2.1 有理数的加法与减法（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了有理数的加法与减法知识体系。从加法法则（同号、异号、与0相加）及运算律出发，过渡到减法法则（转化为加法）和混合运算步骤，形成从基础到应用的学习支架，为有理数运算奠定基础。 知识链路按“法则-运算律-易错点-题型应用”逻辑展开，每个知识点配特别提醒和方法技巧。通过易错点分析强化运算能力，题型涵盖生活应用培养应用意识，结合口诀和分类训练，帮助学生用数学思维解决问题，提升学习效率。

第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 🔷知识点一　有理数的加法 1. 有理数的加法法则： ①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和； 数学表示：若，则；若，则； ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0； 数学表示：若，且，则；若，且，则； ③一个数同0相加，仍得这个数。 2. 有理数加法的运算律： ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即。 ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即。 ⚠️特别提醒 ①两个有理数相加，和是一个有理数； ②在运算过程中，“先定和符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法。 🔷 知识点二　有理数的减法 1. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即 2. 有理数的混合运算步骤： ①根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； ②观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； ③再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 3. 省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式：可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 ⚠️特别提醒 ①将减法转化为加法时，注意同时进行的两边，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数； ②将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算。 易错点 1 异号两数相加，绝对值误用加法 · 错例： · 错因：异号相加规则记忆颠倒，不用大绝对值减小绝对值，反而相加；未取绝对值更大数字的符号 · 规避方法：异号相加口诀 “异号相加，绝对值相减，符号跟大数”；先比较两个数绝对值大小，确定结果符号，再算差值 易错点 2 运算顺序颠倒，先算绝对值再定符号 · 错例：计算，先算，忘记添负号，得出3 · 错因：违背 “先定和符号，再算绝对值” 的运算步骤，符号遗漏 · 规避方法：每道加法题第一步先判断正负，第二步再计算绝对值和/差 易错点 3 减法变加法只改减号，不变减数符号 · 错例： · 错因：减法法则要求 “两处同时变”：减号变加号、减数变相反数；只修改运算符号，未转换减数符号 · 规避方法：牢记 “一变符号，二变数字”；，被减数保持不变 易错点 4 运用交换律移动数字，不带前面符号 · 错例： 错写成 · 错因：每个数字前面的正负号属于该数字，交换位置时丢弃符号 · 规避方法：移动数字必须连带数字左侧的正负号一起移动 题型一：有理数的加法运算 📝方法技巧 1. 同号相加：取同号，绝对值相加； 2. 异号相加：取大绝对值符号，大减小； 3. 相反数相加得0，数加0仍得原数； 4. 简便运算：优先结合相反数、同号、同分母、凑整数。 1.（25-26七年级上·江苏·期中）计算：_______． 2.计算：______． 3.用简便方法计算：____． 4．计算 5．计算： (1)； (2)； (3)； 题型二：有理数加法的应用 📝方法技巧 1. 先定正负（上升/收入/向东为正，反之负）； 2. 实际问题转化为加法算式； 3. 计算后结合题意解释结果含义。 1．（正负数）以婷婷家为起点，向东走为正、向西走为负．如果婷婷从家走了米，又走了米，这时婷婷所在的位置是（    ）米 A．离家东20 B．离家西20 C．离家东80 D．离家西80 2．一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 3．某股民上周五买进股票1000股，每股27元．本周每日涨跌情况如下（单位：元）：，，，，．问本周五收盘时，每股多少元？ 4．某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：）；，，，，，．今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 5．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 题型三：有理数的减法运算 📝方法技巧 万能口诀：减变加，减数变相反数，被减数不变，转化为加法计算。 1．计算： ____________ 2．规定表示不超过的最大整数，则______． 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 题型四：有理数减法的应用 📝方法技巧 核心公式：差值=终止量−起始量（温差、海拔差、数值差通用） 1．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 2．小东身高，小红身高，小明身高．如果小东身高记作，小明身高记作，则小红身高记作______． 3．水银的凝固点是，酒精的凝固点是．那么，水银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度？ 4．小明家蔬菜大棚内的温度是，此时棚外的温度是．棚内温度比棚外温度高多少摄氏度？ 题型五：有理数的加减混合运算 📝方法技巧 1. 统一化加法，写成省略括号的和的形式； 2. 正数、负数分组计算，优先简便运算； 3. 有括号先算括号内，无括号从左到右计算。 1．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）_____． 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）计算的结果为________． 3.计算：． 4．计算： (1) (2) 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 题型六：有理数加减混合运算的应用 📝方法技巧 1. 定正负、列算式、统一加法计算； 2. 最终位置/变化量：所有数据直接加减； 3. 总路程/总耗量：所有数据取绝对值再相加。 1．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 2．某公交车原坐有25人，经过2个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，则车上还有________人． 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）在机器人社团活动中，小丽通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一条直线上连续匀速左右爬行10趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子蚂蚁爬行情况记录如下（单位：厘米）： 、、、、、、、、、 爬行完这10趟后，该电子蚂蚁在起点A的右侧还是左侧？到起点A的距离是多少厘米？ 4.出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅一共开了多少千米？ 5．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 🔷知识点一　有理数的加法 1. 有理数的加法法则： ①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和； 数学表示：若，则；若，则； ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0； 数学表示：若，且，则；若，且，则； ③一个数同0相加，仍得这个数。 2. 有理数加法的运算律： ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即。 ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即。 ⚠️特别提醒 ①两个有理数相加，和是一个有理数； ②在运算过程中，“先定和符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法。 🔷 知识点二　有理数的减法 1. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即 2. 有理数的混合运算步骤： ①根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； ②观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； ③再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 3. 省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式：可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 ⚠️特别提醒 ①将减法转化为加法时，注意同时进行的两边，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数； ②将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算。 易错点 1 异号两数相加，绝对值误用加法 · 错例： · 错因：异号相加规则记忆颠倒，不用大绝对值减小绝对值，反而相加；未取绝对值更大数字的符号 · 规避方法：异号相加口诀 “异号相加，绝对值相减，符号跟大数”；先比较两个数绝对值大小，确定结果符号，再算差值 易错点 2 运算顺序颠倒，先算绝对值再定符号 · 错例：计算，先算，忘记添负号，得出3 · 错因：违背 “先定和符号，再算绝对值” 的运算步骤，符号遗漏 · 规避方法：每道加法题第一步先判断正负，第二步再计算绝对值和/差 易错点 3 减法变加法只改减号，不变减数符号 · 错例： · 错因：减法法则要求 “两处同时变”：减号变加号、减数变相反数；只修改运算符号，未转换减数符号 · 规避方法：牢记 “一变符号，二变数字”；，被减数保持不变 易错点 4 运用交换律移动数字，不带前面符号 · 错例： 错写成 · 错因：每个数字前面的正负号属于该数字，交换位置时丢弃符号 · 规避方法：移动数字必须连带数字左侧的正负号一起移动 题型一：有理数的加法运算 📝方法技巧 1. 同号相加：取同号，绝对值相加； 2. 异号相加：取大绝对值符号，大减小； 3. 相反数相加得0，数加0仍得原数； 4. 简便运算：优先结合相反数、同号、同分母、凑整数。 1.（25-26七年级上·江苏·期中）计算：_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查有理数加法运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据有理数的加法运算进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 2.计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3.用简便方法计算：____． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 5．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 题型二：有理数加法的应用 📝方法技巧 1. 先定正负（上升/收入/向东为正，反之负）； 2. 实际问题转化为加法算式； 3. 计算后结合题意解释结果含义。 1．（正负数）以婷婷家为起点，向东走为正、向西走为负．如果婷婷从家走了米，又走了米，这时婷婷所在的位置是（    ）米 A．离家东20 B．离家西20 C．离家东80 D．离家西80 【答案】B 【详解】解：∵题目规定向东走为正，向西走为负， ∴米表示婷婷从家向东走米，米表示婷婷再向西走米， 计算总位置得：（米）， 负号表示方向向西，因此这时婷婷所在的位置是离家西20米． 2．一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【答案】 【分析】根据标注的意义，最大不超过标准长度加上允许的正偏差，计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，加工要求的最大长度为． 3．某股民上周五买进股票1000股，每股27元．本周每日涨跌情况如下（单位：元）：，，，，．问本周五收盘时，每股多少元？ 【答案】元 【分析】初始价格加上所有涨跌幅，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 即本周五收盘时，每股元． 4．某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：）；，，，，，．今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 【答案】增加了；增加了 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据题意列出算式，然后求出结果，最后进行判定即可． 【详解】解： ， 因为，所以今年的小麦总产量比去年增加了；增加了． 5．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 【答案】730元 【分析】本题考查了有理数加法的应用，利用卡里原有的钱加上李爷爷每次存取的钱求解即可． 【详解】解∶ ， 答∶ 李爷爷的银行卡上现在有730元钱． 题型三：有理数的减法运算 📝方法技巧 万能口诀：减变加，减数变相反数，被减数不变，转化为加法计算。 1．计算： ____________ 【答案】 【详解】解：． 2．规定表示不超过的最大整数，则______． 【答案】 【详解】解： 3．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的减法运算，熟记有理数的减法运算法则求解是解决问题的关键． （1）根据有理数减法运算求解即可得到答案； （2）根据有理数减法运算求解即可得到答案； （3）根据有理数减法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四：有理数减法的应用 📝方法技巧 核心公式：差值=终止量−起始量（温差、海拔差、数值差通用） 1．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 【详解】解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 2．小东身高，小红身高，小明身高．如果小东身高记作，小明身高记作，则小红身高记作______． 【答案】 【分析】先确定基准身高，再计算小红身高与基准身高的差值，根据给定记法规则得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，以小东身高为基准，高于基准身高记作正数，低于基准身高记作负数． ∴小红身高记作． 3．水银的凝固点是，酒精的凝固点是．那么，水银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，用水银的凝固点减去酒精的凝固点，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 即水银的凝固点比酒精的凝固点高． 4．小明家蔬菜大棚内的温度是，此时棚外的温度是．棚内温度比棚外温度高多少摄氏度？ 【答案】27摄氏度 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，结合题意列出减法算式进行求解即可． 【详解】解：， 答：棚内温度比棚外温度高27摄氏度． 题型五：有理数的加减混合运算 📝方法技巧 1. 统一化加法，写成省略括号的和的形式； 2. 正数、负数分组计算，优先简便运算； 3. 有括号先算括号内，无括号从左到右计算。 1．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． 根据运算法则从左到右依次计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）计算的结果为________． 【答案】7 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：7． 3.计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，掌握相关运算法则 解题的关键． 先根据有理数的加减运算法则化简，再用有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 题型六：有理数加减混合运算的应用 📝方法技巧 1. 定正负、列算式、统一加法计算； 2. 最终位置/变化量：所有数据直接加减； 3. 总路程/总耗量：所有数据取绝对值再相加。 1．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据气温上升为正、下降为负列出算式，再依据有理数加减法法则计算即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．某公交车原坐有25人，经过2个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，则车上还有________人． 【答案】21 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握正数和负数的意义，加减运算法则，运算律使运算简便，是解决问题的关键． 根据有理数的加减法列式计算，运用加法交换律结合律，可得答案． 【详解】解：（人）． 故答案为：21． 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）在机器人社团活动中，小丽通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一条直线上连续匀速左右爬行10趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子蚂蚁爬行情况记录如下（单位：厘米）： 、、、、、、、、、 爬行完这10趟后，该电子蚂蚁在起点A的右侧还是左侧？到起点A的距离是多少厘米？ 【答案】电子蚂蚁最后位于起点A的左侧，到起点A的距离是6厘米 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算的应用，理解题意，结合向右爬行记为正，向左爬行记为负，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，（厘米）， ∴电子蚂蚁最后位于起点A的左侧，到起点A的距离是6厘米． 4.出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅一共开了多少千米？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米 (2)这时间段李师傅一共开了40千米 【分析】此题考查了正负数的应用，绝对值的应用，有理数混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果； （2）把记录数字绝对值之和即可得到结果． 【详解】（1）解：千米， 答：在出发地东方，距离6千米； （2）解：千米， 答：这时间段李师傅一共开了40千米． 5．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 【答案】(1)该生周三使用电子产品1小时 (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时 (3)该生这一周使用电子产品共用了23小时 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：该生周三使用电子产品的时间，然后列式进行计算即可解答； （2）根据题意可得：使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多的时间，然后列式进行计算即可解答； （3）先计算出一周的总增减时间，再加上7天的标准总时间，即可求得该生这一周使用电子产品的总时间． 【详解】（1）解：由题意得，（小时）． 答：该生周三使用电子产品1小时． （2）由题意，得（小时）． 答：该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时． （3）由题意得：（小时）， ∴（小时）． 答：该生这一周使用电子产品共用了23小时． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $