29.1圆的有关概念（6大知识点+10大题型+分层训练）2026年人教版九年级数学上册讲义

29.1圆的有关概念 学习目标导航 1、理解定义：掌握圆的描述性定义（线段绕固定端点旋转一周）和集合性定义（到定点的距离等于定长的点的集合），能准确表示圆。 2、掌握概念：理解并区分弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等基本概念，明确它们之间的联系与区别。 3、理解关系：理解点与圆的三种位置关系（点在圆外、圆上、圆内），并能利用点到圆心的距离与半径的数量关系进行判断。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 圆的有关概念 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内d＜r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外d＞r 【注意】 （1）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. （2）点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. （3）掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 知识点三 圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 知识点四 确定圆的条件 1）过一点作圆（如点A）：如图1，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个. 2）过两点作圆（如点A，B）：如图2，以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A（或点B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个. 3）过不在同一条直线上的三个点作圆（如点A，B，C）：如图3，圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以OA（或OB或OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个 图1 图2 图3 重要结论：不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交 拓展：点在圆内，；点在圆外，. 知识点五 反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 知识点六 点与圆上一点的最值问题 核心题型◆归纳 题型01 理解圆的相关概念 题型02 确定圆的条件 题型03 反证法证明中的假设 题型04 用反证法证明命题 题型05 三角形外接圆与网格问题 题型06 求特殊三角形外接圆的半径 题型07 判断点和圆的位置关系 题型08 利用点和圆的位置关系求半径 题型09 已知点与圆的距离求半径 题型10 点与圆上一点的最值问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 理解圆的相关概念 例1．下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②进行判断；根据三点确定一个圆的条件对③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 题型02 确定圆的条件 例2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 题型03 反证法证明中的假设 例3．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时， 第一步应先假设三角形的三个内角都小于， 故选：C． 题型04 用反证法证明命题 例1．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 题型05 三角形外接圆与网格问题 例5．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 题型06 求特殊三角形外接圆的半径 例6．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 题型07 判断点和圆的位置关系 例7．若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据的直径求出半径，再比较点P到圆心的距离和半径的大小，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为． ∵，且，即点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 题型08 利用点和圆的位置关系求半径 例8．如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 题型09 已知点与圆的距离求半径 例9．已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 题型10 点与圆上一点的最值问题 例10．已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 【答案】（1），；（2），；（3）或． 【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：（1），则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是，最长距离是． 故答案是：，； （2），则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离是． 故答案是：，； （3）当P在圆内部时，最长距离是， 当P在圆外时，最长距离是． 故答案是或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键． ABC分层训练 1．下列四边形的四个顶点一定在同一个圆上的是（　　） A．直角梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而A、C、D都是错误的；正方形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而正方形的四个顶点一定可以在同一个圆上. 【详解】A、直角梯形的四个顶点不一定在同一个圆上； B、正方形的四个顶点在以对角线的交点为圆心、对角线的一半为半径的同一个圆上； C、平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上； D、菱形的四个顶点不一定在同一个圆上. 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 3．如图，在直角中，，则以为圆心，分别为半径的圆形成一个圆环，则该圆环的面积为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、圆的周长和面积问题 【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即可求出答案． 【详解】解：圆环的面积为：， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把两个圆的半径的平方差进行转化成已知的数据是解题的关键． 4．在同圆或等圆中，直径是周长的（       ） A．3.14倍 B．π倍 C．2倍 D．倍 【答案】D 【知识点】圆的周长和面积问题 【详解】试题分析：圆的周长公式C=d,所以d= ,故选D 【结束】 5．下列结论正确的是（    ） A．半径相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧 C．半径是弦 D．弧是半圆 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据弧、弦、半圆的定义一一判断即可． 【详解】解：半径不是弦，没有与半径对应的弧，故A选项错误； 半圆是一种特殊的弧，故B选项正确； 半径不是弦，故C选项错误； 弧不一定是半圆，故D选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查圆的基本知识，掌握弧、弦、半圆的定义是解题的关键． 6．一个半径为的圆，其最长的弦的长度为_______． 【答案】4cm 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】在同圆中最长的弦是直径，根据直径、半径定义的数量关系计算求解． 【详解】解：∵圆的半径为2cm，在同圆中最长的弦是直径， ∴直径=半径×2=2×2=4(cm)． 故答案为4cm． 【点睛】本题考查圆中关于弦、直径的定义，牢固掌握圆的半径、弦等基本概念是解题关键． 7．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于_____． 【答案】半径． 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等. 【详解】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等. 故答案为:半径. 【点睛】本题考查了半径的含义，解题关键是注意基础知识的积累． 8．到点O的距离等于5的点的集合是______． 【答案】以点O为圆心，以5为半径的圆 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据圆的定义即可解答． 【详解】解：到点O的距离等于5的点的集合是：以点O为圆心，以5为半径的圆． 故答案是：以点O为圆心，以5为半径的圆． 【点睛】本题考查了圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合． 9．下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误； 故选C． 10．给定下列图形可以确定一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．已知三个点 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了确定圆的条件． 【详解】解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意； B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意； C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意； D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握要确定一个圆需要确定圆心和半径． 11．下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过点 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 12．已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断； 【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键． 13．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 14．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查等腰三角形性质，解题的关键是熟知等腰三角形的两个底角相等． 15．如图，圆中以为一个端点的劣弧有___________条．    【答案】3 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据劣弧的定义，所对圆心角小于180度的圆弧叫作劣弧，求解即可． 【详解】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条 故答案为：3 【点睛】此题考查了劣弧的定义，解题的关键是理解劣弧的定义． 16．若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ___，面积为 ___．（结果保留π） 【答案】 4； 16π． 【知识点】圆的基本概念辨析、圆的周长和面积问题 【分析】根据直径是半径的2倍，圆的面积公式计算即可． 【详解】∵圆的直径为8， ∴圆的半径为4，圆的面积为， 故答案为：4，16π． 【点睛】本题考查了半径，圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 17．如图，⊙O的半径为2，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝_____． 【答案】2 【知识点】根据等边对等角证明、圆的基本概念辨析 【分析】根据圆半径得出∠C=∠D，由平行线的性质得出∠DBE=∠C，即∠DBE=∠D，得出BE=DE，所以EO＋EB的长就是OD的长． 【详解】∵⊙O的半径为2， ∴OD=OC=2， ∴∠C=∠D， ∵OC//BE， ∴∠DBE=∠C， ∴∠DBE=∠D ∴BE=DE， ∴EO＋EB=OD=2 故答案为：2 【点睛】本题考查了圆的认识，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰的性质是解题的关键． 18．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】见解析， 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆，根据题意即可得． 【详解】解：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边界）． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握圆的基本认识． 19．从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为． (1)当时，的值为 ． (2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、根据正方形的性质与判定求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键． （1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可． （2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H， 由题意得，是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：； ②如图：当时， 根据题意得，四边形，，是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴在中， ∴ 整理得， ∴解得，或（舍）； ③如图：当时，最大半圆的半径为：； 综上，当时，；当时，；当时，． 20．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1）． 理由如下：在和中， ， ． 又于点，于点， 即分别是边上的高， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的判定定理、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1圆的有关概念 学习目标导航 1、理解定义：掌握圆的描述性定义（线段绕固定端点旋转一周）和集合性定义（到定点的距离等于定长的点的集合），能准确表示圆。 2、掌握概念：理解并区分弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等基本概念，明确它们之间的联系与区别。 3、理解关系：理解点与圆的三种位置关系（点在圆外、圆上、圆内），并能利用点到圆心的距离与半径的数量关系进行判断。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 圆的有关概念 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内d＜r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外d＞r 【注意】 （1）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. （2）点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. （3）掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 知识点三 圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 知识点四 确定圆的条件 1）过一点作圆（如点A）：如图1，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个. 2）过两点作圆（如点A，B）：如图2，以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A（或点B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个. 3）过不在同一条直线上的三个点作圆（如点A，B，C）：如图3，圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以OA（或OB或OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个 图1 图2 图3 重要结论：不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交 拓展：点在圆内，；点在圆外，. 知识点五 反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 知识点六 点与圆上一点的最值问题 核心题型◆归纳 题型01 理解圆的相关概念 题型02 确定圆的条件 题型03 反证法证明中的假设 题型04 用反证法证明命题 题型05 三角形外接圆与网格问题 题型06 求特殊三角形外接圆的半径 题型07 判断点和圆的位置关系 题型08 利用点和圆的位置关系求半径 题型09 已知点与圆的距离求半径 题型10 点与圆上一点的最值问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 理解圆的相关概念3333333 例1．下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 题型02 确定圆的条件 例2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 题型03 反证法证明中的假设 例3．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 题型04 用反证法证明命题 例1．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 题型05 三角形外接圆与网格问题 例5．如图，外接圆的圆心坐标为______． 题型06 求特殊三角形外接圆的半径 例6．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 题型07 判断点和圆的位置关系 例7．若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 题型08 利用点和圆的位置关系求半径 例8．如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 已知点与圆的距离求半径 例9．已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 题型10 点与圆上一点的最值问题 例10．已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． ABC分层训练 1．下列四边形的四个顶点一定在同一个圆上的是（　　） A．直角梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 2．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 3．如图，在直角中，，则以为圆心，分别为半径的圆形成一个圆环，则该圆环的面积为（    ）．    A． B． C． D． 4．在同圆或等圆中，直径是周长的（       ） A．3.14倍 B．π倍 C．2倍 D．倍 5．下列结论正确的是（    ） A．半径相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧 C．半径是弦 D．弧是半圆 6．一个半径为的圆，其最长的弦的长度为_______． 7．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于_____． 8．到点O的距离等于5的点的集合是______． 9．下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 10．给定下列图形可以确定一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．已知三个点 11．下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过点 12．已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 14．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，圆中以为一个端点的劣弧有___________条．    16．若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ___，面积为 ___．（结果保留π） 17．如图，⊙O的半径为2，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝_____． 18．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 19．从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为． (1)当时，的值为 ． (2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值． 20．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $