2026年暑假·人教版 八年级数学专项第一天·二次根式的概念与性质

暑假·八年级数学（人教版2024）专项 第一天·二次根式的概念与性质 复习目标：理解二次根式的定义，掌握有意义的条件，熟练运用双重非负性，能识别最简二次根式和同类二次根式。 知识梳理·二次根式基础 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。其中“”称为二次根号，a叫做被开方数。 关键点：被开方数a必须是非负数（a≥0），否则在实数范围内无意义。 2.二次根式有意义的条件 对于，要求a≥0；对于含分母的二次根式（如，则要求a＞0（分母不为0）。 3.双重非负性 对于（a≥0），有≥0，且a≥0。即二次根式的值与其被开方数均具有非负性。这一性质常与绝对值、平方的非负性结合考查。 4.最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 5.同类二次根式 将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式（如2与﹣5）。 专题训练·二次根式的概念与性质 （建议完成时间：60分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项） 1.下列各式中，一定是二次根式的是（） A. B. C. D.（a＞0） 2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A.x＞3 B.x≥3 C.x＜3 D.x≤3 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（） A. B. C. D. 4.若+ |b+3|=0，则 (a+b)²⁰²⁶ 的值为（） A.1 B.﹣1 C.0 D.2026 5.与是同类二次根式的是（） A. B. C. D. 6.已知有意义，则化简 的结果为（） A.1﹣x B.x﹣1 C.0 D.1 7.若最简二次根式与可以合并，则a的值为（） A.2 B.1 C.0 D.﹣1 8.面积为12的正方形边长是（） A.2 B.3 C.4 D.2 9.若+有意义，则x的取值集合是（） A.{x＞2} B.{x＜﹣2} C.{﹣2≤x≤2} D.{x≥2或x≤﹣2} 10.下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（） A. B. C. D. 11.已知= ﹣a，则a的值是（） A.0 B.1 C.﹣1 D.不存在 12.若= 5，则x的值为（） A.5 B.﹣5 C.±5 D.25 13.某直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边c满足c=。若a=，b=2，则c为（） A. B. C.3 D. 14.若+有意义，则m的值为（） A.m＞3 B.m＜3 C.m＝3 D.任意实数 15.下列判断正确的是（） A.=a B. =a（a≥0） C.=·（任意实数） D.=（b≠0） 二、填空题（本大题共10小题） 16.若有意义，则x的取值范围是 。 17.化简：= ；= 。 18.若最简二次根式与是同类二次根式，则x= 。 19.已知+=b，则b= 。 20.若=7，则 x= ；若=﹣4，则 y （填“存在”或“不存在”）。 21.比较大小：2 3（填“＞”“＜”或“＝”）。 22.若+ (b﹣2)²=0，则a+b= 。 23.一个长方形的长是，宽是，则其面积为 。 24.若与都有意义，则x的值为 。 25.化简：= ； （填“有意义”或“无意义”）。 三、计算题（本大题共5小题，需写出主要步骤） 26.将下列二次根式化为最简二次根式： （1） （2） （3） 27.判断下列各组二次根式是否为同类二次根式，并说明理由： （1）与 （2）与 28.计算： （1） + （2）× （3）÷ 29.已知+=y+3，求x和 y 的值。 30.若a，b为实数，且+ |b+2|=0，求 (a﹣b)²⁰²⁶ 的值。 四、解答题（本大题共8小题，需写出完整的推理或计算过程） 31.已知x满足有意义，且也有意义，求x的取值范围，并化简 。 32.已知最简二次根式与是同类二次根式，求a 的值，并写出这两个二次根式。 33.一个三角形的三边长分别为cm，cm，cm，试判断这个三角形是否是等腰三角形？并求其周长（结果保留根号）。 34.某工厂要制作一个面积为30的正方形板材，边长是多少？（结果用最简二次根式表示）如果实际切割时边长误差不超过0.1，估算边长的近似值（精确到0.1）。   35.已知 m 是实数，且和都有意义，求 m 的值，并计算+的值。 36.若+=0，求x和 y 的值，并说明理由。 37.已知a=+2，b=-2。 （1）求a+b 和ab 的值；（2）求a²+b² 的值。 38.某公园有一块矩形草坪，长为m，宽为m。现计划在草坪四周铺设一圈鹅卵石路，路宽均为1m。求铺设后整个区域（草坪加路）的面积，并判断该面积是否为整数？ 参考答案 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.A 9.C 10.C 11.A 12.C 13.A 14.C 15.B 二、填空题 16.x≥﹣3 （2x+6≥0） 17.6 ； 6； 18.x=3 （3x﹣2=x+4 → 2x=6 → x=3） 19.b=0 20.49；不存在 21.＜ 22.1 （由非负性得a=﹣1，b=2，a+b=1） 23.10 24.2 （需2﹣x≥0且x﹣2≥0，故x=2） 25.3；无意义 三、计算题 26.（1）4；（2）；（3）。 27.（1）=2，=3，被开方数相同，是同类；（2）=3，=2，是同类。 28.（1）9；（2）6；（3）2。 29.由题意x﹣2≥0且2﹣x≥0，得x=2，代入得0+0=y+3，y=﹣3。 30.由非负性得a﹣5=0，b+2=0，所以a=5，b=﹣2，a﹣b=7，7²⁰²⁶。 四、解答题（简略过程） 31.由题意x≥3且x≤4，所以3≤x≤4。原式=|x﹣3|+|4﹣x|=(x﹣3)+(4﹣x)=1。 32.由同类得3a+2=2a+7，a=5，两个二次根式均为。 33.三边不等，不是等腰三角形；周长9cm。 34.边长≈5.5（精确到0.1，因5.5²=30.25，5.4²=29.16，取5.5）。 35.需m﹣1≥0且1﹣m≥0，故m=1，原式=2+。 36.因为≥0，≥0，和为零只能各自为0，所以x=y=0。 37.（1）a+b=2，ab=1；（2）a²+b²=(a+b)²﹣2ab=20﹣2=18。 38.草坪长=4，宽=2，加上路后长=(4+2)m，宽=(2+2)m，面积≈44+26.83=70.83，不是整数。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $