1】　侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，侏罗纪蜘蛛网的长度是无限长的，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则(　　) A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋ eq \r(5))m C．Sn＝3(3＋ eq \r(5))m D．Sn可以取100m [解析]　由题意，设从外到内的正方形的边长构成数列{an}，则a1＝m，a2＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)))\s\up32(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)))\s\up32(2))＝ eq \f(\r(5)m,3)，a3＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5)m,3×3)))\s\up32(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)m,3×3)))\s\up32(2))＝ eq \f(5m,9)，…，则数列{an}是首项为m，公比为 eq \f(\r(5),3)的等比数列，所以Sn＝4× eq \f(m\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)))\s\up32(n))),1－\f(\r(5),3))，当n→＋∞时， Sn→3(3＋ eq \r(5))m.故选B. 应用等比数列前n项和公式解决几何问题的关键在于明确已知几何数量关系，转化为数列知识中的相关量，代入公式准确求解． [跟踪训练1]　如图，在边长为 eq \r(2)的正方形ABCD中，点A1，B1，C1，D1分别为正方形ABCD各边的中点，点A2，B2，C2，D2分别为正方形A1B1C1D1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn的面积为an，若数列{an}的前m项和Sm＝ eq \f(63,32)，则m＝ ． 解析　因为S正方形ABCD＝( eq \r(2))2＝2，S正方形A1B1C1D1＝ eq \f(1,2)S正方形ABCD＝1，依题意可得an＋1＝ eq \f(1,2)an，且a1＝1，所以{an}是以1为首项， eq \f(1,2)为公比的等比数列，所以Sn＝ eq \f(1·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up32(n))),1－\f(1,2))＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up32(n)))，又Sm＝ eq \f(63,32)，所以 eq \f(63,32)＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up32(m)))，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up32(m)＝ eq \f(1,64)，所以m＝6. 类型二　等比数列前n项和在生活中的应用 【例2】　一个热气球在第一分钟上升了25 m，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%，则这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ [解]　用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意，得an＋1＝ eq \f(4,5)an.因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝ eq \f(4,5)的等比数列， 热气球在前n分钟内上升的总高度为a1＋a2＋…＋an＝ eq \f(a1(1－qn),1－q)＝ eq \f(25\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up32(n))),1－\f(4,5))＝125× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up32(n)))<125，即这个热气球上升的高度不可能超过125 m． 一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解． [跟踪训练2]　有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍，初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠户最后5天所屠肉的总两数为(　　) A．5×(230－1) B．155×(25－1) C．155×225 D．315×225 解析　由题得该屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，设为{an}，所以第26天屠的肉的两数为a26＝5×225，所以最后5天屠的肉的总两数为 eq \f(5×225(1－25),1－2)＝155×225. 类型三　递推公式在实际问题中的应用 【例3】　(2023·宁波联考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). [解]　(1)由题意，得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝ eq \f(3,2)a1－d＝4 500－ eq \f(5,2)d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝ eq \f(3,2)an－d. (2)由(1)，得an＝ eq \f(3,2)an－1－d ＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)an－2－d))－d ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up32(2)an－2－ eq \f(3,2)d－d＝… ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up32(n－1)a1－d eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up32(2)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up32(n－2)))， 整理，得an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up32(n－1)(3 000－d)－2d eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up32(n－1)－1))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up32(n－1)(3 000－3d)＋2d. 由题意，得am＝4 000， 即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up32(m－1)(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝ eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up32(m)－2))×1 000,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up32(m)－1)＝ eq \f(1 000(3m－2m+1),3m－2m). 故该企业每年上缴资金d的值为 eq \f(1 000(3m－2m+1),3m－2m)时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元． 一般地，如果问题中相邻两个量之间具有某种确定性的关系，构建数列模型后，即可得到相应的递推公式，再由递推公式得到相应数列的通项公式，这种数列模型即递推数列模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等都是递推数列模型．其具体步骤为： (1)结合题意构建数列模型； (2)当不能判定数列是等差数列还是等比数列时，先寻找数列的递推关系； (3)由递推关系将原问题化归为等差数列或等比数列问题并求解； (4)检验，得到实际问题的答案． [跟踪训练3]　借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(精确到1)？(1.016≈1.062，1.015≈1.051) 解　解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000， a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a. 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0， 解得a＝ eq \f(1.016×102,1.016－1). 因为1.016≈1.062，所以a≈ eq \f(1.062×102,1.062－1)≈1 713. 故每月应支付1 713元． 解法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104×(1＋0.01)6＝104×1.016(元). 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝ eq \f(a[1－(1＋0.01)6],1－1.01)＝a(1.016－1)×102(元). 由S1＝S2，得a＝ eq \f(1.016×102,1.016－1). 以下解法同解法一，得a≈1 713. 故每月应支付1 713元． 探究窗　等差数列与等比数列的综合问题 【典例】　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是 eq \f(1,2)S2和 eq \f(1,3)S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和． [解]　(1)由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)S2＋\f(1,3)S3＝2，,2S2·3S3＝62，)) 整理得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3S2＋2S3＝12，,S2S3＝6，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S2＝2，,S3＝3.)) (2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1(1＋q)＝2，,a1(1＋q＋q2)＝3，))及q≠1， 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝－\f(1,2)，,a1＝4.)) 所以Sn＝ eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up32(n))),1＋\f(1,2))＝ eq \f(8,3)－ eq \f(8,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up32(n). (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn ＝ eq \f(8,3)n－ eq \f(8,3)· eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up32(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))) ＝ eq \f(8,3)n＋ eq \f(8,9) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up32(n))). 解决数列综合问题的关注点 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式，以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． (2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值，熟悉两种数列的性质，知道它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解． [针对训练]　(2024·烟台一中月考)已知数列{an}是由正数组成的等比数列，a2＝2，且a4，3a3，a5成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，求实数λ的值． 解　(1)设数列{an}的公比为q. ∵a4，3a3，a5成等差数列， ∴6a3＝a4＋a5，∴6＝q＋q2. 由题意知q＞0，∴q＝2. ∴an＝a2qn-2＝2·2n-2＝2n-1. (2)由(1)知，an＝2n-1， 故Sn＝(a2＋a3＋…＋an＋1)－λ(a1＋a2＋…＋an) ＝(2＋22＋…＋2n)－λ(1＋2＋…＋2n-1) ＝2(2n－1)－λ(2n－1) ＝(2－λ)(2n－1)＝2n－1， ∴2－λ＝1，∴λ＝1. 1．知识清单 (1)等比数列前n项和的实际应用． (2)递推公式在实际问题中的应用． 2．方法归纳：公式法、转化与化归． 3．常见误区：实际问题转化为数学问题时易忽略其成立的条件． 1．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a eq \o\al(2,n)，a eq \o\al(2,n－1))在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　) A．3n－1 B． eq \f(1－(－3)n,2) C． eq \f(1＋3n,2) D． eq \f(3n2＋n,2) 解析　在正数数列{an}中，a1＝2，且点(a eq \o\al(2,n)，a eq \o\al(2,n－1))在直线x－9y＝0上，∴a eq \o\al(2,n)＝9a eq \o\al(2,n－1)，∴an＝3an－1.∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴{an}的前n项和Sn＝ eq \f(2(1－3n),1－3)＝3n－1.故选A. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝5，S4＝20，则 eq \f(S8－2S4,S6－S4－S2)＝(　　) A．9 B．10 C．12 D．17 解析　设等比数列{an}的公比为q.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a3＋a2＋a4＝a1＋a3＋q(a1＋a3)＝(1＋q)·(a1＋a3)＝5(1＋q)＝20，所以q＝3，则 eq \f(S8－2S4,S6－S4－S2)＝ eq \f((S8－S4)－S4,(S6－S2)－S4)＝ eq \f(q4S4－S4,q2S4－S4)＝ eq \f(q4－1,q2－1)＝q2＋1＝10. 3．阿明存入5万元定期存款，存期10年，年利率为2.25%，按复利计息，那么10年后共得本息 万元．(参考数据：1.022 510≈1.249) 解析　由题意知10年后的本息为5×(1＋0.022 5)10≈6.245(万元). 4．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染的文件，一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数为计算机病毒传染指数C0.某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，且有一半以上文件被感染时，该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则经过5分钟，该计算机共有 个病毒文件． 解析　设第(n＋1)分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，由an＋1＝2(Sn＋1)，可得an＝2(Sn－1＋1)(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝2(S1＋1)＝2(a1＋1)＝6＝3a1，所以每分钟内新感染的文件数构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n-1，经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋ eq \f(2×(1－35),1－3)＝35＝243个病毒文件． 基础巩固 1．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成an卦，则a3＋a4＋a5＋a6＝(　　) A．120 B．122 C．124 D．128 解析　由题意知{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a3＋a4＋a5＋a6＝8＋16＋32＋64＝120. 2．某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为 (　　) A．(a·1.1n－nb)平方米 B．[a·1.1n－10b(1.1n－1)]平方米 C．n(1.1a－1)平方米 D．(a－b)1.1n平方米 解析　由题意设n年后该小区的住房面积为an，则一年后的住房面积为a1＝a·1.1－b， 两年后的住房面积为a2＝a1·1.1－b，…， 则an＋1＝an·1.1－b. 若an＋1＋m＝(an＋m)·1.1，则m＝－10b， ∴{an－10b}是首项为a1－10b，公比为1.1的等比数列， ∴an－10b＝(a1－10b)×1.1n-1＝(a－10b)×1.1n， ∴an＝1.1na－10b(1.1n－1).故选B. 3．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形，那么这五个正三角形的面积之和为(　　) A．2 eq \r(3) B． eq \f(21\r(3),16) C． eq \f(85\r(3),64) D． eq \f(341\r(3),256) 解析　此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1， eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,8)，所以这五个正三角形的面积之和为 eq \f(\r(3),4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋12＋\f(1,22)＋\f(1,24)＋\f(1,26)))＝ eq \f(\r(3),4)× eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,45))),1－\f(1,4))＝ eq \f(341\r(3),256). 4．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为(　　) A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．无法确定 解析　等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c， 等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d， 由Sn＝ eq \f(d′,2)n2＋n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d′,2)))(d′为{an}的公差)， 可得c＝0. 由q≠1时，Tn＝ eq \f(b1(1－qn),1－q)＝ eq \f(b1,1－q)－ eq \f(b1,1－q)qn， 可得d＝－1， 则向量a＝(c，d)＝(0，－1)的模为1.故选A. 5．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是 (　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析　从左到右，第一个●位于2的位置，第二个●位于2＋3＝5的位置，第三个●位于5＋4＝9的位置，….设第n个●位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋(n＋1)，则an＝an－1＋(n＋1)＝an－2＋n＋(n＋1)＝…＝a1＋3＋4＋…＋(n＋1)＝2＋3＋…＋(n＋1)＝ eq \f(n2＋3n,2)，而a14＝119<120，所以前120个圈中的●的个数为14. 6．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn> eq \f(61,64)成立的正整数n的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　数列{an}是以 eq \f(1,2)为首项， eq \f(1,2)为公比的等比数列，∴Sn＝ eq \f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－ eq \f(1,2n)，若Sn> eq \f(61,64)，则1－ eq \f(1,2n)> eq \f(61,64)，即 eq \f(3,64)> eq \f(1,2n)，∴2n> eq \f(64,3)，又n∈N*，24＝16< eq \f(64,3)，25＝32> eq \f(64,3)，∴使得不等式Sn> eq \f(61,64)成立的正整数n的最小值为5. 7．记Sn是等比数列{an}的前n项和，若a1＝2，S2＝6，数列{Sn}的前n项和为Tn，则满足不等式Tn＋2n>2 000的正整数n的最小值是 ． 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0).因为a1＝2，S2＝6，所以S2＝a1＋a2＝2＋2q＝6，解得q＝2，可得Sn＝ eq \f(2(1－2n),1－2)＝2n+1－2，所以Tn＝(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n+1－2)＝(22＋23＋24＋…＋2n+1)－2n＝ eq \f(4(1－2n),1－2)－2n＝2n+2－2n－4，故Tn＋2n＝2n+2－4，令2n+2－4>2 000，即2n+2>2 004，n∈N*，解得n≥9，n∈N*，故满足不等式Tn＋2n>2 000的正整数n的最小值是9. 8．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯．在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，则数列{an}的一个通项公式为 ． an＝ eq \f(8n－1,7) 解析　由题图分析可知a1＝1，a2＝a1×8＋1＝8＋1，a3＝a2×8＋1＝82＋8＋1，依此类推，an＝8n-1＋8n-2＋…＋1，数列{8n-1}是首项为1，公比为8的等比数列，所以an＝ eq \f(1－8n,1－8)＝ eq \f(8n－1,7). 9．(2024·广东广州质检)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为|a2|的等比数列，求{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 依题意得a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3. 又a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2. (2)由(1)得a2＝－4，所以|a2|＝4. 故数列{an＋bn}是首项为1，公比为4的等比数列． 所以an＋bn＝4n-1，即－3n＋2＋bn＝4n-1， 所以bn＝3n－2＋4n-1， 于是Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n-1)＝ eq \f(n(3n－1),2)＋ eq \f(1－4n,1－4)＝ eq \f(n(3n－1),2)＋ eq \f(4n－1,3). 10．(1)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20； (2)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6. 解　(1)∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)， ∴xn＋1＝2xn，且xn>0， ∴{xn}为等比数列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250. (2)由题意得数列{an}的通项公式为an＝n＋1， 设数列{bn}的公比为q，则q＝2， ∵ eq \f(ban＋1,ban)＝ eq \f(b1qan＋1－1,b1qan－1)＝qan＋1－an＝2， ∴{ban}是首项为b2＝2，公比为2的等比数列． ∴ba1＋ba2＋…＋ba6＝ eq \f(2×(1－26),1－2)＝126. 能力提升 11．(2024·秦皇岛质检)教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育资金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策．若在子女12岁生日当天向银行教育储蓄账户存入2 000元，并且每年在生日当天存入2 000元，连续存6年，在18岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数约为(假设教育储蓄存款的年利率为5%，1.057≈1.4)(　　) A．14 000元 B．15 400元 C．16 200元 D．18 500元 解析　金额总数为2 000×(1＋5%)6＋2 000×(1＋5%)5＋…＋2 000×(1＋5%)1 ＝ eq \f(2 000×1.056×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1.05)))\s\up32(6))),1－\f(1,1.05)) ＝ eq \f(2 000×(1.057－1.05),0.05)≈14 000(元). 12．(多选)一个弹性小球从100 m的高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 eq \f(3,4)再落下．设它第n次着地时，经过的总路程为Sn，则当n≥3时，下面说法正确的是(　 　) A．Sn≤650 B．Sn<700 C．Sn的最小值为 eq \f(725,2) D．Sn的最小值为250 解析　由题可知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200× eq \f(3,4)；第三次着地时，S3＝100＋200× eq \f(3,4)＋200× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up32(2)； ……，则第n次着地时，Sn＝100＋200× eq \f(3,4)＋200× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up32(2)＋…＋200× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up32(n－1)＝100＋200 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up32(2)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up32(n－1)))＝100＋600 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up32(n－1)))<700.又Sn单调递增，n≥3，故当n＝3时，Sn取得最小值，为 eq \f(725,2).故选BC. 13．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝ eq \f(1,2)，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝ ． 1－ eq \f(1,2n) 解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 又an＝f(n)，∴ eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(f(n＋1),f(n))＝f(1)＝a1＝ eq \f(1,2)， ∴数列{an}是以 eq \f(1,2)为首项， eq \f(1,2)为公比的等比数列， ∴Sn＝ eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－ eq \f(1,2n). 多元数学 14． eq \a\vs4\al(（数学建模）)某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 eq \f(1,5)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 eq \f(1,4). (1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解　(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))万元，…，第n年投入为800 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5))) eq \s\up32(n－1)万元，∴n年内的总投入an＝800＋800 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5))) eq \s\up32(n－1)＝4 000－4 000× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up32(n). 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))万元，…，第n年旅游业收入为400 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4))) eq \s\up32(n－1)万元，∴n年内的旅游业总收入bn＝400＋400 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋400 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))n-1＝1 600× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up32(n)－1 600. (2)旅游业的总收入超过总投入，即bn－an>0， 即1 600× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))\s\up32(n)－1))－4 000× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up32(n)))>0， 化简得5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up32(n)＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up32(n)－7>0. 设x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up32(n)，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，解得x< eq \f(2,5)或x>1(舍去)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up32(n)< eq \f(2,5). 又n∈N*，由此可得n≥5. 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． $