专题20 一元二次方程高频选择填空题分类训练（12种类型60道）【暑期培优】2026年八升九人教版数学暑假培优计划

**基本信息** 以12类高频题型系统整合一元二次方程知识，通过60道题构建从概念到应用的完整逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及参数|10道|判断方程类型、求参数值|从概念本质出发，强化二次项系数非零核心| |解法体系|20道|配方法变形、公式法应用、因式分解及换元|按代数变形逻辑递进，覆盖四大基本解法| |根的性质|10道|判别式判断根情况、求参数范围|衔接方程解法与根的存在性，体现逻辑推理| |应用拓展|20道|整体代入、新运算、实际问题建模|从代数推理到实际应用，发展应用意识与数据观念|

专题20 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 一元二次方程的定义】 1 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【类型3 整体代入】 4 【类型2 一元二次方程配方法】 6 【类型5 判断根的情况】 8 【类型6 利用根的判别式求参数】 9 【类型7 一元二次方程的公式法】 11 【类型8 因式分解法解一元二次方程】 13 【类型9 换元法解一元二次方程】 14 【类型10 根与系数的关系】 17 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 18 【类型12 一元二次方程的实际问题】 20 【类型1 一元二次方程的定义】 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 4．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 5．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 9．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 10．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【类型3 整体代入】 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 13．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 14．若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 【答案】C 【分析】将根代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 15．设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】C 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 【类型2 一元二次方程配方法】 16．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 17．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 18．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 19．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 20．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 【类型5 判断根的情况】 21．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 22．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 23．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 24．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 25．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：将原方程整理得， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【类型6 利用根的判别式求参数】 26．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 27．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 【答案】C 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 28．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 29．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 30．若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“方程有实数根时，根的判别式大于等于”列不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 【类型7 一元二次方程的公式法】 31．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 32．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 33．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 34．在用公式法解一元二次方程时，代入a，b，c得到，则求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：∵公式法解一元二次方程时，代入a，b，c得到， ∴， ∴一元二次方程为， 故选：A． 35．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴时，一元二次方程能用公式法求解， 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【类型8 因式分解法解一元二次方程】 36．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 37．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 38．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 39．一元二次方程的根是____． 【答案】 【详解】解： 或 解得． 40．方程的根是____． 【答案】， 【分析】由因式分解法直接求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，． 【类型9 换元法解一元二次方程】 41．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 42．若x、y为实数，且，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 43．若实数，满足，则的值为________． 【答案】8 【分析】本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 44．已知x为实数，若 ，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 设，代入求解，进而根据根的判别式判断是否成立即可． 【详解】解：设， 则， ， 即或， 解得：，， 当时，，，成立； 当时，，，不成立； 则． 故答案为：． 45．已知关于x，y的方程，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，设，将原方程转化为关于 z的方程，解得或，由，故可得解． 【详解】解：设，将原方程转化为关于 z的方程： ， 因式分解：， 解得：或， ∵， ∴． 故答案为：7． 【类型10 根与系数的关系】 46．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 47．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 48．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 49．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 50．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 51．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 52．定义新运算： 若， 则x的值为__________ 【答案】或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法的应用，根据新运算的定义，将代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， 根据题意，， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 53．对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算将原方程化为一般式，利用根与系数的关系求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 54．对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为________． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 代入得，． ∴ ∴ 解得，． 故答案为：1． 55．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 【类型12 一元二次方程的实际问题】 56．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 57．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 58．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 59．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 60．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 一元二次方程的定义】 1 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 2 【类型3 整体代入】 2 【类型2 一元二次方程配方法】 2 【类型5 判断根的情况】 3 【类型6 利用根的判别式求参数】 4 【类型7 一元二次方程的公式法】 4 【类型8 因式分解法解一元二次方程】 5 【类型9 换元法解一元二次方程】 5 【类型10 根与系数的关系】 5 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 5 【类型12 一元二次方程的实际问题】 6 【类型1 一元二次方程的定义】 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 5．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 10．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【类型3 整体代入】 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 13．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 14．若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 15．设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【类型2 一元二次方程配方法】 16．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 17．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 18．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 19．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 20．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【类型5 判断根的情况】 21．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 22．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 23．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 24．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 25．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【类型6 利用根的判别式求参数】 26．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 27．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 28．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 29．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【类型7 一元二次方程的公式法】 31．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 32．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 33．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 34．在用公式法解一元二次方程时，代入a，b，c得到，则求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 35．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【类型8 因式分解法解一元二次方程】 36．方程的解为_____． 37．方程的根是__________． 38．方程的根是__________． 39．一元二次方程的根是____． 40．方程的根是____． 【类型9 换元法解一元二次方程】 41．已知实数x满足，则代数式的值为________． 42．若x、y为实数，且，则的平方根是__________． 43．若实数，满足，则的值为________． 44．已知x为实数，若 ，则_______． 45．已知关于x，y的方程，则______． 【类型10 根与系数的关系】 46．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 47．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 48．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 49．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 50．已知，是方程的两个根，则__________． 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 51．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 52．定义新运算： 若， 则x的值为__________ 53．对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 54．对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为________． 55．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【类型12 一元二次方程的实际问题】 56．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 57．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 58．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 59．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 60．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $