两角和与差的正弦、余弦和正切公式专项练习-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦两角和与差三角公式的系统性应用，通过分层题型训练构建公式正逆向运算与角的拆分推理逻辑，提升运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|涵盖公式直接应用、角范围限定、值的比较与计算|以公式推导为基础，关联角的拆分与三角函数值符号判断| |解答题|5题|包含多问综合、条件转化及实际情境应用|递进式考查公式变式、角的组合及参数范围推理，强化数学思维的严谨性|

4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·山东滨州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南红河·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·甘肃定西·期末）若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（25-26高二下·浙江湖州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏常州·期末）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·北京·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）下列各式中，值不为的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·河北承德·期末）下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·四川凉山·期末）若，，则__________． 13．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 14．（25-26高一下·上海闵行·阶段检测）设，，且，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·安徽阜阳·期末）（1）已知是第二象限角，，求的值. （2）已知，，，求的值. 16．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知，均为锐角，． (1)求的值； (2)若，求的值． 17．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知. (1)求和的值； (2)若，求的值． 18．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 19．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·山东滨州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 且，则， 所以 . 2．（25-26高二下·云南红河·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦和角公式展开，结合已知的求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果. 【详解】因为， 又，解得， 所以． 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差的正切公式可得，利用两角和差公式以及倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以 . 4．（25-26高一下·甘肃定西·期末）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 5．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由同角三角函数关系及两角和的正切公式求出，再联立两角和的余弦公式求得与的值，最后由两角差的余弦公式求得. 【详解】因为为锐角，所以， 由，得 ， 所以， 即， 又，所以 ， 解得，即， 故. 又， 得，所以. 所以 . 6．（25-26高二下·浙江湖州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角和差公式，结合正切商数关系求解． 【详解】， ， 即， 则，又， ， 解得． 7．（25-26高一下·江苏常州·期末）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，所以. 又由于，所以， 又，， 所以，所以. 8．（25-26高一下·北京·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简已知等式，求出和的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以，则， 整理得，又为第二象限角， 所以，， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）下列各式中，值不为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：； 对于B：； 对于C：； 对于D：． 10．（25-26高一下·河北承德·期末）下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式对各选项逐一化简求值，判断结果是否为． 【详解】对于A，由诱导公式得，，， 则原式，选项A错误； 对于B，由二倍角公式得，，选项B正确； 对于C，原式，选项C正确； 对于D，由两角和的正切公式得， 原式， 因为， 所以，选项D错误． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，，，， 则，， 可得，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·四川凉山·期末）若，，则__________． 【答案】 【分析】首先利用同角三角函数的商数关系，将已知的正切条件转化为正弦、余弦的比例关系，再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】 由 ，得 ，交叉相乘整理得： ， 已知 ，代入得 ，解得： . 根据正弦和角公式： 利用二倍角公式，， 代入得： 13．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 【答案】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 14．（25-26高一下·上海闵行·阶段检测）设，，且，则_____________． 【答案】 【详解】将代入已知等式得，交叉相乘并移项整理， 即. 由诱导公式可得 . 已知，因此，. 由于正弦函数在区间上单调递增，若两个角的正弦值相等，则两角相等， 即 ，移项得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·安徽阜阳·期末）（1）已知是第二象限角，，求的值. （2）已知，，，求的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求，再利用二倍角公式求的值. （2）利用，结合两角和的三角函数公式求值. 【详解】（1）因为是第二象限角，所以， 所以. 所以， . （2）因为，所以，所以， 所以. 又，所以，所以. 所以. 16．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知，均为锐角，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及，均为锐角，可得； （2）法1：求解；法2：设，由求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以，     因为，所以， 所以． （2）法1：由（1），所以， 所以，即． 因为，且， 所以，     ， 所以．     法2：设，因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以 ， 所以. 17．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知. (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对两边平方，可得，， 方法一：结合平方和关系式联立方程组，即可求解； 方法二：先求解的值，再联立方程组求解； （2）先求解，再把表示为，最后利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）由，且， 将两边同时平方并整理得：，所以， 故，， 方法一：由， 解得：， 方法二：由题意可得， 于是， 所以， 解得：，. （2）由（1）知，， 可得， 又， 所以． 18．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可； （3）根据两角和正弦公式、辅助角公式，结合同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） （3） ， 因为，所以， 所以， 所以 . 19．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由两角和的正切公式先得，利用诱导公式结合齐次式可得； （2）由同角三角函数关系得，，再由可得； （3）利用同角三角函数关系和倍角公式可得，利用可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得， ； （2）因且，故， 因，故，故， . （3）因，故，又，故，故， ， 故，故， 故， 又，故. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $