2.2.2 第2课时分段函数-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

fx)+2f(）=x, D 组成方程组 V(2）+2r)-2 @ 号×@x2-①)将，f)=号（经-≠0. 探究点三函数的图象及应用 【例3】解(1)因为x∈乙，所以函数图象为一条直线上的孤 立点（如图①），由图象知，y∈Z (2)因为x∈[0,3)，所以函数图象是抛物线的一段（如图 ②)，由图象知，y∈[-5,3). y 1=1 123x -2-11 123x 图① 图② 【变式训练3】解(1)当x=0时，y= 1:当x=1时，y=3:当x=2时，y=5. 函数图象过点(0,1)，(1,3)，(2,5) 图象如图所示， 由图可知，蓝数的值城为[1,5] 123 (2)当x=2时，y=1:当x=4时， y=立当x=6时y=了图象如图所示 由图可知，函数的值域为(0,1] ©学以致用·随堂检测促达标 1.C因为f(x-1)=(x-2)2-1≠f(1-x)=x2-1,而 f(x+1)=f(1十x)=x2-1,所以f(1十x)=f(1一x).故迭C 2.C因为选项A,D都有段时间停止不动，不合题意，故 排除选项A,D:首先加速前进，然后放慢速度，说明图象上升的 速度先快后慢，故选C 3.Cg(-1)=1,则f(g(-1)=f(1)=0, 则g(f(g(-1)=g(0)=-1. 4.y=80x(x+10),x∈(0，+o∞) 5.解(1)（方法一换元法）令x十1=t,∴x=1-1, .f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴.f(x)=3x-1. (方法二配凑法)f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1, .f(x)=3x-1. 3 2:f(x-）=r+是-(x-是）‘+2x0, 令=x-子则Rfe)=2+2fx)=x+2 6.解函数的定义域为[0，十∞).由y=√反在y≥0时有解 可知，函数的值域为[0，十∞). 通过描点作图法，可以作出这个函数的图象，如图所示 可1234主 第2课时分段函数 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点 【自主诊断】 1.(1)√(2)/(3)× 2.2由题图知f(2)=0,∴.f(f(2)=f(0)=4, ∴.f(f(f(2)=f(4)=2. x-2,x≥2， 3.解（方法一）y= 函数 2-x,x<2, y=x一2的图象如图所示. 01234 (方法二翩折法)先画出y=x一2的 图象，然后把图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴 上面. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一 分段函数的求值 【鳞1解Df(-)=-号+2=号， r()-()-()-, f(-)》-()-×号- (2)当f(x)=x十2=2时，x=0,不将合x<0.当f(x)= x2-2时，x=土2，其中x■2符合0≤x<2当f(x) 乞x=2时，江=4，符合x≥2，编上，x的值是2或4 【变式探究】解：f(x)>0, x<0, 10≤x<2, x≥2， 我1 .-2<x<0或0< x+2>0x2>0 2x>0. x<2或x≥2.∴.x的取值范围是(-2,0)U(0,十∞). 探究点二分段函数的图象 1 ,0<x<1, 【例2】解(1)函数y= x 的图象如图①，观察 2x,x≥1 图象，得函数的值域为(1，十∞). 寸01立方4钱 图① 图② (2)将原函数式中的绝对值特号去掉，化为分段函数y= -2x十2，x<-1, 4,-1≤x<3, 它的图象如图②.观察图象，得函数的值城 2x-2,x≥3， 为[4，十∞). 【变式训练1】C图为当x=0时，y=0-1=一1，所以函 数图象过点(0，-1)，排除A,B: 当x<0时，y=x2,则虽数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的都分，因此只有选项C中的图象符合题意。 探究点三根据分段函数图象求解析式 一x十2，x1, 【例3】y= 一x2十4红一2,1<x<3,根据图象，设左侧 x-2,x≥3 的射线对应的函数解析式为y=x十b(x≤1)， k+b=1, (使=-1， 点(1,1)，(0,2)在射线上，. 解得 b=2, b=2. “左侧射线对应的函数解析式为y=一x十2(x≤1). 同理，当x≥3时，对应的函数解斯式为y=x一2(x≥3). 弄设抛物线对应的一元二次函数解析式为y=a(x一 2)2+2(1<x<3,a<0). 点(1,1)在抛物线上，a十2=1，.a=一1..当1 x<3时，对应的函数解析式为y=一x2十4x一2(1<x<3). f-x十2x1, 综上可知，所求函数的解析式为y=一x2十4x一2,1<x3, x-2.x3 z+1,-1≤x<0, 【变式训练2】f(x= :f(x)的图 -x,0≤x≤1 象由两条线段组成，“由一次函数解析式求法可得∫(x)= x+1,-1x<0, -x,0≤x≤1. 探究点四分段函数在实际中的应用 1 +2,01≤20，∈N4, 【例4】解(1)P= 1 /+8,20<t≤30，t∈N. (2)设Qat十b(a≠0，a,b为常数)，将(4,36)与(10,30)】 4a+b=36, a=-1, 代入，得 解得 故日交易量Q与时间t的 10a+b=30. 6=40. 3 一次面数解析式为Q=40一t,0<1≤30，t∈N (3)由(1)(2)可得 (g+2)×(40-0.01≤20，：eN (-0+8)×40-0.20<1≤304eN. -号+6+80,0≤20，∈N 即y 2-12z+320,20<<30∈N. 当0<1≤20时，当1=15时，ymx=125:当20<1≤30时， 结合-元二次画数y--12+320在(20,30]上的图象（国 略)知，50≤y<120,因为125>120，所以，第15日交易额最大， 最大值为125万元. 【变式训练3】解如果x∈[0,180]，则f(x)=5x如果 x∈(180,260]，按照题意有f(x)=5×180+7(x一180)= 5x,x∈[0,180]， 7x一360.因此f(x)■ 注意到f(x) 17x-360,x∈(180,260]. 在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f(x) 在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为f(180)=5X 180=900,f(260)=7×260一360=1460，由此可作出函数的图 象，如图所示 1600 1200 800 400 04080120160200240280x ©学以致用·随堂检测促达标 |f(f(x+5),x<10, 1.B图为f(x)= 所以F(9) 2x-15,x≥10， f(f(14)=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11. 故选B 2c fr)=++1>0. 分段函数，易知选C xx-1,x<0 0.5x,0≤x≤100， 3.y 4.[-2,4]U[5,8J[-4,3] 0.4x+50,x>100 5解D-D=-0,(经)=2×号f0=8 3 (2)作出图象如图所示，利用数形结合易知f(x》的定义城 为[-1，+∞)，值城为(-1,2]U{3. 9数学「第二章函数 3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表： 6.(人教B版教材例题)已知函数y=√x,指出这 x 01-1 个函数的定义域、值域，并作出这个函数的 f(x)10-1 图象 x01-1 g(x)-101 则g(f(g(-1))的值为() A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 4.若一个长方体的高为80cm,长比宽多10cm,则 这个长方体的体积y(单位：cm3)与长方体的宽 x(单位：cm)之间的函数解析式是 5.(1)已知函数f(x十1)=3x十2，求f(x): 2已知f儿-)=2+是求f). 第2课时分段函数 1.了解分段函数的概念 学习目标 2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象 3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点分段函数 象组合到一起就可得到整个分段函数的图象 1.分段函数的定义 名师点睛 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的 1.求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自 不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段 变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解 函数.分段属数是一个属数而不是几个西数 析式来进行计算。 2.写分段函数的定义城时，区间端点应不重不漏。 2.分段函数的图象 分段函数的定义城是各段自变量取值集合的并集 分段函数有几段，它的图象就由几部分组成 3.分段函数值城的求法是分别求出各段上的因变 在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的 量的取值集合后取并集：分段函数的最大（小）值的求法 定义区间和解析式依次画出图象，要注意确定每 是先求出每段函数的最大（小）值，然后比较各段的最大 段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图 (小)值，其中最大（小）的为分段函数的最大（小）值 72 §1生活中的变量关系S2函数 自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)分段函数是一个函数，其定义域为各段的定义 域的并集 () 0123456 (2)Y=x一8|可以转化为分段函数的形式. 3.(人教A版教材习题)画出函数y=|x一2|的 ( 图象 (3)分段函数f(x)= 1,x∈Q, -1,x∈CQ 的图象可以作 出来。 ( 2.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A, B,C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f(f(f(2)= (重难探究·能力素养速提升 探究点一 分段函数的求值 [x+2,x<0, I变式探究在本例已知条件下，若f(x)> 【例1】已知函数f(x)= x2,0≤x<2, 0,求x的取值范围. 2xx≥2. a求f(-2)》的值： (2)若f(x)=2,求x的值 分析(1)由内到外，先求∫(》，再求 (-)》最后求f():(2)分别令 x十2=2，x2=2,2之=2，分段求x的值并验证， [课堂笔记] 位规律方法1.求分段函数的函数值的步骤 (1)先确定所求值对应的自变量属于哪一区间. (2)再代入该区间对应的解析式进行求值，直到 求出值为止，当出现∫（∫(x。)的形式时，应从内到 外依次求值 2.已知分段函数的函数值求自变量的值的步骤 (1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其 对应的函数解析式 (2)再将函数值代入不同的解析式中 (3)通过解方程求出自变量的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内， 73 。数学「第二章函数 探究点二分段函数的图象 【例2】画出下列函数的图象，并写出它们的 规律方法1.因为分段函数在定义域的不同区 值域 间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成， 1 ,0x<1, 有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些弧立的 (1)y= ,点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应，点 2x,x≥1； 的虚实之分 (2)y=|x+1|+x-3l. 2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先去 [课堂笔记] 掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再作其图象. 1变式训练1|下列图形是函数y= z2x<0:的图象的是( ) x-1,x≥0 探究点三」 根据分段函数图象求解析式 【例3】已知函数y=f(x)的图象由图中的 两条射线和抛物线的一部分组成，则函数的解析 式为 1变式训练2已知函数f(x)的图象如图所 [课堂笔记] 示，则f(x)的解析式为 74 §1生活中的变量关系S2函数 探究点四、 分段函数在实际中的应用 【例4】某上市股票在30天内每股的交易价 规律方法分段函数的意义是不同范围内的自 格P(单位：元)与时间t(单位：天)组成有序数对 变量工与y的对应关系不同，从而需分段来表达它 (t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上，该股票 解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解 在30天内（包括第30天）的日交易量Q(单位：万 析式，再根据需要选择合适的解析式解决问題 股)与时间1的部分数据如下表所示. I变式训练3I(人教B版教材例题)北京市 1P元 居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过 180m3的部分，综合用水单价为5元/m3:超过 180m3但不超过260m3的部分，综合用水单价 为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为 1020 301/天 xm3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤ 第t天 410 16 22 260,试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象. Q/万股36302418 (1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易 价格P与时间t所满足的函数解析式」 (2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t 的一次函数解析式 (3)在(2)的结论下，用y(单位：万元)表示该 股票日交易额，写出y关于t的函数解析式，并求 出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？ [课堂笔记] 75 数学「第二章函数 本节要点归纳 2.方法归纳：数形结合法. 1.知识清单： 3.常见误区：分段函数作图时定义域中端点的 (1)分段函数的求值； 处理；对分段函数定义域和值域的理解：分段函数求 (2)作分段函数的图象： 值时，应注意自变量所在的区间. (3)分段函数在实际中的应用」 式学以致用·随堂检测促达标 1.(2025江苏南通高一阶段测试)设f(x) f(f(x+5)),x<10, a)求f-1),(2),f④)的值： 则f(9)的值为( 2x-15,x≥10， (2)求函数的定义域、值域， A.9 B.11 C.28 D.14 2.函数f(x)=x+1工的图象是( 3.某客运公司确定客运票价的方法是：如果路程 不超过100千米，票价是每千米0.5元，如果超 过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则 客运票价y(单位：元)与路程x(单位：千米)之 间的函数解析式是 4.已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域 为 ,值域为 2x+2,x∈[-1,0] 5.已知函数f(x)= 2xx∈(0,2)， 3,x∈[2，+0∞). 76