暑假阶段复习3：直角三角形 提优讲义2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

暑假阶段复习3：直角三角形 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握直角三角形的性质：理解直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角所对直角边等于斜边一半等性质。 · 熟练判定直角三角形：会运用勾股定理逆定理、三角形内角和、中线判定等方法判断直角三角形。 · 灵活运用角平分线性质：掌握角平分线的性质定理及逆定理，能进行相关的证明与计算。 · 熟练运用勾股定理：能运用勾股定理求边长、证明垂直、解决实际问题。 · 综合应用能力：能将直角三角形、角平分线、勾股定理结合解决几何综合题。 知识梳理 · 核心知识点 🔹 1. 直角三角形的性质 角的关系：两锐角互余（∠A + ∠B = 90°）。 边的关系：勾股定理：a² + b² = c²（c为斜边）。 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 30°角性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 等腰直角三角形：两直角边相等，底角45°。 📌 典型例题 1 如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，E为AB的中点，∠CDE = 56°，求∠DCE。 A．56° B．62° C．63° D．68° 解析：由斜边中线性质得 CE = DE，故∠DCE = ∠CDE = 56°。答案：A（56°） 🔹 2. 直角三角形的判定 角度法：三角形中有一个角为90°。 勾股定理逆定理：若 a² + b² = c²，则三角形为直角三角形。 中线法：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形为直角三角形。 三边比法：若三边满足勾股数比例（如3:4:5），则为直角三角形。 📌 典型例题 2 在△ABC中，AB = m²−n²，BC = 2mn，AC = m²+n²，求证∠ABC = 90°。 解析：计算 AB²+BC² = (m²−n²)² + (2mn)² = (m²+n²)² = AC²，由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，且AC为斜边，故∠ABC=90°。 🔹 3. 角平分线的性质与判定 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上（在角的内部）。 应用：常用于构造全等、求面积、证明线段相等。 📌 典型例题 3 用直尺和圆规作∠AOB的平分线OH，点P在OH上，PE⊥OB，PF⊥OA，PE=3，求PF。 A．1.5 B．3 C．4 D．5 解析：由角平分线性质，PF = PE = 3。答案：B（3） 🔹 4. 勾股定理的应用 求线段长：在直角三角形中，已知两边求第三边。 证明垂直：通过计算三边满足勾股定理逆定理。 实际问题：如梯子滑动、折竹抵地、最短路径等。 面积法：利用勾股定理证明面积关系（如赵爽弦图）。 📌 典型例题 4 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 解析：设折断处离地面 x 尺，则斜边为 (10−x) 尺，由勾股定理得 x²+6²=(10−x)²。答案：C 📋 知识总结表 核心概念 定理/公式 注意事项 直角三角形性质 两锐角互余；勾股定理；斜边中线 = 斜边一半 斜边中线只适用于直角三角形 30°角性质 30°所对直角边 = 斜边的一半 需在直角三角形中 直角三角形判定 勾股定理逆定理；中线判定；角度判定 验证三边是否满足平方关系 角平分线性质 角平分线上的点到角两边距离相等 距离是指垂线段长度 角平分线判定 内部到两边距离相等的点在角平分线上 必须在角的内部 勾股定理 a²+b²=c² c为斜边 勾股定理逆定理 若 a²+b²=c²，则∠C=90° 需确认最大边为斜边 核心考点·题型方法精讲 【考点1】直角三角形的性质与判定 （第1—13题） ※方法总结 · 利用两锐角互余求角度。 · 斜边中线性质常用于证明线段相等、角度转化。 · 勾股定理逆定理判定直角三角形。 · 注意分类讨论（如折叠问题）。 1．（2025春•虹口区校级期中）①三角形的角平分线就是三角形内角的平分线； ②三角形的三条高交于一点； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④直角三角形两锐角角平分线夹角为135度． 以上说法中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 3．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝62°，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点；EF与AC交于点O，则∠ABO的大小为（　　） A．28° B．30° C．31° D．36° 4．（2025秋•青浦区校级同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．65° 5．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAE＝∠BAD＝56°，BC＝DE，则∠ABD的度数为　 　 °． 6．（2026春•闵行区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，D为边AC上一点，E为直线BC上一点，将图形沿DE翻折，得到点C的对应点C′（C′位于BC上方），如果△DC′E有一边平行于边AB，那么∠DEC＝ 　 　 °． 7．（2025秋•杨浦区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC，交∠ECB的平分线于点F，联结AF，交BC于点G．若∠ABC＝50°，则∠AGC＝ 　 　 °． 8．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CF分别是斜边AB上的高和中线，CE是∠ACB的平分线，某同学想直接得到点B到直线CD的距离，那么他应该测量线段 　 　 的长度． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 10．（2025秋•静安区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的周长． 11．（2025秋•上海校级月考）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，AD与CE交于点M．DG⊥CE，垂足为G．已知：∠B＝2∠BCE． （1）求证：DC＝BE； （2）如果AC＝BC，∠B＝60°，求证：S△AMC＝2S△DMC． 12．（2024秋•静安区校级期末）如图，已知锐角△ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证： （1）MN⊥DE． （2）若∠A＝60°，求证：△DME是等边三角形 13．（2024秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【考点2】角平分线 （第14—28题） ※方法总结 · 角平分线性质用于证明线段相等或求距离。 · 角平分线判定用于证明点在角平分线上。 · 常与全等三角形结合，构造垂线段。 · 注意角平分线定理的逆定理使用条件。 14．（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 15．（2026•杨浦区二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，连接AE，如果要求出∠CAE的度数，只需知道下列哪个角的度数（　　） A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEC 16．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于点D，下列四个结论： ①； ②AE+BF＝EF； ③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点； ④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab． 其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 17．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 18．（2025秋•闵行区月考）下列说法错误的是（　　） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AB的中点，则有 D．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A+∠B＝90° 19．（2026春•普陀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AE＝EC，AD平分∠BAC，如果△ADE的面积为2，那么△ABC的面积为　 　 ． 20．（2025秋•金山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积是　 　 ． 21．（2025秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝10cm，则点O到边AB的距离为　 　 cm． 22．（2025秋•杨浦区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，若DE＝2，则DF＝　 　 ． 23．（2023春•嘉定区期末）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，，AB＝6，BC＝4，那么DE＝　 　 ． 24．（2026春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接AD、EF． （1）求证：EF∥BC； （2）求证：AD垂直平分EF． 25．（2025秋•嘉定区月考）已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF＝CG，求证：DE⊥BC． 26．（2025秋•上海校级期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． （1）符合要求的位置有　 　 个； （2）请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； （3）你的作图依据是　 　 ． 27．（2025秋•静安区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，且∠ACB＝∠CDA，点E在BC上，且点E到AC、AB的距离相等，连接AE交CD于点F． （1）试判断△CEF的形状； （2）请证明你的结论． 28．（2025春•浦东新区月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【考点3】勾股定理 （第29—46题） ※方法总结 · 直接应用勾股定理求边长。 · 运用逆定理判定直角。 · 实际问题建模（如折竹、梯子、最短路径）。 · 面积法证明勾股定理。 · 注意含30°、45°特殊角的直角三角形边比。 29．（2025秋•闵行区校级期末）如图，Rt△OBC的直角边BC的长为1，将斜边OB绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（　　） A．2.2 B． C． D． 30．（2025秋•普陀区期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 31．（2025秋•金山区校级期末）勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．小海在研究勾股定理证明的过程中用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为21，正方形ABGF的边长是正方形CDEG的边长的两倍．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中∠B'A'F'＝90°．则正方形B'C'E'F'的面积为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 32．（2025秋•杨浦区期末）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 33．（2025秋•松江区校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝6，S3＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C． D． 34．（2025秋•虹口区校级期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高10m，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离AC为6m，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的长为　 　 m． 35．（2026春•徐汇区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为　 　 ． 36．（2025春•黄浦区校级月考）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ． 37．（2025秋•金山区校级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别为AC和BD的中点，连接MN，则MN的长度是　 　 ． 38．（2025秋•崇明区期末）定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝16，点D是边AB上的一动点（且AD＞BD），若△BCD是“差直角三角形”，则CD的长为 　 　 ． 39．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为　 　 ． 40．（2026春•青浦区校级期中）如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知Rt△ABC是“优美三角形”，且∠C＝90°，则△ABC的“优美值”是　 　 ． 41．（2025秋•松江区期末）如图，在△ABC和△ACD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E是AC中点，∠DAB＝45°，AC＝6． （1）求证：DE＝BE； （2）求线段BD的长． 42．（2024秋•普陀区期末）如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 43．（2025秋•青浦区校级期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 44．（2025秋•上海校级期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积＝4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理a2+b2＝c2． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若b＝2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于　 　 ． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a＝3，b＝5，那么空白部分的面积等于　 　 ． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC＝2，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：　 　 ．（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．） 45．（2025秋•闵行区月考）李老师将笔记本水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角成为120°时，感觉最舒适（如图①）侧面示意图为图②；使用时为了散热，李老师将笔记本底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝26cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°． （1）求OC的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离（结果保留根号）． 46．（2025秋•徐汇区期中）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图④的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． （4）问题解决：如图⑤，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且∠BAC＝90°．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 随堂检测 · 精选练习 练习1 角平分线与周长 练习2 直角三角形判定 练习3 长方体对角线 练习4 垂直平分线与勾股定理 【作业1】（2026春•普陀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，E是垂足．如果△BDE的周长为8，AC＝10，那么△ABC的周长是　 　 ． 【作业2】（2025秋•松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　 　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 【作业3】（2025秋•浦东新区校级期末）如图，一个长方体盒子的内部是30cm×40cm×120cm的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度a的取值范围是　 　 ． 【作业4】（2024秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：点D在线段CE的垂直平分线上． （2）①当点D是BC的中点时，求∠B； ②当CD＝5，BD＝6，求CE． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 面积与勾股 作业2 非直角三角形判断 作业3 梯子问题 作业4 勾股数 作业5 斜边中线分类 作业6 角平分线求角 作业7 最短路径 作业8 勾股与中线 作业9 角平分线与高线 作业10 等腰三角形与勾股 作业11 全等与直角 作业12 中线与勾股 作业13 垂直平分线与勾股 作业14 斜边中线与勾股 作业15 实际超速问题 作业16 滑轮与勾股 💡 复习建议 夯实基础：熟记直角三角形性质（斜边中线、30°角、两锐角互余）。 强化判定：灵活运用勾股定理逆定理、中线判定法。 角平分线应用：注意性质与判定的区别，常作垂线段构造全等。 勾股定理建模：多练实际问题，如折竹、梯子、最短路径。 综合训练：将性质、判定、角平分线、勾股定理结合，提升解题能力。 【作业1】（2026春•上海校级期中）如图，∠ABC＝90°，AB长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则BC＝（　　）厘米． A．15 B．30 C．124.9 D．249.8 【作业2】（2025秋•宝山区校级期末）下列三角形中，非直角三角形的是（　　） A．三边分别为11，， B．有一边的中线等于这边的一半 C．三个内角之比为1：2：3 D．三边之比为1 【作业3】（2025秋•碑林区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【作业4】（2025秋•闵行区校级月考）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，5 【作业5】（2026春•绥棱县期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是　 　 ． 【作业6】（2026春•贺兰县校级期末）如图，在△ABC中，∠ADC＝112°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠B＝　 　 ． 【作业7】（2026•大庆模拟）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，AD＝2，，BC＝4，点E是四边形ABCD内一点，连接AE、BE、DE、CE，则（AE+BE+CE+DE）的最小值为 　 　 ． 【作业8】（2026春•房山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．点D是斜边AC的中点，DE⊥BC，垂足为E，若DE＝3，，则AE的值是　 　 ． 【作业9】（2026春•茌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H，下面说法中正确的序号是　 　 ． ①BH＝CH； ②△ABE的面积等于△BCE的面积； ③∠FAG＝2∠ACF； ④∠AFG＝∠AGF． 【作业10】（2026春•雨花区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）若∠A＝44°，求∠DBC的度数； （2）若CD＝1，BC，求BD、AB的长． 【作业11】（2024秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于点C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，BC＝10，AB＝24，连接AC、BD，AC＝26，BD＝24，取AC和BD的中点E、F，连接EF，求EF的长度． 【作业13】（2025秋•松江区校级月考）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米． （1）求∠ABC的度数； （2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）． 【作业14】（2025秋•静安区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，连结BD，F是BD的中点，连结EF． （1）求证：EF⊥BD； （2）如果CD＝6，BE+AD＝13，求AC的长． 【作业15】（2026春•思明区校级期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h，小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方60m的C处（即AC＝60m），过了4s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由． （参考数据：1m/s＝3.6km/h） 【作业16】（2026春•东湖区校级期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，AC⊥BC，AC＝80cm，BC＝60cm．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高70cm，求此时滑块B向左滑动的距离． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假阶段复习3：直角三角形 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握直角三角形的性质：理解直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角所对直角边等于斜边一半等性质。 · 熟练判定直角三角形：会运用勾股定理逆定理、三角形内角和、中线判定等方法判断直角三角形。 · 灵活运用角平分线性质：掌握角平分线的性质定理及逆定理，能进行相关的证明与计算。 · 熟练运用勾股定理：能运用勾股定理求边长、证明垂直、解决实际问题。 · 综合应用能力：能将直角三角形、角平分线、勾股定理结合解决几何综合题。 知识梳理 · 核心知识点 🔹 1. 直角三角形的性质 角的关系：两锐角互余（∠A + ∠B = 90°）。 边的关系：勾股定理：a² + b² = c²（c为斜边）。 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 30°角性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 等腰直角三角形：两直角边相等，底角45°。 📌 典型例题 1 如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，E为AB的中点，∠CDE = 56°，求∠DCE。 A．56° B．62° C．63° D．68° 解析：由斜边中线性质得 CE = DE，故∠DCE = ∠CDE = 56°。答案：A（56°） 🔹 2. 直角三角形的判定 角度法：三角形中有一个角为90°。 勾股定理逆定理：若 a² + b² = c²，则三角形为直角三角形。 中线法：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形为直角三角形。 三边比法：若三边满足勾股数比例（如3:4:5），则为直角三角形。 📌 典型例题 2 在△ABC中，AB = m²−n²，BC = 2mn，AC = m²+n²，求证∠ABC = 90°。 解析：计算 AB²+BC² = (m²−n²)² + (2mn)² = (m²+n²)² = AC²，由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，且AC为斜边，故∠ABC=90°。 🔹 3. 角平分线的性质与判定 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上（在角的内部）。 应用：常用于构造全等、求面积、证明线段相等。 📌 典型例题 3 用直尺和圆规作∠AOB的平分线OH，点P在OH上，PE⊥OB，PF⊥OA，PE=3，求PF。 A．1.5 B．3 C．4 D．5 解析：由角平分线性质，PF = PE = 3。答案：B（3） 🔹 4. 勾股定理的应用 求线段长：在直角三角形中，已知两边求第三边。 证明垂直：通过计算三边满足勾股定理逆定理。 实际问题：如梯子滑动、折竹抵地、最短路径等。 面积法：利用勾股定理证明面积关系（如赵爽弦图）。 📌 典型例题 4 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 解析：设折断处离地面 x 尺，则斜边为 (10−x) 尺，由勾股定理得 x²+6²=(10−x)²。答案：C 📋 知识总结表 核心概念 定理/公式 注意事项 直角三角形性质 两锐角互余；勾股定理；斜边中线 = 斜边一半 斜边中线只适用于直角三角形 30°角性质 30°所对直角边 = 斜边的一半 需在直角三角形中 直角三角形判定 勾股定理逆定理；中线判定；角度判定 验证三边是否满足平方关系 角平分线性质 角平分线上的点到角两边距离相等 距离是指垂线段长度 角平分线判定 内部到两边距离相等的点在角平分线上 必须在角的内部 勾股定理 a²+b²=c² c为斜边 勾股定理逆定理 若 a²+b²=c²，则∠C=90° 需确认最大边为斜边 核心考点·题型方法精讲 【考点1】直角三角形的性质与判定 （第1—13题） ※方法总结 · 利用两锐角互余求角度。 · 斜边中线性质常用于证明线段相等、角度转化。 · 勾股定理逆定理判定直角三角形。 · 注意分类讨论（如折叠问题）。 1．（2025春•虹口区校级期中）①三角形的角平分线就是三角形内角的平分线； ②三角形的三条高交于一点； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④直角三角形两锐角角平分线夹角为135度． 以上说法中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可． 【解答】解：①三角形的角平分线包括内角平分线和外角平分线，本选项说法错误，不符合题意； ②锐角三角形的三条高交于一点，本选项说法正确，符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法错误，不符合题意； ④直角三角形两锐角的和是90°，两锐角角平分线的夹角为180°135°，本选项说法正确，符合题意． 所以说法正确的有2个， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 2．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得EC＝ED，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点， ∴EC，ED， ∴EC＝ED， ∴∠DCE＝∠CDE， ∵∠CDE＝56°， ∴∠DCE＝56°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 3．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝62°，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点；EF与AC交于点O，则∠ABO的大小为（　　） A．28° B．30° C．31° D．36° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝28°，根据作图即可得到EF是AC的垂直平分线，根据直角三角形斜边上中线的性质求出BO＝AO＝COAC，根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝62°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝28°， 由题意得：EF是AC的垂直平分线， ∴BO＝AOAC，∴∠ABO＝∠A＝28°， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 4．（2025秋•青浦区校级同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．65° 【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据角平分线的定义求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝34°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣34°＝56°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABD56°＝28°， 在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABE＝28°， ∴∠AEB＝90°﹣28°＝62°， 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 5．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAE＝∠BAD＝56°，BC＝DE，则∠ABD的度数为　62　 °． 【分析】根据题意可得∠CAB＝∠EAD，进而证明△ABC≌△ADE，则AB＝AD，可得∠ABD＝∠ADB，再利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵∠CAE＝∠BAD＝56°，且∠BAE＝∠BAE， ∴∠CAB＝∠EAD， 又∵∠ACB＝∠AED＝90°，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∵∠BAD＝56°， ∴， 故答案为：62． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和等边对等角，证明三角形全等是解决本题的关键． 6．（2026春•闵行区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，D为边AC上一点，E为直线BC上一点，将图形沿DE翻折，得到点C的对应点C′（C′位于BC上方），如果△DC′E有一边平行于边AB，那么∠DEC＝ 　30或15或60　 °． 【分析】（1）当C′E∥AB时，此时又有两种情况：①点E在线段BC上时，则∠CEC′＝∠B＝60°，由折叠可得∠DEC＝30°；②点E在线段CB延长线上时，则∠CEC′＝∠B＝60°，由折叠可得∠DEC＝30°； （2）当DC′∥AB时，此时又有两种情况：①点E在线段BC上时，过点C′作C′F∥BC交AB于点F，则∠AFC′＝∠B＝60°，由此DC′∥AB得∠FC′D＝∠AFC′＝60°，再由折叠可得∠DC′E＝∠C＝30°，∠DEC∠CEC′，由此得∠FC′E＝30°，再由C′F∥BC得∠FC′E＝∠CEC′＝30°，由可得∠DEC＝15°；②点E在线段CB延长线上时，过点C′作C′F∥BC交BA延长线于点F，则∠AFC′＝120°，再由DC′∥AB得∠FC′D＝60°，由折叠可得∠DCE＝∠DC′E＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′，由此得∠FC′E＝30°然后根据C′F∥BC得∠FC′E＝∠CEC′＝30°，据此可得∠DEC＝15°； （3）当DE∥AB时，则∠DEC＝∠ABC＝60°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意有以下三种情况： （1）当C′E∥AB时，此时又有两种情况： ①点E在线段BC上时，如图1①所示： ∴∠CEC′＝∠B＝60° 由折叠可得：∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝30°； ②点E在线段CB延长线上时，如图1②所示： ∴∠CEC′＝∠B＝60°， 由折叠可得：∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝30°； （2）当DC′∥AB时，此时又有两种情况： ①点E在线段BC上时，过点C′作C′F∥BC交AB于点F，如图2①所示： ∴∠AFC′＝∠B＝60°， ∵DC′∥AB， ∴∠FC′D＝∠AFC′＝60°， 由折叠可得：∠DC′E＝∠C＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′， ∴∠FC′E＝∠FC′D﹣∠DC′E＝60°﹣30°＝30° ∵C′F∥BC ∴∠FC′E＝∠CEC′＝30° ∴∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝15°； ②点E在线段CB延长线上时，过点C′作C′F∥BC交BA延长线于点F，如图2②所示： ∵C′F∥BC ∴∠AFC′＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵DC′∥AB， ∴∠FC′D＝180°﹣∠AFC′＝60°， ∴由折叠可得：∠DCE＝∠DC′E＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′， ∴∠FC′E＝∠FC′D﹣∠DC′E＝60°﹣30°＝30° ∵C′F∥BC ∴∠FC′E＝∠CEC′＝30° ∴∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝15°； （3）当DE∥AB时，如图3所示： ∴∠DEC＝∠ABC＝60°， 综上所述△DC′E有一边平行于边AB，∠DEC＝30°或15°或60°． 故答案为：30°或15°或60°． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行线的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 7．（2025秋•杨浦区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC，交∠ECB的平分线于点F，联结AF，交BC于点G．若∠ABC＝50°，则∠AGC＝ 　70　 °． 【分析】过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N，FP⊥BC于点P，先求出∠BAC＝40°，根据角平分线的性质得FM＝FP，FN＝FP，由此得FM＝FN，进而得AF是∠BAC的平分线，则∠BAF＝120°，再根据三角形外角性质得∠AGC＝∠ABC+∠BAF＝70°． 【解答】解：过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N，FP⊥BC于点P，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°， ∵BF平分∠DBC，交∠ECB的平分线于点F， ∴FM＝FP，FN＝FP， ∴FM＝FN， ∵点F在∠BAC的内部， ∴点F在∠BAC的平分线上， ∴AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAFBAC＝20°， ∵AGC是△ABG的外角， ∴∠AGC＝∠ABC+∠BAF＝50°+20°＝70°． 故答案为：70． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形外角的性质是解决问题的关键． 8．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CF分别是斜边AB上的高和中线，CE是∠ACB的平分线，某同学想直接得到点B到直线CD的距离，那么他应该测量线段 BD 的长度． 【分析】根据点到直线的距离定义，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CF分别是斜边AB上的高和中线，CE是∠ACB的平分线，某同学想直接得到点B到直线CD的距离，那么他应该测量线段BD的长度， 故答案为：BD． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，点到直线的距离，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【分析】（1）连接BE、DE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出BE＝DE，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明△BED是等边三角形，再根据求解即可． 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算． 10．（2025秋•静安区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的周长． 【分析】（1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接ME、MD，进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明MN⊥DE． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接ME、MD， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴ 同理可得， ∴DM＝EM ∵N是DE的中点， ∴MN⊥DE； （2）解：∵BC＝10， ∴， ∵DE＝6， ∴△MDE的周长为DM+EM+DE＝5+5+6＝16． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟记以上知识点是解题的关键． 11．（2025秋•上海校级月考）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，AD与CE交于点M．DG⊥CE，垂足为G．已知：∠B＝2∠BCE． （1）求证：DC＝BE； （2）如果AC＝BC，∠B＝60°，求证：S△AMC＝2S△DMC． 【分析】（1）根据CE是边AB上的中线，AD是边BC上的高，得到DE＝AE＝BE，然后根据等量变换和等角对等边即可求解； （2）根据等边三角形知识得到∠BAD＝∠BCE＝30°，然后证得△AME≌△DMC（AAS），再根据含30°角的直角三角形知识和等量变换，得到，然后根据三角形面积公式分别表示出，，然后即可求解． 【解答】证明：（1）∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴在Rt△ABD中，DE＝AE＝BE， ∴∠B＝∠BDE， ∵∠B＝2∠BCE＝∠BDE，∠BDE＝∠DEC+∠BCE， ∴2∠BCE＝∠DEC+∠BCE， ∴∠BCE＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴DE＝AE＝BE＝DC， ∴DC＝BE； （2）∵AC＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ADC＝90°， 在△AME和△DMC中， ， ∴△AME≌△DMC（AAS）， ∴AM＝MC， ∵∠ADC＝90°，∠BCE＝30°， ∴， ∴AM＝2DM，即， 根据三角形面积公式（这里a为底，h为高）， ∴，， ∵， ∴S△AMC＝2S△DMC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 12．（2024秋•静安区校级期末）如图，已知锐角△ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证： （1）MN⊥DE． （2）若∠A＝60°，求证：△DME是等边三角形 【分析】（1）连接DM、EM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DM＝EM，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DME＝60°即可证明． 【解答】证明：（1）如图：连接DM、EM， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高， ∴CD⊥AB，ME⊥AC， 在Rt△BCD与Rt△BCE中， M是线段BC的中点， ∴，， ∴DM＝EM， ∴△DEM是等腰三角形， 又因为N是线段DE的中点，MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， 由（1）可知：MB＝MD＝ME＝MC， ∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠MEC， ∴∠DMB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDM＝180°﹣2∠ABC， ∴∠CME＝180°﹣∠ACB﹣∠MEC＝180°﹣2∠ACB， ∴∠DME＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2∠ABC+2∠ACB﹣180°＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝2×120°﹣180°＝60°， 由（1）可知△DEM是等腰三角形， ∴△DEM是等边三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键． 13．（2024秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DFAB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论． 【解答】证明：（1）连接DF， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∵DC＝BF， ∴DC＝DF， ∵点E是CF的中点． ∴DE⊥CF； （2）∵DC＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝2∠BCF． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【考点2】角平分线 （第14—28题） ※方法总结 · 角平分线性质用于证明线段相等或求距离。 · 角平分线判定用于证明点在角平分线上。 · 常与全等三角形结合，构造垂线段。 · 注意角平分线定理的逆定理使用条件。 14．（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出△BPC的面积是△ABC面积的一半． 【解答】解：∵BD＝BA，BP平分∠ABD，S△ABC＝4， ∴BP为△ABD的中线，P为AD中点， ∴CP为△CAD的中线， ∴，， ∵S△BPC＝S△BPD+S△CPD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴，即， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 15．（2026•杨浦区二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，连接AE，如果要求出∠CAE的度数，只需知道下列哪个角的度数（　　） A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEC 【分析】过点E作AB、AC、BC所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点E到AB、AC的距离相等，进而判定AE平分∠FAG，建立∠CAE与∠BAC的数量关系即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G，EH⊥BC交BC的延长线于点H， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∵CE平分∠ACD，EG⊥AC，EH⊥BC（D、B、C共线）， ∴EG＝EH， ∴EF＝EG， ∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴AE平分∠FAG． ∴， ∴只要求出∠CAE的度数，只需知道∠BAC的度数． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质与判定．角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于点D，下列四个结论： ①； ②AE+BF＝EF； ③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点； ④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab． 其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质、等腰三角形的判定可判断②；根据三角形三边关系可判断③；根据角平分线的性质定理可判断④． 【解答】解：∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∴（角平分线的性质）， ∵∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴， ∴， 所以结论①正确； ∵EF∥AB， ∴∠FOB＝∠ABO，∠EOA＝∠BAO（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABO＝∠CBO，∠BAO＝∠CAO， ∴∠FOB＝∠CBO，∠EOA＝∠CAO， ∴OF＝BF，OE＝AE， ∴EF＝OF+OE＝BF+AE， 所以结论②正确； 当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CE+CF， 即E、F不是中点， 所以结论③错误； 如图，过点O作OH⊥AC于点H，连接OC， 则OH＝OD， ∴S△CEF＝S△OCF+S△OCE ＝ab， 所以结论④正确； 综上所述，正确的有①②④，所以只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定，并能灵活运用是解决此题的关键． 17．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【分析】由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案． 【解答】解：由作图可知，OH平分∠AOB， ∵PE⊥OB，PF⊥OA， ∴PF＝PE＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 18．（2025秋•闵行区月考）下列说法错误的是（　　） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AB的中点，则有 D．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A+∠B＝90° 【分析】根据角平分线的性质定理、判定定理、直角三角形的性质逐一分析判断即可． 【解答】解：A、在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，说法正确，故选项不符合题意； B、角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，原说法错误，故选项符合题意； C、在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AB的中点，则有CDAB，说法正确，故选项不符合题意； D、在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键熟练掌握相关的性质． 19．（2026春•普陀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AE＝EC，AD平分∠BAC，如果△ADE的面积为2，那么△ABC的面积为　8　 ． 【分析】由等腰三角形的性质可得AD是△BAE的中线，再利用三角形中线的性质求得S△BAE＝4，进而求得△ABC的面积即可． 【解答】解：∵AB＝AE，AD平分∠BAC， ∴BD＝DE， ∴AD是△BAE的中线， ∴S△BAE＝2S△ADE＝4， 由条件可知BE是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△BAE＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2025秋•金山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积是　18　 ． 【分析】作DE⊥AB于点E，∠C＝90°，得CD⊥AC于点C，由角平分线 的性质得DE＝CD＝3，而AB＝12，则S△ABCAB•DE＝18，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC于点C， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD⊥AC于点C，且CD＝3， ∴DE＝CD＝3， ∵AB＝12， ∴S△ABCAB•DE12×3＝18， 故答案为：18． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21．（2025秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝10cm，则点O到边AB的距离为　2　 cm． 【分析】连接OB，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F， 在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm， 由勾股定理得：AB6（cm）， ∵点O是∠CAB、∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC， ∴OD＝OE，OE＝OF， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴AB•BCAB•ODAC•OEBC•OF，即6×86×OD8×OD10×OD， 解得：OD＝2， 则点O到边AB的距离为2cm， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 22．（2025秋•杨浦区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，若DE＝2，则DF＝　4　 ． 【分析】作DG⊥OB，根据角平分线的性质求出DG，根据含30°的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：作DG⊥OB于G， ∵OC是∠AOB的平分线，DG⊥OB，DE⊥OA， ∴DG＝DE＝2， 在Rt△EOF中，∠AOB＝60°， ∴∠OFE＝30°， ∴DF＝2DG＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 23．（2023春•嘉定区期末）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，，AB＝6，BC＝4，那么DE＝　2.5　 ． 【分析】过D作DF⊥BC于F，由角平分线的性质得到DE＝DF，由△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，得到BC•DFAB•DE，代入有关数据即可求出DE＝2.5． 【解答】解：过D作DF⊥BC于F， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E， ∴DE＝DF， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积， ∴BC•DFAB•DE， ∵AB＝6，BC＝4， ∴4DE+6DE＝25， ∴DE＝2.5． 故答案为：2.5． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到DE＝DF，由三角形面积公式即可求解． 24．（2026春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接AD、EF． （1）求证：EF∥BC； （2）求证：AD垂直平分EF． 【分析】（1）根据三线合一定理得到∠DAB＝∠DAC，利用三角形内角和定理求得，再证明△AED≌△AFD，得到AE＝AF，求得，得到∠AEF＝∠B，即可证明EF∥BC； （2）由△AED≌△AFD得到AE＝AF，DE＝DF，即可得到AD垂直平分EF． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DAB＝∠DAC，，∠AED＝∠AFD＝90°， 又∵AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， ∴， ∴∠AEF＝∠B， ∴EF∥BC； （2）证明：由（1）得△AED≌△AFD， ∴AE＝AF，DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 25．（2025秋•嘉定区月考）已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF＝CG，求证：DE⊥BC． 【分析】由角平分线性质可得EF＝EG，可证△BFE≌△CGE（SAS），得BE＝CE，由D为BC的中点，三线合一即可得出DE⊥BC． 【解答】证明：如图，连接BE、CE， 由角平分线性质定理可知EF＝EG，∠BFE＝∠CGE＝90°， 在△BFE和△CGE中， ， ∴△BFE≌△CGE（SAS）， ∴BE＝CE， 又∵D为BC的中点， ∴DE⊥BC． 【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键． 26．（2025秋•上海校级期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． （1）符合要求的位置有　4　 个； （2）请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； （3）你的作图依据是　角平分线的判定定理　 ． 【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【解答】解：（1）三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）利用角平分线的性质作出图形，如图所示，P1、P2、P3、P4即为加油站的位置， （3）作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【点评】本题考查角平分线的性质，尺规作图﹣作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． 27．（2025秋•静安区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，且∠ACB＝∠CDA，点E在BC上，且点E到AC、AB的距离相等，连接AE交CD于点F． （1）试判断△CEF的形状； （2）请证明你的结论． 【分析】（1）由角平分线的判定得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的内角和定理推出∠AEC＝∠AFD，进而得到∠AEC＝∠CFE，因此CF＝CE，即可解答； （2）由（1）即可证明． 【解答】（1）解：△CEF是等腰三角形． 由条件可知∠CAE＝∠BAE， ∵∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB， ∠AFD＝180°﹣∠BAE﹣∠ADC， 又∠ACB＝∠ADC， ∴∠AEC＝∠AFD， ∵∠CFE＝∠AFD， ∴∠AEC＝∠CFE， ∴CF＝CE， 即△CEF是等腰三角形． （2）证明：由条件可知∠CAE＝∠BAE， ∵∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB， ∠AFD＝180°﹣∠BAE﹣∠ADC， ∴∠AEC＝∠AFD， ∵∠CFE＝∠AFD， ∴∠AEC＝∠CFE， ∴CF＝CE， 即△CEF是等腰三角形． 【点评】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． 28．（2025春•浦东新区月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H， ∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝15， ∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15， 解得，EG＝EH， ∴EF＝EH， ∴△ABE的面积AB×EF7． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【考点3】勾股定理 （第29—46题） ※方法总结 · 直接应用勾股定理求边长。 · 运用逆定理判定直角。 · 实际问题建模（如折竹、梯子、最短路径）。 · 面积法证明勾股定理。 · 注意含30°、45°特殊角的直角三角形边比。 29．（2025秋•闵行区校级期末）如图，Rt△OBC的直角边BC的长为1，将斜边OB绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（　　） A．2.2 B． C． D． 【分析】利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【解答】解：∵点C的坐标为﹣2，点O在原点上， ∴OC＝2，又BC＝1 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得OB的长． 30．（2025秋•普陀区期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【分析】根据图形和勾股定理，可以得到x2+62＝（10﹣x）2，然后即可得到哪个选项符合题意． 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 31．（2025秋•金山区校级期末）勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．小海在研究勾股定理证明的过程中用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为21，正方形ABGF的边长是正方形CDEG的边长的两倍．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中∠B'A'F'＝90°．则正方形B'C'E'F'的面积为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 【分析】根据正方形的性质得到GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°，根据全等三角形的性质得到BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c，证得四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c，推出四边形B′C′E′F′是正方形，设设FG＝2m，EG＝m，根据六边形ABCDEF的面积为14，列方程即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABGF、四边形CDEG是正方形， ∴GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°， ∴∠BGC＝∠FGE＝90°， 在△BGC和△FGE中， ， ∴△BGC≌△FGE（SAS）， 同理可证△BGC≌△B′A′F′≌△E′D′C′， ∴BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c， ∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c， ∵∠DEF＝∠A′F′E′，∠OEF＝∠A′F′B′， ∴∠B′F′E′＝90°， ∴四边形B′C′E′F′是正方形， ∵正方形ABGF的边长是正方形CDEG的边长的两倍， ∴设FG＝2m，EG＝m，∵六边形ABCDEF的面积为21， ∴4m2+m2+22m×m＝21， ∴m， ∴EFm， ∴E′F′＝EF， ∴四边形B′C′E′F′的面积＝15． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 32．（2025秋•杨浦区期末）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【分析】根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长，根据规律得到第九个三角形的斜边长，根据估算无理数的大小的方法解答． 【解答】解：由题意，第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …， 第九个三角形的斜边长， ∴这海螺图形周长l， ∵34， ∴13＜1014， ∴周长l的整数部分是13． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，找到规律是关键． 33．（2025秋•松江区校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝6，S3＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C． D． 【分析】由勾股定理得出S2+S1＝S3，求出S2＝9，进而求解即可． 【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S2+S1＝S3， ∴S2+6＝15， ∴S2＝9， ∴由图形可知，阴影部分的面积为． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出S2+S1＝S3． 34．（2025秋•虹口区校级期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高10m，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离AC为6m，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的长为　　 m． 【分析】设AB＝xm，则BC＝（10﹣x）m，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【解答】解：倒下后的树顶C与树根A的距离AC为6m， 由题意设AB＝xm，则BC＝（10﹣x）m， BC2＝AB2+AC2，即x2+62＝（10﹣x）2， 解得； 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 35．（2026春•徐汇区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为　3：2　 ． 【分析】由勾股定理得AC＝8，再由角平分线的性质得DA＝DF，进而由面积法求出DF＝3，则CD＝AC﹣DA＝5，然后由勾股定理得CF＝4，则BF＝6，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴DA⊥BA，， ∵BD平分∠ABC，DF⊥BC， ∴DA＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴， ∴6×8＝6DF+10DF， 解得：DF＝3， ∴DA＝3， ∴CD＝AC﹣DA＝8﹣3＝5， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6， ∵DF⊥BC，CE⊥BC， ∴DF∥CE， ∴， 即BD：DE＝3：2， 故答案为：3：2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 36．（2025春•黄浦区校级月考）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　10　 ． 【分析】根据题意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为S△GDC+S△BCM，用a，b表示后计算即可． 【解答】解：如图2， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴△FNK≌△GHI， ∴FN＝GH＝a， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， ∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a， ∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM ＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM ＝S△GDC+S△BCM ＝ab， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴， 即阴影部分的面积为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 37．（2025秋•金山区校级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别为AC和BD的中点，连接MN，则MN的长度是　5　 ． 【分析】连接MB、MD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BMAC＝13，DMAC＝13，根据等腰三角形的性质得到MN⊥BD，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接MB、MD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝26，M为AC的中点， 则BMAC＝13， 同理可得：DMAC＝13， ∴BM＝DM， ∵N为BD的中点， ∴BN＝DNBD＝12，MN⊥BD， 由勾股定理得：MN5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 38．（2025秋•崇明区期末）定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝16，点D是边AB上的一动点（且AD＞BD），若△BCD是“差直角三角形”，则CD的长为 　或3　 ． 【分析】先作等腰△ABC的高CM，用勾股定理求出CM＝6，根据“差直角三角形“定义，分∠BDC﹣∠B＝90°和∠BDC﹣∠BCD＝90°两种情况讨论．第一种情况通过角的等量代换推导△CMD∽△BMC，用相似比求MD，再用勾股定理得CD；第二种情况构造平行线DN∥CM，得△NDB∽△CMB，结合CN＝DN列方程求BD，再用勾股定理得CD． 【解答】解：如图，过点C作CMAB于M，过点D作DNIICM，交BC于N． ∵AC＝BC＝10，AB＝16， ∴M为AB中点，AM＝MB＝8． ∴CM6．AD＞BD， ∴∠BDC为钝角． 分两种情况： ①∠BDC﹣∠B＝90°，则∠BDC＝∠B+90°， ∴∠MDC＝180°﹣∠BDC＝90°﹣∠B． ∵∠CMD＝∠BMC＝90°，∠MDC＝∠BCM＝90°﹣∠B， ∴△CMD∽△BMC， ∴，即， 解得MD， ∴CD； ②∠BDC﹣∠BCD＝90°，则∠BCD＝∠BDC﹣90°， ∴∠CDN＝∠BDC﹣90°， ∴∠CDN＝∠BCD． ∴DN∥CM， ∴△NDB∽△CMB， ∴，即 .， ∴ND，BNBD， ∵∠CDN＝∠BCD， ∴CN＝DN， ∴BC＝DN+BN＝/BDBD＝10．解得BD＝5， ∴MD＝BM﹣BD＝8﹣5＝3， ∴CD3， 综上，CD的长为或3． 故答案为：或3． 【点评】本题考查等腰三角形“三线合一“性质、相似三角形判定与性质、勾股定理，以及分类讨论思想的应用，理解定义是解题关键． 39．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2 ． 【分析】六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为c， ∴ ∵六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为2ab．中间小正方形的边长为b﹣a，面积为 （b﹣a）2． ∵正方形ABCD与六边形MNDEFB面积相等： ∴c2＝2ab+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2． 所以关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2． 故答案为：c2＝a2+b2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时注意数形结合思想的运用． 40．（2026春•青浦区校级期中）如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知Rt△ABC是“优美三角形”，且∠C＝90°，则△ABC的“优美值”是　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，AB＝c，设a＞b＞0，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，利用勾股定理表示出AD，CF，BE，以C为原点，CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用向量和“优美三角形”即可求得答案． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，AB＝c，设a＞b＞0，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点， 则CDBCb，CEACa， ∵CF是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CFABc， ∵c， ∴CF， 在Rt△ACD中，AD， 在Rt△BCE中，BE， 以C为原点，CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图， 则C（0，0），A（0，b），B（a，0），E（，0），D（0，），F（，）， 中线BE的方向向量为（，﹣b），中线CF的方向向量为（，）， ∵Rt△ABC是“优美三角形”， ∴BE⊥CF，故它们的点积为0， ∴•（﹣b）•0， ∴a2＝2b2， ∴CF， BE， AD， ∵a＞b＞0， ∴较短中线为CF，较长中线为AD， ∴△ABC的“优美值”为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形性质，勾股定理，向量性质等，理解并熟练运用新定义是解题关键． 41．（2025秋•松江区期末）如图，在△ABC和△ACD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E是AC中点，∠DAB＝45°，AC＝6． （1）求证：DE＝BE； （2）求线段BD的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可； （2）先求出AE＝DE＝3，则由等边对等角和三角形外角的性质得到∠DEC＝2∠EAD，∠BEC＝2∠EAB，则可证明∠DEB＝2∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，E是AC中点， ∴， 同理：， ∴DE＝BE； （2）解：∵E是AC中点，且AC＝6，∠ADC＝90°， ∴， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴∠DEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠EAD， 同理∠BEC＝∠EAB+∠ABE＝2∠EAB， ∴∠DEC+∠BEC＝2∠EAD+2∠EAB＝2（∠EAD+∠EAB）， ∴∠DEB＝2∠DAB， ∵∠DAB＝45° ∴∠DEB＝90°， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：∴BD2＝BE2+DE2， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 42．（2024秋•普陀区期末）如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）延长DF交CE于点G，证明△GCF≌△DAF后，利用直角三角形斜边中线性质即可得到结果． 【解答】证明：（1）∵AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）， ∴AB2+BC2＝（m2﹣n2）2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2， AC2＝（m2+n2）2＝[（m﹣n）2+2mn]2＝（m2+n2﹣2mn+2mn）2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴∠ABC＝90°． （2）如图，延长DF交CE于点G， ∵∠ABD+∠EBC＝90°，∠ABD ＝∠BCE， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∵∠BCE+∠EBC+∠CEB＝180°， ∴∠CEB＝90°，∠CED＝90°， ∵AD⊥l， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CED＝∠ADB， ∴CE∥AD， ∴∠GCF＝∠DAF， 在△GCF和△DAF中， ， ∴△GCF≌△DAF（ASA）， ∴FG＝FD， ∴FD＝FEGD． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 43．（2025秋•青浦区校级期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【分析】先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长度；再在△BCD中，通过勾股定理的逆定理判断∠BCD是否为90°，从而验证BC⊥CD是否成立． 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵AD＝15dm，∠ABD＝90°，AB＝10dm， ∴BD2＝AD2﹣AB2， BD2＝152﹣102 ＝225﹣100 ＝125． 在△BCD中， ∵BC＝5dm，CD＝10dm， ∴BC2+CD2＝25+100＝125．BC2+CD2＝52+102， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的内容是解题的关键． 44．（2025秋•上海校级期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积＝4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理a2+b2＝c2． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若b＝2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于　，5：4　 ． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a＝3，b＝5，那么空白部分的面积等于　19　 ． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC＝2，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：a2+b2﹣ab＝c2 ．（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．） 【分析】（1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为＝小正方形的面积﹣两个三角形的面积，计算即可， （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【解答】解：（1）∵，b＝2a， ∴， ∴，即小正方形面积：大正方形面积＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意得， ， ∵空白部分的面积为＝小正方形的面积﹣两个三角形的面积， ∴，即空白部分的面积为19， 故答案为：19； （3）如图， 根据题意得， AB+AC＝28÷4＝7，OB＝OC＝2． 设AC＝x，则OA＝2+x，AB＝7﹣x． 在Rt△ABO中，OA2+OB2＝AB2， 即（x+2）2+22＝（7﹣x）2， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）a2+b2﹣ab＝c2． 理由：设大正三角形的高为h大，中心小正三角形的高为h小，三个全等三角形的边a上的高为h单． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， ∴大等边三角形的面积， ， ∴小等边三角形的面积， ， ， ∴三个这样的三角形面积之和为， ∴， 即（a+b）2＝c2+3ab， ∴a2+b2﹣ab＝c2， 故答案为：a2+b2﹣ab＝c2． 【点评】本题考查勾股定理的证明，根据图形得出面积关系是解题的关键． 45．（2025秋•闵行区月考）李老师将笔记本水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角成为120°时，感觉最舒适（如图①）侧面示意图为图②；使用时为了散热，李老师将笔记本底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝26cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°． （1）求OC的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离（结果保留根号）． 【分析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长； （2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△B′OE中求出B′E，进而求出B′D． 【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝26，∠OAC＝30°． ∴OC（cm）； （2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E， 由题意得，OA＝OB′＝26（cm）， 当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，可得，∠AOB′＝150° ∴∠B′OE＝60°， ∵∠ACO＝∠B′EO＝90°， ∴在Rt△B'OE中，B'E＝OB'×sin60°＝13（cm）， 又∵OC＝DE＝13（cm）， ∴B'D＝B'E+DE＝13+13（cm）， 即：点B′到AC的距离为（13+13）cm． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法． 46．（2025秋•徐汇区期中）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图④的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． （4）问题解决：如图⑤，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且∠BAC＝90°．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可； （3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可； （4）过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面积公式求出AD的长即可． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得x； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （4）如图，过点A作AD⊥BC于点D，AD的长即为所求． ∵CA⊥BA， ∴根据①中得到的a，b，c之间的数量关系，得BC2＝AB2+AC2， ∵AB＝12米，AC＝5米， ∴BC13（米）， ∵S△ABCBC•ADAB•AC， ∴AD（米）， ∴最短距离为米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1 角平分线与周长 练习2 直角三角形判定 练习3 长方体对角线 练习4 垂直平分线与勾股定理 【练习1】（2026春•普陀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，E是垂足．如果△BDE的周长为8，AC＝10，那么△ABC的周长是　28　 ． 【分析】根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据△BDE周长为8，得出DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），得出AE＝AC＝10，即可求出结果． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∵△BDE周长为8， ∴DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8， ∵在Rt△ADC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）， ∴AE＝AC＝10， ∴△ABC的周长为： AC+BC+BE+AE＝8+10+10＝28． 故答案为：28． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等． 【练习2】（2025秋•松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　①②③　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 【分析】根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【解答】解：①∠A﹣∠B＝∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C＝180°， 由∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则最大角， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③（b+c）（b﹣c）＝a2，展开得b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ④a＝1，，c＝3，∵， ∴a+b＜c， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识点是关键． 【练习3】（2025秋•浦东新区校级期末）如图，一个长方体盒子的内部是30cm×40cm×120cm的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度a的取值范围是　0cm＜a≤130cm ． 【分析】先在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD的长，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△BCD中，BC＝30cm，CD＝40cm， ∴BD50（cm）， 在Rt△ABD中，AB＝120cm， ∴AD130（cm）， ∴直杆的长度a的取值范围为：0cm＜a≤130cm， 故答案为：0cm＜a≤130cm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【练习4】（2024秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：点D在线段CE的垂直平分线上． （2）①当点D是BC的中点时，求∠B； ②当CD＝5，BD＝6，求CE． 【分析】（1）连接DE，过点E作ED⊥BD于点H，依题意得ED是Rt△ABD斜边AB上的中线，则ED＝AE＝BEAB，根据CD＝AE得ED＝CD，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据BD＝CD，DE＝BE＝CD得△BDE是等边三角形，由此可得出∠B的度数； ②由（1）可知ED＝BE＝CD＝5，根据EH⊥BD得BH＝DHBD＝3，在Rt△EHD中，由勾股定理求出EH＝4，进而在Rt△EHC中，由勾股定理求出CE即可． 【解答】（1）证明：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H，如图所示： 在△ABC中，AD是BC边上的高， ∴△ABD是直角三角形， ∵CE是AB边上的中线， ∴ED是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴ED＝AE＝BEAB， ∵CD＝AE， ∴ED＝CD， ∴点D在线段CE的垂直平分线上； （2）①解：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 又∵DE＝BE＝CD， ∴BD＝DE＝BE， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠B＝60°； ②解：∵CD＝5，BD＝6， 由（1）可知：ED＝BE＝CD＝5， ∴△EBD是等腰三角形， 又∵EH⊥BD， ∴BH＝DHBD＝3， 在Rt△EHD中，由勾股定理得：EH4， 在Rt△EHC中，CH＝DH+CD＝3+5＝8， 由勾股定理得：CE． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性是解决问题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 面积与勾股 作业2 非直角三角形判断 作业3 梯子问题 作业4 勾股数 作业5 斜边中线分类 作业6 角平分线求角 作业7 最短路径 作业8 勾股与中线 作业9 角平分线与高线 作业10 等腰三角形与勾股 作业11 全等与直角 作业12 中线与勾股 作业13 垂直平分线与勾股 作业14 斜边中线与勾股 作业15 实际超速问题 作业16 滑轮与勾股 💡 复习建议 夯实基础：熟记直角三角形性质（斜边中线、30°角、两锐角互余）。 强化判定：灵活运用勾股定理逆定理、中线判定法。 角平分线应用：注意性质与判定的区别，常作垂线段构造全等。 勾股定理建模：多练实际问题，如折竹、梯子、最短路径。 综合训练：将性质、判定、角平分线、勾股定理结合，提升解题能力。 【作业1】（2026春•上海校级期中）如图，∠ABC＝90°，AB长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则BC＝（　　）厘米． A．15 B．30 C．124.9 D．249.8 【分析】设BC＝x厘米，根据S阴影a＝S半圆﹣S空白，S阴影b＝S△ABC﹣S空白得到S阴影a﹣S阴影b＝S半圆﹣S△ABC，据此建立方程求解即可． 【解答】解：设BC＝x厘米， ∵S阴影a＝S半圆﹣S空白，S阴影b＝S△ABC﹣S空白， ∴S阴影a﹣S阴影b＝S半圆﹣S空白﹣（S△ABC﹣S空白）＝S半圆﹣S△ABC ∴， 解得x＝30， ∴BC＝30厘米， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业2】（2025秋•宝山区校级期末）下列三角形中，非直角三角形的是（　　） A．三边分别为11，， B．有一边的中线等于这边的一半 C．三个内角之比为1：2：3 D．三边之比为1 【分析】由勾股定理的逆定理和直角三角形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵112＝（）2+（）2， ∴该三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； B、三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形是直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵三个内角之比为1：2：3， ∴设一个内角为x，则另两个内角为2x、3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴3x＝90°， ∴该三角形是直角三角形，故选项C不符合题意； D、∵三边之比为1：：， ∴设三边分别为x、x、x， ∵x2+（x）2＝3x2≠（x）2， ∴该三角形不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的判定方法是解题的关键． 【作业3】（2025秋•碑林区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可． 【解答】解：如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.4m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 【点评】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键． 【作业4】（2025秋•闵行区校级月考）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，5 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：A、132+142≠152，错误，不是勾股数，不符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、52+122＝132，正确，是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键． 【作业5】（2026春•绥棱县期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是　1或　 ． 【分析】分两组情况：①当是直角边时，②当是斜边时，利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出答案即可． 【解答】解：分两种情况： ①当是直角边时，由勾股定理得：斜边为：， ∴此时直角三角形斜边上的中线长是：1； ②当是斜边时，此直角三角形斜边上的中线长是：； ∴此直角三角形斜边上的中线长是：1或， 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查了勾股定理和直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【作业6】（2026春•贺兰县校级期末）如图，在△ABC中，∠ADC＝112°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠B＝　44°　 ． 【分析】由∠ADC＝112°，得到∠CAD+∠ACD＝68°，由点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，推导出AD平分∠CAB，CD平分∠ACB，则∠CAD∠CAB，∠ACD∠ACB，求得∠CAB+∠ACB＝136°，再根据三角形内角和求解即可． 【解答】解：∵∠ADC＝112°， ∴∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ADC＝68°， ∵点D在△ABC内部，且到三边的距离相等， ∴点D在∠CAB的平分线上，且点D也在∠ACB的平分线上， ∴AD平分∠CAB，CD平分∠ACB， ∴∠CAD∠CAB，∠ACD∠ACB， ∴∠CAD+∠ACD（∠CAB+∠ACB）， ∵∠CAD+∠ACD＝68°， ∴∠CAB+∠ACB＝136°， ∴∠B＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣136°＝44°， 故答案为：44°． 【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理，推导出∠CAD∠CAB，∠ACD∠ACB是解题的关键． 【作业7】（2026•大庆模拟）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，AD＝2，，BC＝4，点E是四边形ABCD内一点，连接AE、BE、DE、CE，则（AE+BE+CE+DE）的最小值为 　　 ． 【分析】连接四边形ABCD的对角线交于点O，由三边关系可知DE+EB≥DB，AE+EC≥AC，推出AE+BE+CE+DE≥DB+AC，当点E与点O重合时，AE+BE+CE+DE有最小值，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：连接四边形ABCD的对角线交于点O， 在△DBE中，由三边关系可知DE+EB≥DB， 同理，AE+EC≥AC， ∴AE+BE+CE+DE≥DB+AC， ∴当点E与点O重合时，AE+BE+CE+DE有最小值，最小值为DB+AC的长， 在Rt△DAB中，∠BAD＝90°，AD＝2，， ∴， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝4， ∴， ∴，即AE+BE+CE+DE的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，把AE+BE+CE+DE的最小值转化为DB+AC的长是解题的关键． 【作业8】（2026春•房山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．点D是斜边AC的中点，DE⊥BC，垂足为E，若DE＝3，，则AE的值是　6　 ． 【分析】根据平行线的判定得出DE∥AB，进而利用三角形中位线得出DE是△ABC的中位线，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°＝∠ACB， ∴DE∥AB， ∵点D是斜边AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BE＝EC， ∵∠ACB＝90°，点D是斜边AC的中点， ∴BDAC＝3， ∴BE， ∴BC＝2BE＝12， ∴AB， ∴AE， 故答案为：6． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是利用勾股定理解答． 【作业9】（2026春•茌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H，下面说法中正确的序号是　②③④　 ． ①BH＝CH； ②△ABE的面积等于△BCE的面积； ③∠FAG＝2∠ACF； ④∠AFG＝∠AGF． 【分析】由条件得不到∠CBH＝∠BCH，因此BH和CH不一定相等，由三角形的面积公式得到△ABE的面积等于△BCE的面积，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠ACF，由三角形内角和定理推出∠FAG＝∠ACB，得到∠FAG＝2∠ACF，由三角形内角和定理推出∠AFC＝∠CGD，由对顶角相等得到∠AGF＝∠CGD，因此∠AFG＝∠AGF． 【解答】解：∵∠CBH和∠BCH不一定相等， ∴BH和CH不一定相等， 故①不符合题意； ∵BE是△ABC的中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积， 故②符合题意； ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠BAC＝90°， ∵∠ABD＝∠ABC， ∴∠FAG＝∠ACB， ∴∠FAG＝2∠ACF， 故③符合题意； ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠ACF＝∠DCG， ∵∠CDG＝∠CAF＝90°， ∴∠AFC＝∠CGD， ∵∠AGF＝∠CGD， ∴∠AFG＝∠AGF， 故④符合题意． ∴说法中正确的序号②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，关键是掌握三角形的角平分线、中线和高的定义，三角形内角和是180度． 【作业10】（2026春•雨花区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）若∠A＝44°，求∠DBC的度数； （2）若CD＝1，BC，求BD、AB的长． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠C＝68°，再根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）先利用勾股定理求出BD＝3，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣1，在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+32，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°， ∴， ∵BD⊥AC，即∠ADB＝90°， ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝22°； （2）∵在Rt△DBC中，， ∴， 设AB＝AC＝x，则AD＝AC﹣CD＝x﹣1， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2， ∴x2＝（x﹣1）2+32， 解得x＝5， ∴AB＝5． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【作业11】（2024秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于点C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 【分析】（1）通过证明△ADB≌△ADC得到AB＝AC； （2）利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△BEC． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC； （2）∵△ADB≌△ADC， ∴BD＝CD， ∵CD＝CE， ∴BD＝CE， ∵EC⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 在Rt△ABD和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL）． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．也考查了等腰三角形的判定与性质． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，BC＝10，AB＝24，连接AC、BD，AC＝26，BD＝24，取AC和BD的中点E、F，连接EF，求EF的长度． 【分析】连接BE、DE，由BC＝10，AB＝24，AC＝26，得BC2+AB2＝AC2＝676，则∠ABC＝90°，而∠ADC＝90°，点E是AC的中点，所以BE＝DEAC＝13，因为点F是BD的中点，且BD＝24，所以EF⊥BD，且BF＝DF＝12，求得EF5． 【解答】解：连接BE、DE， ∵BC＝10，AB＝24，AC＝26， ∴BC2+AB2＝102+242＝676，AC2＝262＝676， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴BE＝DEAC＝13， ∵点F是BD的中点，且BD＝24， ∴EF⊥BD，且BF＝DFBD＝12， ∴∠BFE＝90°， ∴EF5， ∴EF的长度是5． 【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【作业13】（2025秋•松江区校级月考）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米． （1）求∠ABC的度数； （2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）∵AB2+BC2＝202+152＝625，AC2＝252＝625， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°； （2）设AD＝x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则CD＝AD＝x米，BD＝（20﹣x）米， 在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2， ∴x2＝（20﹣x）2+152， 解得x． 答：这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【作业14】（2025秋•静安区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，连结 （1）求证：EF⊥BD； （2）如果CD＝6，BE+AD＝13，求AC的长． 【分析】（1）利用平行线性质得∠ADC＝90°，结合直角三角形斜边中线性质证BE＝DE，再由等腰三角形“三线合一”证EF⊥BD． （2）设BE＝x，直角三角形斜边中线定理得AC＝2x，再由BE+AD＝13表示出AD，最后在Rt△ACD中用勾股定理列方程，求解得AC的长． 【解答】（1）证明：如图，CD⊥BE，连结DE， ∴∠CGE＝90°， ∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠CGE＝90°， ∵∠ABC＝90°，E为AC的中点， ∴， ∴△BDE为等腰三角形， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：设DE＝BE＝x，则AC＝2x， ∵BE+AD＝13， ∴AD＝13﹣x， 在Rt△ADC中，CD＝6， 由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴（13﹣x）2+62＝（2x）2， 解得：（不合题意，舍去），x2＝5， ∴AC＝2×5＝10． 【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是熟练掌握直角三角形性质和勾股定理． 【作业15】（2026春•思明区校级期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h，小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方60m的C处（即AC＝60m），过了4s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由． （参考数据：1m/s＝3.6km/h） 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用4s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【解答】解：（1）由题意可得：∠ACB＝90°，AC＝60，AB＝100， ∴BC80（m）， （2）没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为v20×3.6（km/h）＝72（km/h）， ∵72km/h＜80km/h； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业16】（2026春•东湖区校级期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，AC⊥BC，AC＝80cm，BC＝60cm．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高70cm，求此时滑块B向左滑动的距离． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，即可得到结论； （2）根据勾股定理求出B1C的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）根据题意得∠ACB＝90°，AC＝80cm，BC＝60cm， ∴AB100（cm）， ∴AB+AC＝100+80＝180（cm）． 答：绳子的总长度为180cm； （2）根据题意得AC＝8dm，CC1＝7dm，AB1＝（100+70）cm，∠ACB＝90°， ∴B1C150（cm）， ∴BB1＝B1C﹣BC＝150﹣60＝90（cm）， 答：此时滑块B向左滑动的距离为90cm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $