2026年河南南阳市宛城区初中毕业班第三次调研测试数学试题

**基本信息** 2026年初中数学三模卷以白河生态、政府工作报告等现实情境为载体，融合物理实验、中国象棋等跨学科素材，通过基础计算、新定义运算、综合实践题的梯度设计，考查代数、几何、统计核心知识，适配总复习阶段能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|科学记数法（3题）、几何视图（4题）|结合方位角（2题）、物理浮力函数图像（10题）| |填空题|5题/15分|统计扇形图（12题）、圆与反射（14题）|定义“二元平方和数”（13题）| |解答题|8题/75分|反比例函数与圆（18题）、抛物线桥拱模型（22题）|古柏亭测量（21题）、旋转放缩综合实践（23题）|

2026年初中毕业班第三次调研测试 数学试题卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）（下列各小题只有一个答案是正确的） 1.氢氧化钠NO)具有强碱性，用途广泛.已知该化合物中各元素的正负化 合价代数和为0，如表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为 元素 钠Na 氧0 氢H 化合价 +1 -2 A.0 B.+1 C.-1 D.-3 2.白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机.如图是东西流向且两岸α、b 互相平行的一段白河河道，在河岸α上有一建筑P,在河岸b上的小宛观测 到建筑P在他的北偏西60°方向上，则小宛的位置可能是 A.A B.B C.C D.D 3.2026年3月5日上午9时，十四届全国人大四次会议在人民大会堂开幕.国 务院总理李强作政府工作报告，回顾了2025年工作，实施学前一年免费教 育政策、惠及1400万儿童.数据“1400万”用科学记数法表示为 A.14×10 B.1.4×107 C.1.4×108 D.0.14×109 4.一个几何体的主视图和左视图如图所示，该几何体可以是 图 正面 正面 正面 5.下列计算结果等于0的是 A.a+a++a B.aa…g C.a20÷a2D.+ad2+..+a 10个a 10个a 5个a2 6如图，A、B均在方格纸的格点上.在方格纸内另取格点C、D,连结CD, 交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则下列 关于方案①、②的可行性判断正确的是 九年级数学试题卷第1页（共8页） 方桌① 方第② A.只有方案①可行 B.只有方案②的可行 C.方案①和②都可行 D.方案①和②都不可行 7.“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一 种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b,其“洛书积”记为a⊙b, 运算规则为a⊙b=(a一b)2-2ab.例如：3⊙2=(3-2)2-2×3×2=一11.则关于 x的方程x⊙2=0的根的情况为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 8.在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球（除颜色外其他都相同.如图 是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图.关于这 次摸球试验，有下列结论： ①是有放回的摸球试验； 开始 ②可能是同时摸出两个球： 红 ③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球； ④摸出一个红球和一个黄球的概率为} 红2 黄()()()() 其中正确的是 A.①③ B.③④ C.①②③ D.②③ 9.如图，在△ABC中，AB=AC,顶点A(-4,0),B(-1,4), 点C在y轴的正半轴上，将△ABC向右平移得到△A'B'C, 若A'B经过点C,则点A'的坐标为 A.(-2,0) B.(-2.5,0) c. D.(0 A 2 10.如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线 与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中.传感器示数（单位：） 九年级数学试题卷第2页（共8页） 反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度（单位：c)的变化 关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h 的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，F=G重力~F浮）.当0 ≤h≤12时，下列结论正确的是 F/N 15 6 91215h/cm 图1 图2 A.该长方体金属块的重力是3N B.该长方体金属块的高度是12cm C.传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D.当长方体金属块浸入水中的深度=5时，传感器示数F为4.5N 二、填空题（每小题3分，共15分） 综合与实践 11.单项式2ab的次数是 统计与 概率入 12在结束了初中阶段数学内容的新课教学后，李老师 数与代数 计划安排50课时用于总复习，根据数学内容所占课 45% 图形与几何 时比例，绘制了如图所示的扇形统计图，则李老师 40% 安排复习“统计与概率”内容的时间为 课时. 13.定义：一个整数能表示成a+b(、b是整数)的形式，则称这个数为“二 元平方和数”.例如，因为5=22+1？，所以5是“二元平方和数”.将50写 成a2+b2的形式，则50= (写出一种即可) 14.在光的反射中，反射角等于人射角.如图，已知AB 是半圆O的直径，且AB=4,平面镜N与半圆O 相切于点P,从AB上的点C发出一束光线CP,经 平面镜W反射后与半圆O交于点Q.若PQAB,要使劣弧PO的长为4切 需调整到∠ACP= 九年级数学试题卷第3页（共8页） 15.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,1), B(O,1),点P是坐标轴的正半轴上的一点， B 若射线AP、AB、AO构成轴对称图形， 则线段OP的长为 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16.(10分)(1)计算：√2×√8-8 (2)解方程： 、3 x+2 x-2 17.(9分)面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进 教育高质量发展注入强劲动能.某校为更好推动数字化教育，组织七、八 年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛， 成绩如下.（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级： 86,96,90,86,79,84,71,91,84,90,73,85,83,91,86. 八年级： 88,85,76,84,86,90,78,90,91,87,93,75,87,87,78 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：a=，b=一； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众 数，方差中选择两个角度说明理由： (3)复赛中，小郑和小东两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中 选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试 按3：4：2：1的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计 算说明最终谁入选， 九年级数学试题卷第4页（共8页） 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小郑 82 91 88 79 小东 84 83 87 86 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，P3a,四是反比例函数y=k(k>0)的图 1 象与圆O的一个交点，若图中阴影部分的面积为10m. (1)求圆0的半径长： (2)求反比例函数的解析式. 19.(9分)如图，菱形ABCD (I)求作矩形AECF,使得点E、F分别在AB、CD的延长线上： (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(I)的条件下，若AE=8,CE=4,求ta∠BAD的值. D B 20.(9分)中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》 说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也.故戏兵以象 戏名之.”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期.某商 场花费4800元从厂家购买了A、B两种材质的中国象棋220副，每副中国 象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 九年级数学试题卷第5页（共8页） ()该商场购进两种材质的中国象棋各几副？ (2)若商场再次购进两种材质的中国象棋300副，其中A材质中国象棋的数 量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材 质中国象棋多少副时获得最大利润，最大利润是多少？ 21.(9分)古柏亭位于河南省南阳市武侯祠景区诸葛草庐北侧，属“龙岗十景” 之一，为纪念诸葛亮所植古柏而建，借古柏风格纪念诸葛亮的高风亮节综 合实践活动中，实验学校数学课外活动小组用他们所学知识开展了测量“古 柏亭外一棵古树树冠的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量古树树冠的高度 如图，AB代表古树AE的树冠，在地面C、D处用两个高度相同的 测角仪分别测得树冠底端B的仰角a、树冠顶端A的仰角B,并测 得CD之间的距离，测角仪的高度CM=D, 测 量 方 案 ● 说明：点A、B、C、D、M、N在同一竖直平面内，点C、D、E 在同一直线上 测量项目 第一次 第二次 平均值 测 仰角a的度数 45.3 44.7° 45° 量 仰角β的度数 52.9° 53.1° m 数 据 C、D之间的直线距离 38.1m 37.9m n 测角仪的高度 1.5m 1.5m 参考 n53。 tan53≈4 数据 3 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中= 任务二：查阅资料得知这棵古树树冠以下BE高为21.5，求树冠AB高度. 九年级数学试题卷第6页（共8页） 22.(10分)问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》， 生动描绘了小桥倒映水中的美景.春节期间，某公园的工作人员计划对园 中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景， 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A、B之间的距离为6， 桥拱最高点C到水面的距离为m。 C(F) D 数学建模 如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5m. ①若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰F(大小忽略不计)，求灯饰F与其 水中倒影F之间的距离： ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为 m,另外2盏乙型灯笼自身高度均为m,若要求灯笼底部距离水面DE 20 的距离均为m,请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点C的水平距离. 九年级数学试题卷第7页（共8页） 23.(10分)【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为 背景就三角形的旋转放缩问题展开探究. 【特例研究】 在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O. (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到， 此时旋转角的度数为，k的值为 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点 O、B的对应点分别为点E、),使得点E落在OD上，点F落在BC上， 求F的值： OE 【延伸拓展】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O, M是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩 得到△AEF(点M、B的对应点分别为点E、F),使得点E落在BD上，点 F落在BC上.若AB=12,OE=5,直接写出线段CF的长， D E 0 M B B N 图1 图2 图3 九年级数学试题卷第8页（共8页）2026年春毕业班第三次调研测试 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 6 8 9 10 答案 B D B A B C A D D D 11.4: 12.5: 13.52+52(答案不唯一，或12+7： 14.60:15.1或2或2-√2 16.解：(1)原式=4一(-2)9…3分 =-3;…5分 (2)原方程两边都乘(+2)x一2)，去分母得： 3(x-2)H(x+2)(x-2)=x(x+2), …2分 整理得：3x一10=2x,… …3分 解得：x=10,… …4分 检验：当x=10时，(+2)x一2)≠0， 故原方程的解为x=10. …5分 17.解：(1)86,87； …2分 (2)八年级的学生人工智能技术的总体水平较好.…3分 理由：从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高： 从方差看，八年级成绩的方差比七年级小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好：…5分 (3)小郑的最后成绩为82×3+91×4+88×2+79×1 =86.5, …7分 3+4+2+1 小东的最后成绩为84×3+83×4+87x2+86×1=844, 3+4+2+1 .86.5>84.4, 小郑的最后成绩较高，即最终入选的是小郑.…9分 18.解：(1)由反比例函数图象和圆关于原点对称可知， 阴影部分面积为圆面积的}， 设圆的半径为，则上π2=10m,.r2=40, …2分 r>0,r=2√0 即圆0的半径长为2√10 …4分 (2).P(3a,在第一象限，∴.a>0,3a>0, 九年级数学参考答案第1页共4页 过点P作PA⊥x轴于点A,连接OP,则A=a,OA=3, ∴.0p=r=V3a2+ad=2W10 .a>0,∴=2，…7分 ∴.P点坐标为(6,2)， 将P(6,2)代入y=,得k=6X2=12. 反比例函数的解析式为y=12 …9分 19.解：(1)如图，矩形AECF为所求作. …4分 (2),菱形ABCD中，AD∥BC,BC=AB,.∠BAD=∠CBE, .四边形AECF是矩形，∴.∠BEC=90° ,AE=8,CE=4,∴.设BE=x,则BC=AB=8-一x, .BC2=BE2+CE2,∴.(8-x2=x2+42,解得x=3, ∴BE=3,tan∠BAD=tan∠BAD= CE =4. …9分 BE 3 20.解：(1)设该商场购进A材质中国象棋x副，B材质中国象棋y副， 根据题意，得 x+y=220, …3分 25x+20y=4800. x=80, 解得 y=140 答：该商场购进A材质中国象棋80副，B材质中国象棋140副；…5分 (2)设商场再次购进A材质中国象棋α副，则B材质中国象棋(300一)副， 由题意得1≤2(300一)，解得α≤200，…6分 设获得的利润为w元，则w=(45一25)a什(35一20)(300一a)=5什4500， .k>0,0≤a≤200，w随a的增大而增大. 当a=200时，最大利润为5500元. 故商场购进A材质中国象棋200副时获得最大利润，最大利润是5500元. …9分 九年级数学参考答案第2页共4页 21.解：任务一：53°，38；…2分 任务二：如图， 由题意得，CD=381m,CM=DW=1.5m,BE=21.5m, ⊙ 连接N,交BE于点O, ∠BMO=45°，∠ANO=53° M 四边形MCDN为矩形， ..MN=CD=38m,OE=MC=DN-1.5m, ∴.OB=BE-OE=20m, …4分 .∠BMO=45°，∠AOM=90°， ∴.OM=OB=20Gm),ON=W-OM=18(m),…6分 :∠AW0=53°，tan53°=O4≈4 ON 一 3 0A=ON-tan53°≈18×号=240m, …8分 .AB=OA-OB=24-20=4(m) 答：古树树冠AB高度为4m.… …9分 22.解：(1).y轴垂直平分AB,AB=6, 4(-3,0,B3,0.由题意.得c0) 设该抛物线的函数表达式为y=ax+(a≠0)， [9a+k=0, a=_I 将6,0叭(0)代入，得 5 9 解得 k= 5 …3分 (2)D由抛物线的对称性，得= 2 2+9 当x=时，y=-x …5分 520 居-m 答：灯饰F与其水中倒影F之间的距离为m: …7分 ②甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0，…8分 乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为m…10分 【是示】H微致可得，甲灯笼的是挂点到DE的距商为号号如m, 九年级数学参考答案第3页共4页 由①得，点C与DE之间的距离为？1-m), 5204 ∴.甲型灯笼的悬挂点即为点C.∴.甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为O: 由题惑可符，∠型打笼的总挂点到D2的距离为子考m, 由①得，DE与AB之间的距离为m, 20 ·该悬挂点到AB的距离为+2+”7m), 552020 令y=女号务解得或=子 520 2 ∴乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为m. 23.解：(1)45°，√2；…2分 (2)方法1：根据题意得△AEF∽△AOB, ∠EAF=∠OAB,AI=AE AB AO ∠AB=LEAO,AF-AB AF AO ∴.△AFB△AEO, ..BFAB …4分 OE AO .∠OAB=45°，∠AOB=90°， 4B=5, AO B-4=2: …8分 OE AO 方法2：根据旋转的性质旋转角∠BAF=∠OAE, 又，∠ABF=∠AOE=90°，∴.△ABF∽△AOE.…6分 级=4-8=反.8-反.…8分 AO AE OE OE (3)线段CF的长为3或9.…10分 九年级数学参考答案 第4页共4页 2026年初中毕业班第三次调研测试 数学试题卷 一、选择题：(每小题3分，共30分.)(下列各小题只有一个答案是正确的.) 1.氢氧化钠(NaOH)具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，如表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为 元素 钠Na 氧O 氢H 化合价 +1 ﹣2 A．0 B．+1 C．﹣1 D．﹣3 2.白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机.如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西60°方向上，则小宛的位置可能是 A．A B．B C．C D．D 3. 2026年3月5日上午9时，十四届全国人大四次会议在人民大会堂开幕．国务院总理李强作政府工作报告，回顾了2025年工作，实施学前一年免费教育政策、惠及1400万儿童．数据“1400万”用科学记数法表示为 A．14×106 B．1.4×107 C．1.4×108 D．0.14×109 4. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，该几何体可以是 5.下列计算结果等于a10的是 A． B． C．a20÷a2 D． 6.如图，A、B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C、D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则下列关于方案①、②的可行性判断正确的是 A．只有方案①可行 B．只有方案②的可行 C．方案①和②都可行 D．方案①和②都不可行 7. “河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为a⊙b，运算规则为a⊙b=(a－b)2－2ab.例如：3⊙2=(3－2)2－2×3×2＝－11. 则关于x的方程x⊙2=0的根的情况为 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8. 在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球(除颜色外其他都相同).如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图.关于这次摸球试验，有下列结论： ①是有放回的摸球试验； ②可能是同时摸出两个球； ③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球； ④摸出一个红球和一个黄球的概率为. 其中正确的是 A．①③ B．③④ C．①②③ D．②③ 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，顶点A(﹣4，0)，B(﹣1，4)，点C在y轴的正半轴上，将△ABC向右平移得到△A′B′C′， 若A′B′经过点C，则点A′的坐标为 A．(﹣2，0) B．(﹣2.5，0) C． D． 10.如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数F(单位：N)反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度h(单位：cm)的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化(提示：当长方体金属块浸入水中时，F＝G重力﹣F浮力)．当0≤h≤12时，下列结论正确的是 A．该长方体金属块的重力是3N B．该长方体金属块的高度是12cm C．传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度h＝5时，传感器示数F为4.5N 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.单项式2a3b的次数是　 　． 12.在结束了初中阶段数学内容的新课教学后，李老师计划安排50课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制了如图所示的扇形统计图，则李老师安排复习“统计与概率”内容的时间为 　 课时． 13. 定义：一个整数能表示成a2+b2(a、b是整数)的形 式，则称这个数为“二元平方和数”.例如，因为5＝22+12，所以5是“二元平方和数”．将50写成a2+b2的形式，则50= ．(写出一种即可) 14. 在光的反射中，反射角等于人射角.如图，已知AB是半圆O的直径，且AB=4，平面镜MN与半圆O相切于点P，从AB上的点C发出一束光线CP，经平面镜MN反射后与半圆O交于点Q.若PQ//AB，要使劣弧的长为，需调整到∠ACP= °． 15.如图，在平面直角坐标系中，点A(1，1)， B(0，1)，点P是坐标轴的正半轴上的一点， 若射线AP、AB、AO构成轴对称图形， 则线段OP的长为　 ． 三、解答题(共8个小题，满分75分) 16. (10分) (1)计算：； (2)解方程：． 17. (9分)面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．(满分：100分，测试成绩x的单位：分) 【收集数据】 七年级： 86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级： 88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：a＝　　 ，b＝　　 ； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小郑和小东两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按3：4：2：1的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小郑 82 91 88 79 小东 84 83 87 86 18. (9分)如图，在平面直角坐标系中，P(3a，a)是反比例函数y＝(k＞0)的图象与圆O的一个交点，若图中阴影部分的面积为10π． (1)求圆O的半径长； (2)求反比例函数的解析式. 19. (9分)如图，菱形ABCD． (1)求作矩形AECF，使得点E、F分别在AB、CD的延长线上； (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AE＝8，CE＝4，求tan∠BAD的值． 20. (9分)中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也.故戏兵以象戏名之.”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期.某商场花费4800元从厂家购买了A、B两种材质的中国象棋220副，每副中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价(元) 零售价(元) A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 (1)该商场购进两种材质的中国象棋各几副？ (2)若商场再次购进两种材质的中国象棋300副，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少副时获得最大利润，最大利润是多少？ 21. (9分)古柏亭位于河南省南阳市武侯祠景区诸葛草庐北侧，属“龙岗十景”之一，为纪念诸葛亮所植古柏而建，借古柏风格纪念诸葛亮的高风亮节.综合实践活动中，实验学校数学课外活动小组用他们所学知识开展了测量“古柏亭外一棵古树树冠的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量古树树冠的高度 测 量 方 案 如图，AB代表古树AE的树冠，在地面C、D处用两个高度相同的测角仪分别测得树冠底端B的仰角α、树冠顶端A的仰角β，并测得CD之间的距离，测角仪的高度CM=DN． 说明：点A、B、C、D、M、N在同一竖直平面内，点C、D、E在同一直线上 测 量 数 据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角α的度数 45.3° 44.7° 45° 仰角β的度数 52.9° 53.1° m C、D之间的直线距离 38.1m 37.9m n 测角仪的高度 1.5m 1.5m 参考 数据 sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中m＝　　 ，n＝　　m； 任务二：查阅资料得知这棵古树树冠以下BE高为21.5m，求树冠AB高度． 22. (10分)问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A、B之间的距离为6m，桥拱最高点C到水面的距离为m． 数学建模： 如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5m． ①若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰F(大小忽略不计)，求灯饰F与其水中倒影F′之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为m，另外2盏乙型灯笼自身高度均为m，若要求灯笼底部距离水面DE的距离均为m，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点C的水平距离． 23. (10分)【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O． (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　，k的值为　　 ； (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点O、B的对应点分别为点E、F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，M是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF(点M、B的对应点分别为点E、F)，使得点E落在BD上，点F落在BC上．若AB＝12，OE=，直接写出线段CF的长． 九年级数学试题卷 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 乡（镇） 学校 班级 考号 姓名 )! ! 2026年初中毕业班第三次调研测试 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．(9分) (1) , ； (2) (3) 18．(9分) (1) (2) 19．(9分) (1) (2) 20．(9分) (1) (2) ( 贴 条 形 码 区 ) 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 [×][－][·] 注 意 事 项 1.答题前，考生务必认真核准条形码上的姓名、考生号、科目、考场号和座位号,无误后将本人姓名、考生号、考场号、座位号填写在相应的位置。 2.答题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用2B铅笔,要字体工整、笔迹清晰；选择题填涂时，必须用2B铅笔按 图示规范填涂。 3.严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持答卷清洁、完整。严禁折叠，严禁在答卷上作任何标记。严禁使用涂改液和修正带。 ! 此栏考生禁填 缺考 标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 选择题部分(每小题3分，共30分)(考生须用2B铅笔填涂) ! 1 A B C D 6 A B C D ! 2 A B C D 7 A B C D ! 3 A B C D 8 A B C D ! 4 A B C D 9 A B C D ! 5 A B C D 10 A B C D 非选择题部分 ( 考生须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写) 2、 填空题(每小题3分，满分15分) 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题(本大题共8小题，满分75分) 16．(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ! 数学 第1页 共6页 数学 第2页 共6页 数学 第3页 共6页 ! ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．(9分) (1) ， (2) 22．(10分) (1) (2) ① ② 23．(10分) (1) ， (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ! 数学 第4页 共6页 数学 第5页 共6页 数学 第6页 共6页 ! 学科网（北京）股份有限公司 $