专题01_生活中的立体图形与展开折叠 导学案 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦生活中的立体图形与展开与折叠，引导学生从书本、易拉罐等实物出发认识立体图形特征，梳理柱体、锥体、球体分类及正方体展开图规律，搭建从生活到数学的学习支架。 资料亮点在于强化动手与思维结合，通过剪画展开图培养空间观念与几何直观，分层检测含基础、提升及探究题，结合深圳市民中心建筑等实例提升应用意识，四维认知小结深化转化与对应思维，助力核心素养发展。

北师大版七年级上册数学思维课系列 专题01 专题01 生活中的立体图形与展开与折叠 思维课 （解析版） 一、知识解读 【看结构】从生活中的实物出发，认识立体图形的特征。 1. 生活中常见的立体图形有：正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球。 图1：常见立体图形总览 （书本→长方体，易拉罐→圆柱，金字塔→棱锥，足球→球） 2. 圆柱有3个面，其中侧面是曲面，底面是平面(两个圆形底面)。 3. 棱柱的上下底面全等且平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等。 4. 立体图形按形状可分为三大类：柱体、锥体、球体。 其中柱体包括圆柱和棱柱，锥体包括圆锥和棱锥。 5. 正方体有6个面、12条棱、8个顶点。 6. 正方体的展开图共有11种基本形式，一条直线上最多有4个面。 11种展开图可分为四类："一四一"型(6种)、"二三一"型(3种)、"三三"型(1种)、"二二二"型(1种)。 图2：一四一型展开图 图3：二三一型展开图 图4：三三型展开图 图5：二二二型展开图 7. 展开与折叠的关系：立体图形↔平面展开图。展开是将立体图形沿棱剪开铺平，折叠是将平面展开图沿边折起围成立体图形，二者互为逆过程。 二、思路溯源 让我们一起来还原"怎么想到正方体展开图规律"的完整思维路径。 看结构：正方体有6个面、12条棱、8个顶点。如果沿某些棱剪开，将6个面铺平在同一个平面上，这6个面在平面上该如何排列？每个面都是正方形，相邻面之间通过公共棱连接，展开后这些连接关系以边的形式保留在平面图形中。 换表征：我们将三维的立体图形"翻译"为二维的平面图形——这就是"翻译"维度的体现。正方体的每个面在展开图中仍是一个正方形，但空间中的相邻关系变成了平面上的边相邻关系。这种表征方式的转换，让我们能够用平面图形来研究立体图形的性质。 图6：展开与折叠对应关系 造例子：动手剪开正方体，尝试不同的剪法，记录得到的展开图。我们会发现，不同的剪法会得到不同形状的展开图。通过大量动手操作和记录，可以归纳出正方体展开图的不同类型。将展开图按排列模式分类：一行排列的面数不同，就形成了不同的"型号"。 追条件：展开图能折回正方体的条件是什么？关键在于面与面之间的连接关系必须正确——展开图中相邻的面在折叠后也必须相邻，且每个面恰好出现一次。如果展开图中出现"田字形"(2×2排列的四个面)，折叠时必然有两个面重叠，无法围成正方体。 做压缩：通过大量操作和归纳，提炼出核心规律——"一线不过四"：展开图中一条直线上的正方形最多只能有4个。这是因为正方体的"腰带"(四个侧面围成的环)最多4个面，如果一条直线上有5个或6个面，折叠时两端的面必然重叠。此外还有"田字必淘汰""L型折不过"等口诀。 求证明：将每种展开图实际折回验证，确认是否能围成正方体。对于满足"一线不过四"且不含"田字形"的展开图，逐一验证发现确实能折回正方体；而不满足条件的则无法折回。 数学方法论：在探索展开图的过程中，我们运用了分类讨论的方法——将展开图按排列模式分为"一四一""二三一""三三""二二二"四类逐一研究，体现了分类讨论的数学思想。 三、题型精讲 【题型一】立体图形的识别与特征 例1. 下列几何体中，哪些是柱体？哪些是锥体？ (1) 正方体 (2) 圆柱 (3) 圆锥 (4) 三棱柱 (5) 四棱锥 (6) 球 【答案】柱体：(1)正方体、(2)圆柱、(4)三棱柱；锥体：(3)圆锥、(5)四棱锥；球既不是柱体也不是锥体。 【解析】柱体的特征是有两个全等且平行的底面。正方体(上下底面是全等的正方形)、圆柱(上下底面是全等的圆)、三棱柱(上下底面是全等的三角形)都满足这一特征，因此都是柱体。锥体的特征是有一个底面和一个顶点(尖)，圆锥(底面是圆，有一个顶点)和四棱锥(底面是四边形，有一个顶点)都满足这一特征，因此都是锥体。球是一个由曲面围成的连续体，没有平面底面，既不属于柱体也不属于锥体。 [命题意图] 考查对立体图形分类的理解，要求学生掌握柱体和锥体的基本特征，能够根据特征进行准确分类。 💡思维路径 先回忆柱体和锥体的定义特征——柱体有全等且平行的上下底面，锥体有一个底面和一个尖顶，然后逐一对照每个图形进行判断，最后归纳分类结果。这里的关键是抓住"有没有两个全等平行的底面"这一核心特征来区分柱体和锥体。 【题型二】正方体展开图判断 例2. 下列四个平面图形中，哪些是正方体的展开图？ 图形A（"一四一"型）：中间一行4个正方形，上方第2个正方形上方接1个，下方第2个正方形下方接1个(共6个面) ■ ■ ■ ■ ■ ■ 图形B（"田字"型）：2行2列共4个正方形组成田字形，右侧上下各接1个(共6个面) ■ ■ ■ ■ ■ ■ 图形C（"三三"型）：上行3个正方形，下行3个正方形，错位排列(共6个面) ■ ■ ■ ■ ■ ■ 图形D（"一线五连"型）：5个正方形排成一条直线(共5个面) ■ ■ ■ ■ ■ 【答案】图形A和图形C是正方体的展开图；图形B和图形D不是。 【解析】图形A属于"一四一"型展开图，中间4个面折成"腰带"，上下各1个面分别折成顶面和底面，可以围成正方体。图形B含有"田字形"排列，田字形的四个面中必然有两对面对面在折叠时重叠，无法围成正方体。图形C属于"三三"型展开图，上行3个和下行3个错位排列，折叠后恰好6个面围成正方体，这是11种展开图之一。图形D只有5个面，而正方体有6个面，因为正方体需要6个面，图形D面数不足，所以不是展开图；即使补到6个面排成一条直线，也违反"一线不过四"的规律。 [命题意图] 考查正方体展开图的判断能力，重点检验学生对"田字形排除""一线不过四"等核心规律的理解和运用。 💡思维路径 判断展开图时，先用"排除法"快速筛选：一看面数是否为6，二看是否含"田字形"，三看一条直线上是否超过4个面。图形D面数不足直接排除；图形B含田字形排除；图形A和C满足所有条件。再通过空间想象验证A和C确实能折回正方体。这种"先排除后验证"的策略，体现了从约束条件出发反向思考的思维方法。 【题型三】展开图与立体图形的对应 例3. 一个正方体的展开图如下所示，折回正方体后，与"上"面相对的面是哪个？ [A] [B] [C] [D] [E] [F] (中间一行4个面从左到右分别是"上""前""下""后"，上方中间是"北"，下方中间是"南") 【答案】与"上"面相对的面是"下"面。 【解析】这是一个"一四一"型展开图。折叠时，中间一行"上-前-下-后"四个面首尾相接折成"腰带"(围成正方体的四个侧面)，上方中间的"北"折成顶面，下方中间的"南"折成底面。在"腰带"中，第1个面"上"和第3个面"下"位于正方体相对的两侧，因此它们是相对面；同理，第2个面"前"和第4个面"后"也是相对面。所以与"上"面相对的是"下"面，与"前"面相对的是"后"面，"北"和"南"分别是顶面和底面，也是相对面。 [命题意图] 考查空间想象能力和展开图与立体图形的对应关系，要求学生能够在二维展开图中判断三维空间中的相对位置。 💡思维路径 面对展开图找相对面时，先识别展开图的类型——"一四一"型，则中间一行的4个面折成腰带，首尾相隔的两个面就是相对面(第1个与第3个、第2个与第4个)，上下两个面分别成为顶和底，也是相对的。这里的关键是想象折叠过程：中间4个面围成一圈，相邻面在空间中相邻，间隔一个面的两个面自然就在正方体的相对两侧。 四、分层检测 【基础检测】 1. 写出下列立体图形的名称： (1) 六个面都是正方形，十二条棱都相等——______ (2) 两个底面是圆形，侧面是曲面——______ (3) 底面是多边形，侧面是三角形，有一个顶点——______ (4) 只有一个曲面，没有平面——______ 【答案】(1) 正方体 (2) 圆柱 (3) 棱锥 (4) 球 【解析】根据立体图形的特征进行识别：六个面全为正方形且棱相等的是正方体；两个圆形底面加曲面侧面的是圆柱；多边形底面加三角形侧面汇于一个顶点的是棱锥；只有一个曲面没有平面的是球。 2. 圆柱有___个面，___条棱，___个顶点。 【答案】圆柱有3个面，2条棱，0个顶点。 【解析】圆柱有上底面、下底面(2个平面)和侧面(1个曲面)，共3个面；上下底面的边界是2条圆棱；圆柱没有顶点(侧面是曲面，不产生顶点)。 3. 下列图形中是柱体的有______： ①圆锥 ②三棱柱 ③圆柱 ④球 ⑤正方体 【答案】是柱体的有：②三棱柱、③圆柱、⑤正方体。 【解析】柱体的特征是有两个全等且平行的底面。三棱柱(两个全等三角形底面)、圆柱(两个全等圆形底面)、正方体(两个全等正方形底面)都是柱体。圆锥是锥体，球既不是柱体也不是锥体。 4. 正方体展开图一条直线上最多有___个面。 【答案】4个。 【解析】正方体的"腰带"由4个侧面组成，因此展开图中一条直线上最多4个面。若超过4个，折叠时两端的面会重叠。这就是"一线不过四"规律。 5. 将正方体的展开图折回正方体时，相对的两个面在展开图中有什么位置关系？ 【答案】相对的两个面在展开图中既不相邻也不直接相连，它们之间至少间隔一个面。在"一四一"型展开图中，中间一行的第1个面与第3个面相对、第2个面与第4个面相对；上下两个面(顶面与底面)也是相对的。 【解析】展开图折回正方体时，相邻的面在空间中相邻，而相对的面在展开图中不相邻。在"一四一"型中，中间一行4个面围成腰带，间隔一个面的两个面位于正方体相对的两侧。 【提升检测】 6. 一个棱柱有10个顶点，它的底面是几边形？它有多少条棱？有多少个面？ 【答案】底面是五边形。它有15条棱，7个面。 【解析】棱柱的顶点分布在上下两个底面上，每个底面的顶点数相同。10个顶点÷2=5，所以每个底面有5个顶点，底面是五边形。侧棱有5条，上底面有5条棱，下底面有5条棱，共5+5+5=15条棱。面数=2个底面+5个侧面=7个面。也可用欧拉公式验证：顶点数-棱数+面数=10-15+7=2，符合欧拉公式。 💡思维路径 关键在于理解棱柱顶点数与底面边数的关系：顶点数=2×底面边数。已知10个顶点，除以2得到底面是五边形。然后利用棱柱的结构特征——侧棱数=底面边数，底面棱数=底面边数×2(上下各一组)，面数=侧棱数+2，逐一计算。 7. 下图是一个正方体的展开图，折回后哪些面是相对的？ [A] [B] [C] [D] [E] [F] （中间一行从左到右为B、C、D、E，上方中间为A，下方中间为F） 【答案】相对的面是：A与F，B与D，C与E。 【解析】这是"一四一"型展开图。折叠时，B、C、D、E四个面围成腰带，A折成顶面，F折成底面。在腰带中，第1个面B与第3个面D相对，第2个面C与第4个面E相对。顶面A与底面F相对。因此三对相对面为：A-F、B-D、C-E。 8. 深圳市民中心建筑的屋顶形状可以近似看作什么立体图形？请说出你的理由，并描述它的基本特征。 【答案】深圳市民中心的屋顶可以近似看作圆柱面的一部分(即一段曲面)，从整体造型看更接近一个巨大的"曲面壳"结构，类似柱体的侧面。 【解析】深圳市民中心的屋顶形似大鹏展翅，从几何角度看，其屋顶呈现连续的曲面特征。理由：屋顶表面是光滑的曲面，没有明显的棱和顶点，这与圆柱的侧面(曲面)特征相符，可以近似看作圆柱面的一部分。基本特征：有一个连续的曲面(类似圆柱的侧面)，没有明确的棱和顶点，整体呈现弧形上扬的形态。从远处观察，屋顶的曲面类似于将圆柱沿轴线方向截取一段后展开的形状。 💡思维路径 从生活建筑中抽象出几何图形，需要抓住建筑物的关键几何特征。先观察屋顶的表面形状——是平面还是曲面？有没有棱和顶点？发现它是连续曲面、无明显棱和顶点，这与圆柱侧面的特征一致。这种"从实物中提取几何模型"的能力，正是几何直观素养的体现。 【探究检测】 9. 探索正方体展开图的规律： (1) 画出3种不同的正方体展开图。 【答案】以下为3种不同类型的正方体展开图： 类型一（"一四一"型）： ■ ■ ■ ■ ■ ■ 类型二（"二三一"型）： ■ ■ ■ ■ ■ ■ 类型三（"三三"型）： ■ ■ ■ ■ ■ ■ 【解析】以上三种分别属于"一四一"型、"二三一"型和"三三"型，都是正方体的11种基本展开图之一。每种类型可以通过面的位置变化产生更多变体，但基本排列模式相同。 (2) 观察"一线不过四"的规律，尝试解释为什么一条直线上不能超过4个面。 【答案】因为正方体的"腰带"最多由4个面组成。 【解析】正方体有6个面。展开后，如果一条直线上排列了5个或6个面，当尝试将这些面折回正方体时，需要将中间的面折成"腰带"(围成正方体的一圈侧面)。但正方体的一圈侧面最多只有4个面(前、右、后、左)，因此一条直线上最多4个面就能折成完整的腰带，剩下的2个面分别作为顶面和底面。如果一条直线上有5个面，第5个面无处可放，会与第1个面重叠；6个面则更不可能。这就是"一线不过四"的本质原因。 💡思维路径 从正方体的结构出发思考：正方体的6个面中，4个面构成"腰带"(一圈侧面)，2个面是顶和底。展开时，腰带的4个面会排成一条直线，所以一条直线上最多4个面。这个推理的关键是理解折叠时哪些面构成"腰带"、哪些面构成"顶底"，从而确定直线上的最大面数。 (3) 从"转化"和"统一"的角度，描述立体图形与展开图之间的关系。 【答案】转化：展开是将三维立体图形转化为二维平面图形，折叠是将二维平面图形转化为三维立体图形，二者互为逆过程。统一：无论怎样展开或折叠，正方体的面数(6)、棱数(12)、顶点数(8)始终保持不变，这些不变量是几何体的本质属性。 【解析】从"转化"的角度看，展开与折叠是三维与二维之间的双向转化通道。展开让我们用平面图形研究立体图形，折叠让我们从平面图形构造立体图形。从"统一"的角度看，尽管展开图的形式有11种之多，但无论哪种展开图，折回后都是同一个正方体，其面数、棱数、顶点数始终保持不变。 五、四维认知小结 本专题通过"生活中的立体图形"与"展开与折叠"的学习，我们从四个维度进行了认知建构： 翻译：将三维立体图形"翻译"为二维展开图，实现了从空间到平面的表征转换。正方体的6个面在展开图中变成6个正方形，空间中的相邻关系变成了平面上的边相邻关系。这种"翻译"能力是几何直观和空间观念的核心。 对应：立体图形的面、棱、顶点与展开图中的面、边、顶点之间存在一一对应关系。展开图中相邻的面在折叠后也相邻，展开图中不相邻的面在折叠后可能相对。理解这种对应关系，是判断展开图正确性和寻找相对面的基础。 转化：展开(立体→平面)与折叠(平面→立体)是相互转化的逆过程。展开让我们"看清"立体图形的组成结构，折叠让我们从平面"重建"立体图形。通过转化，我们可以在二维和三维之间自由切换，用最适合的表征方式解决问题。 统一：无论怎样展开或折叠，立体图形的面数、棱数、顶点数始终保持不变。正方体始终有6个面、12条棱、8个顶点，这是其本质属性。11种不同的展开图形式，折回后都统一为同一个正方体——"形式多变，本质统一"，在变化中把握不变量，正是数学思维的精髓。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版七年级上册数学思维课系列 专题01 专题01 生活中的立体图形与展开与折叠 思维课 （原卷版） 一、知识解读 【看结构】从生活中的实物出发，认识立体图形的特征。请根据所学知识完成以下填空： 1. 生活中常见的立体图形有：正方体、______、______、______、______、______、______。 图1：常见立体图形总览 （提示：书本→长方体，易拉罐→______，金字塔→______，足球→______） 2. 圆柱有___个面，其中侧面是___面，底面是___面。 3. 棱柱的上下底面______且______，侧面是______形，侧棱______且______。 4. 立体图形按形状可分为三大类：______体、______体、______体。 其中柱体包括______和______，锥体包括______和______。 5. 正方体有___个面、___条棱、___个顶点。 6. 正方体的展开图共有______种基本形式，一条直线上最多有______个面。 图2：一四一型展开图 图3：二三一型展开图 图4：三三型展开图 图5：二二二型展开图 7. 展开与折叠的关系：立体图形↔____________。 二、思路溯源 让我们一起来还原"怎么想到正方体展开图规律"的思维路径。请思考并回答以下问题： 1. 正方体有6个面，展开后这6个面在平面上如何排列？请你动手剪一剪、画一画。 图6：展开与折叠对应关系 2. 将三维立体图形转化为二维平面图形，这一过程中我们做了什么？这体现了哪种思维能力？ 3. 动手剪开正方体，尝试不同的剪法，记录你得到的展开图。你发现了什么规律？ 4. 展开图能折回正方体的条件是什么？怎样的展开图无法折回？ 5. 观察"一线不过四"的规律——一条直线上最多只能有4个面。你能尝试解释为什么吗？ 6. 在探索展开图的过程中，我们用到了哪些数学方法？ 三、题型精讲 【题型一】立体图形的识别与特征 例1. 下列几何体中，哪些是柱体？哪些是锥体？ (1) 正方体 (2) 圆柱 (3) 圆锥 (4) 三棱柱 (5) 四棱锥 (6) 球 【题型二】正方体展开图判断 例2. 下列四个平面图形中，哪些是正方体的展开图？ 图形A（"一四一"型）：中间一行4个正方形，上方第2个正方形上方接1个，下方第2个正方形下方接1个(共6个面) 示意图： ■ ■ ■ ■ ■ ■ 图形B（"田字"型）：2行2列共4个正方形组成田字形，右侧上下各接1个(共6个面) 示意图： ■ ■ ■ ■ ■ ■ 图形C（"三三"型）：上行3个正方形，下行3个正方形，错位排列(共6个面) 示意图： ■ ■ ■ ■ ■ ■ 图形D（"一线五连"型）：5个正方形排成一条直线(共5个面) 示意图： ■ ■ ■ ■ ■ 【题型三】展开图与立体图形的对应 例3. 一个正方体的展开图如下所示，折回正方体后，与"上"面相对的面是哪个？ 展开图标注如下： [A] [B] [C] [D] [E] [F] (中间一行4个面从左到右分别是"上""前""下""后"，上方中间是"北"，下方中间是"南") 四、分层检测 【基础检测】 1. 写出下列立体图形的名称： (1) 六个面都是正方形，十二条棱都相等——______ (2) 两个底面是圆形，侧面是曲面——______ (3) 底面是多边形，侧面是三角形，有一个顶点——______ (4) 只有一个曲面，没有平面——______ 2. 圆柱有___个面，___条棱，___个顶点。 3. 下列图形中是柱体的有______： ①圆锥 ②三棱柱 ③圆柱 ④球 ⑤正方体 4. 正方体展开图一条直线上最多有___个面。 5. 将正方体的展开图折回正方体时，相对的两个面在展开图中有什么位置关系？ 【提升检测】 6. 一个棱柱有10个顶点，它的底面是几边形？它有多少条棱？有多少个面？ 7. 下图是一个正方体的展开图，折回后哪些面是相对的？ [A] [B] [C] [D] [E] [F] （中间一行从左到右为B、C、D、E，上方中间为A，下方中间为F） 8. 深圳市民中心建筑的屋顶形状可以近似看作什么立体图形？请说出你的理由，并描述它的基本特征。 【探究检测】 9. 探索正方体展开图的规律： (1) 画出3种不同的正方体展开图。 (2) 观察"一线不过四"的规律，尝试解释为什么一条直线上不能超过4个面。 (3) 从"转化"和"统一"的角度，描述立体图形与展开图之间的关系。 五、四维认知小结 （请结合本专题所学，从四个维度进行总结） 翻译：_______________________________________________ 对应：_______________________________________________ 转化：_______________________________________________ 统一：_______________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $