1.2 空间向量基本定理（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理核心知识点，系统梳理基底、基向量、正交分解概念，以及向量共线共面充要条件、夹角垂直模长公式，搭建从概念理解到分解运算再到几何应用的学习支架。 资料以题型分类（如基底判断、向量表示等）和分层练习（基础到迁移创新）为特色，通过例题变式培养数学思维与数学语言，课中辅助教师系统教学，课后助学生查漏补缺，提升空间观念与创新意识。

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 课标要点 1.理解空间向量基本定理，掌握空间基底、基向量概念，能写出向量在基底下的分解式。 2.掌握单位正交基底定义，会对任意空间向量进行正交分解，明确正交分解形式。 3.熟练运用向量共线、共面充要条件，将空间平行、共面几何问题转化向量运算。 4.熟记向量夹角、垂直、模长公式，区分向量夹角与异面直线夹角的取值范围。 学习重难点 重点： 1.空间向量基本定理与正交分解，能准确选取基底并完成空间向量分解运算。 2.向量共线、共面的充要条件，利用向量证明线线平行、多点共面等几何题型。 3.向量点积相关公式，包括夹角、垂直判定、模长计算，用于求解空间距离。 难点： 1.灵活选取合适基底分解向量，区分普通基底与单位正交基底的使用场景。 2.分清向量夹角和异面直线所成角范围，计算时正确转换角度取值。 3.几何问题向向量语言转化，借助共线、共面条件推理证明空间位置关系。 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量不________,那么对任意一个空间向量,存在________的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个________, 都叫做________．如果,则称为在基底下的分解式. 空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两________,且长度都为________,常用表示． （2）正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两________的向量,叫做把空间向量正交分解． 即学即练 1．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 2．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 知识点二 证明平行、共面问题 1.向量共线判定 对空间任意向量（），的充要条件：存在实数，满足________。 2.向量共面判定 若向量不共线，则向量与共面的充要条件：存在________一组实数，满足。 3.几何转化思路 直线平行、多点共线问题，可转化为向量共线证明； 多点、多直线共面问题，可转化为向量共面证明。 即学即练 3．已知空间的一组基，，．若向量与共线，则__________，__________． 知识点三 夹角、垂直、距离问题 1.向量夹角公式 设为向量与的夹角，则________。 特别提醒 向量夹角范围________，异面直线所成角范围________，二者范围不同，计算时注意区分。 2.向量垂直判定 若为非零向量，则________。 3.向量模长 ，线段长度、空间距离均可通过向量模长求解。 即学即练 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 题型01 空间向量基底的判断 解题贴士 空间三个向量能作为基底的充要条件：三向量不共面；反之，若三向量共面，则不能构成基底。 共面验证：假设存在实数，使，若能求出一组实数解，说明三向量共面，无法构成基底；无实数解则三向量不共面，可作基底。 典｜例｜精｜析 【例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型02 用空间基底表示向量 典｜例｜精｜析 【例3】在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【例4】如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式2-2】已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型03 由空间向量基本定理求参数 解题贴士 （1）证明线线平行技巧：选取公共起点写出两条直线对应的方向向量，用基底表示两个向量；证明两向量系数成比例，即可证平行；若三点满足，则三点共线。 （2）证明共面技巧：取平面内两条不共线向量作为基底，把目标点构成的向量用该组基底表示；若能写成两基底向量线性组合，则向量共面，对应点、线共面；四点，证，即可证四点共面。 典｜例｜精｜析 【例5】已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【例6】在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数______. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数______． 【变式3-2】如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______． 【变式3-3】在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则__________． 题型04 利用空间向量基本定理证明平行、共面问题 典｜例｜精｜析 【例7】已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【例8】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 【变式4-2】如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【变式4-3】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 题型05 利用空间向量基本定理解决垂直、夹角问题 典｜例｜精｜析 【例9】如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为． (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 【例10】如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（   ）. A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【变式5-3】在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 题型06 利用空间向量基本定理解决距离（长度）问题 典｜例｜精｜析 【例11】在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【例12】如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【变式6-3】如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 基础通关 一、单选题 1．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 4．设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 7．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 8．以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 10．在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 11．已知为空间中不共线的四点，且向量，向量，则在、、中一定与、共面的是__________. 四、解答题 12．如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 13．如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 14．如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 素养提升 1．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 2．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 4．已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 5．在直三棱柱中，，，则该三棱柱的体积的最大值为__________． 6．如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 7．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 迁移创新 1．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 3．在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量基本定理 课时目标 1理解空间向量基本定理，掌握空间基底、基向量概念，能写出向量在基底下的分解 式。 课标要点 2掌握单位正交基底定义，会对任意空间向量进行正交分解，明确正交分解形式。 3熟练运用向量共线、共面充要条件，将空间平行、共面几何问题转化向量运算。 4熟记向量夹角、垂直、模长公式，区分向量夹角与异面直线夹角的取值范围。 重点： 1空间向量基本定理与正交分解，能准确选取基底并完成空间向量分解运算。 2向量共线、共面的充要条件，利用向量证明线线平行、多点共面等几何题型。 3向量点积相关公式，包括夹角、垂直判定、模长计算，用于求解空间距离。 学习重难点 难点： 1灵活选取合适基底分解向量，区分普通基底与单位正交基底的使用场景。 2分清向量夹角和异面直线所成角范围，计算时正确转换角度取值。 3.几何问题向向量语言转化，借助共线、共面条件推理证明空间位置关系。 清主线 课时内容导图 1/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三向量不共面→任意空间向量唯一分解 空间向量基本定理 正交分解 1.单位正交基底：三基向量两两垂直，模长均为1 2.正交分解：向量拆分为三组两两垂直向量之和 向量共线：≠0，a川6台a=场 平行、共面证明 向量共面：，不共线，方=xa+币 几何转化：共线证平行/共点：共面证多点、多线共面 空间向量 夹角公式：cos0= d.6 区分两类角范围 基本定理 a·6 夹角、垂直、距离 垂直判定：非零向量d⊥i台d.b=0 模长公式：d创=√a·d,用于计算空间线段、距离 题型01空间向量基底的判断 题型02用空间基底表示向量 题型03由空间向量基本定理求参数 常考题型 题型04利用空间向量基本定理证明平行、共面问题 题型05利用空间向量基本定理解决垂直、夹角问题 题型06利用空间向量基本定理解决距离（长度）问题 理新知 教材全盘梳理 令知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯二的有序实数组(x,八，2)，使得 p=xa+yb+zC,其中{a,6,c}叫做空间的一个基底。a,c都叫做基向量.如果p=xa+y6+zc,则称 xa+6+zc为p在基底{a,6,c 下的分解式。 空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用i,,广表示。 (2)正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,y,zk,使 ā=xi+yj+z水.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解. 2/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《今即学即练 1.已知{a6,c为空间的一组基底，能与a+,a-b组成基底的向量是（) A.a B.b C.c D.a+2b 【答案】C 【详解】对于A,a=[6+列+(a-,a,a+6,a-6共面，不可为基底： 对于B,6-[6+)-6-刃，6a+a-6共面，不可为基底： x+y=0x=0 对于C,假设c,a+6,a-共面，则c=x(a+)+y(a-列则x-y=0,得y=0:即：为零向量， 这与a,b,c为空间的一个基底，c不为零向量矛盾，故c,a+方，a-方不共面，可作为空间的一个基底， 对于D,a+)-号6-列-a+26,a+6a-6a+26共面，不可为基底 2.在四面体OABC中，D是BC的中点，则AD=() A.0+0+0 B.01+505-0c c.0i-108-joc D.-04+108+0C 【答案】D 【详解】AD=AO+OD D是BC的中点，故OD=)(OB+OC), 故4D=40+0D=a0+05+0c列=-0i+o5+0c 《今知识点二 证明平行、共面问题 1.向量共线判定 对空间任意向量a,b(b≠0)，a‖b的充要条件：存在实数入，满足a=λb。 2.向量共面判定 3/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若向量a,b不共线，则向量p与a,b共面的充要条件：存在唯二一组实数x、y,满足p=xa+yb 3.几何转化思路 直线平行、多点共线问题，可转化为向量共线证明： 多点、多直线共面问题，可转化为向量共面证明。 。即学即练 3.已知空间的一组基{a,6,,m=a-6+c,元=xā+b+2c.若向量m与n共线，则x= y三 【答案】 2 -2 【详解】因为m与共线，所以存在实数九，使m=2n, a-B+6=A(xa+yb+2c)=Axa+Ayb+2Ac 所以 1=x,解得x=2, -1=y, y=-2. 1=2, 故答案为：2：-2 《◇知识点三 夹角、垂直、 距离问题 1.向量夹角公式 设9为向量a与b的夹角，则cos日=a~b lal-bl 特别提醒 向量夹角范围0°≤d80°，异面直线所成角范围0°<<90°，二者范围不同，计算时注意区分。 2.向量垂直判定 若a、6为非零向量，则a1b一ab=0。 3.向量模长 4/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 lal=Va.a, 线段长度、空间距离均可通过向量模长求解。 ◇即学即练 4.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=xOA+y0B-OC(>0,y>0),若M,A,B,C 41 四点共面，则x+y的最小值为(） A.4 B.5 c.2 D.9 【答案】C 【详解】因为M,4,B,C四点共面，则有OM=xOA+yOB-OC(x>0,y>0) 由共面定理可得，x+y+(-)=1,即x+y=2, 4 2 当且仅当x=y,即x=2y,即x=3y=3时，等号成立 故选：C 通题型 解题能力构建 ◆题型01空间向量基底的判断 解题贴士 空间三个向量a,b,c能作为基底的充要条件：三向量不共面：反之，若三向量共面，则不能构成基底。 共面验证：假设存在实数x、y,使c=xa+yb,若能求出一组实数解，说明三向量共面，无法构成 基底；无实数解则三向量不共面，可作基底。 典1例」精」析 【例1】若{ā，b,构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是() A.(a,a-b,b B.fa+b,a-b,c) C.a+b,c-a,b+c} D.{a+2b,c-2a,4b+} 【答案】B 5/48 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】a-(a-b)=b,故A不是： 不存在x,yeR,使得c=x(a+b)+y(a-b),故B是： a+b+c-a=b+c,故C不是： 2(a+2b)+c-2a=45+c,故D不是 【例2】（多选）在正四面体ABCD中，可以与AB+AC构成空间的一个基底的是() A.BC-CD,DA B.AB-2AC,CB C.BC-BD,CD-CA D.AB+AD,AC+AD 【答案】ACD 【详解】选项A:Bc-CD=(AC-AB)-(D-AC)=6-d-(e-6)=-a+25-c,DA=- 设k(ā+b)+k（-a+26-c)+k(-c)=0,整理得(k-k)a+(k+2k)b+(-k2-k)=0, 因a,万，c不共面，则系数全为0，所以k=k=k=0, 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确 选项B:AB-2AC=a-2b,CB=AB-AC=a-i, 三个向量都仅含a,b分量，都在平面ABC内，故共面，不能构成基底，B错误 C:BC-BD=(AC-AB)-(AD-AB)=(B-a)-(c-a)=6-c,CD-CA=AD-aC+AC-c 设k(a+b)+k(⑥-c+k,c=0,整理得kā+(k+k)5+(-k3+k)=0, 解得=k,=k=0,线性无关，故可构成基底，C正确， 选项D:AB+AD=a+c,AC+AD=i+c. 设k(a+b)+飞(a+c)+k(伍+c)=0,整理得(k+k)a+(k+k)万+（化+k)=0, 解得k=k,=k=0,线性无关，故可构成基底，D正确 变式巩1固圆 【变式1-1】已知{ā，b,c}是空间的一组基底，则不能与ā+6构成另一组基底的是() A.B,a-d B.B+c,a+cC.&a+b-20 D.B-d,a+b+c 【答案】C 【详解】对于A,假设存在实数元，4，使得i+b=5+4(ā-c)=ua+5-uc, 6/48 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=1 则元=1，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 4=0 24 所以ā+b,b,a-c不共面，能构成一组基底 对于B,假设存在实数元，u,使得a+b=6+c+u(a+c)=a+6+(2+)c, 4=1 则2=1，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 九+u=0 A u 所以a+b,b+c,a+c不共面，能构成一组基底 对于C,假设存在实数，u,使得a+b=+(a+b-2c)=ua+b+(亿-2)c, 4=1 4=1 则2-2μ=0，解得2=2：即存在实数2'u使得上式成立， 所以ā+b,c,a+b-2c共面，不能构成一组基底 对于D,假设存在实数元，u,使得ā+b=元⑥-c)+u(a+b+c)=ua+(2+u)5+(u-2)e, A=1 则九+=1，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 4-2=0 所以a+b,万-c,a+b+c不共面，能构成一组基底 【变式1-2】已知a,b,c为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是() A.a,a+b,a-b B.a+b,b+c,a-c C.a+b,B+c,a-2c D.a+b+c,b+3c,3a+2b 【答案】C 【详解】对于A,因为a=(a+列小+(Q-),所以a,a+6,a-6是共面向量， 故a,a+b,a-b不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意： 对于B,因为a+b=(⑥+c+(a-C),所以a+i,6+c,a-c是共面向量， 7/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故a+i,石+c,a-c不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意： 对于C,若a+b,b+c,a-2c共面， 则存在实数x,y,使得a+b=x(⑦+c+y(a-2)=ya+xb+(x-2y)c, y=1 因为 为空间中的一组基底，所以x=1 ,无解， a,b,c x-2y=0 所以a+b,b+c,a-2c不共面， 所以a+b,b+C,a-2c能作为空间中的一组基底，故C符合题意： 对于D,因为a+6+c=6+30)+6a+26). 3 所以a+b+c,b+3c,3a+2b是共面向量， 所以a+b+c,b+3c,3a+2b不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意 故选：C 【变式1-3】已知a,b,c是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是() A.b+c,b,b-c B.a-b,a-b-c,c C.a+c,a-b;b+c D.a+b,a-b,c 【答案】D 【详解】对于A选项，存在x=1,y=-2,z=1,使得1（⑥+©）-26+1（⑥-）=0，则三个向量共面，不能 构成一组基底： 对于B选项，存在x=-l,y=1,z=1,使得-1（ā-b)+1(a-b-)+1c=0,则三个向量共面，不能构成一 组基底： 对于C选项，存在x=-l,y=l,2=1,使得-1（ā+c)+1(a-b)+1(⑥+c)=0,则三个向量共面，不能构成 一组基底： 对于D选项，设x(a+b)+y(a-b)+zC=0,整理得(x+y)a+(x-y)b+zC=0, x+y=0 由 不共面，得x-y=0,解得 ,只有零解， a,b,c z=0 x=y=z=0 8/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则a+b,a-b,c三个向量不共面，所以能构成一组基底 。题型02用空间基底表示向量 典1例精1析 【例3】在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB=a,AD=b,AA=C,则下 列向量中与BM相等的向量是() D B D: --、 B 1-1 A.- +26+d 1-16+c B.-2a-2 1-1 1-1, c.2a-2 b+c D.2a+2b+c 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体ABCD-AB,CD中，B,M=B,B+BM 又因为M为底面平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点， 所以BM=2)8D=3(⑧A+BC) 在平行六面体中，BB=AA=c,BA=-AB=-4B=-,BC=AD=AD=i, 所丽0列=+0 21 2 2 【例4】如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，M为AC与B,D的交点，若AB=ā，AD=b,A4=c,则 下面向量中与BM相等的向量是() 9/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 1 A,2a+ 2 i+ 2 1 +c 1 C.-22 -a- D.2a- 2 【答案】A 【详解】由图可得，B丽-丽+aM=c+D-c+(D-)=c+6-d)=+6+无 变|式|巩1固 【变式21】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为线段PB,PD上的点， 若PG=GC,且G=xE+F,则x+y=（) E 4 3 A.1 B.2 c.3 D. 【答案】C 【详解】由题意可得，PG=C,设死=防：P厌=PD: AG=xAE+yAF=x(AP+PE)+y(AP+PF)=(x+y)AP+ixPB+uyPD G-亚+元=亚c-亚+c号亚+西+C), 因为AD=BC, 所u号p+(丽+网)-号0+号+0-号p+兮P+兮历+兮p+师-考p+兮丽+历 3 10/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以x+y= 3 【变式2-2】已知M是四面体ABCD的棱BC的中点，点N在线段DM上，且DN=2NM,P为线段AN 的中点，若DP=xDA+DB+zDC,则x+y+z=() A 2 B.4 C.6 5 D.1 【答案】C 【解1熟m-01+0m-i+号0丽-Di+50+0c0)-1+g0+c， 1 1 -1+1+1- 又DP=DA+yDB+DC,则x=2y=z=6,所以x+y+z=2+666 N- YP---4A M 【变式2-3】三棱锥P-ABC中，PA=a,PB=万，PC=c,且2PM=MA,CW=NB,则MN等于 () A.-a+6+c 1 。1 B.-5a- 32 2 +.+ 32 D 5a-26 【答案】A 【详解】由2PW=a,且m=P-PW,则2PW=P所-PW,整理得3Pm-PA=a,因此PW-0, 由C=阳：知w是BC的中点，则PN=P丽+P0)=5+ 2 2 由MN=P-PM,则 63a11 30￥ 6*2 11/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型03由空间向量基本定理求参数 醒题贴士 (1)证明线线平行技巧：选取公共起点写出两条直线对应的方向向量，用基底表示两个向量；证明两 向量系数成比例，即可证平行；若三点A、B、C满足AB=λAC,则三点共线。 (2)证明共面技巧：取平面内两条不共线向量作为基底，把目标点构成的向量用该组基底表示；若能 写成两基底向量线性组合，则向量共面，对应点、线共面；四点A、B、C、D,证 AD=XAB+yAC,即可证四点共面。 典1例精」析 【例5】己知四面体OABC中，OA=a,OB=6,OC=c,OM=MA(2>0),N为BC中点，若 + 2 +,则=) B A.3 B.2 C.Z D.3 【答案】D 【译解1因为0=以>0，所以ON=产04， 依题意可得MN=ON-OM 因为四=++，所以产子解得-号 1 4 22 12/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D. 【例6】在四面体ABCD中，点G为△ABD的重心，E,F，,H分别为AB,BD,DA的中点，且 CE+CF+C五=kCG,则实数k=一 【答案】3 【详解】如图，连接AF, -以D G 则AG=2GF, 故G=a号f-号a+号F-号0a+号o*号m, 而C正+cF+C丽-C+团+C©+c可)+D+)-C4+B+c而=cG,故k-3 故答案为：3 变1式1巩1固 【变式3】在四面体A8CD中，点g满足E0C,F为配的中点，且F-号亚+C+而，则 6 实数入= 2 【答案】 【详解】由F为BE的中点， 得f-孤+号正，又征+写C+名而， 由DE=DC,得AE-AD=(AC-AD) 即AE=AC+(1-2)AD, 13/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以1= 3 2 故答案为： 【变式3-2】如图，点O为△ABC所在平面外一点，点M为BC的中点，若AG=1AM与 0元-O1+O丽+0C同时成立。则实数1的值为一 M G B 【答案】 【详解14G-0c-oi=oi+4o6+0c-01=01+(o5+0c)=01+oM-4M,所以 4 1 故答案为：2 【变式3】在正四按锥pABC0,若E-号丽所-号(，平面与校pn交了点G:若 PG=PD,则1= 14/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 【答案】50.4 【详解】由已知可得，PC=PA+AC=AB+AD-AP由题知A,E,F,G四点共面， 可设F=xAE+yAG,则AP+PF=x(AP+PE)+y(AP+PG), 所以D+(aB+D-）=a+子xPB+vP+以P历 =P+号（丽-列+P+么D-). 整理可得， 3背gG0-0 2x 33y+y=0 12 又 不共面，所以有行5=0 ,解得 1 AP,AB,AD -y=0 2 5 2 故答案为： E D B 【点睛】方法点睛：若a,6,是空间一组基底，则空间任意一个向量d,都有d=xa+6+z心，且少2 的值唯一，这是空间向量的基本定理在具体应用时，可将已知或求转化为等量关系式，然后根据系数的对 应关系来对问题进行求解 。题型04利用空间向量基本定理证明平行、共面问题 典」例」精」析 【例7】已知么B,C三点不共线，点O在平面1BC外，点P满足OF=x01+0丽+号0C,则当点 5 P,A,B,C共面时，实数x=() 15/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A4 1 B.-5 1 c.5 D. 【答案】C 【详解】由点P,4B.C四点共面，且0P=xO1+20B+20C】 5 2,2 1 根据共面向量的基本定理，可得x+ 5+51,解得x=5: 【例8】四棱柱ABCD-ABCD的六个面都是平行四边形，点M在对角线HB上，且HM=MB,点 N在对角线AC上，且A'N=AC. (1)设向量AB=a,AD=b,AA=c,用a、b、c表示向量DB、DM； (2)若M、N、D'三点共线，求实数乙的取值. 1-1- 【答案】0D8=a-c-石，DM=b+行4-写： R 【分析】 【详解】(1)依题意D'B=DD+DB=-DD°+AB-AD=-AA+AB-AD=a-C-b, D'M=DA+AM=-AD+-4B 3 =-而+丽-到=-D+写0-号d =-b+1a-1 +30-30 D' Q B M (2)因为AC=A+AC=-AA+AB+AD=-c+a+b. 16/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点N在对角线AC上，且AN=AC, 所以A=AC=-c+a+b, D'N=D'4'+A'N=-4D'+AN=-Ac+a+(A-1)8. 因为M、N、D'三点共线，所以D'W=tD'M, 又a、b、c不共面，所以a、b、c可以作为空间中的一组基底， 〔3 1 t- 所以=，解得。 4 1 -1=-t 4 变式巩固 【变式4-1】已知{a,6,是空间的一个基底，m=2a+36-c,n=x(a-b列+y(6-d+4(a+©，若m1m, 则x+y=() A.0 B.-6 C.6 D.5 【答案】C 【详解】因为向量n=x(a-b)+y⑥-0)+4(a+c)=(x+4)a+(y-x)b+(-y+4)c, 又因为m=2a+3b-c,且m/n, x+4=2元 可得 则y-x=31,解得 n=入m -y+4=-元 元=2，x=0,y=6 所以x+y=6 故选：C 【变式4-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD‖BC,BC=2AD,PE=EA,PF=2FB,CG=2G, PH= H在棱PD上，若E,F,G,H四点共面，则PD 17/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EX B 【路案1片 【详解】由题知，设PH=PD, 则丽=P丽-所=而-}PA, 又EF=PF-PE=PB-}PA, 3 HEG-EF+FG-3PB-PA+PG-PF 丽m+Pc号丽=m+P元， 因为E,F,G,H四点共面， 所以EH=xEF+yEG 即m-Pi=x居丽-PA小(Pi+Pc月 又因为AD8C,则D=8C, 即PD-PA=(Pc-PB), 所以PC=2PD-2PA+PB, 所以G-元PA-P丽+PD名PA, 所以而=眉丽-网P西+号而-可） (名jPA+后+P丽+m 18/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 171 2- = 3 X= 6 2 11 21 6 所以 3+3=0 解得y= 4 2- 散P阴=4D,所以 PH 4 11 4 故答案为： 【变式4-3】如图所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD 设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心试用向量方法证明E、F、G、H 四点共面 H …F 【答案】证明：分别连接PE、PF、PG、PH交对边于M、N、O、R点 H D :y0 R N A 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心 所以M、N、、R为所在边的中点， 所以MNAC:且W=号4C,RQHC,且RQ-4C, 所以MN IIRO,MN=RO,故四边形MNOR为平行四边形， 19/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且有PE-Pm,F-号丽，PG-号Po,P丽-P限， 所以研=PF-PE=号（网-PW)号派，同理可得G=号0， 因为四边形MNOR是平行四边形，所以M=R@,所以EF=HG,则EFIIHG, 故E、F、G、H四点共面 【详解】略 ◆题型05利用空间向量基本定理解决垂直、夹角问题 典1例1精引析 【例9】如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，设AB=a,AC=b,A4=c,底面边长为V2, B (①)以{a,6,}为基底表示向量AB、BC: (2)若=1，求证：AB1BC: O瓜C-求 【答案】()AB=AB+AA=a+c,BC=b+c-a (2)证明见解析 3)=2 【分析】 【详解】(1)在正三棱柱ABC-ABC中，AB=a,AC=b,AA=c, AB=AB+BB=AB+A4=a+c, BC=AC-AB=AC+CC-AB=AC+AA-AB=b+c-a (2)由题意可知日==2，=1，(a,6=60°，(a,c）=(6,c=90, 20/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b=le60-(×号l,ac-68=0 :ABBC=(a+c)(6+c-a)=a-b+i.c+日f-=1+0+1-2=0, 故AB,⊥BC 3)aB8C-(a+c)6+c-a)=a-5+6c+日-=1+0+-2--1， g-a+可-后+2ac+e-2+月. BC-6+c-a=a+6+c+26-c-a-6-ad 2+2++2x0-1-0)=f+2, 故cos(AB,BC)= AB.BC-1 AB BC co=1 月+2co32 解得-2， 【例10】如图所示，在三棱柱ABC-AB,C中，CA=CB=CC,CA=a,CB=b,CC=c, a列=a,动=受，伍司受：N是B的中点 B (1)用a,6,c表示向量AN； (2②)在线段CB上是否存在点M,使AM1AN?若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】()4N=a+6-c 2 (②存在，CM=CB 3 【分析】 21/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】1)4W=4A+N-Cc+)B=-cC+C-C=-)a+i-c. 2 (2)假设存在点M,使AM⊥AN, 设CM=CB=6(∈[0,1)， 显然AM=A4+AC+CM=c-a+b, 因为AM⊥AN,所以AM.AN=0, me-a+酒(+5-小-0， 所以a+6-+-6+aa6+-6 a+日水6-2+5-合a6+=0, 设CA=CB=CC=1, 又a,=a,网-行，6，网= 时--合刘5号60， 个-+r-传（引r-0, 2 解得入=3： 所以当CM三名CB时，AM⊥4N 变|式巩1固 【变式5-1】如图所示，四棱柱ABCD-AB,CD中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为60°.设AB=a,AD=b,A4=C.则cos<BD,AC>的值()· D D B 22/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B. √6 7 C. D. 5 6 6 【答案】A 【详解】AB=a,AD=方，A4=c,同===1，<a,b>-<6,c>-<G,a>-60, .ibub-2m2 BD=BA+BC+BB=-AB+AD+A4=b+c-a, BD-(6+c-a-+62+c2+26.c-2c.a-2a.b-1+1+1+1-1-1-2, BD=V2,AC=a+6,AC2=a+2a.6+6=1+1+1=3, .AC=3,:BD.AC=(B+c-a)(a+B)=B.a+B2+a.c+B.c-a2-a.B =62+ac+6c-02=1t+-1=l, 22 .cos<BD,AC>= BDAC1=6 BDAC2x36. 故选：A 【变式5-2】如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，∠BAD=∠BAA'=∠DAA',AB=AD=AA'=2.设 AB=ā，AD=b,AA=c. D' (①用基底{a,b,表示向量BD,BA,AC: (2)证明：AC'⊥平面ABD 【答案】()BD=b-a,BA=c-a,AC=a+i+c. (2)证明见解析 【分析】 【详解】(I)已知AB=ā，AD=b,AA=, 23/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得：BD=BA+AD=万-a,BA=BA+AA=c-a,AC=AB+BC+CC=a+b+c. (2)设∠BAD=∠BAA'=∠DAA=0, 又AB=AD=AA=2, 则a-万=万.c=a:c=2×2cos0=4cos0,且2=b2=2=4, AC.BD=(a+B+c)(B-a)=a.b-a2+B2-a.B+c.B-a.c. AC.BD=4cos0-4+4-4cos0+4cos0-4cos0=0, 即AC'⊥BD, 同理可得AC⊥BA', 因为AC'⊥BD,AC'⊥BA',BDC平面A'BD,BAC平面ABD,且BD∩BA'=B, 所以AC'⊥平面ABD 【变式5-3】在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,AA=3∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，设 AB=a,AD=b,AA=c. D iN B C M B (若点M,N满足BC=2BM,DN=3D,试用a,6,c表示M; (2)求MN与AC夹角0的余弦值. 2,1x,3- 【答案】)M=-a+i+c 2 4 9 【分析】 【详解】(1)：BC=2BM,DN=3ND, w-8c-40-,D丽-D0-M- ac. 又AN=AD+DN,AM=AB+BM, :MN AN-AM AD+DN-(AB+BM 24/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5+-+-a++3 ②c-(a+6++列 =-+++6 =-4+号×4- 2×2+×3+3x3=3 3 3 2 网-( -f+5+2用-a5+5, 4 =4+2x4+16 ×9-2-3x -×3+ 4 393 3 4 16 4C=(a+6=a++2a.6=4+4+2×2=12, 3-2 ∴.cos(MN,AC)= MN.AC 31 MN AC x2 31· V16 ◆题型06利用空间向量基本定理解决距离（长度）问题 典」例」精」析 【例11】在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=1,AD=2,AA=3,且AB与AD的夹角为60°，AB 与A4的夹角为90°，A4与AD的夹角为120°，则体对角线AC的长度为() A.6 B.22 C.√0 D.25 【答案】C 【详解】AC=AC+C℃=AB+AD+A4, AC=(AB+AD+)=AB+AD++24B.AD+24B.A4+2AD.A4 -14+9+2x12*+21302x2x3-=10, 所以体对角线AC的长为V10 25/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B C D 【例12】如图，在六棱柱ABCDEF-AB,CDEF中，底面ABCDEF是正六边形，设AB=a,AF=i, 1 A=C.若os∠BM4=cos∠F1M=5,4B=2'AA=5,求： D (①)ACAD: (2AE. 【答案】(1)23 (2)7 【分析】 【详解】(1)依题意，底面ABCDEF为正六边形，连接对角线且交点记为O,如图： D B AC=44+AB+BC=44+AB+A0=-A4+AB+4B+AF =24B+AF-AA=2a+B-c, 4D=4C+CD=4C+4F=2a+B-c+B=2a+26-c, 由4B=2,A4=5,则同==2，=5， 由os∠B4=cos∠F4=5,则a-6-a5cos2-2, 3 a·c=|cos∠BA4=2,万.c=cos.∠FAA=2, 4C.4D=(2a+万-c)-(2a+26-=4+2++6a-6-4a-c-36.c 26/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =16+8+25-12-8-6=23 (2)由(1)知AE=AF+FE+EE=AF+A0+EE=AF+AF+AB+AA=a+2五+c, 因此AE=a+25+c=ld+45++4a.6+2a.c+46.c =4+16+25-8+4+8=49 所以AE=7 变式巩固 【变式6-1】已知线段AB,BD在平面a内，BD⊥AB,AC⊥a,且AB=2,BD=V3,AC=3,则C, D两点间的距离为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】由AC⊥a,线段AB,BD在平面Q内，得BD⊥AC,AB⊥AC,又BD⊥AB, 所以CAAB=0,CA.BD=0,AB.BD=0, CD'=(CA+AB+BD=CA'+AB'+BD'+2CA.AB+2C4.BD+24B.BD =C+A8+BD=16,从而CD=4, 故选：C 【变式6-2】在平行六面体ABCD-ABCD中，已知AB=AD=2,A4=V2,∠BAD=60, ∠AAB=∠AAD=45°，则AC的长度为 【答案】√22 【详解】在平行六面体ABCD-AB,C,D中，AC=AB+AD+AA, AC =(4B+AD+A4)2=4B+AD+44 2+24B.AD+24B.A4+24D.44. 因为ABP=ADP=22=4,1AAP=(N2)2=2. AB.ADAB‖AD1c0s60°=2×2×=2. 2 B.1A1cos45=2×2×5-2 aD.AM4D1c0s45=2x2×5-2 27/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以川ACP=4+4+2+2×2+2×2+2×2=22,即lAC=V22 D 【变式6-3】如图，D是正四面体OABC的棱BC的中点，点E在线段OD上，点P在线段AE上，且 DE=0E,AP=4北，设向茶OA=aO=6OC=C 2 41 PE A1 D B (I)用向量a,b,c表示OP和DP (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度。 【10om=++点，0m--5- 4 (2)V2 【分析】 【详解】山因为D是正四面体O1BC的核BC的中点，DE=OE, 所u0c-号0-号*o丽+oc)-o丽+oc， 所以op-01+40-0i+4证-01+2oc-0=01+o证 a0o+c-a+o丽+4oc 1- +五+ =40+ 4, 28/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所um-om-o-a+5+-6+小--4- 444 (2)由正四面体的棱长为4，可知同===4，且a,i,c两两夹角为60° 由（山知D-后-6--4后+P+e2-2a-6-2ac+26 6+16-2x4×4c0s60°-2x4x4c0s60°+2×4×4c0s60° 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 一、单选题 1,如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记AB=a,AC=b,AD=c,则BE=() B 1 A.-a+5b+ 2E B.d-2643 1 2 2 -6+ C. D.-1a+B+1g 2 2 【答案】A 【详解】连接AE,如图所示， :E是CD的中点，AC=b,AD=c, :AE=4c+D)=6+c), 在△ABE中，BE=BA+AE=-AB+AE, 又B-a丽=-a+6+)a++ 29/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2.如图，空间四边形OABC中，点M和点N分别在OA和BC上，且满足OM=2MA,B=NC,则下列向 量与MN是共线向量的是() M B A.-201-20s+0c 3 B.-40A+30B+30C C.04+0B-OC D.40A+40B-30C 【答案】B 【详解1由O2符oN-号O,由丽-C:将ON-OE+0C),。 所以m-0N-0m-o+0c)-号0i=号0i+0s+0c, 对于A假设类，则项=（号0-号O丽+号0c)无样，A箭误 3 对于B,m=-oA+)o8+0c=401+308+30C. 2 6 所以-40A+30B+30C与MN共线，B正确： 对于C,假设共线，则M瓜=2(OA+OB-OC）,无解，C错误： 30/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,假设共线，则M瓜=2(401+40B-30C),无解，D错误： 3.已知向量ā，b,是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是() A.{a+c,6+c,2a-2b} B.a.a+B+c.B+c C.a+B+8,2a+B.c D.{a,6,2a+2b 【答案】C 【详解】选项A:因为2a-2b=2(a+)-2(+c), 所以a+c,万+c,2a-2b共面，不能构成基底： 选项B:因为a+b+c=a+(6+c), 所以a+b+c,a,b+c共面，不能构成基底： 选项C:设存在元，ueR,μ，使得a+b+c=元(2a+b)+uc=2a+6+uc, [22=1=1 所以u=l,故方程组无解，故不存在实数元，山的值使得ā+万+c=2(2ā+b)+c, 所以a+b+c,2a+b,c不共面， 故{a+万+c,2a+6,可作为空间的一个基底： 选项D:2a+2b=2a+2b,所以a,b,2a+2b共面，不能构成基底. 故选：C 4.设{a6,}是空间的一组基底，向量0=a+36+c,若m=a-不，i=a+万-c,万=a-万+c,且 {m,i,}是空间的另一组基底，则OA=（) A.-4m+2万+3币 B.4m-2n+3p C.4m+2n-3币 D.4i+2i+3p 【答案】A 【详解】设OA=xi+n+印， 则x(a-b)+y(a+6-c)+z(a-b+c)=a+36+c, 所以(x+y+z)a+(-x+y-z)b+(-y+z)c=a+3b+c, 31/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y+z=1 x=-4 所以 -x+y-z=3解得： y=2 -y+z=1 z=3 所以OA=-4m+2i+3D, 故选：A 5.已知O是平面A8C外在意一点，点p在面HBC内，考O=名Oi+OB+A0c(1eR),则A的值为 () 2 1 3 A.15 B.3 D. 5 【答案】C 【详解】因为p与4B.C三点共面，且OP=4o1+!OB+0C, 15 根据空间向量份共面定理得推论，可得合甘入1，解得天一号 故选：C 6.如图所示，四棱柱ABCD-ABCD中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两 两夹角为60°.设AB=a,AD=b,AA=c,求BD的长() D B D C B A.√2 B.3 C.2 D.√6 【答案】A 【详解】由题可知，|al-bH-6=1,且<a,b>=<b,c>=<a,c>=60°， -1 故ab=bc=ac= 2:BD=BA+BC+DD=-AB+AD+A=b+c-a. 则BD2=(6+c-a2=a+6+c2+2b.c-2ac-2a.6=1+1+1+1-1-1=2, 所以BDFV2,即BD的长为√2 32/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 二、多选题 7.在长方体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB=ā，AD=b,AA=C,则下列式子正确 的有() P B D 7、、 A.AC=a+b+c B.AD=a+b C.AC=a+b-c D.AM-1a+16-8 2 2 【答案】AD 【详解】A:AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=ā+b+c,所以本选项正确： B:AD=AD+DD=AD+AA=b+c≠ā+b,所以本选项不正确： C:AC=AB+BC=AB+AD=a+b≠ā+b-c,所以本选项不正确： D,4=41+M=4+丽+0=-4+号5+)=6+a+列 今右+上万c,所以本选项正确 2 故选：AD 8.以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是() A.MP=2MA+3MB B.OP-104++LOM 2 3 C.PM·AB=0 D.PM‖AB 【答案】ABD 【详解】对A:若MP=2MA+3MB,结合向量基本定理知：M匝，M,MB为共面向量，故四点P、MA、 B共面，A正确： 对B:若0D-O+O丽+名OM,且时+。1，结合向量共面的性预知：四点卫从4B共直，B 2 3 6 33/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正确： 对C:若PM·AB=O,则PM⊥AB,可知直线PM,AB的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不 一定共面，C错误： 对D:若PM‖AB,可知直线PM,AB的位置关系：平行或重合，故四点P、MA、B共面，D正确： 故选：ABD 三、填空题 9.已知向量p在基底{a,6,c下的坐标是(2,3，-l),则p在基底{a,a+6,b+c下的坐标为一 【答案】（-2,4，-1) 【详解】由题意可知币=2a+36-c,设p在基底{a,ā+b,五+}下的坐标为(x,y,z), 所以p=xa+y(a+b)+z(6+c)=(x+y)a+(+z)b+zc, x+y=2 [x=-2 可得y+z=3→y=4,故在基底 下的坐标为 z=-1 z=-1p a,a+b,6+c} （-2,4,-1) 故答案为：（-2,4，-1) 10.在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且CE=CP,若BE=xBA+yBC+zBP,则 2 x+y+Z= 【答案】1 【详解】因为5是棱PC上一点，且CE=CP,即E是棱PC的中点， 所以B死=(8c+BP)=0-BA+)8C+)B即， 2 11 则x+y+3=0+2+21 故答案为：1 11. 已知0、A、B、C为空间中不共线的四点，且向量ā=OA-OB+0C,向量b=OA+OB+0C,则在 OA、OB、OC中一定与a、b共面的是 【答案】OB 34/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为20B=i-a,故0B与a、万共面， 若OA与a、6共面，则O1=x(OA-OB+0C)+y(OA+OB+0C),x,y∈R, 整理得到：OA=(x+y)OA+(y-x)0B+(x+y)oC, 因为O、A、B、C为空间中不共线的四点，故OA,OB,OC不共面， x+y=1 故y-x=0,无解，故与、不共面： x+y=0 OA a B 若0C与a、6共面，则OC=a(OA-0B+0C)+b(OA+0B+0C)a,beR, 整理得到：0C=(a+b)0A+(仍-a)0B+(a+b)oC. a+b=0 同理可得b-a=0,无解，故与、不共面： a+b=1 oc a b 故答案为：OB 四、解答题 12,如图所示，已知直三棱柱ABC-AB,C中，D为4C的中点，∠ABC=60°，AB=2,BC=CC,=1, D B B (①)用BA,BC,BB表示AB,CD: (2)求AB,·CD 【答案】0瓜-A+丽，CD丽+B1-BG, 【详解】(1)AB=AB+BB=-BA+BB, 35/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D-G+CD-+C=8丽+=86+8a-8d (2)由题意可知，BA-2,BC=BB=1,<BA,BC>-60°， <BB,BA>=<BB,BC>=90°， 所以BA·BC=2×1×cos60°=1，BB·BA=BB·BC=0 所以ABCD-(←BA+BB)BB+(BA-BG =A丽A+8C+8丽服+8丽BA-8职-8c 1 4+x1+1= 1 2 2 2 1,如图，在直=楼柱BC-ABG中，B=4C=M=3,∠BAC=于，D-写BA. (L)用AB,AC,AA表示CD: (2)求直线CD与直线AC所成角的余弦值： 【答案1四D-号丽-4C+兮 3 24 【详解】(BD=8A, 3 故CD=CB+BD=C丽+BA=AB-AC+(aM-AB) -号孤-c+: 2由4)知，D号B-C+号瓜，两边平方得 3 36/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而-后-c兮 9 9 因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，AB=AC=AA=3, 所以AB⊥AA,AA1AC,故ABAA=4AC=0, .ac-Ccos号=3x3cos-号 32 49=8 所以CD=4+9+1-3×2 故CD=2W2 因为4C=VAC2+CC=32,故4AC=3V2, 设直线CD与直线AC所成角为O, 而c-（号孤-c+号(c+a 号4c+丽-aC-cM+4c.4+兮4 3 2x9 =32 9+3=-3. CD.AC 3 所以Cos0= 1 CDAC 2V2×3√24 所以直线CD与直线AC所成角的余弦值为4 14.如图，平行六面体ABCD-ABCD,中，AC与BD相交于M,设B=a,AD=i,AA=C. D A B D (I)用a、五、c表示B,M: (②)若该平行六面体所有棱长均为1，且∠AAB=∠AAD=60°，∠DAB=90°，求B,M 37/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-12- 【答案】（①）2a+2h-c 2 ②6 【解1山8=福-孤西+而)-（西+丽）+)-(a+)=+- 2由题意：同--=l,06=0a-c=6-=1x1xcos60°= 2 w-(a+号5-ej-+-a-- a+1-0+113 2221 所可 ©素养提升 1,如图，平行六面体ABCD-4RCD的所有棱长为2，四边形HBCD是正方形，∠A4D=∠AB-膏， 点O是B,C与BC的交点，则AO的长为() D B D A色 B A.1 B.2 C.3 D.2√ 【答案】C 【详解】由题意得(，D)-子(4，)=于(4，D)-于，团-D--2 所以AB.AD=2x2xc0s7=0,A4·AB=2×20s=2,4AD=2×2c0s=2 3 3 又因为40=+80=6+c+码=+0+号4. 2 38/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所似40西+号而+号八=花+}而+瓜+0+兮而双 =22+x2+×22+0+2+与×2=9，故A0=3, 4 4 2.在四棱锥P-4BCD中，底面ABCD是平行四边形，BP=)BE,CP=2C,平面ABF与棱CD交于月 2 DG G,则oc() B.3 c D.4 【答案】C 【详解1因为即-距，C印-20GF: 所旺-号酽-厨+丽列-号D-, F=p引@+)-cp-a0+-0-孤 DC=元→DG=Dc=AB, 设DC 亚=西+死=孤+号0号丽=+号亚， 那=C+=而+丽+号p0-孤0+号丽+0 2 2 显然AF,AE不是共线向量 因为平面ABP与棱CD交于点G,所以A,E,F,G四点共面， 因t有4G=正+F=0+0G=传B+号P0+4B+0 →而+-得+*传+]丽+而 因为AD,AB,AP彼此两两不互相共线， 39/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2 所以有 x+ X=- 3 2 21 0= x+ 3 DG 1 所以DC2 P E A B 3. 已知向量a,6,c是两两不平行的向量，且(a+35)/(6+),(2ā+c)/(佰+c),则k的值为 【答案】-6 【详解】方法一：因为(a+36)/(6+c),所以ā+35=x(6+c) 因为(2a+kc)/(6+c）,所以2a+kc=y(6+c), 所以k-65=(y-2x)b+(y-2x), k=y-2x 因为6，不平行，所以6=y-2x,所以k=6 方法二：因为(a+36)/1(⑤+c),(2a+k)1/(6+c,a,ic两两不平行， 所以，a+3b=x(2a+kc) 40/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a,b,c不共面，所以1=2x,3=0,0=xk,矛盾， 所以a,6,c共面，可设c=a+b, 所以a+36=x(2a+k2a+kb), [1=2x+kx 所以3=kx 因为(a+36)/(6+c),可设ā+36=y(6+c)=6+nā+yb, 所以1=2,3=y+y4, 所以3(2+k2)=k,3=1+4, 6+k(1+)=k4,所以k=6 4已如三楼摧p-C的休积为13.y是学间中-点，者P丽=阻+P丽+普元，则三楼维 13 A-MBC的体积是 【答案】7 【详解】因为PA=PM+MA,PB=PM+MB,PC=PM+MC, W=+丽+元. 所以P丽=吉(Pm+M+(PW+@+(PW+MC), 131 两边时袋名名m:-。如+©-号 名号1，所以在平面C内存在一点D使相而-石+号@+号WC成之， 因为6+23 所以。PW=M而，即MD=7PD, Γ13 7 ×13=7. VA-MBC =VM-ABC =13VP-ABC-131 故答案为：7. 41/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D B 5. 在直三棱柱ABC-48C中，=码=2，AC,CB=4,则该三棱柱的体积的最大值为， 【答案】2 【详解】取{AB,AC,AA}为空间中一组基底，记为{a,6,c,易知c1a,c16,园==2， 则4CCB=-(6+c小(a-6+c)=-6-i2+c2=4,即a-6-2=0=i-(a-b): 所以AC⊥CB,不妨设AC=x,则BC=V4-x, 该三棱柱的体积为-4F×2=F4-F)s+）-2. 2 当且仅当x=√2时取得最大值， 故答案为：2 6.如图，在四面体OABC中，0A=0B=2,OC=V5,∠A0B=60°，∠A0C=∠B0C=45°，点E,F 分别为OA,BC的中点： B (I)求线段EF的长： ②老0G-O丽.五-号a,求证：E"p:G四点共面 3 3 【答案】05 2 42/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由题意知， 0c=, 3 因为0m-3a-0丽-0c-引ai-oc),所0m-号a+, 所以a证=0E-o6=0},G所=oF-0c-6+6=。5+, 6 G丽=0i-0G=2a-16+1 333 不设a丽=0E+际-0-5+=传化5+ 4 33 3 根据共面向量定理，G,GE,GF共面，即E,F,G,H四点共面 【详解】(1)设OA=a,0B=b,0C=c,且E,F分别为OA,BC的中点 所以f-oF-oE=6+da-6+c- 则E=46+c-aj=4（@++c2-2a6-2a-c+26: 44+4+3-4-26+26)=子， 所以列= 2 (2)略 7.如图，在平行六面体ABCD-4BCD中，AB=a,AD=b,AA=c,∠DAB=90°， ∠AAD=∠AAB=60°·点MN是棱AB、DC的中点，点P是对角线AC上一点（包括端点），且满足 AP=AAC D A B M B (1)若M、N、P三点共线，求九的值： 43/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若对角线AC=1,求c的最大值： 【答案】（①2 (2V2 【详解】(1)设基向量ā=AB,b=AD,c=AA」 则-五孤=瓜+40+0N=瓜+而+丽-+5+e, 因为AC=AA+AC=-AA+AB+AD=a+万-c, 所以AP=AA+AC=Aā+6+(1-)， 因为M、N、P三点共线，设AP=tAM+(1-)A瓜， 则4P=a+0-a+5+ja+1-05+0-0e, 所似-号=1-l-=1-1,得== (2)因为4C=a+b-c,且(a,b=90,(a,c)=(⑥，c)=60°， 所以4C=+62+c2+2a-6-2ac-2b.c=a2+b2+c2-ac-bc=1, o-joj1.6--10, 故c2≤2，即0<c≤V2,所以c的最大值为2 迁移创渐 1.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，P为正方体表面上的动点，若AP:CP+1=0,则点P的运动 轨迹的长度为() A.2π B.4π C.6π D.12π 【答案】D 【详解】取AC的中点为O, 则A⊙=5，Ap.Cp=(Op+Ao)(Op-Ao)=OP-3, 44/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为APCP+1=0,所以O丽=V2, 故点P在以O为球心， √2为半径的球面上， 所以点P的轨迹在正方体的每个面上均是半径为1的圆， 则6个圆的总周长为6×2π=12π. D B B 2.如图，在棱长为2的正四面体A-BCD中，P为CD上的动点，M为AB上靠近A的三等分点，N为 AP的中点，BN与PM交于点Q. N M (I)用PA,PB表示PM: (2)若点P为CD的中点，求PDPB的值： 3)若P.PB=16 DP 15,求DC的值。 【答案】)PM-PA+PB Γ3 3 (2)1 DP 1 2 3DC3或3 【详解】（山）在A4BC中，AM=写4B, -丽-网列. 45/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PW=P+AM-PA+P吸 (2)设P9=PM, :由1)可知，P0=PM-号Pa+P丽 3 wPA,顶=号m+丽 :N,B,O三点共线， +2=1,元= 3 :.PO=2PA+1PB 5 5 PA=PB=22+1-2-21写=5 :由余弦定理可得0s∠APB=}+(W⑤-21 2V3V33' :.PA-PB=1, Pm.丽-n丽丽-m+丽-1 51 (3)设DP=x,由余弦定理可得PA=Vx2-2x+4, 由正四面体得PA=PB=Vx2-2x+4, Cos∠APB (W2-2x+4+(V2-2x+4-22x2-4x+4 2Vx2-2x+4Vx2-2x+4 2(x2-2x+4) 而m-可0同可女 P0.PB=16 5 ∴.化简得9x2-18x+8=0, 2 4 :解得=3或x=3, DP 1 2 DC=3或3· 46/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.在平行六面体BCD-ABCD中B=AD=M=1∠B1D=∠B4=∠D4且名∠BD<受则 AC·AC的取值范围为() A.(2,2+23)B.(2,2+5) C.(2,3) D.(2,4) 【答案】A 【详解】由题意得AC=AB+AD,AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA, 所以AC·AC=(AB+AD)(AB+AD+A4） =AB+2AB.AD+AD+AA·AB+AA·AD =2+2coS∠BAD+coS∠BAA+CoS∠DAA=2+4coS∠BAD 由管<∠BD<经得0<cas∠B4D< 2 所以2<AC.AC1<2+2V5 故选：A 4.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，且满足DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD,则DE的最小值是 【196 【详解】因DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD, 则DE-DD=x(DA-DD)+y(DC-DD),即DE=xD,A+yD,C, 因DA,DC不共线，则DE,DA,D,C共面，则E∈平面DAC, 则DE的最小值是D到平面D,AC的距离d, 因正方体棱长为2，则等边三角形DAC的边长为2√2， 因a=ae则写2-acd, 则d=2= 2×2×2x2 2N3 S.ADC 3 47/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 故D正的最小值 D C B A 2V3 故答案为： 3 48/48