重难点专题01 分式与分式方程（11大考点，专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 以分式概念为基础，通过十大重难点模块构建“概念辨析-方程应用-实际建模”逻辑体系，提炼“条件分析-分类讨论-模型转化”解题方法，培养运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式取值问题|5题|分子为0且分母不为0；符号转化不等式组|从分式值为0延伸到正负值，强化条件约束意识| |分式有无意义|5题|分母为0无意义；二次式判别式证恒有意义|深化分母不为0核心，衔接二次方程根的判别| |分式方程增根与无解|5题|增根代入整式方程；无解分整式无解与增根两类|区分增根与无解概念，培养分类讨论推理意识| |分式化简求值|5题|整体代换；设k法；先约分再通分|融合代数变形技巧，提升运算能力与转化思维| |实际应用（工程/行程/经济）|15题|工作总量=效率×时间；路程=速度×时间；利润=售价-进价|建立分式方程模型，强化用数学语言表达现实问题的应用意识|

重难点专题01 分式与分式方程 重难点一、分式的取值问题 分式取值问题主要考查分式值为0的条件。解题关键是同时满足两个条件：分子为0且分母不为0。先令分子等于0求出字母的值，再将这些值代入分母检验，排除使分母为0的情况。注意分式无意义时只需求分母为0的解。对于分式值为正或负的问题，需转化为分子与分母同号或异号的不等式组求解，同时确保分母不为0。 1．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的性质，因式分解，等腰三角形的定义，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），对分子进行因式分解，结合三角形边长为正数的性质，推导三角形三边的关系，进而判断三角形类型． 【详解】解：∵分式， ∴分子，且分母，即， ， ∵三角形三边长均为正数， ∴， 又∵， ∴，即， ∵且， ∴该三角形有两条边相等，是等腰三角形， 故选：B． 2．已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 3．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 4．如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 5．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 重难点二、分式的有无意义的探究 分式有无意义取决于分母是否为零。分式有意义⇔分母≠0；分式无意义⇔分母=0。解题时先找出所有使分母为0的字母取值，这些值就是分式无意义的情况；其余取值则分式有意义。对于含参数的分式，若要求“无论取何值总有意义”，则需证明分母对应的方程无实数解（如二次三项式判别式小于0）。 6．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义则被开方数大于等于零、分式有意义则分母不等于零是解题的关键． 根据分母不为，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 函数 ， ∴ 对于 ，需 且，但分母不能为零，故 ，即 ; 对于，需，即 ; ∴ 自变量 的取值范围为 且 . 故选：D． 7．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 8．请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式值为零的条件，分子为分式的值为，分母为分式无意义． 根据条件①，分式在时无意义，故分母包含因式 ；根据条件②，分式在时值为 0，故分子包含因式 ，且分母在时不为零；根据条件③，分式在时值为 4，代入分式方程求解系数． 【详解】解：设分式为 ， 由条件③，当时，， 解得 ， 取 ，则 ，故分式为 ， 验证满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 9．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 10．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 重难点三、分式方程的增根与无解问题 增根是去分母后整式方程的解但使原分式分母为0；无解包含两种情况：①整式方程有解但为增根；②整式方程本身无解（如0x=非零常数）。解题步骤：先去分母化整式方程，整理成ax=b形式。有增根时，先确定增根（使最简公分母为0），代入整式方程求参数。无解时，需分类讨论：整式方程无解（a=0且b≠0）和有增根两种情况，综合得出参数值。 11．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 12．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程无解通常是由于解出的值使分母为零（增根）. 通过求解方程并排除使分母为零的值，可得的值. 【详解】解：， 去分母得：, 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 原分式方程无解， 是原分式方程的增根， 或， 解得：或． 故选：C． 13．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 14．若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 15．已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 因为分式方程有增根，得到，即， 将代入整式方程得，， 即， 解得，； （2）解：由（1）知 ：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，， 化系数为1，解得， 根据分式方程的解为正数，得到，且1， 解得：且． 重难点四、分式的最值问题 分式最值常用方法有配方法、倒数法、判别式法。对于形如的分式，可整理成关于x的二次方程，利用判别式法求值域。对于分子分母均为一次式的分式，可分离常数后结合自变量范围求最值。倒数法适用于分子次数低于分母的情况：先取倒数转化为整式最值问题。注意自变量取值范围对最值的影响，有时极值在端点取得。 16．已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 17．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 18．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 19．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 20．阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 重难点五、分式的化简求值问题 化简求值遵循“先化简后代值”原则。常用技巧：①整体代换，将已知条件整体代入化简后的分式；②设k法，遇到连比形式时设比例系数；③先约分再通分，避免复杂计算。注意隐含条件：代入的值必须使原分式及化简过程中的分母均不为0。对于条件求值，常需将已知等式变形（如取倒数、平方等）后整体代入。 21．先化简，再求值：，其中实数满足恒等式． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据满足恒等式求出a的值，把a的值代入化简结果进行计算即可． 【详解】解： ， a满足， ∴ 当时， 原式． 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．先化简，再求值：，其中实数能使关于的二次三项式是完全平方式． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵是完全平方式， ∴， ，， ， ， 当时，原式． 24．先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 25．先化简，再求值：，其中a是无理数的整数部分． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算除法，再计算减法，然后求得无理数的整数部分，把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵，a是无理数的整数部分， ∴， 当时，原式． 重难点六、使分式取整数值的问题  分式值为整数问题通常转化为整数的整除性分析。先将分式化简（分离常数），得到“整数+真分式”形式。令真分式的值为整数，即分母是分子的约数。由分母的取值范围（如x为整数或自然数）列出所有可能的约数情况，解方程求出x并检验是否使分母不为0。对于含参数问题，需讨论分母为0的情况和整除条件，有时需考虑正负约数。 26．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 27．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为 ． 【答案】或27 【分析】本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键． 化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 28．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 29．阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【分析】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 30．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 重难点七、分式加减的应用  分式加减的关键是通分找最简公分母。步骤：①各分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数与所有不同因式的最高次幂的积作公分母；③通分后分子相加减；④结果化为最简分式或整式。注意：分母互为相反数时可先提取负号化为同分母。异分母分式加减的法则与分数加减类似，核心是转化思想。 31．若点P到x轴、y轴的距离和为1，则称点P为“距一点”，例：点到x轴、y轴距离和为1，则点A是“距一点”，点，也是“距一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“距一点”，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由直线过点得到，从而直线为．设图象l上“距一点”为，则．分情况讨论：①当，时，，因此，得到，，根据，列出不等式组，求解即可；同理求出②，；③，；④，时k的取值，综合即可解答． 【详解】解：∵直线过点， ∴，即， ∴直线为． 设图象l上“距一点”为，则． 分情况讨论： ①当，时，，即， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得． ②当，时，，即， ∴， 整理得， 当时，， 此时，与矛盾，舍去； 当，即时，直线l为， 则直线l存在“距一点”，如，等，符合题意． ③当，时，，即， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． ④当，时，，即， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 综上所述，k的取值范围为． 故答案为：． 32．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 33．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】(1)， (2)“丰收2号”小麦的单位面积产量高，见解析 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为    故答案为：，； （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高 ，     ，     由图丙可得     .     所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 34．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 35．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 【答案】(1)， (2)有道理，理由见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，涉及分数的加减法，乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据是大于5的正整数，可以判断嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小，从而得出答案； （2）利用作差法，计算，可得结果为，然后分析分母的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：是大于5的正整数， 嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小， 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是，淇淇组成的分式中值最大的分式是； 故答案为：，； （2）解：淇淇说的有道理，理由如下： 是大于5的正整数， ， ， ， 所以淇淇说的有道理． 36．实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 【答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见解析 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． 数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可． 【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，； 实验结论：， ∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少， ∴方案二的漂洗效果最好． 故答案为：二； 推广证明：方案A结果： 方案B结果： 方案更好 重难点八、根据分式方程解的情况求值 已知分式方程解的正负性或范围求参数，遵循“解方程→列不等式→排除增根”流程。先解分式方程（用含参式子表示解），再根据解的正负列不等式，同时必须将可能使分母为0的增根值排除。注意：解为正（或负）时，不等式方向要准确；解为非负数时包含0的情况，但需验证0是否使分母为0。参数范围需用不等式表示，注意端点值的取舍。 37．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 38．已知关于的方程解为正数，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数．先将方程两边同乘，转化为整式方程，求出方程的解，再根据方程的解为正数和最简公分母不为0列出不等式，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴当时，且， ∴， 解得且． 故选：D． 39．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 【答案】或2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解条件，分式方程的解法及正整数解的限制，掌握不等式组无解的条件，分式方程去分母转化为整式方程的方法，解的限制条件是解题的关键． 先根据不等式组无解的条件确定的取值范围，再解分式方程并结合正整数解和分母不为零的条件，筛选出符合条件的整数． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ， 解得． 将分式方程去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得． ∵分式方程有正整数解，且， 为10的正整约数，即或2或5或10， 解得或或2或7． 当时，， 此时分母，故舍去． ∴的整数值为或2或7 ， ∴满足条件的整数的值是或2． 40．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，首先解不等式组中的两个不等式，利用最多有3个偶数解的条件确定a的取值范围；然后解分式方程，得到分式方程的解，并利用非负整数解的条件确定a的取值；最后综合两个条件得到满足条件的整数a并求和． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时乘以6得， 解得， 解不等式得， ∵关于的不等式组有解且最多有3个偶数解， ∴ ∴， 解分式方程： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴，且a是偶数， ∴，且a是偶数， 又∵原分式方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的整数a的值可以为0和2， ∴所有满足条件的整数的和是， 故答案为：2． 41．是否存在整数，使关于的分式方程的解大于且小于2？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 【答案】存在，的值为或或或 【分析】本题考查了分式方程的解法、解的范围与分母不为零的条件，以及整数解的确定，掌握解分式方程时要检验分母不为零，结合解的范围列不等式求参数范围是解题的关键． 先去分母解分式方程得到的表达式，再根据解的范围和分母不为零的条件列出不等式，求出的取值范围，最后确定整数的值． 【详解】解：存在． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解大于且小于， ，且，，， ，且，，， 为整数， 的值为或或或． 42．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【分析】本题考查了分式方程的增根，根的正负性与整数解的确定，掌握分式方程增根的处理方法，根的正负性与整数解的条件，结合整式方程求解参数是解题的关键． （1）分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根，代入去分母后的整式方程求的值； （2）将根代入去分母后的整式方程，直接求解的值； （3）先求出整式方程的解，根据根为正数且不为增根，列出不等式求的取值范围； （4）由整式方程的解为正整数，结合为整数，确定为4的正约数，再排除增根对应的值． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 重难点九、用分式方程解决工程问题 工程问题核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。基本等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量；或各自时间关系（如甲比乙多用几天）。设未知数时通常设工作效率或单独完成时间。列方程时注意工作时间是效率的倒数。解完后双重检验：检验是否为原方程的解，同时检验是否符合实际（如时间、效率为正）。 43．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动实践基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘60千克的蔬菜，乙组每分钟采摘30千克的蔬菜 (2)的值为7或13 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，列方程求解即可； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘60千克的蔬菜，乙组每分钟采摘30千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的劳动实践基地面积是原来的倍（为正整数）， 根据题意可得：， 解得， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为7或13． 44．根据背景素材，探索解决问题：     如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河(如图)，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170 天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3 450万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.5 万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度是100米，乙工程队每天改造河道的长度是125米；任务2：最多可安排乙工程队工作100天 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用．任务1：设甲工程队每天能改造x米，根据题意可得出乙工程队每天能改造米，通过“甲改造所需天数−乙改造所需天数=170”列出方程并求解即可； 任务2：设安排乙工程队工作a天，通过素材3的信息即可列出一元一次不等式进行求解即可得出a的值． 【详解】解：任务1：设甲工程队每天能改造x米，则乙工程队每天能改造米， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为，且符合题意， ∴， 即甲工程队每天改造河道的长度是100米，乙工程队每天改造河道的长度是125米； 任务2：设安排乙工程队工作a天， 根据题意，得， 解得， ∴a的最大值为100， 即最多可安排乙工程队工作100天． 45．综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门每天能生产120个，乙部门每天能生产60个；任务2：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据题意得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门每天能生成个壮锦手提包， 则甲部门每天能生成个壮锦手提包． 由题意得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意． 甲部门每天生成数量：（个）． 答：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个． 任务2：设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）． 根据题意， 解得， 则总支出费用． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值， 最小值为（元）， 乙部门工作天数：（天）， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元． 46．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 47．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进、两种型号的清洁机器人，每台型机比每台型机平均每小时少清扫平方米，一台型机清扫平方米所用时间是一台型机清扫平方米所用时间的倍． (1)每台型机和每台型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进台机器人，型机器人元/台，型机器人元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫平方米楼道，那么该公司如何购买型和型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本； (3)更新、两种型号的机器人程序后，每台型机比每台型机平均每小时多清扫平方米，用一台型机清扫平方米的时间，一台型机可比一台型机多清扫平方米，则一台型机平均每小时清扫____________平方米，一台型机平均每小时清扫___________平方米（用含、的式子表示）． 【答案】(1)每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米 (2)购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元 (3)， 【分析】（）设每台型机平均每小时清扫平方米，则每台型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出方程解答即可求解； （）设购进台型机，则购进台型机，根据题意列出不等式求出的取值范围，设总成本为元，求出与的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； （）设更新后型机平均每小时清扫平方米，则型机平均每小时清扫，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每台型机平均每小时清扫平方米，则每台型机平均每小时清扫平方米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米； （2）解：设购进台型机，则购进台型机， 由题意得，， 解得， 设总成本为元，则， ∵，， ∴当时，总成本最低，最低成本为，此时， 答：购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元； （3）解：设更新后型机平均每小时清扫平方米，则型机平均每小时清扫， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴一台型机平均每小时清扫平方米， ∴一台型机平均每小时清扫平方米， 故答案为：，． 重难点十、用分式方程解决行程问题 行程问题核心公式：路程=速度×时间。常见类型：相遇问题、追及问题、水流问题。等量关系常围绕时间相等（同时出发同时到达）或速度关系（如提速后比原来少用时间）。设未知数通常设速度或时间。注意单位统一，以及水流问题中顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。解方程后要检验解的合理性，如速度、时间为正，且分母不为0。 48．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.数字中国创新大赛——中小学生赛道的决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛．“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在比赛时，从起点同时出发，“天元号”比“朝阳号”每秒多行米． (1)若“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，求“朝阳号”的行驶速度； (2)若将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗?通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)米秒 (2)不能同时到达，见解析 (3)调整后“朝阳号”的平均速度为4米秒，“天元号”速度为米/秒时，可使两车能同时到达终点 【分析】（1）设“朝阳号”的平均速度为米秒，则“天元号”的平均速度为米秒，列分式方程解答即可； （2）计算各自用时间，比较大小解答即可； （3）设调整后“朝阳号”的平均速度为米秒，则“天元号”的速度为米/秒，列分式方程解答即可． 本题考查了分式方程的应用． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米秒，则“天元号”的平均速度为米秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“朝阳号”的平均速度为米秒，则“天元号”的速度为米/秒． ， 解得：． ∴． 答：调整后“朝阳号”的平均速度为4米秒，“天元号”速度为米/秒时，可使两车能同时到达终点． 49．某科技小组制作了“性能”完全相同的、两个机器人，请阅读下列“性能”及“测试”信息，并完成“任务”中的相应任务． 性能信息 1．、两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式，且这两个机器人在同一跑步模式下的速度完全相同； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的2倍． 测试信息 实验1：测机器人各模式速度．机器人标准模式下跑完300米测试路程所花时间与基础模式下跑完200米测试路程所花时间均相等． 实验2：测、两个机器人分别10分钟所跑路程． 信息一：、同地出发，同向而行； 信息二：早于先出发1分钟，在标准模式下完成全程10分钟的跑步； 信息三：先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用分钟紧急调试后切换为基础模式又继续跑了170米，完成全程10分钟（包括故障时间）的跑步． 任务 任务一：（1）求机器人基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人故障时长的值； 任务三：（3）请直接写出在实验2的整个过程中A出发第几分钟时，、两个机器人之间的距离等于25米． 【答案】（1）机器人基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；（2）实验2中机器人B故障时长的值为；（3）第分钟，分钟，分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解． （1）设基础模式的速度为米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟，利用时间路程速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即基础模式的速度），再将其代入中，即可求出标准模式的速度； （2）根据机器人B共用时10分钟，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）设的运动时间为分钟，分、及、四种情况考虑，根据、两个机器人之间的距离等于米，可列出关于的一元一次方程，解方程取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设基础模式的速度为米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）， 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； （2）根据题意得：， 解得，， 答：实验2中机器人故障时长的值为； （3）设的运动时间为分钟， 当时，，解得； 当时，， 解得，，（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，， 解得，（舍去），， 答：在实验2的整个过程中A出发第分钟，分钟，分钟时，、两个机器人之间的距离等于25米． 50．【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 51．根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 【分析】本题考查分式方程与实际问题．包含两个任务，任务1通过设定甲工程队每天改造长度为未知数，利用乙与甲的效率关系及单独完成天数的差值建立方程，求解两队每天改造长度；任务2依据总费用限制，结合两队工作效率表示出各自工作天数，建立不等式求解乙工程队最多工作天数． 【详解】解：（1）设甲工程队每天改造河道的长度为米，则乙工程队每天改造的长度为米．甲工程队单独完成改造所需天数为天，乙工程队单独完成改造所需天数为天． 根据“甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多天”，可列方程： 解得． 检验：是分式方程的解，且符合实际问题． 则乙工程队每天改造长度为米． 甲单独完成天数：天；乙单独完成天数：天；天数差天，符合题意． （2）设乙工程队工作天，则乙工程队改造的河道长度为米，剩余由甲工程队改造的长度为米． 甲工程队每天改造米，所以甲工程队工作天数为天． 甲工程队每天费用万元，乙工程队每天费用万元，总费用不超过万元，因此： 化简不等式： 合并同类项： 移项得： 解得：． 故最大为天． 答：任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 52．小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为．经测量，每间教室的长度为，前后门的宽度为． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为，第二次学生间隔为，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 【答案】(1)； (2)①从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待，理由见解析；② (3)当时，时间；当时，时间． 【分析】本题主要考查了行程问题中的时间、路程、速度的关系，分式方程的应用，列代数式，以及分情况讨论的数学思想．熟练掌握行程问题的基本公式时间路程速度时间路程速度，并能根据实际情况分情况讨论是解题的关键． （1）确定第一个学生从教室前门到安全出口所经过的路程，根据速度公式时间路程速度时间路程速度来计算时间． （2）①要判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，需分别计算从后门撤离的第一个学生到达前门的时间和从前门撤离的学生全部撤出教室的时间，然后比较这两个时间的大小．②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，根据两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同这一条件，列出方程求解． （3）化学实验室内有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，需要分情况讨论，根据不同的情况计算全部学生撤离到安全出口所用的时间． 【详解】（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 53．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 【答案】(1)①90；②105 (2)①50；②；图像见解析 【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； （2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=90， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度； ②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=105， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度； （2）解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， 解得x=50， 经检验：x=50是分式方程的根， 即：a=50； ②当时，点P(50，150)在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y=3x， 当时，即当，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ∴， 即函数解析式为， 函数图像如图： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 重难点十一、用分式方程解决经济问题  经济问题核心公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，总价=单价×数量。常见题型有打折销售、盈利亏损、商品促销等。解题步骤：①设未知数，通常设进价、售价或销售量；②用代数式表示其他量，如提价后价格、降价后销量；③根据等量关系列方程，常用“总利润相等”或“单价差”建立等式；④解方程并双重检验：检验是否为增根，同时检验是否符合经济常识（如价格、利润为正）。 54．为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中，中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)这批樱桃中，中果和大果的进价分别是每千克多少元？ (2)大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①请你根据以上信息将下表补充完整；（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用含的代数式表示） 销售情况时间     中果 大果 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 第一周 一周后 ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求a的最小值． 【答案】(1)中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克 (2)①见解析；②的最小值是4 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克，根据花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍，列出分式方程，求解即可； （2）①根据题意列表即可；②以总利润不少于2880元为不等关系，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克； （2）（2）①     销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 第一周 15 400 150 一周后 10 60 80 ②根据题意，得， 解不等式，得， ∴的最小值是4． 55．为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)这批樱桃中果和大果的进价分别是每千克多少元？ (2)大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①小亮根据以上信息绘制了下边的表格，请你帮助小亮将表格补充完整（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用表示）； ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求的最小值． 【答案】(1)中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克 (2)①见解析②的最小值是4 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克，根据花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍，列出分式方程，求解即可； （2）①根据题意列表即可；②以总利润不少于2880元为不等关系，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克； （2）（2）①         销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 第一周 15 400 150 一周后 10 60 80 ②根据题意，得， 解不等式，得， ∴的最小值是4． 56．某特产店推出了腊肠礼盒，腊肠是逢年过节必备的食物，所含的营养物质还有助于人体吸收有效的营养．该特产店各花1250元，1750元采购了川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒，采购川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的盒数相同，且每盒广式腊肠礼盒的进价比川式腊肠贵10元，最后以40元、60元每盒的售价分别售卖川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒． (1)求每盒川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的进价． (2)在第一次销售完成后，腊制品厂改良了两种腊肠的配方，市场反响大，订单增加，特产店在川式腊肠礼盒第一次的基础上多购进了30盒，进价不变，售价提升了元，在广式腊肠礼盒第一次的基础上多购进了盒，并提高了售价的，这两次销售的过程中所有腊肠礼盒全部售出，若第二次比第一次多盈利1305元，求的值． 【答案】(1) 每盒川式腊肠礼盒的进价为25元，每盒广式腊肠礼盒的进价为35元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每盒川式腊肠礼盒的进价是元，则每盒广式腊肠礼盒的进价是元，根据数量总价单价，结合花1250元，1750元采购了川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒，采购川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的盒数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）两次销售的过程中,第二次比第一次多盈利1305元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每盒川式腊肠礼盒的进价是元，则每盒广式腊肠礼盒的进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：每盒川式腊肠礼盒的进价是25元，每盒广式腊肠礼盒的进价是35元； （2）解：第一次采购川式腊肠礼盒（盒），第一次采购广式腊肠礼盒（盒） 由题意得， 解得：（舍去）． 答：的值为5． 57．西西文创店购进艺术贴纸和文创胶带两种产品．已知艺术贴纸的单张进价比文创胶带的单卷进价高元，该店用元购进的艺术贴纸与用元购进的文创胶带数量相同． (1)求艺术贴纸和文创胶带的进价； (2)西西文创店根据进价制定了销售策略：艺术贴纸按高于进价的定价；文创胶带的定价是进价的倍，但若一次性购买文创胶带超过卷，则超过部分每卷降价元．星金学习小组计划向该店购买艺术贴纸和文创胶带共件用于小组成员福利，要求艺术贴纸的数量不少于文创胶带数量的倍，且不超过文创胶带数量的倍，同时两种文创产品均需要购买．假设该店同意按上述策略销售给星金学习小组，请问星金学习小组应如何购买，才能使总花费最低？最低总花费是多少？ 【答案】(1)艺术贴纸的进价为元，文创胶带的进价为元 (2)购买艺术贴纸张和文创胶带卷时，总花费最低，最低总花费为元 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，准确理解题意得出方程和函数表达式是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程，求解即可； （2）设文创胶带的件数为件，先得出的取值范围，然后得出总花费与的关系，根据函数表达式，判断总花费最低的情况． 【详解】（1）解：设文创胶带的进价为元，则艺术贴纸的进价为元， 得出方程， 解得，则， 故艺术贴纸的进价为元，文创胶带的进价为元． （2）解：设文创胶带的件数为件，则艺术贴纸的件数为件， ∵艺术贴纸的数量不少于文创胶带数量的倍，且不超过文创胶带数量的倍， ∴， 由为整数， 解得， 当时，总花费为， 当最小，即时，花费最少为元； 当时，总花费为， 当最大，即时，花费最少为元； ∵， 故当时，， 购买艺术贴纸张和文创胶带卷时，总花费最低，最低总花费为元． 58．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多4元，用400元购进甲种商品和用240元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=4      (1)解法一所列方程中的x表示________，解法二所列方程中的x表示________．（填序号） A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元     C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过288元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)A；C (2)①甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件；②甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件 (3)12件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）根据两种解法列出的方程，解方程，即可求解； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：A；C； （2）解：， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意； ， 答：甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件． ②， ， ， 解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件， 答：甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件． （3）解：设甲商品购进a件，则乙商品购进件，由题意可得：， ∴， 答：至多购进甲种商品件． 59．项目式学习 “果缤纷”水果店以“当日草莓当日清，绝不留隔夜”为特色，深受顾客喜爱．店内销售两种草莓∶一种是“普通”草莓，另一种是“有机”草莓．请根据以下素材，完成相应任务． 草莓销售方案 素材1 “有机”草莓进价是“普通”草莓进价的1.6倍．每天全场清货时间：当天商品售完即止全场九折全场八折全场七折全场六折全场五折 素材2 同样用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多． 素材3 “果缤纷”平均每天可销售“有机”草莓40千克．其中白天（——）可销售25千克，剩余15千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如图所示： 素材4 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售3千克． 问题解决 任务1 两种草莓每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售“有机”草莓利润不低于106元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售“有机”草莓都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：“普通”草莓元/千克，“有机”草莓元/千克；任务2：其标价（白天的售价）最低价是元/千克；任务3：每天进货千克时利润最大． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． 任务1：设“普通”草莓元/千克，则“有机”草莓元/千克，根据“用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多”列分式方程求解即可； 任务2：设其标价是元，求出总利润，进而根据“利润不低于106元”列不等式求解即可； 任务3：用总销量减去亏损时段销量即可． 【详解】任务1：解：设“普通”草莓元/千克，则“有机”草莓元/千克， ∵用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 即“普通”草莓元/千克，“有机”草莓元/千克； 任务2：解：设其标价是元， 则白天利润为：元， 晚上利润为： 元， 总利润为：元， ∵利润不低于106元， ∴， 解得：， 即其标价（白天的售价）最低价是元/千克； 任务3：解：∵销售价是元/千克，进价是8元/千克，，， ∴当打六折和五折时亏损销售， 即每天进货千克时利润最大． 试卷第2页，共68页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 分式与分式方程 重难点一、分式的取值问题 分式取值问题主要考查分式值为0的条件。解题关键是同时满足两个条件：分子为0且分母不为0。先令分子等于0求出字母的值，再将这些值代入分母检验，排除使分母为0的情况。注意分式无意义时只需求分母为0的解。对于分式值为正或负的问题，需转化为分子与分母同号或异号的不等式组求解，同时确保分母不为0。 1．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 2．已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 3．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的值 1 分式的值 不存在 0 4．如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 5．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 重难点二、分式的有无意义的探究 分式有无意义取决于分母是否为零。分式有意义⇔分母≠0；分式无意义⇔分母=0。解题时先找出所有使分母为0的字母取值，这些值就是分式无意义的情况；其余取值则分式有意义。对于含参数的分式，若要求“无论取何值总有意义”，则需证明分母对应的方程无实数解（如二次三项式判别式小于0）。 6．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 8．请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是 ． 9．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则 ． 10．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 重难点三、分式方程的增根与无解问题 增根是去分母后整式方程的解但使原分式分母为0；无解包含两种情况：①整式方程有解但为增根；②整式方程本身无解（如0x=非零常数）。解题步骤：先去分母化整式方程，整理成ax=b形式。有增根时，先确定增根（使最简公分母为0），代入整式方程求参数。无解时，需分类讨论：整式方程无解（a=0且b≠0）和有增根两种情况，综合得出参数值。 11．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 12．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 14．若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为 ． 15．已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 重难点四、分式的最值问题 分式最值常用方法有配方法、倒数法、判别式法。对于形如的分式，可整理成关于x的二次方程，利用判别式法求值域。对于分子分母均为一次式的分式，可分离常数后结合自变量范围求最值。倒数法适用于分子次数低于分母的情况：先取倒数转化为整式最值问题。注意自变量取值范围对最值的影响，有时极值在端点取得。 16．已知，则的最小值是 ． 17．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 18．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 19．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 20．阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 重难点五、分式的化简求值问题 化简求值遵循“先化简后代值”原则。常用技巧：①整体代换，将已知条件整体代入化简后的分式；②设k法，遇到连比形式时设比例系数；③先约分再通分，避免复杂计算。注意隐含条件：代入的值必须使原分式及化简过程中的分母均不为0。对于条件求值，常需将已知等式变形（如取倒数、平方等）后整体代入。 21．先化简，再求值：，其中实数满足恒等式． 22．先化简，再求值：，其中，． 23．先化简，再求值：，其中实数能使关于的二次三项式是完全平方式． 24．先化简，再从中取一个数代入求值． 25．先化简，再求值：，其中a是无理数的整数部分． 重难点六、使分式取整数值的问题  分式值为整数问题通常转化为整数的整除性分析。先将分式化简（分离常数），得到“整数+真分式”形式。令真分式的值为整数，即分母是分子的约数。由分母的取值范围（如x为整数或自然数）列出所有可能的约数情况，解方程求出x并检验是否使分母不为0。对于含参数问题，需讨论分母为0的情况和整除条件，有时需考虑正负约数。 26．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 27．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为 ． 28．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 29．阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 30．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 重难点七、分式加减的应用  分式加减的关键是通分找最简公分母。步骤：①各分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数与所有不同因式的最高次幂的积作公分母；③通分后分子相加减；④结果化为最简分式或整式。注意：分母互为相反数时可先提取负号化为同分母。异分母分式加减的法则与分数加减类似，核心是转化思想。 31．若点P到x轴、y轴的距离和为1，则称点P为“距一点”，例：点到x轴、y轴距离和为1，则点A是“距一点”，点，也是“距一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“距一点”，则k的取值范围为 ． 32．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 33．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 34．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 35．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 36．实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 重难点八、根据分式方程解的情况求值 已知分式方程解的正负性或范围求参数，遵循“解方程→列不等式→排除增根”流程。先解分式方程（用含参式子表示解），再根据解的正负列不等式，同时必须将可能使分母为0的增根值排除。注意：解为正（或负）时，不等式方向要准确；解为非负数时包含0的情况，但需验证0是否使分母为0。参数范围需用不等式表示，注意端点值的取舍。 37．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 38．已知关于的方程解为正数，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 39．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 40．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 41．是否存在整数，使关于的分式方程的解大于且小于2？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 42．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 重难点九、用分式方程解决工程问题 工程问题核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。基本等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量；或各自时间关系（如甲比乙多用几天）。设未知数时通常设工作效率或单独完成时间。列方程时注意工作时间是效率的倒数。解完后双重检验：检验是否为原方程的解，同时检验是否符合实际（如时间、效率为正）。 43．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动实践基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 44．根据背景素材，探索解决问题：     如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河(如图)，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170 天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3 450万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.5 万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 45．综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 46．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 47．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进、两种型号的清洁机器人，每台型机比每台型机平均每小时少清扫平方米，一台型机清扫平方米所用时间是一台型机清扫平方米所用时间的倍． (1)每台型机和每台型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进台机器人，型机器人元/台，型机器人元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫平方米楼道，那么该公司如何购买型和型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本； (3)更新、两种型号的机器人程序后，每台型机比每台型机平均每小时多清扫平方米，用一台型机清扫平方米的时间，一台型机可比一台型机多清扫平方米，则一台型机平均每小时清扫____________平方米，一台型机平均每小时清扫___________平方米（用含、的式子表示）． 重难点十、用分式方程解决行程问题 行程问题核心公式：路程=速度×时间。常见类型：相遇问题、追及问题、水流问题。等量关系常围绕时间相等（同时出发同时到达）或速度关系（如提速后比原来少用时间）。设未知数通常设速度或时间。注意单位统一，以及水流问题中顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。解方程后要检验解的合理性，如速度、时间为正，且分母不为0。 48．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.数字中国创新大赛——中小学生赛道的决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛．“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在比赛时，从起点同时出发，“天元号”比“朝阳号”每秒多行米． (1)若“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，求“朝阳号”的行驶速度； (2)若将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗?通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 49．某科技小组制作了“性能”完全相同的、两个机器人，请阅读下列“性能”及“测试”信息，并完成“任务”中的相应任务． 性能信息 1．、两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式，且这两个机器人在同一跑步模式下的速度完全相同； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的2倍． 测试信息 实验1：测机器人各模式速度．机器人标准模式下跑完300米测试路程所花时间与基础模式下跑完200米测试路程所花时间均相等． 实验2：测、两个机器人分别10分钟所跑路程． 信息一：、同地出发，同向而行； 信息二：早于先出发1分钟，在标准模式下完成全程10分钟的跑步； 信息三：先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用分钟紧急调试后切换为基础模式又继续跑了170米，完成全程10分钟（包括故障时间）的跑步． 任务 任务一：（1）求机器人基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人故障时长的值； 任务三：（3）请直接写出在实验2的整个过程中A出发第几分钟时，、两个机器人之间的距离等于25米． 50．【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 51．根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 52．小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为．经测量，每间教室的长度为，前后门的宽度为． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为，第二次学生间隔为，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 53．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 重难点十一、用分式方程解决经济问题  经济问题核心公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，总价=单价×数量。常见题型有打折销售、盈利亏损、商品促销等。解题步骤：①设未知数，通常设进价、售价或销售量；②用代数式表示其他量，如提价后价格、降价后销量；③根据等量关系列方程，常用“总利润相等”或“单价差”建立等式；④解方程并双重检验：检验是否为增根，同时检验是否符合经济常识（如价格、利润为正）。 54．为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中，中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)这批樱桃中，中果和大果的进价分别是每千克多少元？ (2)大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①请你根据以上信息将下表补充完整；（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用含的代数式表示） 销售情况时间     中果 大果 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 第一周 一周后 ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求a的最小值．     销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 第一周 15 400 150 一周后 10 60 80 55．为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)这批樱桃中果和大果的进价分别是每千克多少元？ (2)大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①小亮根据以上信息绘制了下边的表格，请你帮助小亮将表格补充完整（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用表示）； ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求的最小值．         销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 第一周 15 400 150 一周后 10 60 80 56．某特产店推出了腊肠礼盒，腊肠是逢年过节必备的食物，所含的营养物质还有助于人体吸收有效的营养．该特产店各花1250元，1750元采购了川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒，采购川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的盒数相同，且每盒广式腊肠礼盒的进价比川式腊肠贵10元，最后以40元、60元每盒的售价分别售卖川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒． (1)求每盒川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的进价． (2)在第一次销售完成后，腊制品厂改良了两种腊肠的配方，市场反响大，订单增加，特产店在川式腊肠礼盒第一次的基础上多购进了30盒，进价不变，售价提升了元，在广式腊肠礼盒第一次的基础上多购进了盒，并提高了售价的，这两次销售的过程中所有腊肠礼盒全部售出，若第二次比第一次多盈利1305元，求的值． 57．西西文创店购进艺术贴纸和文创胶带两种产品．已知艺术贴纸的单张进价比文创胶带的单卷进价高元，该店用元购进的艺术贴纸与用元购进的文创胶带数量相同． (1)求艺术贴纸和文创胶带的进价； (2)西西文创店根据进价制定了销售策略：艺术贴纸按高于进价的定价；文创胶带的定价是进价的倍，但若一次性购买文创胶带超过卷，则超过部分每卷降价元．星金学习小组计划向该店购买艺术贴纸和文创胶带共件用于小组成员福利，要求艺术贴纸的数量不少于文创胶带数量的倍，且不超过文创胶带数量的倍，同时两种文创产品均需要购买．假设该店同意按上述策略销售给星金学习小组，请问星金学习小组应如何购买，才能使总花费最低？最低总花费是多少？ 58．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多4元，用400元购进甲种商品和用240元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=4      (1)解法一所列方程中的x表示________，解法二所列方程中的x表示________．（填序号） A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元     C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过288元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 59．项目式学习 “果缤纷”水果店以“当日草莓当日清，绝不留隔夜”为特色，深受顾客喜爱．店内销售两种草莓∶一种是“普通”草莓，另一种是“有机”草莓．请根据以下素材，完成相应任务． 草莓销售方案 素材1 “有机”草莓进价是“普通”草莓进价的1.6倍．每天全场清货时间：当天商品售完即止全场九折全场八折全场七折全场六折全场五折 素材2 同样用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多． 素材3 “果缤纷”平均每天可销售“有机”草莓40千克．其中白天（——）可销售25千克，剩余15千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如图所示： 素材4 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售3千克． 问题解决 任务1 两种草莓每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售“有机”草莓利润不低于106元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售“有机”草莓都是），则每天进货多少时利润最大？ 试卷第2页，共68页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $