第5章培优课1　导数中的函数构造问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数中的函数构造问题，涵盖与x、e^x、sinx/cosx构造的三种类型。通过互动探究先呈现例题，再提炼“类型通法”，搭建从具体问题到抽象方法的学习支架，衔接导数基础与应用。 其亮点在于以“例题解析-通法总结-跟踪训练-分层作业”为主线，培养学生数学眼光（抽象函数模型）和数学思维（逻辑推理）。如例2构造h(x)=e^xf(x)分析单调性，学生能掌握构造技巧，教师可利用系统资源提升教学效率。

J入 第五章一元函数的导数及其应用 培优课1导数中的函数构造问题 返回目录 【学习与目标】 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些 简单的问题 互动探究通道 目录 Q 巩固提升通道 Q 高效课时作业 返回目录 互动探究通道 师生共研探究重点难点 返回目录 互动探究通道 类型一利用x)与x构造函数 【例1】（多选）已知fx)是定义在(0，十∞)上的非负可导函数，且满足f(x)十 x)≤0，对任意的正数a,b,若a<b,则必有(AD) A.bfb)≤afa B.ba≤ab) C.aa≤bb) D.afb)≤bfa 返回目录 互动探究通道 [解析]设gx)=xx),x∈(0，+∞)， 则g(x)=f(x)+x)≤0， .`·g(x)在区间(0，+∞)上单调递减或g(x)为常函数. .<b,.∴g(a≥g(b),即aa)≥bb), 又06,20， @,bi@≥o),放花AD 返回目录 互动探究通道 类题通法 x)与x构造常见的形式 (1)出现xf(x)+fx)的形式，构造hx)=x); (②)出现)一)的形式，构造h)=四 (3)出现nx)+xf(x)的形式，构造h(x)=x”x); ④出现)-)的形式，有造)-巴 返回目录 互动探究通道 [跟踪训练1](2023·黑龙江哈尔滨三中月考)已知x)为定义在(-∞，0)U(0,十 ∞)上的偶函数，1)=0，当x>0时，有2x)-xf(x)>0,则使x)>0成立的x的取值 范围是(D) A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-1,0)U(0,1) 返回目录 互动探究通道 解折令s6)一四， 其中x≠0，因为函数fx)为定义在(-∞，0)U(0,+∞)上 孔一x) 的偶函数，所以一)=)，所以8(-)一护空=，所以函数为偶函 数 当x>0时，g(x)= 财()-2)f四-2四0，所以函数g)在0，+) 上单渊境减，且8)-9-0，由小0可得8)-巴0，则g=8)>0-g, x<1, 所 x≠0， 解得-1<x<0或0<x<1, 因此，使x)>0成立的x的取值范围为（一1，O)U(0,1).故选D. 返回目录 互动探究通道 类型二 利用x)与e构造函数 【例2】 己知x)为R上的可导函数，其导函数为(x),且对于任意的x∈R, 均有f)+fx)>0,则(A) A.e2025-2025)0),e20252025)>0) B.e2025-2025)0),e202i2025)0) C.e2025-2025)>o),e222025)>0) D.e2025f-2025)>f0),e2025f2025)f0) 返回目录 互动探究通道 「解析] 构造函数h(x)=ex), h'(x)=e"f(x)+ef (x)=e"[f(x)+f(x)]>0, 所以函数h(x)在R上单调递增， 故h(-2025)<h(0), 即e22-2025)ef0), 即e225f-2025)<0) 同理，h(2025)>h(0), 即e2252025)>f0),故选A. 返回目录 互动探究通道 类题通法 x)与e构造常见的形式 (1)出现f(x)+x)的形式，构造h(x)=ex); (②)出现/)-例的形式，构造)-巴， (3)出现f(x)+nx)形式，构造h(x)=ex); (④出现)-f)形式，有造)-型 返回目录 互动探究通道 「跟踪训练2]定义在R上的函数fx)的导函数为f(x).若对任意实数x,有x)> f(,则不等式<0)的解集是0，十∞) 解析令g)型 , 对任意实数x,有x)>f(x), f(x)-fx) g()= <0, g(x)在R上单调递减. 但0-9，p8<s0, ∴.x>0,即所求不等式的解集为(0，十∞) 返回目录 互动探究通道 类型三利用x)与sinx,cosx构造函数 【例3】 已知函数)广对于任意的子，引 满足fx)cosx+x)sinx>0, 则下列不等式不成立的是(A) A.v得 B.威-H-到 C. D.02号 返回目录 互动探究通道 [解析] 构造Fx)= fx) cosx' f(x)cos x++f(x)sin x 则F(x)= cos x .f (x)cosx+fx)sin x>0, 0,F)-豆，引单调淡卷。 -天到周 0)K 2 1 2 2 把各选项转化后可知A不成立，B、C、D成立· 返回目录 互动探究通道 类题通法 x)与sinx,cosx构造常见的形式 (I)出现f(x)sinx+fx)cosx的形式，构造函数h(x)=x)sinx; (②)出现()sin x-一)cosx的形式，构造函数h=四 sin x' (3)出现f(x)cosx一fx)sinx的形式，构造函数h(x)=fx)cosx; (④出现cos+)sinx的形式，构造函数h= cos x' 返回目录 互动探究通道 [跟踪训练3]函数y=x)对于任意的x∈(0，r)满足f(x)sin>x)cosx,则下列 不等式成立的是(C) A.3 B.va2 c.}2侣 D.va 返回目录 互动探究通道 解析由函数y=fx)对于任意的x∈(0，)满足f(x)sin>fx)cosx, )sinx--fcos0,平}-0， 所以在0，举消造始。 相周局用 所以 7 3元 5π sin 6 sin 3 sin 2 sin 4 sin 6 故A、B、D错误，C正确. 返回目录 巩固提升通道 当堂巩固验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 1.已知fx)是定义在(0，十∞)上的函数，其导函数是fx),且当x>0时总有xf(x) >),则下列各项表述正确的是(D) A.21)≥2) B.21)>2) C.21)≤2) D.21)<2) 解析设8)-四，则g)- xf(x)-fx) x2 .当x>0时总有f(x)>x), .∴.当x>0时gx)>0, .∴·g()在(0，+∞)上单调递增， s0<g2.审49-9， .21)<2),故选D 返回目录 巩固提升通道 2.若定义在R上的函数y=fx)满足f(x)>x),则当a>0时，a与ef0)的大小 关系为(B) A.fa)<ef(O) B.f(a)>ef0) C.fa)=ef(O) D.不能确定 解折令H型，则5e@e九。00，从商在R (e2 上单调道增，于是当u心0时，a-@0)0=0,即a)e0 返回目录 巩固提升通道 3.(多选)两数)的定义域为0，》f是的导商数，月f水mx) 恒成立，则(CD) A.ovaa s c.3 D.vzova 返回目录 巩固提升通道 解析 依题意0<心2， 由f-tanx·,得f-。 ,即snx· +cosx·f(x)<0. 构隆轰)=园0e 则F因=osf+n四0， cos x 所以的0，单润递减. 所以月周 返回目录 巩固提升通道 cos6 cos 4 cos 3 所以后局 后 故选CD 返回目录 巩固提升通道 4.设x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，x)十xf(x)<0,且-4)=0，则不 等式xx)>0的解集为（一∞，一4）U(0,. 4) 返回目录 巩固提升通道 解析构造F(x)=x), 则F(x)=x)十xf(x), 当x<0时，x)+xf(x)<0, .当x<0时，F(x)<0, .Fx)在(-∞，O)上单调递减. x)为偶函数，.Fx)为奇函数， .Fx)在(0，+o)上也单调递减， 根据-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0, 根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象， 根据图象可知x)>0的解集为（一∞，一4）U(0,4) 返回目录 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 基础巩固 1.已知定义在R上的函数x)满足x)<一f(x),则下列式子成立的是(A) A.2024)>ef2025) B.f2024)<ef2025) C.ef2024)>f2025) D.e2024)2025) 解析依题意得x)+f(x)<0, 令gx)=ex), 则g(x)=e[x)+f(x)]<0在R上恒成立， 所以函数g(x)=ex)在R上单调递减， 所以g(2024)>g(2025), 即e20242024)>e2022025), 即2024)>ef2025) 12345678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 2.设定义在(0，+∞)上的函数x)的导函数f(x)满足xf(x)<1,则一定有(A) A.f3)-f(2)<In 3-In 2 B.3)-2)<3 C.f3)-f(2)>In 3-In 2 D.3)-2)>月 解析构造g(x)=x)-lnx,x>0, 则g=网-1<0， 即gx)在(0，+∞)上单调递减， 所以g(3)<g(2), 即3)-f2)<ln3-ln2. 12345 678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 3.已知函数x)的定义域为R,其导函数为(x),且3x)一f(x)>0在R上恒 成立，则下列不等式一定成立的是(A) A.1)e3f0) B.f1)e0) C.1)>eo) D.1)>e20) 解析 构造函数g)-积，则80)f国e沉了)一3树 (e32 e3x 因为3x)-f(x)>0在R上恒成立， 所以g0在R上框成立，放g创在R上单调递减，所以8g0,即M四四， 即1)e0) 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 4.(多选)已知fx)的导函数为f(x),且f(x)<x)对任意的x∈R恒成立，则(AB) A.f(In 2)<2f(0) B.f(2)<ef0) C.ln2)>2f0) D.2)>e3f0) 解析 令8田=型 f(x)-f(x) 则g(x)= e <0 故gx)在R上单调递减，而ln2>0,2>0, 故g(ln2)<g(0),g(2)<g(0), p20,9, 所以n2)2f0),2)<efo) 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 2 5.定义域为-2,2 的函数x)满足x)十一x)=0,其导函数为f(x),当0≤ 7时，有Y(x)cosx+sn0成立，则关了x的不等式·cosx的解集 Jt 为(B) 〔：4年到 2 c.〔ouo,4 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 解析 t=0里x-别 ∴x)是奇函数， 设8= cos x' 当0≤<2时， f(x)cos x+f(x)sin x g'(x)= cos x 上单调递减， 又x)是奇函数， g=也是奇函数， cosx 1 2345678910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 80在五0上单周道减， 从而8倒在分，上单润选减， 由不等式y骨。 cos x, 可得 fx) cos x π cos 元 即884， 可得42 12 3 45 678910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 6.设函数x)是奇函数x)的导函数，-1)=0，当>0时，f'(x)一fx)<0,则 使得x)>0成立的x的取值范围是（一∞，一1）U(0, 1) 解析 构造函数)= x 因为x)为奇函数，所以h(x)为偶函数， xf(x)-fx) 又因为h'(x)= x2 当>0时，xf()-fx)<0, 所以h(x)在(0，+∞)上单调递减， 根据对称性知h(x)在（一∞，O)上单调递增， 又-1)=0，所以1)=0， 数形结合可知，使得x)>0成立的x的取值范围是（一∞，一1）U(0,1) 12345678 10 14 返回目录 高效课时作业 7.函数定义在0，f-2,其导函数是f付，且os的n x恒成立，则不等式fx)>2√2sinx的解集为 (62 解析.fx)cosx≤f(x)sinx, .f (x)sinx-fx)cos x>0, 构造函数g)=四 sinx’ f(x)sin x-f(x)cos x 则gx)= sin'x 当xe0,时，g (x)>0, 12345678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 80, 单调递增， 品2v2 1 2 sin 6 :62 故不等式的解集为 6 元-2 12345678910 1112 13 14 返回目录 高效课时作业 8.设f(x)是定义在(0，T)上的函数fx)的导函数，有f(x)cosx一fx)sinx>0,若a -66-0,= 则a,b,c的大小关系是ab<c 解析设函数g(x)=x)cosx, g'(x)=f(x)cos x-f(x)sin x, 因为f(x)cosx-fx)sinx>0,所以g”(x)>0, 所以g)在(0，)上单调递增， a-6得s背弱 123 45678 910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 义 5π 元 s6=86 所以a<b<c 12345678910 1112 13 14 返回目录 高效课时作业 9.已知fx)的定义域为(0，+∞)，f(x)为fx)的导函数，且满足x)<一xf(x), 求(x+1)x+1)>(x2-1)x2-1)的解集. 解构造函数y=xx),x∈(0，+o∞)， 则y'=x)+f(x)<0, 所以函数y=)在(0，十∞)上单调递减. 因为(x+1x+1)>(x2-1x2-1), 所以x+1x2-1,且x2-1>0,x+1>0, 解得x>2, 所以所求不等式的解集是(2，+∞) 12345678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 10.已知函数y三x)是定义在R上的奇函数，当x∈（一∞，0）时不等式x)十xf '0成立，且a=3…e.b=og,3)og3).c-og·fogg 试比较 a,b,c的大小. 解构造函数Fx)=xx),则由题意可知当x∈(-∞，O)时，F(x)=fx)十f (x)<0, 所以函数F(x)=xx)在区间（一∞，O)上单调递减， 又因为y=x)是定义在R上的奇函数， 所以Fx)=xx)是定义在R上的偶函数， 所以Fx)在区间(0，+∞)上单调递增， 12345678 12 13 14 返回目录 高效课时作业 a=F(30.3),b=FIog3), c=f1ogg--2）=2, 因为1<33<V3,0<1og3<1, 所以log3<33<2,所以Flog3)KF(3.3)F2), 即b<a<c. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 能力提升 11.(多选)已知fx)为(0，十∞)上的可导函数，且x十1)：f(x)>x)则下列不等式 一定成立的是(BD) A.34)<43) B.44)>5f3) C.33)<42) D.33)>42) 12345678910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 解析 由(x+1)f(x)>x), 得(x+1)f(x)-x)>0, 令- x+1? 则g()= +1f四四0， (x+1)2 ∴.g(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴.8(2)g(3)8(4), g9, 即42)<33)，53)<44)，故选BD. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 义 12.若0<<b<1,则(D) A.e-ea<In b-In a B.eb-ea≥lnb-lna C.bea≤aeb D.bea-ae 12345678910112 1314 返回目录 高效课时作业 解析对于A、B,令)=e-nx,则f)=e-1 当0<<1时，f)=e-单调递增， 直月-3-20，f图-号-；-e-15729-150, 故存在，引，使得f)=0, 则当x∈(0，xo)时，x)=e一lnx单调递减，当x∈(xo,1)时，fx)=e-lnx单调 递增，由于0<a<b<l,此时a)=e-lna,fb)=e-lnb的大小关系不确定，故A、 B错误； 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 对于C、D,令g,则8)eC e(x-1) 当0<<1时，gw)<0,故g)=在(0，)上单调递减，所以当0<a<b1时， e ga>g),即后号，即be>ae,故C错误，D正确，故选D 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 13.已知函数fx)=xlnx十x(x-a)2,a∈R (I)当a=0时，求曲线x)在x=e处的切线斜率： (②若存在x∈及2，使得)戏立，求实数a的取值范围。 解(1)当a=0时，x)=xlnx+x3, 则f(x)=1+lnx+3x2. 当x=e时，f(e)=1+lne+3e2=3e2+2, 即曲线x)在x=e处的切线斜率为3e2+2. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 (2)由x)>xf(x)成立， 可 x2 ∠0 设8的-和-h+收-o,则答在c2,2使待g)-士2在o0成立， 又+2-5， 1 当且仅当x= 甲x=号时取等号， 2, 所以a心2. 所以实数a的取值范围为(V2,+∞) 123 678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 多元数学 14. (逻辑推理)（多选）若对任意的x1,2∈(m,十∞)，且x1<x2,都有 xlh一l血1<2，则m的值可能是（注：e=2.71828…为自然对数的底数）(BCD) X2一X1 A. 1-3 B.e C. 3-e D.1 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 解析因为2>x1,所以2-x1>0, xiln x2-x2ln x1 则 X2一X1 <2等价于xlnx-xln<2(x2-x), xln x2+2x1<x2lnx1+2x2, 所以1(lnx2+2)<x2lnx1+2), In x2+2 In x1+2 则 X2 X1 In x+2 令，=x， 可得x2)<x), 又2>x1>m, 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 所以x)在(m,+o)上是减函数， 令f-ns0, -In x-1 解得产。则m≥。 结合选项知B、C、D符合要求.故选BCD 123456789 10 11 12 13 14 Thank you for watching.