微专题02 综合运用公式法分解因式（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦公式法分解因式的综合运用，构建“基础-综合-应用”三阶方法体系，通过四题型分层训练提升抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连续（交替）用公式|6题|一慢一快逐层剥茧（定结构-套公式-再观察）|平方差与完全平方公式的递进应用| |提公因与公式综合|6题|先提再套化繁为简（找公因-提因式-套公式）|公因式提取与公式法的协同使用| |化简求值（代数推理）|6题|降维打击整体代入（配方/分解-整体转化-代入验证）|分解结果的非负性及整体代换应用| |几何与整除证明|6题|向“乘积”形式靠拢（设代数式-强行分解-提取常数）|代数方法解决几何与数论问题的模型构建|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02综合运用公式法分解因式 题型01连续（或交替）运用公式法分解因式 题型02“提公因法"与“公式法的综合使用 综合运用公式法分解因式 题型03运用公式法进行化简求值（代数推理） 题型04因式分解在几何图形与整除证明中的应用 00 德点量破 题型01连续（或文替)运用公式法分解因式 嫦方法 此类题型是最基础的综合运用，主要考察学生对平方差公式口-=(a+b)(a-b)和完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)'的熟练度。题目通常需要连续使用上述公式，或者在一步分解后，观察剩余项是否 能再次套用另一个公式。 解题方法：【一慢一快，逐层剥茧】 慢在观察（定结构）：第一步先仔细观察多项式的项数、符号和次数。如果是两项且符号相反，优先考 虑平方差公式；如果是三项且其中有两项能写成平方数的形式，优先考虑完全平方公式。 快在动笔（套公式）：一旦确定结构，迅速写出对应的公式形式。 彻底分解（再观察）：每分解完一步，必须停下来重新观察括号内的多项式是否还能继续分解。牢记口 诀：“分解彻底是关键，直到不能分为止”。 1.(25-26八年级上广西来宾月考)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方 式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数 式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用。 例1：因式分解：a2+6a+8」 解：原武=a+6a+9-1=a+3-1=(a+3-a+3+)=a+2a+) 1/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解：a-2ab+2b2-26+2=d2-2ab+2+B2-2b+1+1=(a-b}+(6-1+1 .(a-b)°≥0(6-1}≥0 ∴.当a=b=1时，M有最小值1 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-10a+24= (2)若M=a2-6a+19,求M的最小值： (3)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-8c+20=0,求a+b+c的值. 2.(25-26八年级上·全国月考)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式， 再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求 值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用. 例1用配方法因式分解：a2+6a+8. 原式a+6a+9-1=(a+3-1(a+3-1(a+3+1)=(a+2)a+4 例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值： a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)+(b-1)+1 (a-b≥0(b-1≥0 ∴，当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35: (2)若M=a2-3a+2024,求M的最小值： (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长. 2/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3,(2425八年级下福建三明期中)先分解因武，再求值：（：+少-4y,其中x=3,y=1 4.(25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式， 再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求 值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a+6a+8 解：原式a+6a+9-1=(a+3)-1=(a+3-1a+3+1)=(a+2a+4) 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2利用配方法求M的最小值. 解：-2ab+22-2b+2=d2-2ab+B2+B2-2b+1+1=(a-b}+6-l+1 ×(a-b)2≥0，(b-1)2≥0 当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：x2-16x+60: (2)求代数式-x+14x+10的最小（或最大)值，并写出相应的x的值： 5.(2023八年级下全国专题练习》先分解因式，再求值(m+m-4mn,其中m+n=4,m-n=7. 6.(25-26八年级上·山东临沂·月考)把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是 非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问 题等都有着广泛的应用.例1用配方法因式分解：a+6a+8, 原式0+6a+9-1=a+3-1=a+3-Xa+3+)=a+2Xa+4 例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值； a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :(a-b≥0,6-≥0当a=b=l时，M有最小值1. 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35: (2)若M=a2-4a+2026,求M的最小值： (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长. 题型02“提公因法”与“公式法”的综合使用 啸方法 这是各类考试中出现的频率极高的“黄金搭档”考法。命题人通常会在一个多项式中设置一个公共 的因式（数字或字母），如果不先提取公因式直接套公式，会导致计算量剧增甚至出错。 解题方法：【先提再套，化繁为简】 找公因子（排雷）：拿到题目第一反应是找各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。这一步相当 于为后续计算“减负”。 提出公因式：将公因式提到括号外面，注意括号内各项的符号变化。 套用公式：对提取公因式后剩下的多项式，判断其是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，符合则 直接代入。 回代整理：将结果整理书写，确保最简。 1.(23-24八年级下广东清远期中)先因式分解，再求值：ab+2ab2+ab°，其中a=l,b=2. 2.(25-26八年级下全国课后作业)先分解因式，再求值：4mn-12mn2+9mn,其中m=2,n=1. 3。(25-26八年级上江西赣州期末)先因式分解，再求值，P9+2p9+p四，其 ,其中 p+9=1,pg=-2 4.(2026八年级下·全国专题练习)先因式分解，再计算求值： 1 ([(+2)(y-2）-2(y-2]÷9w,其中x=10,y=- 25· 份-2y+w,其中-y1,=2 4/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上山西晋城月考)(1)分解因式：36a2-462. (2)分解因式：3mn+12mn3-12m2n2 (3)先分解因式，再求值：22-)(x-2少，其中x=-3 6.(2425八年级下陕西西安月考)先因式分解，再求值：已知a+b=2,b=2,求 b++的的值。 题型03运用公式法进行化简求值（代数推理) 嫦方法 此类题型不再单纯考查“分解”，而是考查“分解后的应用”。常见于解答题的第一、二问。通过 因式分解（特别是完全平方公式的变形），可以将复杂的多项式转化为几个非负数（平方）的和，或者 抵消掉某些变量，从而求出未知数值或进行大数计算。 解题方法：【降维打击，整体代入】 审清题意：明确题目要求的是“值”还是“关系”。 创造条件（配方分解）： (1)若求数值：观察已知等式，通过移项将等式一边化为0，另一边进行因式分解。如果存在4+B2=0的 形式，直接利用“非负性”得出A=0且B=0的方程组求解。 (2) 若求代数式值：观察所求式子，看是否能通过因式分解将其转化为含有已知条件的“整体”，然后直接 代入已知数值计算。 检验合理性：将求得的数值代入原多项式检验，确保符合题意（如分母不为零等）。 1.（25-26八年级上甘肃武威月考)（先分解因式，再求值：T+n-4m, 其中m三3 n=2. (2)先化简，再求值：[a-3b)2-(a+2b(a-2b÷(-2b),其中a=3 3’b=-2 2,(25-26八年级上天津蓟州月考)(1)先化简，再求值 2xx-3)-(+10x-4),其中=2： 5/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 xy=3,x+y=4 xy+2x2y2+xy3 (2)先因式分解，再求值：已知 求1 3.(25-26八年级上·全国月考)因式分解与化简求值 (1)因式分解：a2+2ab+b2-9. (②化简：(3x+13x-)-(2x-1 (3)先化简，再求值： [3x-)+(x+y3x-川+4y]*x,其中x=-2,=4 (x+2y)2+(x+y)x-y)-y2 4.(25-26八年级上河南周口月考)(1)先化简，再求值： 其中x三1 y=2 xy+2x2y2+xy x+y=5 xy=4 (2)先因式分解，再求值： .已知 5.（25-26八年级上河南开封期肿）1)先化简，再求值：(2-a2+)-2aa+3)43,其中a=- 3 2)先因武分解，再求值：二0+40-4h,已知0-26=2，b=2 6,(23-24八年级下河北廊坊月考)先化简，再求值：m+V1-2m+m 其中m=2024 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式=m+V1-m)}=m+1-m=1 当m=2024时，原式=1 小美：解：原式=m+V-m=m+1-m川， 当m=2024时，1-m<0 ∴.原式=m+m-1=2m-1=4047 ()的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：一： (2②)先化简，再求值：n+2V9-6m+ ,其中n=-2 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04因式分解在几何图形与整除证明中的应用 嫩方法 这是提升区分度的经典考法，主要出现在期末或中考的压轴填空选择题，以及解答题中。核心是利 用平方差公式a-b=(a+b)(a-b)来证明一个多项式的值能被某个数整除，或者证明几何图形中的等量 关系。 解题方法：【向“乘积”形式靠拢】 明确目标：证明“整除”或“倍数”问题，其本质就是证明该多项式含有指定的因数（即分解后有一个 固定的常数因子)。 统一变形：将题目中的条件（如相邻整数、奇偶性等）设为代数式。 强行分解：根据题目特征，优先使用平方差公式展开或提取公因式，将多项式化为几个整式乘积的形 式。 提取常数：在乘积形式中，找出代表固定因数的常数项，该常数即为能被整除的数。 1.(25-26七年级下·安徽合肥期中)有两个正方形A,B.现将B放在A的内部得到图甲，将A,B构造 新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形A和两个正方形 B得到图丙，则阴影部分的面积为() B A B B 图甲 图乙 图丙 A.43 B.44 C.45 D.46 2.(25-26七年级下·辽宁辽阳月考)如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张， 边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a,b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正 方形，则这个大正方形的边长为() 7/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a a 6 b A.2a+b B.4a+b C.a+2b D.a+3b 3.(25-26七年级下·山东青岛月考)计算：图1为某校七(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是 51 从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分， 分别表示七(1)(2)两个班级的基地面积.若m+n=5,m-n=1,则S-S,= ,则 B S2 图1 图2 4.(2026江苏南京模拟预测)按照要求解答： (I)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形，通过不同的方法计算 图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是 a b 6 图① (2)类似地，在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b(b<a)的小正方体（如图②），通过不同的方 法计算图中几何体的体积.由此可以得到的因式分解的等式是 一，并证明这个等式. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b a 图② (3)结合上述经验，将x-3x-2因式分解的结果是 5.(25-26七年级下·江苏期中)从边长为4的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩 余部分拼成一个长方形（如图2）· a b 图1 图2 ()上述操作可以得到一个公式：- (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①20252-2024×2026； ②102-92+82-72+62-52+42-32+22-12 6.(25.26七年级下江苏苏州月考)若×满足9-(x-4)4,求4-+（红-旷的值 解：设9-=a,x-4=b,则9-xx-4)=ab=4.a+b=(9-x)+(x-4)=5 ∴.(9-x)2+(x-4)2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17 请仿照上面的方法求解下面问题： 9/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R A D M G 0喏满足5-x-2)=2,求5-+(-2列的值 ②若满足6-(3-)=1，求代数武[6-+(3-刃的值 3)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD、DC上的点，且AE=3,CF=5,长方形 EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积. 10/10 微专题02 综合运用公式法分解因式 题型01 连续（或交替）运用公式法分解因式 此类题型是最基础的综合运用，主要考察学生对平方差公式和完全平方公式的熟练度。题目通常需要连续使用上述公式，或者在一步分解后，观察剩余项是否能再次套用另一个公式。 解题方法：【一慢一快，逐层剥茧】 1. 慢在观察（定结构）：第一步先仔细观察多项式的项数、符号和次数。如果是两项且符号相反，优先考虑平方差公式；如果是三项且其中有两项能写成平方数的形式，优先考虑完全平方公式。 2. 快在动笔（套公式）：一旦确定结构，迅速写出对应的公式形式。 3. 彻底分解（再观察）：每分解完一步，必须停下来重新观察括号内的多项式是否还能继续分解。牢记口诀：“分解彻底是关键，直到不能分为止”。 1．（25-26八年级上·广西来宾·月考）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)若，求的最小值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对、、用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定、、的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ∵， ∴当时，有最小值； （3）∵， ∴， 即， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及公式． 2．（25-26八年级上·全国·月考）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】；64 【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式，再代入数据进行计算即可. 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ， ，即， 时，有最大值． 5．（2023八年级下·全国·专题练习）先分解因式，再求值，其中，． 【答案】；784 【分析】利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 将，，代入原式， ∴因式分解的结果为，值为784． 【点睛】本题考查了利用公式法进行因式分解与代数式求值．解题的关键在于正确的分解因式． 6．（25-26八年级上·山东临沂·月考）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值； ； 当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求M的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)2022 (3)12 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为2022； （3）解：∵， ∴， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 题型02 “提公因法”与“公式法”的综合使用 这是各类考试中出现的频率极高的“黄金搭档”考法。命题人通常会在一个多项式中设置一个公共的因式（数字或字母），如果不先提取公因式直接套公式，会导致计算量剧增甚至出错。 解题方法：【先提再套，化繁为简】 1. 找公因子（排雷）：拿到题目第一反应是找各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。这一步相当于为后续计算“减负”。 2. 提出公因式：将公因式提到括号外面，注意括号内各项的符号变化。 3. 套用公式：对提取公因式后剩下的多项式，判断其是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，符合则直接代入。 4. 回代整理：将结果整理书写，确保最简。 1．（23-24八年级下·广东清远·期中）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式继续因式分解，最后把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】因式分解结果为，求值结果为 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值；先通过提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再代入已知条件计算出最终结果． 【详解】解： 当，时， 4．（2026八年级下·全国·专题练习）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解的方法和代数式求值，掌握先因式分解简化代数式，再代入数值或已知条件计算是解题的关键． （1）先对括号内的式子提取公因式进行化简，再进行除法运算，最后代入数值求值； （2）先提取公因式，再对剩余部分用完全平方公式因式分解，最后代入已知条件求值． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式 （2）解：原式 ． 当，时， 原式 ． 5．（25-26八年级上·山西晋城·月考）（1）分解因式：． （2）分解因式：． （3）先分解因式，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题考查了分解因式及其应用，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可； （3）利用提公因式法分解因式，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 当时，原式． 6．（24-25八年级下·陕西西安·月考）先因式分解，再求值：已知，，求的值． 【答案】； 【分析】此题考查了代数式的值和因式分解，熟练掌握因式分解和整体代入是解题的关键．把原式因式分解后，利用整体代入即可得到答案． 【详解】解： 当，时，原式 题型03 运用公式法进行化简求值（代数推理） 此类题型不再单纯考查“分解”，而是考查“分解后的应用”。常见于解答题的第一、二问。通过因式分解（特别是完全平方公式的变形），可以将复杂的多项式转化为几个非负数（平方）的和，或者抵消掉某些变量，从而求出未知数值或进行大数计算。 解题方法：【降维打击，整体代入】 1. 审清题意：明确题目要求的是“值”还是“关系”。 2. 创造条件（配方/分解）： (1) 若求数值：观察已知等式，通过移项将等式一边化为0，另一边进行因式分解。如果存在的形式，直接利用“非负性”得出A＝0且B＝0的方程组求解。 (2) 若求代数式值：观察所求式子，看是否能通过因式分解将其转化为含有已知条件的“整体”，然后直接代入已知数值计算。 3. 检验合理性：将求得的数值代入原多项式检验，确保符合题意（如分母不为零等）。 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）（1）先分解因式，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），25；（2），14 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法，以及整式的混合运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再代入求值即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，然后代入求值即可． 【详解】解：（1） 当，时，原式； （2） ， 当，时，原式． 2．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先因式分解，再求值：已知，求． 【答案】（1），2 （2），48 【分析】本题考查整式的化简与因式分解，第一小题通过展开与合并得到最简形式后代入数值；第二小题通过提取公因式并结合完全平方公式进行因式分解，再代入已知数值简化计算过程，体现了因式分解在代数求值中的应用优势． （1）先利用乘法分配律和多项式乘法展开原式，然后合并同类项进行化简，最后代入求值． （2）观察代数式结构，提取公因式后使用完全平方公式进行因式分解，结合已知条件，代入化简后的表达式求值． 【详解】解（1）原式 = ， 代入计算 原式； （2）原式 ， 已知， 原式． 3．（25-26八年级上·全国·月考）因式分解与化简求值 (1)因式分解：． (2)化简：． (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)； (2) (3)，14 【分析】本题考查了整式的运算与因式分解，解题的关键在于识别公式结构，遵循运算顺序，易错点在于公式记忆不清或应用错误，去括号时符号错误． （1）观察分组，将前三项运用完全平方公式，之后再用平方差公式； （2）从左到右按照平方差公式和完全平分差公式分别展开，再合并同类项； （3）先展开大括号里的所有项，再合并同类项，然后进行除法，最后代值． 【详解】（1） ． 故原式． （2） ． 故原式． （3） ， 代入 ， 原式 故原式． 4．（25-26八年级上·河南周口·月考）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先因式分解，再求值：．已知，． 【答案】（1），2 （2），100 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，能正确根据整式的运算法则进行化简，运用提公因式法以及公式法因式分解是解题的关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可； （2）先根据提公因式法以及公式法因式分解，再代入求出即可． 【详解】解：（1）原式 ． 当，时， 原式． （2）原式 ． 当，时， 原式． 5．（25-26八年级上·河南开封·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先因式分解，再求值：．已知，． 【答案】（1），6；（2），． 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解． （1）先利用平方差公式和分配律化简表达式，再代入数值计算； （2）先提取公因式并利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件求值． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）原式 ， ∵， ∴原式． 6．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小艺，； (2)，8 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握（）是解本题的关键． （1）根据二次根式的性质，判断出小艺的计算是错误的； （2）先根据完全平方公式把被开方数配成完全平方，然后根据化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质， 当时， 判断出小艺的计算是错误的， 故答案为：小艺，； （2）解：原式 原式 ． 题型04 因式分解在几何图形与整除证明中的应用 这是提升区分度的经典考法，主要出现在期末或中考的压轴填空/选择题，以及解答题中。核心是利用平方差公式来证明一个多项式的值能被某个数整除，或者证明几何图形中的等量关系。 解题方法：【向“乘积”形式靠拢】 1. 明确目标：证明“整除”或“倍数”问题，其本质就是证明该多项式含有指定的因数（即分解后有一个固定的常数因子）。 2. 统一变形：将题目中的条件（如相邻整数、奇偶性等）设为代数式。 3. 强行分解：根据题目特征，优先使用平方差公式展开或提取公因式，将多项式化为几个整式乘积的形式。 4. 提取常数：在乘积形式中，找出代表固定因数的常数项，该常数即为能被整除的数。 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 2．（25-26七年级下·辽宁辽阳·月考）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【答案】5 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 5．（25-26七年级下·江苏·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_； (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①1 ②55 【分析】（1）用代数式表示图1剩余部分的面积以及图2的面积即可； （2）①根据平方差公式将原式化为即可； ②分组后，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）①原式 ； ② ． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)28 【分析】（1）设，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （2）设，，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （3）根据阴影部分的面积，设，，得，，把化为，代入有关的值计算即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴； （3）解：∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $