5.3.2第2课时函数的最大(小)值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2　第2课时　函数的最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应用 问题引入 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值． 新知探索 函数最值概念的理解 如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象. 答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). 问题1　观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值. 新知探索 函数最值概念的理解 答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3). 问题2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 新知探索 函数最值概念的理解 问题3　开区间上的连续函数有最值吗？ 答案 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值， 若有最值，则一定是在极值点处取到． 新知探索 函数最值概念的理解 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值． 新知探索 函数最值概念的理解 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和 最小值的充分不必要条件． 典例精析 题型一：极值与最值的关系 例1　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 解　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f ，极大值为f ；比较极值和端点值可知函数的最小值是f ，最大值在b处取得，最大值为f(b)． 典例精析 题型一：极值与最值的关系 反思与感悟　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 典例精析 题型二：利用导数直接求最值 f′(x)＝0时，x＝2，当f′(x)>0时，x<2，当f′(x)<0时，x>2. 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 例2　求下列函数： 典例精析 题型二：利用导数直接求最值 例2　求下列函数： 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0， 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 典例精析 反思与感悟　求函数最值需注意的点 (1)确定函数的定义域． (2)求出定义域内的每一个极值与最值． (3)比较所求的每一个极值与最值． (4)得出结论． 题型二：利用导数直接求最值 典例精析 题型三：含参数的最值问题 例3　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 解　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝a3. 典例精析 题型三：含参数的最值问题 反思与感悟　 (1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题． ②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 典例精析 题型四：由极值与最值关系求参数范围 例4　若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A.(－1，+∞ ) B.(－1,4) C.(