培优课2　与ex，ln x有关的不等式证明课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦一元函数导数应用，核心内容为与eˣ、ln x有关的不等式证明，通过经典不等式eˣ≥x+1和ln x≤x-1的证明及变形，结合导数单调性分析，搭建从基础到综合应用的学习支架，衔接导数工具与不等式证明方法。 其亮点在于以数学思维为核心，通过构造函数、放缩法等实例培养推理能力，分层设计互动探究、巩固提升及课时作业，强化知识应用。帮助学生发展逻辑推理和创新意识，教师可利用系统资源实施分层教学，提升教学效率。

第五章一元函数的导数及其应用 培优课2与e,lnx有关的不等式证明 返回目录 【学习与目标】 1熟悉常见的两类经典不等式e≥x+1和lnx≤x一1以及它们常见的几种变形形 式.2.掌握一般的证明不等式的方法. 互动探究通道 目录 Q 巩固提升通道 Q 高效课时作业 返回目录 互动探究通道 师生共研探究重点难点 返回目录 互动探究通道 类型一 经典不等式：e≥x十1 【例1】证明：(1)不等式e≥x+1,并指出等号成立的条件. (2)不等式e1≥x. 返回目录 互动探究通道 [证明](1)设fx)=e-x-1, 则f(x)=e-1, 由f(x)=0,得x=0, 所以当x<0时，f(x)<0; 当x>0时，f(x)>0, 所以x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以x)≥0)=0， 即e-x-1≥0， 所以e≥x+1. 显然，只有当x=0时取得等号. 返回目录 互动探究通道 (2)令fx)=e1-x, 则f(x)=e-1-1. 若x<1,则f(x)<0,则x)在(-∞，I)上单调递减； 若x>1,则f(x)>0,则)在(1，+∞)上单调递增. .∴.x)min=f1)=0, .x)≥0， .e-1≥x(当x=1时等号成立) 返回目录 互动探究通道 类题通法 (1)证明e≥x+1可以移项构造函数，转化为最值证明. (2)不等式中x换成其他表达式，可对e≥x+1进行变形，如e≥-x十1；e1 ≥x;e21≥2x等等. 返回目录 互动探究通道 「跟踪训练l]若x∈(0，)，求证：e>sinx+1. 证明要证e*>sinx+1, 即证e-sinx-l>0. 构造x)=e-sinx-1,x∈(0，元)， 则f(x)=e-cosx>0在(0，元)上恒成立， 故x)在(0，)上单调递增，fx)>e°-sin0-1=0, .∴x)>0,即e>sinx+l. 返回目录 互动探究通道 类型二 经典不等式：lnx≤x一l 【例2】 证明不等式lnx≤x一1，并指出等号成立的条件. 返回目录 互动探究通道 证明]由题意知x>0, 令x)=x-1-lnx, 所以f)=1-1I 所以当>1时，f(x)>0; 当0<<1时，f(x)<0, 故x)在(0,1I)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以x)有最小值1)=0， 故有x)=x-1-lnx≥1)=0， 即lnx≤x-l. 显然，x=1时取得等号. 返回目录 互动探究通道 类题通法 与lnx有关的常用不等式 ≤n≤-10e0,当且仅当x=1时，等号成立) (2nx≤。e0,当且仅当x=e时，等号成立 2(x-1) (3)l血x≤x+10<≤1，当且仅当x=1时，等号成立) (4)lnx≥ (x-1) x+1(≥1，当且仅当x=1时，等号成立) 返回目录 互动探究通道 跟踪训练2】已知o0,求证：产xh1+ 证明有造西数g=n（1+-1十则g0)=0 X 当0时，g()=1十x1+对=1十对0 即当x>0时，函数g(x)单调递增. 即g(x)>g(0)=0. 0， 故g)=ln(1+-1+x9 即xn0+ 返回目录 互动探究通道 类型三与e,lnx有关的不等式证明 【例3】已知函数x)=ae-lnx一l. (1)设x=2是x)的极值点，求x)的单调区间； (2)证明：当a≥d时，)≥0. [解] (L)的定义域为(0，+∞)，f()=ae-1 1 由题设知f(2)=0,所以a=2, 从而网=28e-血-l,f创-衣} 当0<x<2时，f(x)<0;当x>2时，f(x)>0. 所以x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0,2) 返回目录 互动探究通道 ②证明：当a≥d时，倒g1n-1 设8倒-81nx-1xc0,+e》。 则8)g日 当0<x<1时，g'x)<0;当x>1时，g'(x)>0 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时，g(x)≥g(1)=0. 因此，当a≥。时，)≥0. 返回目录 互动探究通道 类题通法 (I)与e和lnx(x>0)有关的不等式之间的关系e≥x+1>x>x-1≥lnx,常用该不等 式通过放缩证明一些问题.可借助函数图象进行理解. vA y=ev=x+l =x-】 v=lnx (2)在运用e≥x十1及lnx≤x-1之前一定要先证明 返回目录 互动探究通道 T跟踪训练3]已知函数x)=x2-(a一2)x-alnx(a∈R) (1)求函数y=x)的单调区间； (2)当a=1时，证明：对任意的x>0,fx)+e>x+x+2 返回目录 互动探究通道 解(1)函数x)的定义域是(0，+∞)， f(倒-2-a-2)-g+12x-0 当a≤0时，f(x)>0对任意x∈(0，+∞)恒成立， .函数x)在区间(0，十∞)上单调递增； 当a心0时，由f0得心号， 由f0,得0x号， 函数区问侣，十∞上单调适增，在区间0，引上单调道减。 返回目录 互动探究通道 (2)证明：当a=1时，x)=x2+x-lnx,要证明fx)+e>x+x+2,只需证明e -lnx-2>0,先证明当x>0时，e>x+1, 令g(x)=e-x-1(>0),则g(x)=e-1,当x>0时，g'(x)>0,gx)单调递增， ∴.当x>0时，gx)>g(0)=0, 即e>x+1, .'.e*-In x-2>x+1-In x-2=x-In x-1. ∴.只要证明x-lnx-1≥0(x>0), 令h(x)=x-lnx-1(>0), 则ie=1-o0. 返回目录 互动探究通道 易知h(x)在(0,1]上单调递减，在[1，十∞)上单调递增， ∴.h(x)≥h1)=0,即x-lnx-1≥0， .x)+e>x2+x+2. 返回目录 巩固提升通道 当堂巩固验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 义 1.若ex+x一m≥0恒成立，则m的最大值为(B) A.0 B.1 C.2 D.3 返回目录 巩固提升通道 解析设x)=ex+x-1, 则f(x)=-ex+1, 由f(x)=0,得x=0, 所以当x<0时，f(x)<0; 当>0时，f(x)>0, 所以x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以x)≥0)=0， 即ex+x-1≥0，所以ex+x≥1. 若ex+x-m≥0恒成立，则m≤ex+x, .m≤1，即m的最大值为1. 返回目录 巩固提升通道 2.若a463, 69 则(C) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1-Inx 解析 设)= 兰则)， 易知x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，即有6)<4)<3)， ,In 6 In 4 In 3 所以643，故ca<h 返回目录 巩固提升通道 3.试判断lnx+1)与x的大小关系为ln(x+1). 解析由题意知心一1， 令x)=ln(x+1)-x, 所以=中1-1= 一X 当-1<x<0时，f(x)>0; 当>0时，f(x)<0, 故x)在（一1,0）上单调递增，在(0，+o)上单调递减， 所以x)有最大值为0)=0， 故有x)=ln(x+1)-x≤f0)=0, 即lnx+l)≤x. 返回目录 巩固提升通道 4已知1，则品 <用“>”“≥”“<”或“≤”连接) x-1 xInx-x+1 解析 令gx)=x-lnx= .x∈(1，+oo),∴.lnx>0. 令fx)=xlnx-x+1(x>1), ∴.f(x)=1+lnx-1=lnx, 当>1时，f(x)>0, ∴.函数x)在(1，+∞)上单调递增， ∴x)>1)=0,∴.xlnx-x+1>0, .x∈(1，+o∞)时，g(x)>0, x-1 即x∈(1，+∞)时，1nxx 返回目录 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 基础巩固 1.(多选)下列不等式一定成立的是(AD) A.e>x B.e>x+1 C.e>ex D.e>Inx 解析e≥x十1，当x=0时可取等号，故A正确，B错误；又e1≥x,即e≥ ex,当x=1时可取等号，C错误；易知D正确. 12345678910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 2.函数=xnx,a=2,6=得c=付则a,b,c的大小关系是(B) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 12345678910 1112 13 14 返回目录 高效课时作业 解析fx)=xlnx的定义域为(0，+o),f(x)=1十lnx. 令树=1+hx0,可得。， 令f)-1+hr0,可得0日 所以=hx0,上单调说减，在很+上华调建转 因为茶六所以得相， 即b>c 图为b-得n子0，而a-2)-2n2>0, 所以c<b<a. 123436789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 J兀 3.在△ABC中，4A<B<C<2,)=cosx·,则下列结论一定成立的是(A) A.A)>B)>C) B.fA)<fB)<(C) C.A)>C)>B) D.B)<f孔A)<C) 解析f)=(-sinx)e+cosx·e=(cosx-sinx)e, 当4r2时，cosx-sinx<0, 即f)0,元)在年上单调送减， 又于4KB<C2, .A)>B)>C) 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 4.(多选)已知函数fx)=xlnx,若0<x1<x2,则下列选项正确的是(CD) A.）-园0 x1一X2 B.x1+x1)Kx2+x2) C.x2fx)xfx2) D.当x2>x1>时，x)+x)Pxx)十xx2) 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 x1)-fx2) 解析f)=lnx+1不是恒小于零，所以 X1-X2 0不恒成立，故A错误； 设h(x)=x)+x,则h'(x)=lnx+2不是恒大于零，所以x1+fx1)<x2+x2)不恒成 立，故B错误； 设)四-mx,西数单润递增， 所以8小Ps0.所以 即有xx2)>x2x1),故C正确； 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 1 当>时，lnx>-1,故f(x)=lnx+1>0, 函数=x1nx在。，+上单调递增， 故(x2-x1)[x2)-fx1)]=xfx1)+x2x2)-xx1)-xx2)>0, 即x1)+xx2)>x2x1)+x2),故D正确. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 5.设x,y,z为正数，且2=3y=5,则(D) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z Int In t 解析令2=3'=5=(cl),两边取对数得x=log21=n2y=log1=n32=logs1 I 2 3 5 h5,从而2x=h2n,3y-d3n1,5z=n3nt 235 由P1知，要比较三者大小，只需比较n2,n3,n5的大小. 24 又1n2-in4,ex3<4<5, 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 义 易)-在e,十四)上单调递减， In 3 In 4 In 5 可知3°>45>0， 345 从而n3in4in5,即3K2K5z,故选D. 12345678910 1112 13 14 返回目录 高效课时作业 6.设a= b8bm”n3,则a,b,c的大小关系为2b 1 2π，C= .(用>” 连接) In 3 层0=)。=2e,62,=n13= 解析 C三 3 2X3) Inx 1-Inx 令=2x0),则f6)=2x, 令f(x)≤0，得x≥e,所以x)在[e,+oo)上单调递减， 又因为e<3<元，所以e)>3)>π)，即a>c>b. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 8.已知对任意x,都有xe2一ax一x≥1十lnx,则实数a的取值范围是（一∞，11 解析根据题意可知>0， 由xe2-ax-x≥1+lnx, 可得a5e2 Inx+l -1(>0)恒成立， 令)=e2 In x+1 。—-l,则a≤fx)mm, 现证明e≥x十1恒成立，设g(x)=e-x-1, g'(x)=e-1,当g'(x)=0时，解得x=0, 12345678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 7.已知函数)=e,x∈R,则曲线y=)与曲线y=)x2+x十1有L个公共点. 解析令8)-)2+x+1 =e-2--1,x6R, 则g(x)=e-x-1, 由经典不等式e≥x+1恒成立可知，g'(x)≥0恒成立， 所以gx)在R上为增函数， 又g(0)=0,所以函数gx)有唯一零点， 即两曲线有唯一公共点· 123 6789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 当x<0时，g'(x)<0,gx)单调递减， 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 故当x=0时，函数g(x)取得最小值，g0)=0, 所以g)≥g(0)=0,即e≥x+1恒成立， 所以)=e2x In x+1 xe2*-Inx-1 X eln.xt2x-In x-1 -1 12345678910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 义 In x+2x+1-Inx-1 ≥ -1=1， X 所以x)min=1,即a≤1. 所以实数a的取值范围是（一o,1] 12345678910 1112 13 14 返回目录 高效课时作业 9.已知函数fx)=e-ln(x十2)，求证：fx)>0. 证明令g(x)=e-x-l,则g(x)=e-1, 令g(x)=0,得x=0, 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当>0时，g’(x)>0,g(x)单调递增， .∴.g(x)≥g(0)=0,即e-x-1≥0， ∴.e≥x+1(当且仅当x=0时，等号成立).① 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 令h(x)=x+1-ln(x+2), 月=1中-2. 易知hx)在(-2，一1)上单调递减，在(-1，十∞)上单调递增， .∴h(x)≥h(-1)=0,即x+1-ln(x+2)≥0， 即x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时，等号成立).② ①和②中的等号不能同时成立， ∴.由①和②得e>ln(x+2), 即x)>0. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 l0.己知函数fx)=ae1-lnx十lna. (I)当a=e时，求曲线y=fx)在点(1，f1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积； (2)若x)≥1，求a的取值范围. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 解)的定义域为(0，+o∞，f)=ael-1 )当a=e时，)=enx+1,f侧=e)=e+1,f(0=e-1,， 则曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)x-1),即y=(e- 1)x+2. -2 直线y=(e-I)x+2在x轴、y轴上的截距分别为e一，2 因北所求三有形的百求为5×。二 2 X2 e-1 12345678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 (2)当0<a<1时，1)=a+lna<1. 当a=1时，)=e1-nx,f(=el-1 当x∈(0,1)时，f(x)<0; 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0. 所以当x=1时，x)取得最小值， 最小值为1)=1， 从而x)≥1. 当a>l时，fx)=ae1-lnx+lna>e1-lnx≥x-lnx≥l. 综上，a的取值范围是[1，十o) 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 能力提升 11.已知)=x2-lnx,若x)>0在定义域内恒成立，则k的取值范围是(D) A.e B. e c.〔-e,20 D 解析 由题意得x)>0在定义域内恒成立， 即a2-lnx>0在(0，+o)恒成立， 即在(0，+∞)恒成立， In x 设g)=X, 12345678 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 x-2x In x 1-2ln x 则g(x)= x4 3, 当x∈(0，Ve)时，g()>0,gx)单调递增； 当x∈(Ve,+oo)时，g'(x)<0,g)单调递减， 所以当x=Ve时，g(x)取得最大值， 此时最大位为g⊙=心 所以实数k的取值范国是e,+∞， 故选D 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 12.已知函数x)=xlnx十x2,且xo是函数fx)的极值点.给出以下几个结论： ①0<n。:②o≥。：③)+0：④fw)+x00 其中正确的结论是①③·（填序号） 12345678910 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 解析x)的定义域为{xx>O}, f(x)=In x+2x+1, 所以f(xo)=lnxo+2xo+1=0, 所以2xo=-(no+1),即lnxo<-1, 所以03日： Axo)+xo=xoln xo+x+xo=xo(In xo+xo+1). 因为2xo=-(lnxo+1), 所以xo)+xo=一x<0. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 13.已知函数x)=xlnx,g(x)=x2-1)2为常数) (1)若函数y=x)与函数y=g(x)的图象在x=1处有相同的切线，求实数1的值； (2)若1，且x≥1，证明：)≤g, 解(1).函数x)=xlnx, g(x)=(0x2-1), .∴f(x)=1+lnx,g”(x)=2x, .函数y=x)与y=g(x)的图象在x=1处有相同的切线，∴f(1)=g(1), 1+1n1=22,解得2=号 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 (2)证明：当1=2，且x≥1时， 1 设a)=g)-x)=22-1)-xnx, .'.h'(x)=x-1-Inx,(x)=x-1-In x, g例=1-1≥0在1，十∞)上恒成立， .∴4x)mim=p(1)=1-1-ln1=0, ∴.h'(x)=x-1-lnx≥0在[1，+oo)上恒成立， ∴.h(x)在[1，+o)上单调递增， ∴.h(x)mim=h(1)=0,∴.h(x)≥0， 若=2，且x≥1，≤g 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 多元数学 14.(逻辑推理)已知函数fx)=e-ar-1,gx)=lnx-ax-1,其中0<a<1,e 1 为自然对数的底数，若3xo∈(0，十∞)，使fxo)g(xo)>0,则实数a的取值范围是 心2 解析令Mx)=e-x-1,x∈(0，+∞)， 则M'(x)=e-1, 当x∈(0，+∞)时，M(x)>0, 所以Mx)在(0，+o)上单调递增， 所以Mx)>MO)=0, 所以e>x+1. 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 由于0<a<1, 所以当x∈(0，+o)时，x)=e-ax-1>0, 故若3xo∈(0，+∞)，使xo)g(xo)>0, 可转化为3x∈(0，+∞)，有gxo)>0, g(xo)=In xo-axo-1>0, 即an1 Xo Xo 2-In x 令h(x)= nx1,则h()=x一 x x' 当x∈(0，e时，h'(x)>0, 123456789 10 11 12 13 14 返回目录 高效课时作业 当x∈(e2,+o)时，h'(x)<0, 所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e2,+o)上单调递减. 所以Me)g-令 所以0c日，即a0, 12345678910 11 12 13 14 Thank you for watching.