13.3.1三角形的内角 讲义 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形内角和定理这一核心知识点，从实验探究（量角、折叠法猜想）到几何证明（多种辅助线证法，转化思想），再到推论（直角三角形两锐角互余）、性质，最后通过典型例题、分类讨论及中考真题应用，构建完整学习支架。 该资料以实验探究培养几何直观（数学眼光），多种证法与辅助线教学发展推理能力（数学思维），例题及分类讨论渗透方程思想与模型意识（数学语言）。课中助教师清晰授课，课后学生可通过例题、真题回顾强化，弥补知识盲点。

人教版八年级数学 · 13.3.1 三角形的内角 · 讲义 13.3.1 三角形的内角讲义 一、实验探究：三角形内角和是否为180° 1. 问题引入 任意画一个三角形，尽可能不是特殊形状，用量角器分别测量三个内角的度数，然后相加。 观察结果： 三个内角的和总是接近180°（可能有微小误差）。 这可能是凶合？我们再用“撕角法”验证一次： 2. 折叠法验证 步骤1：把三角形纸片的∠A和∠B向内折叠，使它们的顶点与∠C的顶点重合。 步骤2：观察结果——∠A和∠B的边与∠C的边重合，三个角组成一个平角。 实验结论： 三角形的三个内角加在一起，恰好拼成一个平角，即和为180°。 3. 实验的局限性 注意： “量角求和法”和“折叠法”都存在误差，只能作为“猜想”。要得到严格的结论，必须用几何推理（平行线性质+平角定义）进行证明。 二、定理证明：多种证法详解 三角形内角和定理： 任意三角形的三个内角的和等于180°。 几何语言（满分模板）： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°。 证明方法①：过顶点A作平行线（最常用） 已知：△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C = 180°。 作法：过点A作直线al∥BC。 证明： ∵ l ∥ BC（已作）， ∴ ∠2 = ∠B（两直线平行，内错角相等）， 同理 ∠3 = ∠C。 ∵ ∠1+∠2+∠3 = 180°（平角定义）， ∴ ∠1+∠B+∠C = 180°（等量代换）。 证明方法②：延长BC，过C作平行线 已知：△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C = 180°。 作法：延长BC到D，过点C作CE ∥ BA。 证明： ∵ CE ∥ BA（已作）， ∴ ∠1 = ∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2 = ∠B（同位角相等）。 ∵ ∠ACB+∠1+∠2 = 180°（平角定义）， ∴ ∠ACB+∠A+∠B = 180°（等量代换）。 证明方法③：折叠法的几何诱导 思路：把∠A和∠B折向∠C的顶点处，三个角拼在一起形成平角。过折叠后的顶点A作一条直线a∥AB，利用平行线性质即可证明。 4. 多种证法的核心思想 核心思路： 添加平行辅助线 → 利用平行线的性质（内错角、同位角、同旁内角互补）转移角 → 依据平角定义得到180°。 本质思想： 转化思想 —— 将三个分散的角“移”到同一条直线上，化未知为已知。这是几何证明中最常用的方法之一。 三、辅助线的作法与思想 1. 什么是辅助线？ 为了证明的需要，在原来的图形上擅画的线叫做辅助线。 在平面几何里，辅助线通常画成虚线（……）。 2. 为什么要作平行辅助线？ 平行线有一个强大功能——移角。 它可以把一个角的大小和位置“移动”到另一个地方，从而把分散的条件“移”到一起。 这里就是利用平行线的内错角相等、同位角相等性质，把∠B和∠C“移”到顶点A处，与∠A拼成平角。 技巧总结： 证明“三角形内角和为180°”的核心策略是“作平行线+利用平行线性质转移角+平角定义”。这套方法在后续外角、多边形内角和中都会反复使用。 四、推论与性质 1. 推论：直角三角形两锔角互余 推论： 在直角三角形中，两个锔角互余（即它们的和为90°）。 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°。 则：∠A+∠B = 90°（由内角和定理推导）。 几何语言： ∵ ∠C=90°，∴ ∠A+∠B=90°（直角三角形两锔角互余）。 2. 三角形内角的性质 性质 内容说明 最多有3个锔角 锔角三角形（如 60°/60°/60°） 至少2个锔角 任何三角形至少有2个锔角 最多1个直角或钝角 三角形不可能有2个直角或钝角 最大内角≥60° 若三角均<60°，则和<180°，矛盾 直角三角形两锔角互余 ∠A+∠B=90°（常用推论） 五、直角三角形两锔角互余 定理内容： 在直角三角形中，两个锔角的和等于90°（即互余）。 应用场景：已知一个锔角，可直接求出另一个锔角，无需再用180°直接减。 技巧： 见到直角三角形，第一反应就是“剩下那个角 = 90° - 已知锔角”。 六、典型例题精讲 【例1】基础应用：角平分线求角 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是∠BAC的平分线。求∠ADB的度数。 解： 由AD是∠BAC的平分线，得 ∠BAD = ½ ∠BAC = ½ × 40° = 20°。 在△ABD中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°。 思路分析： 要求∠ADB，在△ABD中已知∠B=75°，只需求∠BAD。利用“角平分线将已知角一分为二”即可。 【例2】实际问题：三岛方向角问题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 解： ∠CAB = ∠BAD - ∠CAD = 80° - 50° = 30°。 ∵ AD ∥ BE（两条都沿正北方向）， ∴ ∠BAD + ∠ABE = 180°（同旁内角互补）。 ∴ ∠ABE = 180° - 80° = 100°。 ∠ABC = ∠ABE - ∠EBC = 100° - 40° = 60°。 在△ABC中， ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠CAB = 180° - 60° - 30° = 90°。 答：∠ABC=60°，∠ACB=90°。 关键技巧： 方向角问题的核心是“北偏东/北偏西”的次角度计算。正北方向线平行→同旁内角互补→求内角。 【例3】直角三角形应用 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B的度数。 解： ∵ ∠C=90°（已知）， ∴ ∠A+∠B=90°（直角三角形两锔角互余）。 ∴ ∠B = 90° - 35° = 55°。 【例4】方程思想：角度比例问题 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，判断该三角形的形状。 解： 设 ∠A = x，则 ∠B = 2x，∠C = 3x。 根据三角形内角和定理： x + 2x + 3x = 180°， 6x = 180°， x = 30°。 ∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。 ∴ 该三角形是直角三角形。 方程思想： 当角度以“比”的形式给出时，设未知数x，用内角和定理列方程。这是“数形结合”的典型应用。 【例5】应用推论求角 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，CE平分∠ACB，求∠AEC的度数。 解： 在△ABC中，∠C = 180°-50°-60° = 70°。 ∵ CE平分∠ACB， ∴ ∠ACE = ½ ∠C = 35°。 在△AEC中， ∠AEC = 180° - ∠A - ∠ACE = 180° - 50° - 35° = 95°。 【例6】综合应用 在△ABC中，∠A=∠B+∠C，判断该三角形的形状。 解： 由内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°。 将∠B+∠C=∠A代入： ∠A+∠A=180°， 2∠A=180°， ∠A=90°。 ∴ 该三角形是直角三角形。 七、分类讨论专项突破 1. 第一类：已知角是钠角形三角形的一个角 核心问题： 已知角可能是顶角，也可能是底角，需要分类讨论。 【典型例】等腰三角形一个角是70°，求另外两个角。 情形①：70°为顶角 底角 = (180°-70°)÷2 = 55° 即另外两角为 55°、55°。 情形②：70°为底角 顶角 = 180°-70°×2 = 40° 即另外两角为 70°、40°。 答：55°、55°或57°、40°。 分类讨论步骤： ① 判断已知角是顶角还是底角（若未指明）→ ② 分两种情形分别计算 → ③ 两种结果均保留 2. 第二类：角度之间的倍分关系 【典型例】在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，求各角度数。 解： 设 ∠C = x，则 ∠B = 1.5x，∠A = 3x。 x + 1.5x + 3x = 180° 5.5x = 180° x ≈ 32.7° ∴ ∠C≈32.7°，∠B≈49.1°，∠A≈98.2°。 3. 第三类：按角分类的转化 已知三角形两个内角分别为36°和54°，判断三角形类型。 第三个角 = 180°-36°-54° = 90°。 ∴ 该三角形是直角三角形。 八、中考真题链接 【真题1】（2024·四川省考） 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则该三角形是（ ） A. 锔角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 解析： 设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。 2x+3x+4x=180° → 9x=180° → x=20°。 ∠C=4×20°=80°<90°，∠B=60°，∠A=40°。 答案：A（锔角三角形） 【真题2】（2023·新疆中考） 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=（ ） 解析： ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 ∠B=(180°-40°)÷2=70°。 答案：70° 【真题3】（2024·山东盟考） 在△ABC中，∠A=½∠B=∠C，求∠A的度数。 解： 设 ∠A = x，则 ∠B = 2x，∠C = x。 x + 2x + x = 180° → 4x = 180° → x = 45°。 答：∠A = 45° 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $