2.3《圆的认识（二）》（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

本讲义聚焦小学数学《圆的认识（二）》，系统梳理圆的轴对称性（无数条对称轴及直径所在直线特征）、常见平面图形对称轴数量对比、圆与正多边形旋转重合特性（圆任意角度旋转重合）、找圆心的4种实用方法（对折法等）及圆形实物直径测量实操（夹逼平移法），构建从性质到应用的递进式学习支架。 该资料通过核心知识解析、方法点拨、典型例题与对应练习结合，如对比圆与正方形对称轴数量培养几何直观，用对折法找圆心发展空间观念，测量硬币直径强化应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与实践能力。

北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.3《圆的认识（二)》(5考点) 考点1：圆的轴对称性与对称轴特征 【核心知识】 1轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，这条直线就是对称轴。 2.圆是典型的轴对称图形：沿任意一条直径对折，圆的两边都能完全重合。 3.圆的对称轴：所有直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，且全部对称轴都相交于圆心这 一个点。 4.易错区分：直径是线段，对称轴是直线，不能说“直径是对称轴”，必须表述为直径所在直线是对称轴。 【方法点拨】 1.判断圆的对称轴：只要过圆心画直线，这条直线就是圆的对称轴： 2.辨析表述对错：遇到“圆有无数条直径所以无数条对称轴”要修正逻辑，本质是直径所在直线为对称轴： 3.对比记忆：其他图形对称轴数量有限，仅圆拥有无数条对称轴。 【典型例题】 例1：判断对错：圆的直径就是它的对称轴() 分析：区分线段与直线定义，对称轴必须是直线。 详解：错误。直径是线段，对称轴是直线，正确表述是“直径所在的直线是圆的对称轴”。 答案：× 例2：一个圆至少对折几次就能确定它的圆心？为什么？ 分析：对折一次得到1条折痕（直径直线），两条相交折痕交点为圆心。 详解：至少对折2次。第一次对折得到一条直径折痕，第二次沿不同方向对折得到第二条直 径折痕，两条折痕相交的交点就是圆心。只对折1次只有一条直线，无法确定交点。 答案：至少对折2次；两次折痕（两条直径直线）相交，交点就是圆心。 【对应练习】 1.填空：圆有()条对称轴，所有对称轴都经过图形的( 分析：基础概念，圆无数对称轴，全部过圆心。 详解：任意过圆心的直线都是对称轴，共无数条，都经过圆心。 答案：无数：圆心 2判断：把圆形纸片沿半径对折，两侧能完全重合，说明半径所在直线也是圆的对称轴( 分析：半径所在直线也过圆心，符合对称轴判定标准。 第1页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 详解：半径所在直线经过圆心，沿这条直线对折圆两边完全重合，因此是对称轴，说法正 确。 答案：√ 3.简答：为什么圆的对称轴数量是无数条？ 分析：过圆心可以画出无限多条直线。 详解：经过圆心可以画出无数条直线，每一条过圆心的直线沿其对折，圆两侧都能完全重 合，因此圆有无数条对称轴。 答案：过圆心能画出无数条直线，每条过圆心的直线都是圆的对称轴，因此对称轴有无数 条。 4选择：下列关于圆对称轴说法正确的是( A.圆只有水平、竖直2条对称轴 B.过圆心的任意直线都是圆的对称轴 C.半径线段是圆的对称轴 分析：A错，无数条：C错，线段不是对称轴：B符合定义。 详解：A错误，圆有无数条对称轴；C错误，线段不能作为对称轴；B表述准确。 答案：B 考点2：常见平面图形的对称轴数量梳理 【核心知识】 整理小学高频平面图形对称轴条数： 图形名称 对称轴条数 圆 无数条 正方形 4条（两条对角线、两条对边中点连线） 长方形 2条（两组对边中点连线） 等边三角形 3条（每条边上的高所在直线） 等腰三角形 1条 等腰梯形 1条 普通平行四边形 0条 正n边形 n条 【方法点拨】 第2页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 1.找对称轴技巧：沿着能让图形对折重合的直线计数，不要重复计数： 2特殊区分：普通平行四边形无论沿哪条直线对折都无法重合，无对称轴： 3.对比记忆：正几边形就有几条对称轴，边数越多越接近圆，对称轴数量越趋近无数条。 【典型例题】 例1：依次写出正方形、长方形、等边三角形的对称轴条数。 分析：背诵基础图形对称轴数量。 详解：正方形4条，长方形2条，等边三角形3条。 答案：正方形4条，长方形2条，等边三角形3条。 例2：下列图形中对称轴最多的是( A.等腰三角形 B.正方形 0.圆 D.长方形 分析：圆有无数条，远多于其他图形 详解：等腰三角形1条，正方形4条，长方形2条，圆无数条，圆最多。 答案：C 【对应练习】 1填空：等腰梯形有( )条对称轴，普通平行四边形有( )条对称轴。 分析：等腰梯形仅上下底中点连线1条：平行四边形对折无法重合。 详解：等腰梯形1条：普通平行四边形无对称轴。 答案：1：0 2.判断：正五边形有5条对称轴( 分析：正n边形对称轴条数等于边数。 详解：正五边形5条相等的边，有5条对称轴，说法正确。 答案：V 3.按对称轴数量从多到少排序：长方形、圆、等边三角形、正方形 分析：圆（无数）>正方形(4)>等边三角形(3)>长方形(2) 详解：圆对称轴无数条，正方形4条，等边三角形3条，长方形2条。 答案：圆>正方形>等边三角形>长方形 4.列举出2种只有1条对称轴的平面图形。 分析：等腰三角形、等腰梯形、半圆等任选两个。 第3页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 详解：等腰三角形、等腰梯形（也可写半圆）。 答案：等腰三角形、等腰梯形 5.选择：对称轴只有2条的图形是( A.正方形 B.长方形 C.等边三角形 D.圆 分析：长方形2条：正方形4，等边3，圆无数。 详解：长方形两组对边中点连线为2条对称轴。 答案：B 考点3：图形的旋转重合特性对比 【核心知识】 1.旋转重合定义：图形绕中心点旋转一定角度后，能和自身完全重合： 2.圆的旋转特殊性：绕圆心任意角度旋转，都能与原图形重合，也称圆是任意旋转对称图形： 3.正方形：绕中心至少旋转90°才能和原图重合；等边三角形：绕中心至少旋转120°才能和原图重合； 4,规律：正n边形绕中心至少旋转360可与自身重合，圆无最小旋转角度限制。 n 【方法点拨】 1.区分圆与正多边形：正多边形必须旋转固定角度才重合，圆任意角度旋转都重合： 2.快速计算最小旋转角：用360°除以边数得到正多边形最小重合旋转角度。 【典型例题】 例1：正方形绕中心至少旋转多少度能和自身重合？等边三角形呢？ 分析：套用公式360÷边数。 详解 正方形：360÷4=90 等边三角形：360÷3=120 答案：正方形至少旋转90，等边三角形至少旋转120。 例2：判断：将圆绕圆心旋转35°，不会和原来的圆重合( 分析：圆任意角度旋转都重合。 详解：圆绕圆心旋转任意角度都能与原图重合，旋转35°也重合，说法错误。 答案：× 【对应练习】 第4页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 1填空：正六边形绕中心至少旋转()度能与自身重合。 分析：360÷6计算。 详解：360÷6=60 答案：60 2.判断：长方形绕中心至少旋转180°可以和自身重合( 分析：长方形4条边两两相等，转180°完全重合。 详解：长方形绕中心旋转180°后顶点、边完全对应原图，说法正确。 答案：√ 3简答：为什么车轮要做成圆形，利用了圆的什么旋转特点？ 分析：圆任意旋转都重合，半径始终相等，行驶平稳。 详解：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，滚动过程中圆心到地面距离始终等于半径 高度不变，车辆不会颠簸 答案：圆绕圆心旋转任意角度都能和自身重合，滚动时车轴离地高度恒定，行驶平稳。 4.选择：下列图形任意角度绕中心旋转都能重合的是() A.正方形 B.圆 C.等边三角形 D.长方形 分析：只有圆具备任意旋转重合特性。 详解：正方形、等边三角形、长方形都需要固定角度才能重合，圆任意角度旋转均重合。 答案：B 考点4：找圆心的实用方法 【核心知识】 4种常用找圆心方法： 1.对折法：圆形纸片连续对折2次，两条折痕的交点就是圆心： 2.直径法：在圆内画两条不平行的直径，交点为圆心 3.直角法：利用“直径所对圆周角是直角”，用直角三角板直角项点贴圆周，两条直角边与圆周交点连线就 是直径，两次取直径交点得圆心： 4.半圆拼接法：把半圆补成完整圆，再用对折法找圆心。 【方法点拨】 1.对折法最适合纸质圆形实物操作，操作简单准确率高： 2.画图找圆心优先画两条不平行直径，避免两条直径平行无法相交： 3.所有方法本质都是利用“多条对称轴（直径直线）交于圆心”的核心性质。 第5页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例1：不借助工具，仅用一张圆形纸片，怎么快速找到圆心？写出步骤。 分析：对折法操作步骤。 详解 ①把圆形纸片沿任意方向对折，压出一条折痕（直径）： ②将纸片换一个垂直方向再次对折，压出第二条折痕： ③两条折痕相交的点就是圆心。 答案：圆形纸片沿两个不同方向对折2次，两条折痕交点即为圆心。 例2：在纸上画了一个圆无法对折，用直尺怎么找圆心？ 分析：画两条不平行直径，交点为圆心。 详解：用直尺在圆内画两条不平行、两端都在圆上且过圆心的线段（直径），两条直径的交 点就是圆心。 答案：画两条不平行的直径，两条直径相交的交点是圆心。 【对应练习】 1.实操简述：用直角三角板如何帮我们确定一个圆的圆心？ 分析：直径所对圆周角是直角，两次取直径找交点。 详解：把直角三角板直角顶点贴在圆周上，两条直角边与圆的交点连线就是直径；换一处圆 周重复操作得到第二条直径，两条直径交点为圆心。 答案：直角顶点贴圆周，直角边交点连线为直径，两次取直径，交点是圆心。 2.判断：只对折圆形纸片1次，就能直接确定圆心位置( 分析：一次对折只有1条直线，无交点无法确定圆心。 详解：对折1次仅得到1条折痕，一条直线没有交点，不能确定圆心，至少对折2次。 答案：× 3填空：找圆心的所有方法，本质都是利用圆的对称轴全部交于( )的特点。 分析：所有直径直线（对称轴）相交于圆心。 详解：所有过圆心的对称轴直线相交于圆心，交点就是圆心。 答案：圆心 4.简答：为什么两次对折的折痕不能互相平行？ 第6页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 分析：平行线无交点，找不到圆心。 详解：如果两条折痕平行，两条直线不会相交，无法得到交点，就找不到圆心：只有相交的 两条折痕才有交点。 答案：平行直线没有交点，无法确定圆心：只有相交的折痕才能得到交点即圆心。 考点5：圆相关实物直径测量实操 【核心知识】 1.圆形实物无法直接用直尺横穿圆心测量直径，需用夹逼平移法（两个平行直板夹住圆形物体，测直板间 距就是直径)； 2.单位换算：1cm=10mm,测量读数要区分厘米、毫米刻度： 3.测量要点：直板必须平行、与直尺垂直，读数视线与刻度平齐减小误差。 【方法点拨】 1.硬币、圆盘等圆形实物统一用“两侧夹板+直尺平移读数”法： 2.先读厘米整数部分，再读毫米小数部分，做好单位换算： 3.多次测量取平均值可降低测量误差。 【典型例题】 例1：用夹板法测一枚硬币，两侧夹板对应刻度为5.0cm和7.5cm,求硬币直径并换算毫米。 分析：右端刻度-左端刻度=直径，再×10换算毫米。 详解 直径：75-5.0=2.5cm 换算毫米：2.5×10=25mm 答案：直径2.5厘米，合25毫米。 例2：测量圆形水杯杯口直径，直接把直尺斜着跨过杯口两端读数，结果偏大还是偏小？ 分析：圆内最长线段是直径，斜线长度大于直径。 详解：圆内最长线段是直径，斜着量两点的线段比直径长，测量结果偏大。 答案：测量结果偏大。 【对应练习】 1.夹板测圆形垫片，刻度左端4.2cm、右端8.1cm,垫片直径是多少毫米？ 分析：差值求厘米，再转毫米。 详解 第7页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 直径：8.1-42=3.9cm 3.9×10=39mm 答案：39毫米 2判断：测量圆形物体直径时，两块夹板不平行，测出的数据会不准( 分析：夹板必须平行才能保证间距等于直径。 详解：夹板不平行，夹板之间距离忽大忽小，读数不等于真实直径，测量数据不准确。 答案：√ 3.实操思考：测量光盘直径时，为什么不能直接用直尺随意量两点距离？ 分析：只有过圆心的线段才是直径，任意两点线段长度小于直径。 详解：圆内只有过圆心的线段才是直径，随意两点连线长度都小于直径，测出数值偏小，不 能代表真实直径。 答案：任意两点连线不是直径，长度偏小，无法得到真实直径数值。 4.单位换算：3.2cm=( )mm,45mm=( )cm 分析：厘米转毫米×10，毫米转厘米÷10。 详解 3.2×10=32mm 45÷10=4.5cm 答案：32；4.5 第8页共8页北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.3《圆的认识（二）》（5考点） 考点 1：圆的轴对称性与对称轴特征 【核心知识】 1.轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，这条直线就是对称轴。 2.圆是典型的轴对称图形：沿任意一条直径对折，圆的两边都能完全重合。 3.圆的对称轴：所有直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，且全部对称轴都相交于圆心这一个点。 4.易错区分：直径是线段，对称轴是直线，不能说 “直径是对称轴”，必须表述为直径所在直线是对称轴。 【方法点拨】 1.判断圆的对称轴：只要过圆心画直线，这条直线就是圆的对称轴； 2.辨析表述对错：遇到 “圆有无数条直径所以无数条对称轴” 要修正逻辑，本质是直径所在直线为对称轴； 3.对比记忆：其他图形对称轴数量有限，仅圆拥有无数条对称轴。 【典型例题】 例 1：判断对错：圆的直径就是它的对称轴（ ） 分析：区分线段与直线定义，对称轴必须是直线。 详解：错误。直径是线段，对称轴是直线，正确表述是 “直径所在的直线是圆的对称轴”。 答案：× 例 2：一个圆至少对折几次就能确定它的圆心？为什么？ 分析：对折一次得到 1 条折痕（直径直线），两条相交折痕交点为圆心。 详解：至少对折 2 次。第一次对折得到一条直径折痕，第二次沿不同方向对折得到第二条直径折痕，两条折痕相交的交点就是圆心。只对折 1 次只有一条直线，无法确定交点。 答案：至少对折 2 次；两次折痕（两条直径直线）相交，交点就是圆心。 【对应练习】 1.填空：圆有（ ）条对称轴，所有对称轴都经过图形的（ ）。 分析：基础概念，圆无数对称轴，全部过圆心。 详解：任意过圆心的直线都是对称轴，共无数条，都经过圆心。 答案：无数；圆心 2.判断：把圆形纸片沿半径对折，两侧能完全重合，说明半径所在直线也是圆的对称轴（ ） 分析：半径所在直线也过圆心，符合对称轴判定标准。 详解：半径所在直线经过圆心，沿这条直线对折圆两边完全重合，因此是对称轴，说法正确。 答案：√ 3.简答：为什么圆的对称轴数量是无数条？ 分析：过圆心可以画出无限多条直线。 详解：经过圆心可以画出无数条直线，每一条过圆心的直线沿其对折，圆两侧都能完全重合，因此圆有无数条对称轴。 答案：过圆心能画出无数条直线，每条过圆心的直线都是圆的对称轴，因此对称轴有无数条。 4.选择：下列关于圆对称轴说法正确的是（ ） A. 圆只有水平、竖直 2 条对称轴 B. 过圆心的任意直线都是圆的对称轴 C. 半径线段是圆的对称轴 分析：A 错，无数条；C 错，线段不是对称轴；B 符合定义。 详解：A 错误，圆有无数条对称轴；C 错误，线段不能作为对称轴；B 表述准确。 答案：B 考点 2：常见平面图形的对称轴数量梳理 【核心知识】 整理小学高频平面图形对称轴条数： 图形名称 对称轴条数 圆 无数条 正方形 4 条（两条对角线、两条对边中点连线） 长方形 2 条（两组对边中点连线） 等边三角形 3 条（每条边上的高所在直线） 等腰三角形 1 条 等腰梯形 1 条 普通平行四边形 0 条 正 n 边形 n 条 【方法点拨】 1.找对称轴技巧：沿着能让图形对折重合的直线计数，不要重复计数； 2.特殊区分：普通平行四边形无论沿哪条直线对折都无法重合，无对称轴； 3.对比记忆：正几边形就有几条对称轴，边数越多越接近圆，对称轴数量越趋近无数条。 【典型例题】 例 1：依次写出正方形、长方形、等边三角形的对称轴条数。 分析：背诵基础图形对称轴数量。 详解：正方形 4 条，长方形 2 条，等边三角形 3 条。 答案：正方形 4 条，长方形 2 条，等边三角形 3 条。 例 2：下列图形中对称轴最多的是（ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 长方形 分析：圆有无数条，远多于其他图形。 详解：等腰三角形 1 条，正方形 4 条，长方形 2 条，圆无数条，圆最多。 答案：C 【对应练习】 1.填空：等腰梯形有（ ）条对称轴，普通平行四边形有（ ）条对称轴。 分析：等腰梯形仅上下底中点连线 1 条；平行四边形对折无法重合。 详解：等腰梯形 1 条；普通平行四边形无对称轴。 答案：1；0 2.判断：正五边形有 5 条对称轴（ ） 分析：正 n 边形对称轴条数等于边数。 详解：正五边形 5 条相等的边，有 5 条对称轴，说法正确。 答案：√ 3.按对称轴数量从多到少排序：长方形、圆、等边三角形、正方形 分析：圆（无数）＞正方形（4）＞等边三角形（3）＞长方形（2） 详解：圆对称轴无数条，正方形 4 条，等边三角形 3 条，长方形 2 条。 答案：圆＞正方形＞等边三角形＞长方形 4.列举出 2 种只有 1 条对称轴的平面图形。 分析：等腰三角形、等腰梯形、半圆等任选两个。 详解：等腰三角形、等腰梯形（也可写半圆）。 答案：等腰三角形、等腰梯形 5.选择：对称轴只有 2 条的图形是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 圆 分析：长方形 2 条；正方形 4，等边 3，圆无数。 详解：长方形两组对边中点连线为 2 条对称轴。 答案：B 考点 3：图形的旋转重合特性对比 【核心知识】 1.旋转重合定义：图形绕中心点旋转一定角度后，能和自身完全重合； 2.圆的旋转特殊性：绕圆心任意角度旋转，都能与原图形重合，也称圆是任意旋转对称图形； 3.正方形：绕中心至少旋转 90° 才能和原图重合；等边三角形：绕中心至少旋转 120° 才能和原图重合； 4.规律：正 n 边形绕中心至少旋转可与自身重合，圆无最小旋转角度限制。 【方法点拨】 1.区分圆与正多边形：正多边形必须旋转固定角度才重合，圆任意角度旋转都重合； 2.快速计算最小旋转角：用 360° 除以边数得到正多边形最小重合旋转角度。 【典型例题】 例 1：正方形绕中心至少旋转多少度能和自身重合？等边三角形呢？ 分析：套用公式边数。 详解 正方形： 等边三角形： 答案：正方形至少旋转，等边三角形至少旋转。 例 2：判断：将圆绕圆心旋转 35°，不会和原来的圆重合（ ） 分析：圆任意角度旋转都重合。 详解：圆绕圆心旋转任意角度都能与原图重合，旋转 35° 也重合，说法错误。 答案：× 【对应练习】 1.填空：正六边形绕中心至少旋转（ ）度能与自身重合。 分析：计算。 详解： 答案：60 2.判断：长方形绕中心至少旋转 180° 可以和自身重合（ ） 分析：长方形 4 条边两两相等，转 180° 完全重合。 详解：长方形绕中心旋转 180° 后顶点、边完全对应原图，说法正确。 答案：√ 3.简答：为什么车轮要做成圆形，利用了圆的什么旋转特点？ 分析：圆任意旋转都重合，半径始终相等，行驶平稳。 详解：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，滚动过程中圆心到地面距离始终等于半径，高度不变，车辆不会颠簸。 答案：圆绕圆心旋转任意角度都能和自身重合，滚动时车轴离地高度恒定，行驶平稳。 4.选择：下列图形任意角度绕中心旋转都能重合的是（ ） A. 正方形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 长方形 分析：只有圆具备任意旋转重合特性。 详解：正方形、等边三角形、长方形都需要固定角度才能重合，圆任意角度旋转均重合。 答案：B 考点 4：找圆心的实用方法 【核心知识】 4 种常用找圆心方法： 1.对折法：圆形纸片连续对折 2 次，两条折痕的交点就是圆心； 2.直径法：在圆内画两条不平行的直径，交点为圆心； 3.直角法：利用 “直径所对圆周角是直角”，用直角三角板直角顶点贴圆周，两条直角边与圆周交点连线就是直径，两次取直径交点得圆心； 4.半圆拼接法：把半圆补成完整圆，再用对折法找圆心。 【方法点拨】 1.对折法最适合纸质圆形实物操作，操作简单准确率高； 2.画图找圆心优先画两条不平行直径，避免两条直径平行无法相交； 3.所有方法本质都是利用 “多条对称轴（直径直线）交于圆心” 的核心性质。 【典型例题】 例 1：不借助工具，仅用一张圆形纸片，怎么快速找到圆心？写出步骤。 分析：对折法操作步骤。 详解 ①把圆形纸片沿任意方向对折，压出一条折痕（直径）； ②将纸片换一个垂直方向再次对折，压出第二条折痕； ③两条折痕相交的点就是圆心。 答案：圆形纸片沿两个不同方向对折 2 次，两条折痕交点即为圆心。 例 2：在纸上画了一个圆无法对折，用直尺怎么找圆心？ 分析：画两条不平行直径，交点为圆心。 详解：用直尺在圆内画两条不平行、两端都在圆上且过圆心的线段（直径），两条直径的交点就是圆心。 答案：画两条不平行的直径，两条直径相交的交点是圆心。 【对应练习】 1.实操简述：用直角三角板如何帮我们确定一个圆的圆心？ 分析：直径所对圆周角是直角，两次取直径找交点。 详解：把直角三角板直角顶点贴在圆周上，两条直角边与圆的交点连线就是直径；换一处圆周重复操作得到第二条直径，两条直径交点为圆心。 答案：直角顶点贴圆周，直角边交点连线为直径，两次取直径，交点是圆心。 2.判断：只对折圆形纸片 1 次，就能直接确定圆心位置（ ） 分析：一次对折只有 1 条直线，无交点无法确定圆心。 详解：对折 1 次仅得到 1 条折痕，一条直线没有交点，不能确定圆心，至少对折 2 次。 答案：× 3.填空：找圆心的所有方法，本质都是利用圆的对称轴全部交于（ ）的特点。 分析：所有直径直线（对称轴）相交于圆心。 详解：所有过圆心的对称轴直线相交于圆心，交点就是圆心。 答案：圆心 4.简答：为什么两次对折的折痕不能互相平行？ 分析：平行线无交点，找不到圆心。 详解：如果两条折痕平行，两条直线不会相交，无法得到交点，就找不到圆心；只有相交的两条折痕才有交点。 答案：平行直线没有交点，无法确定圆心；只有相交的折痕才能得到交点即圆心。 考点 5：圆相关实物直径测量实操 【核心知识】 1.圆形实物无法直接用直尺横穿圆心测量直径，需用夹逼平移法（两个平行直板夹住圆形物体，测直板间距就是直径）； 2.单位换算：，测量读数要区分厘米、毫米刻度； 3.测量要点：直板必须平行、与直尺垂直，读数视线与刻度平齐减小误差。 【方法点拨】 1.硬币、圆盘等圆形实物统一用 “两侧夹板 + 直尺平移读数” 法； 2.先读厘米整数部分，再读毫米小数部分，做好单位换算； 3.多次测量取平均值可降低测量误差。 【典型例题】 例 1：用夹板法测一枚硬币，两侧夹板对应刻度为 5.0cm 和 7.5cm，求硬币直径并换算毫米。 分析：右端刻度−左端刻度 = 直径，再 ×10 换算毫米。 详解 直径： 换算毫米： 答案：直径 2.5 厘米，合 25 毫米。 例 2：测量圆形水杯杯口直径，直接把直尺斜着跨过杯口两端读数，结果偏大还是偏小？ 分析：圆内最长线段是直径，斜线长度大于直径。 详解：圆内最长线段是直径，斜着量两点的线段比直径长，测量结果偏大。 答案：测量结果偏大。 【对应练习】 1.夹板测圆形垫片，刻度左端 4.2cm、右端 8.1cm，垫片直径是多少毫米？ 分析：差值求厘米，再转毫米。 详解 直径： 答案：39 毫米 2.判断：测量圆形物体直径时，两块夹板不平行，测出的数据会不准（ ） 分析：夹板必须平行才能保证间距等于直径。 详解：夹板不平行，夹板之间距离忽大忽小，读数不等于真实直径，测量数据不准确。 答案：√ 3.实操思考：测量光盘直径时，为什么不能直接用直尺随意量两点距离？ 分析：只有过圆心的线段才是直径，任意两点线段长度小于直径。 详解：圆内只有过圆心的线段才是直径，随意两点连线长度都小于直径，测出数值偏小，不能代表真实直径。 答案：任意两点连线不是直径，长度偏小，无法得到真实直径数值。 4.单位换算：3.2cm =（ ）mm，45mm =（ ）cm 分析：厘米转毫米 ×10，毫米转厘米 ÷10。 详解 答案：32；4.5 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.3《圆的认识（二）》（5考点） 考点 1：圆的轴对称性与对称轴特征 【核心知识】 1.轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，这条直线就是对称轴。 2.圆是典型的轴对称图形：沿任意一条直径对折，圆的两边都能完全重合。 3.圆的对称轴：所有直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，且全部对称轴都相交于圆心这一个点。 4.易错区分：直径是线段，对称轴是直线，不能说 “直径是对称轴”，必须表述为直径所在直线是对称轴。 【方法点拨】 1.判断圆的对称轴：只要过圆心画直线，这条直线就是圆的对称轴； 2.辨析表述对错：遇到 “圆有无数条直径所以无数条对称轴” 要修正逻辑，本质是直径所在直线为对称轴； 3.对比记忆：其他图形对称轴数量有限，仅圆拥有无数条对称轴。 【典型例题】 例 1：判断对错：圆的直径就是它的对称轴（ ） 例 2：一个圆至少对折几次就能确定它的圆心？为什么？ 【对应练习】 1.填空：圆有（ ）条对称轴，所有对称轴都经过图形的（ ）。 2.判断：把圆形纸片沿半径对折，两侧能完全重合，说明半径所在直线也是圆的对称轴（ ） 3.简答：为什么圆的对称轴数量是无数条？ 4.选择：下列关于圆对称轴说法正确的是（ ） A. 圆只有水平、竖直 2 条对称轴 B. 过圆心的任意直线都是圆的对称轴 C. 半径线段是圆的对称轴 考点 2：常见平面图形的对称轴数量梳理 【核心知识】 整理小学高频平面图形对称轴条数： 图形名称 对称轴条数 圆 无数条 正方形 4 条（两条对角线、两条对边中点连线） 长方形 2 条（两组对边中点连线） 等边三角形 3 条（每条边上的高所在直线） 等腰三角形 1 条 等腰梯形 1 条 普通平行四边形 0 条 正 n 边形 n 条 【方法点拨】 1.找对称轴技巧：沿着能让图形对折重合的直线计数，不要重复计数； 2.特殊区分：普通平行四边形无论沿哪条直线对折都无法重合，无对称轴； 3.对比记忆：正几边形就有几条对称轴，边数越多越接近圆，对称轴数量越趋近无数条。 【典型例题】 例 1：依次写出正方形、长方形、等边三角形的对称轴条数。 例 2：下列图形中对称轴最多的是（ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 长方形 【对应练习】 1.填空：等腰梯形有（ ）条对称轴，普通平行四边形有（ ）条对称轴。 2.判断：正五边形有 5 条对称轴（ ） 3.按对称轴数量从多到少排序：长方形、圆、等边三角形、正方形 4.列举出 2 种只有 1 条对称轴的平面图形。 5.选择：对称轴只有 2 条的图形是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 圆 考点 3：图形的旋转重合特性对比 【核心知识】 1.旋转重合定义：图形绕中心点旋转一定角度后，能和自身完全重合； 2.圆的旋转特殊性：绕圆心任意角度旋转，都能与原图形重合，也称圆是任意旋转对称图形； 3.正方形：绕中心至少旋转 90° 才能和原图重合；等边三角形：绕中心至少旋转 120° 才能和原图重合； 4.规律：正 n 边形绕中心至少旋转可与自身重合，圆无最小旋转角度限制。 【方法点拨】 1.区分圆与正多边形：正多边形必须旋转固定角度才重合，圆任意角度旋转都重合； 2.快速计算最小旋转角：用 360° 除以边数得到正多边形最小重合旋转角度。 【典型例题】 例 1：正方形绕中心至少旋转多少度能和自身重合？等边三角形呢？ 例 2：判断：将圆绕圆心旋转 35°，不会和原来的圆重合（ ） 【对应练习】 1.填空：正六边形绕中心至少旋转（ ）度能与自身重合。 2.判断：长方形绕中心至少旋转 180° 可以和自身重合（ ） 3.简答：为什么车轮要做成圆形，利用了圆的什么旋转特点？ 4.选择：下列图形任意角度绕中心旋转都能重合的是（ ） A. 正方形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 长方形 考点 4：找圆心的实用方法 【核心知识】 4 种常用找圆心方法： 1.对折法：圆形纸片连续对折 2 次，两条折痕的交点就是圆心； 2.直径法：在圆内画两条不平行的直径，交点为圆心； 3.直角法：利用 “直径所对圆周角是直角”，用直角三角板直角顶点贴圆周，两条直角边与圆周交点连线就是直径，两次取直径交点得圆心； 4.半圆拼接法：把半圆补成完整圆，再用对折法找圆心。 【方法点拨】 1.对折法最适合纸质圆形实物操作，操作简单准确率高； 2.画图找圆心优先画两条不平行直径，避免两条直径平行无法相交； 3.所有方法本质都是利用 “多条对称轴（直径直线）交于圆心” 的核心性质。 【典型例题】 例 1：不借助工具，仅用一张圆形纸片，怎么快速找到圆心？写出步骤。 例 2：在纸上画了一个圆无法对折，用直尺怎么找圆心？ 【对应练习】 1.实操简述：用直角三角板如何帮我们确定一个圆的圆心？ 2.判断：只对折圆形纸片 1 次，就能直接确定圆心位置（ ） 3.填空：找圆心的所有方法，本质都是利用圆的对称轴全部交于（ ）的特点。 4.简答：为什么两次对折的折痕不能互相平行？ 考点 5：圆相关实物直径测量实操 【核心知识】 1.圆形实物无法直接用直尺横穿圆心测量直径，需用夹逼平移法（两个平行直板夹住圆形物体，测直板间距就是直径）； 2.单位换算：，测量读数要区分厘米、毫米刻度； 3.测量要点：直板必须平行、与直尺垂直，读数视线与刻度平齐减小误差。 【方法点拨】 1.硬币、圆盘等圆形实物统一用 “两侧夹板 + 直尺平移读数” 法； 2.先读厘米整数部分，再读毫米小数部分，做好单位换算； 3.多次测量取平均值可降低测量误差。 【典型例题】 例 1：用夹板法测一枚硬币，两侧夹板对应刻度为 5.0cm 和 7.5cm，求硬币直径并换算毫米。 例 2：测量圆形水杯杯口直径，直接把直尺斜着跨过杯口两端读数，结果偏大还是偏小？ 【对应练习】 1.夹板测圆形垫片，刻度左端 4.2cm、右端 8.1cm，垫片直径是多少毫米？ 2.判断：测量圆形物体直径时，两块夹板不平行，测出的数据会不准（ ） 3.实操思考：测量光盘直径时，为什么不能直接用直尺随意量两点距离？ 4.单位换算：3.2cm =（ ）mm，45mm =（ ）cm 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.3《圆的认识（二)》(5考点) 考点1：圆的轴对称性与对称轴特征 【核心知识】 1轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，这条直线就是对称轴。 2.圆是典型的轴对称图形：沿任意一条直径对折，圆的两边都能完全重合。 3.圆的对称轴：所有直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，且全部对称轴都相交于圆心这 个点。 4.易错区分：直径是线段，对称轴是直线，不能说“直径是对称轴”，必须表述为直径所在直线是对称轴。 【方法点拨】 1.判断圆的对称轴：只要过圆心画直线，这条直线就是圆的对称轴： 2.辨析表述对错：遇到“圆有无数条直径所以无数条对称轴”要修正逻辑，本质是直径所在直线为对称轴： 3.对比记忆：其他图形对称轴数量有限，仅圆拥有无数条对称轴。 【典型例题】 例1：判断对错：圆的直径就是它的对称轴() 例2：一个圆至少对折几次就能确定它的圆心？为什么？ 【对应练习】 1.填空：圆有()条对称轴，所有对称轴都经过图形的()。 2.判断：把圆形纸片沿半径对折，两侧能完全重合，说明半径所在直线也是圆的对称轴() 3.简答：为什么圆的对称轴数量是无数条？ 4.选择：下列关于圆对称轴说法正确的是() A.圆只有水平、竖直2条对称轴 B.过圆心的任意直线都是圆的对称轴 C.半径线段是圆的对称轴 第1页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 考点2：常见平面图形的对称轴数量梳理 【核心知识】 整理小学高频平面图形对称轴条数： 图形名称 对称轴条数 圆 无数条 正方形 4条（两条对角线、两条对边中点连线） 长方形 2条（两组对边中点连线） 等边三角形 3条（每条边上的高所在直线） 等腰三角形 1条 等腰梯形 1条 普通平行四边形 0条 正n边形 n条 【方法点拨】 1.找对称轴技巧：沿着能让图形对折重合的直线计数，不要重复计数： 2.特殊区分：普通平行四边形无论沿哪条直线对折都无法重合，无对称轴： 3对比记忆：正儿边形就有儿条对称轴，边数越多越接近圆，对称轴数量越趋近无数条。 【典型例题】 例1：依次写出正方形、长方形、等边三角形的对称轴条数。 例2：下列图形中对称轴最多的是() A.等腰三角形 B.正方形 C.圆 D.长方形 【对应练习】 1.填空：等腰梯形有（)条对称轴，普通平行四边形有()条对称轴。 2.判断：正五边形有5条对称轴() 3按对称轴数量从多到少排序：长方形、圆、等边三角形、正方形 4.列举出2种只有1条对称轴的平面图形。 5.选择：对称轴只有2条的图形是() 第2页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 A.正方形 B.长方形 C.等边三角形 D.圆 考点3：图形的旋转重合特性对比 【核心知识】 1旋转重合定义：图形绕中心点旋转一定角度后，能和自身完全重合： 2.圆的旋转特殊性：绕圆心任意角度旋转，都能与原图形重合，也称圆是任意旋转对称图形： 3.正方形：绕中心至少旋转90°才能和原图重合；等边三角形：绕中心至少旋转120°才能和原图重合： 4,规律：正n边形绕中心至少旋转6心可与自身重合，圆无最小旋转角度限制。 【方法点拨】 1.区分圆与正多边形：正多边形必须旋转固定角度才重合，圆任意角度旋转都重合： 2.快速计算最小旋转角：用360°除以边数得到正多边形最小重合旋转角度。 【典型例题】 例1：正方形绕中心至少旋转多少度能和自身重合？等边三角形呢？ 例2：判断：将圆绕圆心旋转35°，不会和原来的圆重合() 【对应练习】 1.填空：正六边形绕中心至少旋转()度能与自身重合。 2.判断：长方形绕中心至少旋转180°可以和自身重合() 3简答：为什么车轮要做成圆形，利用了圆的什么旋转特点？ 4选择：下列图形任意角度绕中心旋转都能重合的是() A.正方形 B.圆 C.等边三角形 D.长方形 考点4：找圆心的实用方法 【核心知识】 4种常用找圆心方法： 1.对折法：圆形纸片连续对折2次，两条折痕的交点就是圆心： 2.直径法：在圆内画两条不平行的直径，交点为圆心： 3.直角法：利用“直径所对圆周角是直角”，用直角三角板直角顶点贴圆周，两条直角边与圆周交点连线就 第3页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 是直径，两次取直径交点得圆心： 4.半圆拼接法：把半圆补成完整圆，再用对折法找圆心。 【方法点拨】 1对折法最适合纸质圆形实物操作，操作简单准确率高： 2.画图找圆心优先画两条不平行直径，避免两条直径平行无法相交； 3.所有方法本质都是利用“多条对称轴（直径直线）交于圆心”的核心性质。 【典型例题】 例1：不借助工具，仅用一张圆形纸片，怎么快速找到圆心？写出步骤。 例2：在纸上画了一个圆无法对折，用直尺怎么找圆心？ 【对应练习】 1.实操简述：用直角三角板如何帮我们确定一个圆的圆心？ 2.判断：只对折圆形纸片1次，就能直接确定圆心位置() 3填空：找圆心的所有方法，本质都是利用圆的对称轴全部交于()的特点。 4.简答：为什么两次对折的折痕不能互相平行？ 考点5：圆相关实物直径测量实操 【核心知识】 1.圆形实物无法直接用直尺横穿圆心测量直径，需用夹逼平移法（两个平行直板夹住圆形物体，测直板间 距就是直径)： 2.单位换算：1cm=10mm,测量读数要区分厘米、毫米刻度； 3.测量要点：直板必须平行、与直尺垂直，读数视线与刻度平齐减小误差。 【方法点拨】 1.硬币、圆盘等圆形实物统一用“两侧夹板+直尺平移读数”法： 2.先读厘米整数部分，再读毫米小数部分，做好单位换算： 第4页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 3.多次测量取平均值可降低测量误差。 【典型例题】 例1：用夹板法测一枚硬币，两侧夹板对应刻度为5.0cm和7.5cm,求硬币直径并换算毫米。 例2：测量圆形水杯杯口直径，直接把直尺斜着跨过杯口两端读数，结果偏大还是偏小？ 【对应练习】 1.夹板测圆形垫片，刻度左端4.2cm、右端8.1cm,垫片直径是多少毫米？ 2.判断：测量圆形物体直径时，两块夹板不平行，测出的数据会不准() 3.实操思考：测量光盘直径时，为什么不能直接用直尺随意量两点距离？ 4.单位换算：3.2cm=()mm,45mm=()cm 第5页共5页