4.2.1 等差数列的概念课件----2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、定义、通项公式及与一次函数的关系，课堂导入先复习数列定义与通项公式，再通过天坛石板数、女装尺码等四个现实情境引导学生观察规律，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以生活情境（如金融还款利息）培养数学眼光，通过累加法推导通项公式发展数学思维，结合一次函数分析单调性强化数学语言应用。学生能提升探究与应用能力，教师可借助丰富情境和练习提高教学效率。

（第一课时） 4.2.1 等差数列的概念 选择性必修二 第四章 数列 1 1.数列的定义： 按一定次序排列的一列数。 2.数列的通项公式： 数列 的第 项 与项数 之间的函数关系式，即 。 一、复习回顾 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成, 最中间是圆形的天心石, 围绕天心石的是9圈扇环形的石板, 从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 ② 二、创设情境 22.6℃ 23.2℃ 23.8℃ 24.4℃ 25.0℃ 420m 320m 220m 120m 20m 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 . ③ 二、创设情境 【情景四】某人向银行贷款 a 万元，贷款时间为 n 年。如果个人贷款月利率为 r， 那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金 b （ ）万元，每月支付给银行利息（单位：万元）依次为： 【金融知识】如果按月还款， 等额本金还款方式计算公式是： 每月归还本金=贷款总额 贷款期总月数， 利息部分=（贷款总额 已归还本金累计额） 月利率。 二、创设情境 ④ 三、探究新知 思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①—④的取值规律吗？ ① 9,18,27,36,45,54,63,72,81. ② 38,40,42,44,46,48 ③ 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6. ④ ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, 取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 1.等差数列的定义: ●如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列. ●这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. ●符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） 注：①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断： an+1-an是不是同一个常数？ ②公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，千万别把被 减数与减数弄颠倒了！ ③公差可以是正数，负数，也可以为0. 三、探究新知 小试牛刀 1. 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差. （1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10 （2） 3，3，3，3，3，3 （3） 3x，6x，9x，12x，15x （4）95，82，69，56，43，30 （5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111 （6） 1，－2，3，－4，5，－6 × a1=3，公差 d=0，常数列 a1=3x，公差 d= 3x a1=95 ，公差d=－13 × × 小试牛刀 2. 判断题 （1）数列a，2a，3a，4a，…是等差数列. ( ) （2）数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列. ( ) （3）若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列. ( ) （4）若a2－a1=a3－a2，则数列{an}是等差数列. ( ) （5）若an－an-1=an+1－an (n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等差数列 ( ) （6）若an－an-1=an+2－an+1 (n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等差数列( ) 思考：若已知等差数列{an}的首项a1和公差d,你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 方法1： 由等差数列的定义可得 an+1-an=d a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+(n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 不完全归纳法 （通项公式） 三、探究新知 方法2：∵由等差数列的定义可得 an+1-an=d 由此得到： （通项公式） 累加法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 三、探究新知 2.等差数列的通项公式： 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为： a1,an,n,d 知三求一 考 思 等差数列的通项公式的一般形式： an＝am＋(n－m)d an-am=? am=? am=a1+(m-1)d an-am=(n-m) d 三、探究新知 1. 求下列等差数列的通项公式 （1）9，18，27，36，45，54，63，72... （2）38，40，42，44，46，48... （3）25，24，23，22，21. 小试牛刀 解：（1）an=9+(n－1)×9=9n （2）an=38+(n－1)×2=2n+36 （3）an=25+(n－1)×(-1)=－n+26 思考 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？ an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d) 3.等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b, f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}， 其首项为_______，公差为____. k （k+b） 三、探究新知 a5 a4 a3 a2 a1 a1－d O 1 2 3 4 5 6 x f(x) f(x)＝dx＋(a1－d) a6 探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 结论：当d＞0时，数列{an}单调递增; 当d＜0时，数列{an}单调递减； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列. 三、探究新知 4.等差数列的单调性： O 1 2 3 4 5 6 x f(x) f(x)＝dx＋(a1－d) a6 a1－d a1 a2 a3 a4 a5 a5 a4 a3 a2 a1 a1－d O 1 2 3 4 5 6 x f(x) f(x)＝dx＋(a1－d) a6 四、典例分析 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项 解: 例2. 判断-401是不是等差数列–5,-9 ,-13…的项? 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 ∵ 即 -401是数列的第100项。 解： 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解. ∴ an=-4n-1 四、典例分析 五、当堂检测 52 1.在数列{an}中，a1＝2，2an+1＝2an＋1(n∈N*)，则a101= ． 2.已知数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于(　　) A.n B.2n C.2n－1 D.n＋2 D 3.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= 6 4.已知数列{an}是等差数列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99， 则a20= 1 六、课堂小结 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 等差数列的概念 1 研究方法 2 (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； 递推公式、归纳法，累加法. (3) 通项公式的应用. 函数与方程. 递推公式 通项公式 应用 函数与方程 的思想 观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律。 ---G.波利亚 送给同学们的话： $