1.2.5 空间中的距离（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“空间中的距离”核心知识点，系统梳理两点间距离、点到直线距离、点到平面距离及平行直线与平面、平行平面间距离的概念与求法，以向量法和坐标法为工具，构建从基础到复杂的递进式学习支架。 资料亮点在于知识点与题型深度融合，通过“即学即练”和变式训练，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（向量精确表达），如结合正方体等模型解决距离问题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化空间观念与应用意识。

1.2.5 空间中的距离 教学目标 能运用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 教学重难点 1.重点 几种空间距离的求法。 2.难点 用向量方法求解空间距离。 知识点01 空间中两点之间的距离 1.空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解. 2.计算两点间的距离的两种方法 （1）利用，通过向量运算求，如求两点间的距离，一般用求解. （2）用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时.假设，则. 【即学即练】 1.（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D．3 2.（25-26高二下·江苏镇江·期中）空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 知识点02 点到直线的距离 1.定义：给定空间中一条直线及外一点，因为与能确定一个平面，所以过可以作直线的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到直线的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 2.点到直线的距离公式：，其中为直线外一点，为直线的任一方向向量；3.空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离. 【即学即练】 （25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点03 点到平面的距离 1.给定空间中一个平面及外一点，过可以作平面的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到平面的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度. 2.如图，为平面外一点，是平面内一点，是平面的一个法向量，则点到平面的距离. 【即学即练】 （25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 知识点04 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. 2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 3.与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.公垂线段的长即为两个平行平面之间的距离. 4.直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离. 【即学即练】 1.（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．    题型01 空间中两点间的距离 【典例1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·福建南平·期中）在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 题型02 空间中点到直线的距离 【典例1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 题型03 空间中点到平面的距离 【典例1】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·四川广安·阶段检测）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 题型04 空间中相互平行的直线与平面间的距离 【典例1】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·安徽六安·期中）正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·重庆·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 题型05 空间中相互平行的平面与平面间的距离 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 题型06 空间中异面直线间的距离 【典例1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 1.（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 6.（25-26高三·全国·一轮复习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． 则(1)点到直线的距离为________； (2)直线到直线的距离为________； (3)点到平面的距离为________； (4)直线到平面的距离为________． 7．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 8．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 9．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 10.（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 1.（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 3.（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 4.（25-26高二上·云南昆明·期中）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 5.（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 6.（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5 空间中的距离 教学目标 能运用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 教学重难点 1.重点 几种空间距离的求法。 2.难点 用向量方法求解空间距离。 知识点01 空间中两点之间的距离 1.空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解. 2.计算两点间的距离的两种方法 （1）利用，通过向量运算求，如求两点间的距离，一般用求解. （2）用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时.假设，则. 【即学即练】 1.（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据空间两点间的距离公式计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2.（25-26高二下·江苏镇江·期中）空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间两点间的距离公式计算即可得解. 【详解】已知点，若点的坐标为， 则，故A错误； 若点的坐标为，则，故B正确； 若点的坐标为，则，故C错误； 若点的坐标为，则，故D错误. 知识点02 点到直线的距离 1.定义：给定空间中一条直线及外一点，因为与能确定一个平面，所以过可以作直线的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到直线的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 2.点到直线的距离公式：，其中为直线外一点，为直线的任一方向向量；3.空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离. 【即学即练】 （25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 知识点03 点到平面的距离 1.给定空间中一个平面及外一点，过可以作平面的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到平面的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度. 2.如图，为平面外一点，是平面内一点，是平面的一个法向量，则点到平面的距离. 【即学即练】 （25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 知识点04 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. 2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 3.与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.公垂线段的长即为两个平行平面之间的距离. 4.直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离. 【即学即练】 1.（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 2.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．    【答案】 【分析】先证明平面平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，，故四边形为平行四边形， 所以 ，平面，平面， 所以平面，同理平面，且 所以平面平面. 以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令，则， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 故答案为： 题型01 空间中两点间的距离 【典例1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 【变式1】（25-26高二上·福建南平·期中）在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定对称点的坐标，由两点间距离公式即可求解. 【详解】关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为， 则. 故选：B 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间两点间距离公式可构造方程，从而得到所求点坐标. 【详解】设所求点为. 由得， 解得，因此所求点为. 【变式3】（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出点、的坐标即可由两点间距离公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 题型02 空间中点到直线的距离 【典例1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 【变式3】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 【变式4】（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 题型03 空间中点到平面的距离 【典例1】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 【变式1】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 【变式3】（23-24高二上·四川广安·阶段检测）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用长方体性质得到平面，再结合题意求出即可. （2）法一先计算关键三角形的面积，再利用等体积法建立方程，求解点面距离即可，法二建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）由长方体性质得平面， 因为，为的中点，所以， 则点到面的距离为. （2）法一：设点到面的距离为， 在中，由勾股定理得，， 如图，连接，因为是的中点，所以，， 由勾股定理得， 故，而． ，，． 法二：如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 则点到平面的距离. 题型04 空间中相互平行的直线与平面间的距离 【典例1】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.     【变式1】（21-22高二上·安徽六安·期中）正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将线面距离转化为点面距离，利用空间距离的向量求法，即得答案. 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正三棱柱的几何性质可知，两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，    则， . 设平面的法向量为，则， 令，则，故可得. 由于平面平面，所以平面. 所以到平面的距离即到平面的距离，即. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·重庆·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】由题意，构建如图示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，则点到平面的距离， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离，为.    故选：D 【变式3】（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 题型05 空间中相互平行的平面与平面间的距离 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 【变式1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 题型06 空间中异面直线间的距离 【典例1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 1.（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得对称点的坐标，进而计算出线段的长度. 【详解】点关于平面的对称点为， 点关于轴的对称点为， 所以. 故选：A 2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 3.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 4.（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 5.（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 6.（25-26高三·全国·一轮复习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． 则(1)点到直线的距离为________； (2)直线到直线的距离为________； (3)点到平面的距离为________； (4)直线到平面的距离为________． 【答案】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，然后根据向量的坐标公式求出平面的法向量、直线与平面夹角的余弦值、直线与直线夹角的三角函数值，进而可求出结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， （1）则，， 所以，所以. 所以，所以点到直线的距离为. （2）, 所以，所以，所以. 所以直线到直线的距离是点到直线的距离. 因为，所以， 所以，所以点到直线的距离为. 所以直线到直线的距离是. （3），设平面的法向量为. 则有，即，令，则. 所以，所以. 所以点到平面的距离为. （4），所以. 所以平面，所以直线到平面的距离为点到平面的距离. 因为，所以距离为. 故答案为：；；；. 7．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，得到，结合，得到点到平面的距离； （2）由（1）得是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体  A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1  的棱长为4， 分别为，中点，且． 则， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，所以， 则，所以，即向量和为共线向量， 所以也是平面的一个法向量，所以平面， 又由，所以点到平面的距离. （2）由（1）知：向量是平面的一个法向量， 且，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 8．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 9．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 10.（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 1.（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，，，所在直线分别建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量,然后用空间向量点到平面的距离公式来计算. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.设，则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则即令，则，， 所以，则点到平面的距离. 故选：C. 2.（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：C. 3.（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 【答案】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式计算点到正方体各顶点的距离，进而统计不同取值的个数． 【详解】 不妨设正方体的棱长为， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，，， 因为点为对角线的三等分点，由正方体的对称性可知，无论靠近还是靠近，其到各顶点距离的取值集合相同，不妨设， 因为，所以， 设，则，解得， 所以，， ，， ，， ，， 综上点到各顶点的距离的不同取值有，共个不同的值． 4.（25-26高二上·云南昆明·期中）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【分析】要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形， 因此，故A正确. 对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，， 则，故B错误. 对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    则，那么 根据点到直线的距离公式： 又，， 代入可得.故C正确. 对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取， 根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确 故选：ACD. 5.（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【答案】(1)过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量方法，根据点到面的距离公式，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. 6.（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $