2.1 生活中的变量关系导学案——2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“生活中的变量关系”，通过温故初中常量与变量知识，衔接高中函数关系及分段函数的学习，构建从基础概念到核心定义的知识支架，引导学生做好知识衔接。 资料以生活实例为载体，通过“瑞雪兆丰年”等情境辨析依赖与函数关系，课前自测题设计贴近现实，培养学生用数学眼光观察世界的意识，强化“唯一对应”的推理思维，结合表格数据提升数学语言表达能力，助力学生高效掌握变量关系核心内容。

2.1 生活中的变量关系 预习提要 1.回顾初中变量、函数初步知识，感知变量之间相互制约的特点，体会用数学语言刻画变化关系的思路，做好知识衔接. 2.阅读课本，辨析生活实例中的常量与变量，区分依赖关系与函数关系，尝试分析实例中变量的变化规律，识别两类变量关系. 【温故】 1.常量：一般地，在一个变化过程中，数值 的量为常量. 2.变量：一般地，在一个变化过程中，数值发生 的量为变量. 【知新】 1.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量和，对于变量的每一个值，变量都有 的值和它对应，那么就是的 ，其中是 ，是 ． 2.分段函数：不同变量范围存在不同的 的函数，叫作分段函数． 课前自测 1.谚语“瑞雪兆丰年”说明( ) A.来年的丰收与下雪具有依赖关系 B.来年的丰收与下雪具有函数关系 C.下雪是丰收的函数 D.丰收是下雪的函数 2.对于变量“气压”的每一个值，变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应.对于变量“油面宽度”，至少存在一个值，使得变量“储油量”与之对应的值不唯一.根据这两条信息，给出下列四个结论： ①“水的沸点”是“气压”的函数； ②“水的沸点”不是“气压”的函数； ③“储油量”是“油面宽度”的函数； ④“储油量”不是“油面宽度”的函数. 其中正确结论的序号为( ) A.①④ B.①③ C.②④ D.②③ 3.下列各量之间不存在依赖关系的是( ) A.某种介质下，质量与体积的关系 B.房屋的地理位置与房屋的价格的关系 C.一个人的体重与智力的关系 D.树木的高度与土壤的关系 4.（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是( ) A. B. C. D. 5.经研究发现，学生对概念的接受能力y与老师讲解概念所用的时间（单位：）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，是不是函数关系？ （2）当老师讲解概念所用的时间是时，学生对概念的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为老师讲解概念所用的时间为几分钟时，学生对概念的接受能力最强？ 反思 【拓展】 生活中普遍存在两类变量关系：非确定性依赖关系与确定性函数关系.若一个变量随另一个变量变化而变化，且自变量唯一对应因变量，即为函数关系.核心判定关键：唯一对应性.气温与时间、路程与时间、销量与单价，都是典型变量模型，学会辨别变量、自变量、因变量，厘清变化规律与对应规则. 伽利略说：大自然的语言是数学，万物的变化皆有规律.世间一切动态变化，都可通过变量关系量化解读.常量描述静止状态，变量刻画运动过程.学会辨析变量间的依存与对应规律，跳出静态计算思维，养成动态分析、关联推理的数学思维，是学好函数模块的关键. 【思考】 1.生活中变量的依赖关系和函数关系有什么本质区别？判定标准是什么？ 2.为什么函数关系必须满足“唯一对应”，不满足该条件能否称为函数？ 答案及解析 【温故】 1.始终不变 2.变化 【知新】 1.唯一确定 函数 自变量 因变量 2.对应关系 课前自测 1.答案：A 解析：积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪既可防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增肥田地的作用，因此来年的丰收与下雪具有依赖关系，但不是函数关系. 2.答案：A 解析：根据函数的定义，自变量每一个确定的值，因变量就有唯一确定的值与之对应.根据题意，“水的沸点”与“气压”符合这个对应关系，而“储油量”与“油面宽度”的对应不唯一，不符合定义.故选A. 3.答案：C 解析：对于A，给定的介质下，质量=密度×体积，密度为定值，即质量与体积存在依赖关系，故A错误； 对于B，房屋的地理位置越好，房屋价格越高，两者存在依赖关系，故B错误； 对于C，一个人的体重与智力没有关系，故C正确； 对于D，土壤越好树木越容易长高，即两者存在依赖关系，故D错误.故选C. 4.答案：BD 解析：对于A，因为当时，，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的y值，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个y值与之对应，所以该关系不是函数关系.故选BD. 5.答案：（1）表中两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系 （2）59 （3） 解析：（1）表中两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系. （2）由题中表格，可知当老师讲解概念所用的时间为时，学生对概念的接受能力是59. （3）由题中表格，可知当老师讲解概念所用的时间为时，学生对概念的接受能力最强. 学科网（北京）股份有限公司 $