微专题03 因式分解的实际应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 以因式分解为核心，通过五大题型系统整合化归、数形结合等思想，构建“方法提炼-题型应用-素养提升”的三阶训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数值计算与代数式求值|6道|提公因式法+公式法逆用，整体代入|从基础因式分解到代数式整体转化，培养抽象能力| |几何图形面积问题|6道|面积割补法+因式分解|结合图形面积表示，体现数形结合，发展几何直观| |整除性判断与等式证明|6道|一提二套三判断，化差为积|通过因式分解转化整除问题，强化推理意识| |三角形形状判定|6道|凑完全平方+非负性|利用因式分解推导边长关系，提升空间观念| |不定方程求解与新定义应用|6道|因式分解降维+分类枚举|结合新定义问题，培养模型意识与创新意识|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03因式分解的实际应用 题型01数值计算与代数式求值（化归思想） 题型02几何图形面积问题（数形结合思想） 因式分解的实际应用 题型03整除性判断与等式证明（转化思想） 题型04三角形形状的判定（归类思想） 题型05不定方程求解与新定义应用（模型思想） 德点量戒 题型01数值计算与代数式求值（化归思想) 爆方法 题目通常给出一个复杂的数值计算或已知一个整式的值，求另一个相关整式的值。核心在于“避繁 就简”。 解题方法：提公因式法十公式法的逆用 瞻前顾后找公因式：在计算数值时，逆用乘法分配律，优先寻找各项的公共因子提出来。 创造条件用公式：对于求值的代数式，先将其进行因式分解（提公因式或套用平方差完全平方公式）， 使其化为含有已知条件的式子。 整体代入求结果：将已知条件作为一个“整体”代入化简后的式子，避免繁琐的单项计算。 1.(25-26七年级上·黑龙江大庆·月考)阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视 角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整 体构建等方法 例：因式分解，(+)+2(x+)+1,把“+y”看成整体，即x+y=A, 1/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原武-+2A+1=(4+,原式-（+y+ 请依据上面的材料解决有关问题： (①)因式分解：（口-a+2(口2-a)+1= (2)已知 -2y1,则6-3x-1 (③)若-10x+20=0,求x-2x-40x-6(x-8) 的值，写出过程. 2.(2425八年级上山西吕梁期末)阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务. 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体， 发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体， 把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化. 下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想. 例：把任-22-2x+2列+1因式分解 解：把r-2x”看成个整体，令-2x=y 原式0+2)+1 =y2+2y+1 =(0+12 =(x2-2x+1 任务： ()材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为 (②)请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多顶式(r+6x+2(r2+6r+16)+4 因式分解： 2/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②已知m+n=5,m=1,求++的值 3.(25-26八年级上四川泸州期末)阅读材料： 因式分解：(x++2(x+)+1 解：将。x+y”看成整体令+=A则原式+21+1=(1+.再将“4还原可以得到：原式 =(x+y+1 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. 问题解决： (1)因式分解： 1+2(x-y)+(x-y)2 (②因式分解.（女-4a+(a2-4a+7)+9 (3③用上述整体思想将代数式”+1(n+2u+3)+1 为完全平方的形式. 4.(25-26八年级上·福建泉州：期末)阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是 从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体 与局部的联系，从而找到解决问题的新途径. 例如：已知x2-x-1=0,求代数式2x2-2x+2024的值.我们把x2-x看作一个整体代入求值，原式 =2(x2-x)+2024=2×1+2024=2026 又如：因式分解(r+3x-4(r2+3x)+4 我们把r+3x看作一个整休，令+3x=a,则原式口-4红+4=(a-2,再把a还原成+3x得， 原式(r+3x-2 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (0)因式分解：(-八-2(x-)+1= 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知m2-3m-1=0,求m4-3m3+m2-6m的值： (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方. 5.(25-26八年级上·山东烟台期中)先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：(x++2(x+)+1 解：将任+列看成整体，设+y=4,则原式+24+1=(4+ 再将x+y=A代入，得x+少+2(+y)+1=(x+y+1 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答 下列问题： (1)因式分解： (x-y2-2(x-y)+1 (2)因式分解： (a2-4a+2)(a2-4a+6)+4 3)求证：无论”为何值，式子（a-2m-3m2-2n+5列+17 值一定是一个不小于1的数. 6.(24-25八年级下·陕西西安期末)先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：(x++4+)+4 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则 原武+41+4=(1+2.再将“A”还原，得原式(++2) 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思 想解答下列问题： (因式分解：(a+b-6(a+b)+9 (②求证：若m、"为正整数，则式子m+2m)m+2n+18)+81 的值一定是某一个整数的平方 题型02几何图形面积问题（数形结合思想） 4/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 味方法 常以“圆内挖去小圆”、“用多个小长方形正方形拼大长方形”为背景。考查用代数式表示图形面 积，并通过因式分解简化运算或推导边长。 解题方法：面积割补法十因式分解 表示面积：根据图形的构成，用代数式准确表示出目标区域的面积（大减小，或局部求和）。 因式分解：对得到的多项式进行提取公因式或运用公式法分解。这一步往往能将复杂的乘法转化为简单 的加减法与乘法。 代入求值推导：将具体的线段长度代入分解后的简洁算式中求出面积，或对比等式两边求出未知边长。 1. (25-26八年级上：湖北鄂州期末)某种细菌在培养基上以规则的方式生长，形成一个圆形的菌落，菌 落的面积S与其生长时间有关.已知当生长时间为t(单位：小时)时，菌落的半径”（单位：毫米） 满足r=2t2. (I)求该菌落的面积S.(面积用含兀和t的代数式表示) S=4π(t+2t2+1) (②)另一种细菌的菌落生长更快，形成一个圆形的菌落，其面 ①求该种菌落的半径.（用含t的代数式表示） ②将第一种细菌和第二种细菌在上述环境下培养t小时，请用含π和t的式子表示它们的面积之差 (S'-S) ,并将其因式分解。 2.(2025河北邯郸·二模)如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为 M,N,两个圆重合部分的面积为K. M 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，K=12π， (1)大圆面积与小圆面积之差为一 (2)M-N= 发现：设两个圆的面积分别为 ,用，心表示M-N SS,(S>S)用SS2 的值，并证明你的结论. 5/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 运用：设两个圆的半径分别为R,(R>),且R+r=10,M-N=20,求这两个圆的面积之和. 3.(25-26八年级上·北京大兴期末)阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难 入微.”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式。 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a,宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片， 每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a,宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡 片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙），大正方形的边长为@+)， 因此大正方形的面 积可以表示为a+b, 由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大 正方形的面积也可以表示为0+2ab+b,于是得到等式(a+b=d+2ab+ 图1 图2 (1)在图1的基础上，再选取一张长为a,宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图 2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等 式： (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间 不重叠，无缝隙)，使得这个大长方形的面积为2a2+7ab+3b2. ①在图1的基础上补全这个大长方形： 6/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ②根据补全的图形，对多项式2a2+7ab+3b进行因式分解. 4.(25-26八年级上广东江门月考)如图1，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长 分别为a、b的正方形拼成的. H a O M 0 G P G B C B 图1 图2 四利用正方形4BCD面积的不同表示方法，直接写出a+b、。+公、b之间的关系式，这个关系式 是 ②Em病足025-m+(a-204=09.请利用山中的数量关系，求225-mm-204形值， (3)若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图1中的PG、MG重叠，如图2所示，己知PF=8, NH=32,则 ①图中阴影部分正方形ABCD的面积=一（结果填具体数值） ②若长方形PBNG的面积等于80，且PG>GN,求正方形APGM与正方形GNCO的面积之差. 5.(25-26八年级上·河南驻马店期中)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运 算和解题，这种解题方法叫做配方法.如：①用配方法分解因式：a+6a+8 解：原式=a+6a+8+1-1=+6a+9-1=(a+3y-P=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4a+2）) ②M=a2-2a-1,利用配方法求M的最小值 7/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：a-2a-l=a-2a+1-2=(a-1}-2 .(a-1)2≥0 ∴.当a=1时，M有最小值-2. 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：4x2+4x-3 (2)若M=-x2-2x+1,则M有最—值，为— (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为 了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积： 平方米： ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 围墙（大于60米） 6.(25-26八年级上：广西贵港期中)综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探 究.他们首先各自查找了相关问题的资料. 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为， b,C,则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： w 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦(Hon),在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中 记载了：如果一个三角形的三边长分别为a:b,c,记P=+ 2一，则三角形的面积计算公式（海伦 公式)为：S=Vp(D-ap-bjp-c可 8/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】(1)已知一个三角形的三边长分别为5,6,7. 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出P和$的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积. 【拓展应用】(2)请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式. 题型03整除性判断与等式证明（转化思想) 啸方法 通常要求证明一个代数式的值能被某个整数整除，或者证明某个式子是非负数、完全平方数等。破 题的关键在于“化差为积”。 解题方法：一提二套三判断 统一形式：将等式一边的项全部移到另一边，使其等于零或需要证明的倍数。 彻底分解：优先提取公因式，然后观察剩余项是否符合平方差或完全平方公式，直至分解为几个整式乘 积的形式。 定性分析： (I)证整除：指出分解后的各个因式均为整数，且含有目标因数。 (2) 证非负平方：利用“偶数个实数的平方和为零，则每个实数必为零”的性质。 1.(25-26八年级上山西晋城月考)阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题。 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数a=bc,其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被d·e整除.例如： 12=6×2,其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被2×2整除，即12一定能被4整除。 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么32-3”一定能被24整除.他的证明过程如下： 证明： 3m+2-3”=3"(32-1)=3”×8 .'n ..3 为正整数， 一定能被3整除. 9/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …8 3+2-3” 3×8 3+2-3” 能被8整除， 一定能被整除，即 一定能被24整除 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除2”+3-2”的是。 A.8B.10C.14D.17 ②应用：已知”是正整数，参照材料中的方法，证明：（4+3-(21+3)能被21整除 (3)拓展：已知”是正整数，(4n+3°-(2n+3 能被36整除，请直接写出”的最小值. 2.(2425八年级下·福建厦门月考)数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 ① a=182736 随意写一个能被9整除的正整数 ② b=812637 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数 ③la-b a-b=629901 计算，得到数 ④ d=269091 将C中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数 ⑤ =29091 将中一个数位上的非零数划去，得到 ⑥ f=12909 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数 小天：老师，我最后得到的数字∫=12909」 老师：你划去的数字是6. 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字 相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除. 证明：设abc是一个三位数，且a+b+C 能被9整除，则 abc=100a+10b+c =99a+a+9b+b+c =99a+9b+a+b+c 10/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =911a+b)+a+b+c 因为 (11a+b) 能被9整除，a+b+C能被9整除， 所以a 能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除.请阅读上 述材料，回答下列问题： 20250315个】 (1)试判断111能否被9整除，并说明理由： (2)试证明：这个猜数字游戏中，无论4为何值，C都会被9整除， (3)若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的了为3849，则划去的数字是 3。(2025-江苏扬州一模)我们知道能被3整除的数的规律，设ac是一个三位数，若a+b+C abc 可以被3整 除，则这个数就能被3整除。 例如，三位数108，~a+b+C=1+0+8=9,9可以被3整除，∴108就能被3整除. 【发现】将三位数 C去掉末尾数字C得到两位数b,再用减去C的2倍所得的差为 bc ab -2c.若 ab-2 能被7整除，则三位数就能被7整除。 【验证】如，对于三位数364,36-2×4=28,28可以被7整除，.364就能被7整除. (1)用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（②）请用含”，6.C的代数式表示 -2c= (3)结合(2)论证“发现”中的结论正确. 【迁移】(4)下列结论正确的是-·（填序号） ①在三位数aC中，若满足Q-b+C abc abc 是11的倍数，则是11的倍数： ②在三位数 中，若满足a+h- abc 是11的倍数，则ac是11的倍数： bcd abcd ③在三位数 中，若满足a+h-c+d 11的倍数，则是11的倍数： 11/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2025海南模拟预测)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把l,3,6,10,15,“这样的数称为“三角形数”，第 n个“三角形数”可表示为：1+2+3+4++n=n加+ ， 某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究. (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：1+3=(1+1 第2个等式：3+6=(2+1 第3个等式： 6+10=(3+1)2 第4个等式： 10+15=(4+； 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式：- ②写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明； (②)数学兴趣小组还发现：1x8+1=9=3,3x8+1=25=56x8+1=49=7,… 即任意一个三角形数 乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明， 5.(25-26八年级上广东江门期末)观察下列等式： (a-1)(a2+a+1)=a3-1 (a-2)a2+2a+4=a3-8 (a-3)a2+3a+9)=a3-27 00根据以上等式的规律，填空.(（a-5(—)=。2-125 ②根据以上等式的规律，填空：（a-b(—)=。- ,并证明等式成立. 12/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为 -216(t>10 ,底面积为+3)-m,装满水的高度为-6， 求m的值. 6.(2425七年级下·江苏苏州月考)观察下列等式： 42-12 .1.52-22 =2+ 1 62-32 1 72-42 1 ①6 2②6 -=3+ +2,③6 =4+2,6 -=5+ 2… (I)请按以上规律写出第⑥个等式： (2)猜想并写出第n个等式： 一；并证明猜想的正确性， 题型04三角形形状的判定（归类思想） 妹方法 在几何综合题中，给出三角形三边长a,b,c满足的某个复杂等式，要求判断三角形的形状（等腰、 等边、直角)。这是因式分解在几何中的经典高阶应用。 解题方法：凑完全平方十非负性 移项归零：将所有项移到等式的同一侧，使其等于零。 配方分组：通过提取负号、分组分解等方法，将等式左边化为几个完全平方式的和（即+b=c2的形 式)。 求解边关系：利用“若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”，得出边长之间的等量关系，从 而判定形状。 1.(24-25七年级上·上海宝山期中)己知三角形ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则 三角形ABC的形状() A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.任意三角形 2.(24-25八年级下·重庆月考)已知△ABC的三边分别为a、bC.例如：若ab-bc=0,则△ABC为等 腰三角形.理由如下：方程整理为： b(a-c)=0,:b≠0，a=c,那么△ABC是等腰三角形.对于 a、bc满足的条件给出下列说法： ①若ab+bc=b2+ac,那么这个三角形是等腰三角形； 13/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,那么这个三角形是等边三角形； ③若a3-a2b+ab2-ac2-b3+bc2=0,那么这个三角形是直角三角形. 以上说法中正确的是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(23-24七年级下·全国假期作业)己知a,b,c为三角形ABC的三边长，且满足b'c2-ac2=a-b,则 三角形ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.锐角三角形 4.(22-23七年级下湖南邵阳期中)已知三角形ABC的三边长分别为a,b,C,且满足 a2-ac-ab+bc=0,则三角形ABC的形状是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 5,(23-24九年级上黑龙江大庆期中)三角形三边分别为1、B、C,且0-6c=6-d ,且 则这个三角 形（按边分类）一定是 三角形 6.(2-23八年级上山东淄博期末)若三角形的三边长“，b,C苏 C满足a-c+(a-cb=0 ,则这个三角 形形状一定是一三角形。 题型05不定方程求解与新定义应用（模型思想) 妹方法 考查提取公因式后对因数的分类讨论能力。 解题方法：因式分解降维十分类枚举 因式分解：通过移项，将等式一边化为几个整式的乘积，另一边化为具体的常数。 枚举因数：将常数分解为所有可能的两个整数（或整式)相乘的形式。 列方程组求解：根据整式的取值范围（如自然数、奇数、偶数等限制条件），列出可能的方程组，逐一 验证求解。 1.(2425八年级上河北石家庄期末)小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当 14/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+m=0或优+g=0时，多项式mr+m(pr+9）的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式 1的零点.如：多项式x+l的零点为，多项式不+x- 的零点为1和1. (1)多项式2x-5的零点为一： ②已知多项式B=(x-br+=am-(a-x号有一个零点为1，求多项式5的另一个零点： 8统新x+W-.-2到限-引 发现这些多项式有两个零点，且两个零点 的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”，若多项式 M=(2ax+b)(cx-3c)=bx2-8cx-4a-4(c0 是“2系多项式”，求多项式M 2.(25-26七年级上·上海期中)对于形如x2+2xa+a这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 (+的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”.但对于二次三项式2+2a-3如2，就不能直 接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式x2+2xa-3a2中先加上一项a2，,使它与x2+2xa的和成为 一个完全平方式，再减去a,整个式子的值不变，于是有： x2+2xa-3a2=(x2+2xa+a2）-a2-3a2=(x+a}-4a2=(x+a)}2-(2a)}2=(x+3a)(x-a） 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法 称为“配方法”.请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：a2-6a+8; 2x2+4xy+3y2-6y+9=0 (2)若 ,求x的值. m,n) 3.(2425九年级下江苏泰州月考)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：对于实数对 15/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从点八移动到点 x+m,y+n 称为一次甲方式：从点 ,》移动到点 x+n,y+m) 称为一次乙方式. (1)若点P从点 A(x,y) 4,2) 出发连续移动2次，若都按甲方式，最终移动到点 :若都按乙方式，最终移 (2,4) 动到点 ①若按1次甲方式和1次乙方式连续移动2次后，最终移动到的点的坐标. ②若x=0,点P从点 4(x,y) 出发连续移动0次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 (s,t) 求证：s+t=30: (2)若某点先按甲方式连续移 a(a>0)次，再按乙方式连续移动 (b>0) 次，最终回到原处，试说明： m+n=0」 4.(2425七年级下辽宁沈阳期末)定义：对于任意四个有理数a,b,C,,定义一种新运算： a b =a2+d2+bc c d 「-1-2] (①)求34的值； m -n (2)若km2n」 =(m-2n) ,则k=一 人 m+4n 13 (3)若有理数m,n满足m+3n=5,且4m2+2n2 4m-n ①求mn的值： ②如图，四边形ABCD是长方形，点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上，连接EG, FH交于点P,且EG,FH将长方形ABCD分割成四个小长方形.若AB=9n,BF=3n,CF=3m, DG=m,在①的条件下，请直接写出由线段EP,PH,HC,CE围成的图形的面积. 16/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .,1≤a,b,c,d≤9 5.(22-23七年级下·重庆江津·期中)定义1：对任意一个四位数 bed (其中 ,且均为整 数)，若a+c=9.b+d=9 abed ,则称“为“久久数”， 定义2：如果=广 (x,y为正整数)，则称是完全平方数. (1)判断：3267 （是/不是)“久久数”，2435 (是/不是)“久久数”： ②证明：任意一个“久久数”abcd 能被99整除： 8)若四位数bc为“久久数”，记D(abcd)=bc 11，若D(abcd)是完全平方数，求这个四位数abca: 6.(25-26八年级上：江西宜春月考)定义：我们将边长为 a+b) 的正方形称为“完全方框”.若将“完 全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为a,b,ab,b,四个小区域的面 积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于a2+2b+b2 D 6 花 6 CB 草 图1 图2 图3 图4 【定义理解】 (1)若a=x,b=2y,用含x,y的代数式表示该“完全方框”的完全和. 17/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 (2)图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”， 且该“完全方框”的“完全和”为m2+2mn+n2 ①图2中大长方形的面积为 图3中阴影部分的面积为 ； (用含m,n的代数 式表示) ②若mn=3,m+n=5,求图3中阴影部分的面积. 【问题解答】 (3)图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域ACDE与正方形区域BCFG,计划在这两块区 域种花，剩余两块三角形区域种草.已知正方形ACDE与正方形BCFG的边长分别为P,9,面积分别 为8S,并且4B,C三点在同一条直线上，若 S1+S2=360m2,AB=24m ,求种草区域的面积和. 18/18 微专题03 因式分解的实际应用 题型01 数值计算与代数式求值（化归思想） 题目通常给出一个复杂的数值计算或已知一个整式的值，求另一个相关整式的值。核心在于“避繁就简”。 解题方法：提公因式法＋公式法的逆用 1. 瞻前顾后找公因式：在计算数值时，逆用乘法分配律，优先寻找各项的公共因子提出来。 2. 创造条件用公式：对于求值的代数式，先将其进行因式分解（提公因式或套用平方差/完全平方公式），使其化为含有已知条件的式子。 3. 整体代入求结果：将已知条件作为一个“整体”代入化简后的式子，避免繁琐的单项计算。 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、因式分解、求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）把看作整体，利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把原式变形后把已知条件整体代入计算即可； （3）利用多项式乘以多项式法则分组计算后，把已知条件变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： (1)材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． (2)请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【答案】(1) (2)①，②25 【分析】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得，，则根据即可求解． 【详解】（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 故答案为：； （2）①把“”看成一个整体，令． ； ②∵，， ∴， 则 ． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 【详解】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子的值一定是一个不小于1的数． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式． （1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式； （2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 为正整数， 为整数， 式子的值一定是某一个整数的平方． 题型02 几何图形面积问题（数形结合思想） 常以“圆内挖去小圆”、“用多个小长方形/正方形拼大长方形”为背景。考查用代数式表示图形面积，并通过因式分解简化运算或推导边长。 解题方法：面积割补法＋因式分解 1. 表示面积：根据图形的构成，用代数式准确表示出目标区域的面积（大减小，或局部求和）。 2. 因式分解：对得到的多项式进行提取公因式或运用公式法分解。这一步往往能将复杂的乘法转化为简单的加减法与乘法。 3. 代入求值/推导：将具体的线段长度代入分解后的简洁算式中求出面积，或对比等式两边求出未知边长。 1．（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）某种细菌在培养基上以规则的方式生长，形成一个圆形的菌落，菌落的面积S与其生长时间有关．已知当生长时间为t（单位：小时）时，菌落的半径r（单位：毫米）满足． (1)求该菌落的面积S．（面积用含和t的代数式表示） (2)另一种细菌的菌落生长更快，形成一个圆形的菌落，其面积． ①求该种菌落的半径．（用含t的代数式表示） ②将第一种细菌和第二种细菌在上述环境下培养t小时，请用含和t的式子表示它们的面积之差，并将其因式分解． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】该题考查了因式分解的应用、二次根式的性质、整式的乘法． （1）将代入圆面积公式求解即可； （2）①设该种菌落的半径为，根据，求解即可． ②求出并因式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：①设该种菌落的半径为， 则， ∴， 即求该种菌落的半径为； ② ． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为M，N，两个圆重合部分的面积为K． 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，． （1）大圆面积与小圆面积之差为______； （2）______． 发现：设两个圆的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论． 运用：设两个圆的半径分别为R，，且，，求这两个圆的面积之和． 【答案】（1）；（2）；发现：，见解析；运用： 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，平方差公式，整式的运算、圆的面积，核心素养表现为几何直观、运算能力以及应用意识． （1）结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合圆面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． 发现：结合（2），故，再把代入化简，即可作答． 运用：由，得．因为，即，再解得，结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）大圆面积与小圆面积之差为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； 发现：．证明过程如下： 依题意， 则． 运用：由，得， 故， 化为． 又∵， ， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴． ∴这两个圆的面积之和为． 3．（25-26八年级上·北京大兴·期末）阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式_ ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)①见解析；②2a2+7ab+3b2＝（2a+b）（a+3b） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形面积的不同计算方法推导代数等式并根据给定面积的多项式进行图形拼接是解题的关键． （1）观察图2，大长方形的长是，宽是．计算面积（方法一）：根据长方形面积公式，面积为，计算面积（方法二）：数出组成大长方形的卡片：1张边长为a的正方形、3张长a宽b的长方形、2张边长为b的正方形，总面积为 ．两种方法计算的是同一图形面积，即； （2）①将面积分解为 ，确定大长方形的长为，宽为，确定卡片数量：根据因式分解结果，需要2张边长为a的正方形卡片、7张长a宽b的长方形卡片、3张边长为b的正方形卡片，补全图形；②按长和宽的尺寸，用上述卡片拼接成大长方形． 【详解】（1）解：图2面积为， 面积也可表示为：， 因此． 故答案为：． （2）解：①如图： ； ②因为大长方形的长为，宽为， 所以． 4．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2) (3)①576②384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）①设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解； ②设，则，由①得，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：①设正方形的边长为， 则 ②设，则：正方形的边长为， 由①知：， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 5．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)大， 2 (3)①②当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用， （1）先提出4，再配方得出完全平方公式，然后根据平方差公式分解； （2）先提出，再配方，根据完全平方公式的非负性讨论最大值； （3）根据长方形的面积公式表示，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴， 所以M有最大值，为2； 故答案为：大，2； （3）解：①（平方米）． 故答案为：； ② ∵ ∴ ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期中）综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 【答案】（1）①和的值分别为9和；②；（2）推导见解析 【分析】本题考查代数式代入求值，二次根式的运算，因式分解，掌握相关知识是解决问题即可． （1）①运用海伦公式代入数据计算即可；②运用秦九韶公式代入数据计算即可； （2）对秦九韶公式利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后将代入变形即可． 【详解】解（1）①， ； ② ； （2） ． 题型03 整除性判断与等式证明（转化思想） 通常要求证明一个代数式的值能被某个整数整除，或者证明某个式子是非负数、完全平方数等。破题的关键在于“化差为积”。 解题方法：一提二套三判断 1. 统一形式：将等式一边的项全部移到另一边，使其等于零或需要证明的倍数。 2. 彻底分解：优先提取公因式，然后观察剩余项是否符合平方差或完全平方公式，直至分解为几个整式乘积的形式。 3. 定性分析： (1) 证整除：指出分解后的各个因式均为整数，且含有目标因数。 (2) 证非负/平方：利用“偶数个实数的平方和为零，则每个实数必为零”的性质。 1．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 2．（24-25八年级下·福建厦门·月考）数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： (1)试判断能否被9整除，并说明理由； (2)试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． (3)若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 【答案】(1)能被9整除，理由见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）判断的各数位上的数字之和是否能被9整除，即可； （2）设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数，可得b中的各数位上的数字之和为，可设，其中为正整数，从而得到，即可解答； （3）设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除，可得f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除，即可求解． 【详解】（1）解：能被9整除，理由如下： ∵， ∴能被9整除； （2）解：设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数， ∵将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数b， ∴b中的各数位上的数字之和为， ∴b能被9整除， 可设，其中为正整数， ∴， ∴c能被9整除； （3）解：设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除， ∴f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除， ∵f的各位数字之和为∶， ∴能被9整除， ∵24不能被9整除，且为正整数， ∴， 即划去的数字为3． 故答案为：3 【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示_； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是_．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 4．（2025·海南·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式：_； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 5．（25-26八年级上·广东江门·期末）观察下列等式： …… (1)①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了多项式规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据题干给出的等式即可得出结果；②根据题干给出的等式即可得出结果，再利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）由题意可得，由（1）可得，从而得出，最后利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①根据以上等式的规律可得； ②根据以上等式的规律可得， 证明： ； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）观察下列等式： ①，②，③，④，… (1)请按以上规律写出第⑥个等式：________： (2)猜想并写出第n个等式：________；并证明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键． （1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案； （2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证． 【详解】（1）解：第⑥个式子为：； 故答案为：； （2）解：猜想第个等式为：， 证明：左边右边， 故答案为：． 题型04 三角形形状的判定（归类思想） 在几何综合题中，给出三角形三边长 a,b,c满足的某个复杂等式，要求判断三角形的形状（等腰、等边、直角）。这是因式分解在几何中的经典高阶应用。 解题方法：凑完全平方＋非负性 1. 移项归零：将所有项移到等式的同一侧，使其等于零。 2. 配方分组：通过提取负号、分组分解等方法，将等式左边化为几个完全平方式的和（即的形式）。 3. 求解边关系：利用“若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”，得出边长之间的等量关系，从而判定形状。 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆·月考）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定； ①等式左边进行因式分解得，即可判断； ②等式左边进行因式分解得，即可判断； ③等式左边进行因式分解得，即可判断； 能熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：①由题意得：， ， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形； 故此项正确； ②， ， ， ，，， ，，， ， 这个三角形是等边三角形； 故此项正确； ③由题意得：， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形； 故此项不正确； 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知为三角形的三边长，且满足，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【详解】因为，即， 所以， ， ． 因为是三角形的三边长， 所以， 所以，即， 所以三角形为等腰三角形． 4．（22-23七年级下·湖南邵阳·期中）已知三角形的三边长分别为，，，且满足，则三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】因式分解可得，进而可知或，从而可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，将所给式子进行因式分解是解题的关键． 5．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）三角形三边分别为、、，且，则这个三角形(按边分类)一定是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】根据已知等式变形，因式分解为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴这个三角形(按边分类)一定是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 6．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若三角形的三边长，，满足，则这个三角形形状一定是 __三角形． 【答案】等腰 【分析】先把的左边分解因式可得，从而可得答案． 【详解】解： ， 三角形的三边长，，， ， ， 这个三角形形状一定是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查的是三角形三边关系的应用，因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练的利用提公因式的方法分解因式是解本题的关键． 题型05 不定方程求解与新定义应用（模型思想） 考查提取公因式后对因数的分类讨论能力。 解题方法：因式分解降维＋分类枚举 1. 因式分解：通过移项，将等式一边化为几个整式的乘积，另一边化为具体的常数。 2. 枚举因数：将常数分解为所有可能的两个整数（或整式）相乘的形式。 3. 列方程组求解：根据整式的取值范围（如自然数、奇数、偶数等限制条件），列出可能的方程组，逐一验证求解。 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 【答案】(1) (2)多项式B的另一个零点为 (3) 【分析】本题主要考查了新定义、多项式的零点、因式分解，理解题意，利用多项式对应系数相等构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式的零点的定义将代入求得a，再将a的值代入因式分解后解一元一次方程即可； （3）通过因式分解求得的一个零点为3，根据“2系多项式”的定义求得M的另一个零点为，即，再利用多项式对应系数相等建立方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得， 故答案为：； （2）根据题意，把代入B得， 解得， 把代入B得， 令， 解得， ∴多项式B的另一个零点为； （3）∵， ∴多项式M的一个零点为3， 则另一个零点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简、因式分解、“配方法”的应用，熟练掌握利用“配方法”得到完全平方式是解题的关键． （1）通过“配方法”得到完全平方式，进行因式分解即可； （2）通过将分成与的和，得到两个完全平方式，根据完全平方式的值大于等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 3．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：对于实数对，从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． (1)若点P从点出发连续移动2次，若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点； ①若按1次甲方式和1次乙方式连续移动2次后，最终移动到的点的坐标． ②若，点P从点出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．求证：； (2)若某点先按甲方式连续移动次，再按乙方式连续移动次，最终回到原处，试说明：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①先根据题意得出，，求出，即可求出结果； ②根据得出点A的坐标为，设点P从按a次甲方式移动，则按照次乙方式移动，点P从出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最后点的坐标为，得出，最后求出结果即可； （2）设某点的坐标为，得出该点先按甲方式连续移动次，再按乙方式连续移动次后此点的坐标为：，根据平移后最终回到原处，得出，从而得出，整理得出，根据，得出答案即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 得：， 得：， ∴， ∵按1次甲方式和1次乙方式连续移动2次后，点的坐标为， ∴最终移动到的点的坐标； ②根据①可知：， 把代入得， 把代入得， ∴点A的坐标为， ∴设点P从按a次甲方式移动，则按照次乙方式移动，点P从出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最后点的坐标为， ∵最终移动到点， ∴， ∴ ． （2）证明：设某点的坐标为，则该点先按甲方式连续移动次，再按乙方式连续移动次后此点的坐标为：， ∵某点先按甲方式连续移动次，再按乙方式连续移动次，最终回到原处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 5．（22-23七年级下·重庆江津·期中）定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”． 定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数． (1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”； (2)证明：任意一个“久久数”能被99整除； (3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数． 【答案】(1)是，不是 (2)见解析 (3)1584、2475、3564、4851、6336 【分析】本题考查了因式分解的应用，代入验证法是解题的关键． （1）根据新定义进行判断； （2）用表示，用表示，再把天长地久数”进行因式分解证明； （3）根据完全平方数的特点，用代入验证法求解． 【详解】（1）解：，， 是“久久数”， ， 不是“久久数”， 故答案为：是，不是； （2）证明：由题意得：，， ， 任意一个“久久数”都是的倍数； （3）解：， ， 为完全平方数， 为完全平方数， 、、、，且均为整数， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 这种四位数的个数共有个，分别为1584、2475、3564、4851、6336． 6．（25-26八年级上·江西宜春·月考）定义：我们将边长为的正方形称为“完全方框”．若将“完全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为，四个小区域的面积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于． 【定义理解】 （1）若，用含的代数式表示该“完全方框”的完全和． 【深入探究】 （2）图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”，且该“完全方框”的“完全和”为． ①图2中大长方形的面积为___________，图3中阴影部分的面积为___________；（用含，的代数式表示） ②若，求图3中阴影部分的面积． 【问题解答】 （3）图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余两块三角形区域种草．已知正方形与正方形的边长分别为，面积分别为，并且三点在同一条直线上，若，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，；②13；（3） 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）把，代入，进行求解即可； （2）①根据“完全方框”的“完全和”为，得到完全方框的边长为，进而得到小长方形的两条邻边的长分别为，进而得到大长方形的两条邻边的长分别为，利用面积公式进行求解即可；用“完全和”减去4个小长方形的面积求出阴影部分的面积即可；②利用完全平方公式变形和整体代入法求出阴影部分的面积即可； （3）根据题意，得到，利用完全平方公式变形求出的值，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴完全方框的边长为， ∴小长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的面积为； 图3中阴影部分的面积为； ②∵， ∴ ； （3）由题意，， ∵， ∴， ∴； ∴种草区域的面积和. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $