专题13 动量守恒中的四类模型（专项训练）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦动量守恒四类核心模型，通过"模型解读-情境分类-守恒方程"三阶体系实现方法迁移，强化物理观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |子弹打木块|4题（含2026江西九江一模等）|嵌入/穿透双情境动量-能量方程|从完全非弹性碰撞拓展到摩擦生热计算| |滑块—木板|3题（含2026河北高考真题）|相对位移三定理（动量/动能/能量）|系统动量守恒与机械能损失定量关系| |滑块—曲（斜）面|4题（含2026湖北十堰三模）|水平动量守恒+机械能守恒（最高点共速）|曲面对动量方向的约束作用分析| |滑块—弹簧|4题（含2026黑吉辽蒙卷高考真题）|弹簧最短/原长两状态方程|弹性势能与动量守恒的动态关联|

专题13 动量守恒中的四类模型 参考答案 真题·命题感知 考法01 “子弹打木块”模型 1．B 2．C 3．B 4．（1）； （2） （3）；； 考法02 “滑块—木板”模型 1．D 2．AC 3．（1） （2） 考法03 “滑块—曲（斜）面”模型 1．B 2．D 3．C 4．（1） （2） （3） 考法04 “滑块—弹簧”模型 1．C 2．D 3．（1） （2） 4．（1） （2）， （3） （4） 进阶·强化演练 “子弹打木块”模型 1．A 2．A 3．B 4．B 5．CD 6．（1） （2）， （3） “滑块—木板”模型 7．C 8．D 9．B 10．AD 11．（1）， （2） （3） “滑块—曲（斜）面”模型 12．C 13．C 14．C 15．D 16．BD 17．BD 18．（1）9 J （2）4 m/s，1 m/s 19．（1） （2） （3）， 20．（1） （2） （3）；，方向水平向右。 “滑块—弹簧”模型 21．D 22．D 23．D 24．B 25．（1）4.8m/s （2）0.44 （3）4m/s  1.12J 动量守恒的图像问题 26．D 27．D 28．C 29．D 30．B 动量守恒中的临界问题 31．B 32．AD 33．（1）；（2） 34．（1）0.2kg；2m/s，方向竖直向上 （2）2N 35．（1） （2）； （3） 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共20小题，每小题2分，共40分。 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．D 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 13．D 14．AC 15．BD 16．CD 17．AD 18．AC 19．BCD 20．BD 二、非选择题：本题共5题，共60分。 21．（1） （2） （3） 22．（1） （2） 23．（1） （2） 24．（1）1.2m （2）8m/s （3）8.5J 25．（1）76N （2）0.384m （3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 动量守恒中的四类模型 目 录 真题·命题感知 考法01 “子弹打木块”模型 1 考法02 “滑块—木板”模型 2 考法03 “滑块—曲（斜）面”模型 4 考法04 “滑块—弹簧”模型 8 进阶·强化演练 “子弹打木块”模型 11 “滑块—木板”模型 11 “滑块—曲（斜）面”模型 13 “滑块—弹簧”模型 15 动量守恒的图像问题 19 动量守恒中的临界问题 21 拔高·模拟预测 26 真题·命题感知 考法01 “子弹打木块”模型 解题方法 1．模型解读 （1）子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 （2）系统的机械能有损失（因为摩擦生热，可以应用能量守恒定律）。 2．两种情境 （1）子弹嵌入木块中，两者速度相同，机械能损失最多（类比完全非弹性碰撞）。 ·动量守恒：。 ·能量守恒：。 （2）子弹穿透木块，两者速度不相同，机械能有损失（类比非弹性碰撞）。 ·动量守恒：。 ·能量守恒：。 1．（2026·江西九江·一模）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹以不同的初速度水平射向木块，设子弹在木块内运动过程中受到的阻力f不变。当木块获得的速度最大时，下列说法正确的是（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块获得的最大动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 2．（2025·辽宁·三模）如图所示，两个完全相同的木块、厚度均为，质量均为。第一次把、粘在一起静置在光滑水平面上，质量为的子弹以速度水平射向木块，恰好将木块击穿，但未穿入木块。第二次只放置木块，子弹以同样的速度水平射向。设子弹在木块中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。则第二次子弹（　　） A．能击穿木块，子弹穿出木块的速度为 B．能击穿木块，子弹穿出木块的速度为 C．不能击穿木块，子弹进入木块的深度为 D．不能击穿木块，子弹进入木块的深度为 3．（2025·北京东城·二模）如图所示，将质量为的沙箱用长为的不可伸长的轻绳悬挂起来，一颗质量为的子弹水平射入沙箱（未穿出），沙箱摆动的最大摆角为。摆动过程中，沙箱可视为质点，重力加速度为，则子弹将要射入沙箱时的速度大小等于（　　） A． B． C． D． 4．（2026·四川眉山·三模）如图所示，水平长直轨道上停有滑块a，小球b（视为质点）通过长为L＝1m的不可伸长的细线与a连接。开始时a、b均处于静止状态，已知子弹c以＝4m/s初速度水平击中滑块a并留在其中，这个过程作用时间极短。已知a、b、c质量均为m＝1kg，重力加速度为，忽略一切摩擦及空气阻力。 （1）求子弹撞击完成瞬间，ac整体的速度大小及碰撞过程中损失的能量。 （2）求在之后的运动过程中，b球第一次摆到最高点时细线与竖直方向夹角的余弦值。 （3）求绳子再一次摆到竖直位置时，ac整体的速度大小和b的速度大小。以及此刻绳上的拉力大小。 考法02 “滑块—木板”模型 解题方法 1．模型特点：上表面粗糙、质量为M的木板，放在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0滑上木板。 （1）系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移大小的乘积等于系统减少的机械能。 （2）若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。根据能量守恒，系 统损失的动能，可以看出，滑块的质量越小、木板的质量越大，动能损失越多。 2．模型解读 （1）如图所示，若滑块未滑离木板，当滑块与木板相对静止时，二者的共同速度为v，滑块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，滑块和木板间的摩擦力为Ff。 这类问题类似于子弹打木块模型中子弹未射出的情况。 ①系统动量守恒：。 ②系统能量守恒：。 （2）若滑块滑离木板，设滑离木板时，滑块的速度为v1，木板的速度为v2，木板长为L。 ①系统动量守恒：。 ②系统能量守恒：。 1．在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑应用动量定理。 2．在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑应用动能定理。 3．在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑应用系统的能量守恒（或功能关系）。 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在光滑水平面上静置一质量为M、长为L的木板，质量为m的物块以速度水平向右从左端滑上木板。若物块在木板上运动过程中受到的阻力恒定，大小为f，物块可看作质点，改变物块的初速度大小，下列说法中正确的是（　　） A．越大，木板的末速度就越大 B．越大，物块与木板损失的总动能就越多 C．越大，物块与木板相对运动的时间就越短 D．无论取何值，木板的末速度都不可能大于 2．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图1所示，光滑水平地面上并排放着质量kg的木板A、B，一质量为kg的滑块C（可视为质点）以水平初速度m/s从木板A的左端开始运动，最终与木板B保持相对静止。已知从滑块C滑上木板A开始计时，木板B运动的v-t图像如图2所示，木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数相同，重力加速度g取10，下列说法正确的是（　　） A．木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数为0.2 B．木板B获得的最大速度为m/s C．木板A、B相互作用过程中，B对A的冲量大小为2N·s D．整个过程中，A、B、C组成的系统机械能的减少量为60J 3．（2026·河北·高考真题）如图所示，质量为的木板上放有一个质量为的机器人，木板始终受到水平向右、大小为的恒力作用。初始时木板与机器人一起以的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起，后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求 （1）机器人被提起的内，木板位移的大小。 （2）从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 考法03 “滑块—曲（斜）面”模型 解题方法 模型解读 1．整个过程中因为系统水平方向所受合力为0，系统水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，所以不能说系统动量守恒，只能说系统水平方向动量守恒。整个过程中系统的机械能守恒。 2．上升到最大高度：滑块的水平分速度与曲（斜）面体速度相同，为v共，此时滑块的竖直分速度vy＝0。系统水平方向动量守恒：；系统的机械能守恒：，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度（相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能）。 3．返回最低点：滑块与曲面（斜）体分离点。系统水平方向动量守恒：；系统机械能守恒：（相当于弹性碰撞）。 1．（2026·江西宜春·一模）如图，一质量为的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为小球以水平向右的初速度从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g取。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是（　　） A．1.63 m B．1.73 m C．1.83 m D．1.93 m 2．（2026·湖北十堰·三模）如图，在光滑水平面上放置一质量为的轨道，轨道的水平部分粗糙，长为；倾斜部分光滑。两部分在点用一段小弧平滑连接，使物体经过该点时没有机械能损失。质量为的小木块（可视为质点）以初速度从左端滑上轨道，最终木块恰好没有从轨道左端滑离。重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．轨道和木块组成的系统，相互作用过程中动量守恒 B．木块与轨道部分之间的动摩擦因数为 C．的长度至少为 D．木块在轨道部分发生相对运动的总时间为 3．如图所示，光滑半圆形凹槽B静止在光滑水平地面上，圆心为，物块C静止在B右侧。现将小球A从距离高度为的位置静止释放，恰能无碰撞地从凹槽右端进入凹槽，当A滑至B的最低点时，B恰好与C发生碰撞并粘连在一起（时间极短）。已知A、B、C的质量均为，凹槽半径为，重力加速度为，则（　　） A．初始时，B右侧与C的左侧相距为 B．B与C刚要碰撞时，A的速度大小为 C．小球A从第一次离开凹槽到再次返回凹槽经历的时间为 D．小球A从凹槽左端飞出后能运动到与释放点等高的位置 4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，光滑水平面上有固定弹性挡板P，光滑四分之一圆弧体B和可视为质点物体C静止在水平面上，B的质量为、半径为，最低点刚好与水平面相切，B的左侧面与物体C的距离也为，物体C的质量为。将质量为可视为质点的小球A从圆弧面最高点的位置由静止释放，当小球A第一次与挡板P发生弹性碰撞时，圆弧体B也刚好第一次与C碰撞并粘连；重力加速度为。求： （1）小球A第一次运动到水平面上时的速度大小； （2）挡板P与物体C间初始时的距离； （3）小球A与P碰撞后第一次滑上圆弧体能达到的最大高度。 考法04 “滑块—弹簧”模型 解题方法 1．模型解读：物体A、B通过轻弹簧（开始处于原长）相连，物体A以初速度v0运动。 2．两种情境 （1）当弹簧处于最短（或最长）时两物体瞬时速度相同，弹簧的弹性势能最大（类比完全非弹性碰撞）。 ①系统动量守恒：。 ②系统机械能守恒：。 （2）当弹簧恢复原长时弹性势能为0（类比弹性碰撞）。 ①系统动量守恒：。 ②系统机械能守恒：。 1．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，三小球、、的质量分别为、、，放于光滑的水平面上，小球、中间的轻质弹簧此时为原长（弹簧与小球均没有连接，可以分离），小球右侧有一固定挡板。现让小球以速度向右运动，碰后与小球黏在一起，、两小球碰撞时间极短，当、整体的速度大小为时撤去挡板，则运动全过程中，弹簧的最大弹性势能可能为（　　） A． B． C． D． 2．如图甲，轻质弹簧左端与物块相连，右端与物块接触但不拴接，系统处于静止状态，给一水平向右的瞬时速度，之后两物块的图像如图乙所示，已知物块的质量为，时刻与弹簧分离，弹簧始终处于弹性限度内。则下列说法正确的是（　　） A．物块的质量为 B．时刻的速度大小为 C．时间内，弹簧对物块的冲量大小为 D．时间内，弹簧弹性势能变化量 3．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 （1）求碰撞后瞬间木板的速度大小。 （2）弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 4．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 （1）求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； （2）求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； （3）欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ （4）欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 进阶·强化演练 “子弹打木块”模型 1．射击游戏中，质量为m的子弹以某一初速度击中静止在光滑水平地面上质量为M的木块，陷入木块一定深度后与木块相对静止，设木块对子弹的阻力大小恒定。这一过程开始和结束时子弹和木块的相对位置，下列图示可能正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，在光滑水平面上有一质量为3m的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，弹簧处于水平状态，木块处于静止状态，一质量为m的子弹以水平向左的速度射入（时间极短）木块并停留在木块内，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，质量为的子弹，以初速度射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。木块质量为，长度为，子弹射入木块的深度为，在子弹射入木块的过程中木块移动距离为。假设木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（　　） A．可能大于，也可能小于 B．一定小于，一定小于 C．子弹动能减少量小于木块动能增加量 D．子弹动量变化量等于木块动量变化量 4．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，上端连接一质量为M=0.98kg的物块，静止于某点P，质量为m=0.02kg的子弹以v0=200m/s的竖直初速度瞬间打入物块并留在其中，此后经t=1.0s物块第一次返回P点，空气阻力不计，重力加速度g=10m/s2。则在此t=1.0s内弹簧对物块的冲量是（     ） A． B． C． D．0 5．（多选）测弹丸速率常用如图所示冲击摆，用长为l的细线悬挂质量为M的沙袋（沙袋尺寸远小于l），沙袋静止，质量为m的子弹以一定的初速度自左方水平射向沙袋，并留在沙袋中，测出沙袋向右摆过的最大偏角θ（小于90°），就可以计算出子弹的初速度。重力加速度为g，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．子弹打击沙袋过程中系统机械能守恒 B．子弹射入沙袋后瞬间细线的拉力为 C．子弹射入沙袋瞬间子弹和沙袋的共同速度为 D．子弹的初速度 6．如图，弹性轻绳连接的滑块A、B静止在光滑水平面上。子弹C水平击穿A向前运动，子弹射入、射出速度分别为、。一段时间后，B与A碰撞并粘在一起。已知两滑块的质量分别为、，子弹的质量为，求： （1）子弹击穿滑块时A的速度大小； （2）两滑块发生碰撞前瞬间的速度大小、； （3）两滑块碰撞过程中损失的机械能。 “滑块—木板”模型 7．如图所示，光滑水平面上静置一质量为的木板，质量为的小物块以初速度从左端滑上木板，与木板相对静止时恰好运动到木板中央。已知物块与木板间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．木板长度为 B．木板长度为 C．系统因摩擦产生的热量大于木板获得的动能 D．系统因摩擦产生的热量小于木板获得的动能 8．如图甲所示，一质量为的木板静止于光滑水平桌面上，时，质量为的物块（视为质点）以大小为的速度水平滑上木板左端。图乙为物块与木板运动的图像，图中已知，重力加速度大小为。下列说法正确的是（     ） A． B．整个过程中摩擦力对物块做的功为 C．时间内木板对物块作用力对应冲量大小为 D．木板的长度一定不小于 9．（2026·安徽铜陵·一模）如图，木板m1足够长，静止在光滑水平地面上，物块m3静止在木板右侧，m3左端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧处于自然状态。滑块m2以水平向右的速度v0滑上木板m1，m2与m1速度相等时m1刚好与弹簧接触，此后再经过时间t0弹簧压缩量最大，并且m2与m1恰好能始终保持相对静止。已知m1、m2和m3的质量均为m，弹簧始终处在弹性限度内，弹性势能Ep与形变量x的关系为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法不正确的是（   ） A．木板刚接触弹簧时速度 B．弹簧的最大压缩量 C．弹簧压缩量最大时，m3的位移大小为 D．m2与m1间的动摩擦因数 10．（多选）如图所示，质量为M的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一质量也为M的小物块A，一颗质量为m的子弹以水平初速度v射入A并留在A内。已知子弹射入A时间极短，A与B之间的动摩擦因数为，且A与B最终达到相对静止，下列说法正确的是（     ） A．A与B最终的速度为 B．系统损失的总机械能为 C．A与B组成的系统因摩擦产生的热量为 D．平板车B的长度至少为 11．如图1所示，水平平台ab与凹槽cd相连，质量的小物块A静止在平台上，质量的长木板紧靠凹槽左侧壁静止在光滑水平面上，其上表面与平台ab齐平，质量的小物块B静止在长木板的左端。现对小物块A施加一水平向右的拉力F，拉力F随时间t变化的规律如图2所示，时撤去F，此时小物块A刚好与小物块B发生弹性碰撞。已知小物块A与平台、小物块B与长木板之间的动摩擦因数均为，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。长木板与凹槽侧壁碰撞后以原速率反弹（碰撞时间极短），且长木板与凹槽侧壁仅碰撞一次，最终小物块B恰好没有离开长木板。求： （1）小物块A与小物块B碰撞后瞬间的速度分别为多大； （2）初始时长木板的右端到凹槽右侧壁的距离； （3）长木板的长度。 “滑块—曲（斜）面”模型 12．如图所示，一平板小车静止在光滑水平地面上，小车上固定有一光滑曲面，末端与小车平滑相切，小车与曲面总质量为。质量为的小球以初速度从轨道末端向右滑上曲面，恰能到达曲面最高点，然后又落回轨道末端，最终与小车分离。重力加速度为，小球视作质点，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是（     ） A．小球到达点时，小球的速度大小为0 B．曲面的竖直高度 C．小车的最大速度为 D．小球与小车分离后做自由落体运动 13．如图所示，半径为R、质量为2m的四分之一光滑圆弧槽静置于光滑的水平地面上，一个质量为m的小球从弧槽的顶端紧贴着弧槽由静止释放，若槽不固定，当小球落地时，与圆弧末端的水平距离为（     ） A．R B． C． D． 14．如图所示，一木箱内部有三段内径相同的管道，三段管道均在同一竖直平面内且平滑连接。第一段为倾斜直管道，其水平投影的长度为，倾角。第二段为水平粗糙直管道，长度也为。第三段为四分之一圆弧管道，圆心为，圆弧半径的长度也为，木箱静止在光滑的水平面上。将一个质量为，直径略小于管道内径的小球（可视为质点），从管道点由静止释放，已知木箱的质量，管道内径远小于，小球与直管道的动摩擦因数，其余部分均光滑，重力加速度取，取。下列说法正确的是（　　） A．在小球下滑到的过程中，小球和木箱组成的系统动量守恒 B．小球从点刚进入水平直管道时，小球的速度大小为 C．小球在水平直管道内运动的时间为 D．小球即将从点撞上水平面时，小球的速度大小为 15．如图所示，总质量为M的轨道ABC置于光滑水平面上，由粗糙水平轨道AB和竖直面内四分之一光滑圆弧轨道BC组成，AB恰与BC在B点相切。一个质量为m的小物块从轨道的A端以初速度向右冲上水平轨道，到达圆弧轨道上某位置后，沿轨道返回。则（　　） A．物块在AB上运动时，轨道与物块组成的系统机械能守恒 B．物块在轨道ABC上滑动全过程中，轨道与物块组成的系统总动量始终保持不变 C．物块在BC上运动过程中，轨道的动量不断减小 D．当物块相对轨道静止时，速度变为 16．（多选）如图所示，一内表面光滑的半圆槽静置在光滑水平地面上且右侧与固定挡板接触，半圆槽的半径为、质量为。现将一质量为、可视为质点的小球，从半圆槽右侧槽口正上方高度位置由静止释放，小球从点沿切线方向滑入半圆槽内部，已知重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球第一次运动到半圆槽的最低点时，其速度大小为 B．小球第一次运动到半圆槽的最低点时，其所受弹力的大小为 C．小球第一次经过半圆槽的最低点后，在左侧弧面上升的最大高度为 D．若仅撤去挡板，小球仍从原位置静止释放，则小球第一次运动到半圆槽的最低点时，其动能为 17．（多选）如图所示，质量为2 m的曲面体锁定在光滑的水平面上，曲面体左端P点与水平面相平，曲面体上表面是以O为圆心（P点的正上方）、半径为R的六分之一光滑圆弧轨道PQ；弹簧左端固定在挡板A上，右端与质量为m的小球（可视为质点）接触（未拴接），弹簧处于原长时的右端在P点的左侧。现给小球施加一个向左的外力缓慢压缩弹簧至某一位置时撤去外力，小球由静止被弹出，恰好不从Q点离开曲面体。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．弹簧的最大弹性势能为mgR B．小球与曲面体作用过程中对曲面体压力的最小值为 C．若曲面体未锁定，则小球能上升的最大高度为 D．若曲面体未锁定，小球第二次到P点时对曲面体的压力大小为2 mg 18．如图所示，处于光滑水平面上的四分之一光滑圆弧小车，半径R=0.2 m，停靠在平台CDE左端且与平台高度相等。其中CD部分光滑，DE部分粗糙且与滑块Q间的动摩擦因数μ=0.25，平台DE长度L=1 m。滑块P、Q间有一被锁定且处于压缩状态的轻质弹簧，弹簧与P、Q不拴接，解除锁定后，滑块Q到达轨道E点时的速度大小为2m/s。已知滑块P、Q离开CD平台前弹簧已经恢复原长，P、Q质量均为m=1 kg，小车质量为M=0.5 kg，取g=10 m/s2，忽略运动过程中空气阻力的影响。求： （1）初始弹簧的弹性势能； （2）滑块P滑离小车时，小车和滑块P的速度大小； 19．如图所示，水平地面左侧有光滑台阶，斜面体B静止放置在光滑台阶上，斜面B足够长且光滑，质量；台阶右侧地面粗糙，地面上静置木板C，木板C质量，板长。物块A质量，在台阶上以水平向左的初速度冲向斜面体B。一段时间后，A滑上C且恰好能运动到C的最右端，C在地面上滑行的最大距离为。已知A与木板C接触面粗糙，动摩擦因数为；木板C与地面接触面粗糙，动摩擦因数为，物块A可视为质点，重力加速度取。求： （1）物块A在斜面体B上滑动时上升的最大高度； （2）物块A刚滑上木板C时的速度大小； （3）和的大小。 20．如图所示，斜面AB下端与半径为R的圆弧轨道BC连接并固定在水平地面上，斜面、圆弧、地面均光滑。将质量为m的小物块P由斜面上A点静止释放。水平轨道上有一质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道Q（不固定）。已知AC高度差为2R，重力加速度为g。求： （1）物块P经过圆弧轨道C点时所受的支持力大小； （2）若物块从A运动到C点所经历时间为t，求该过程弹力的冲量I的大小； （3）小物块P上升的最大高度以及此时轨道Q的速度。 “滑块—弹簧”模型 21．如图所示，光滑水平地面上，一质量为m的物体P以速度v向右运动，物体Q静止且左端固定一轻弹簧。P撞上弹簧后，弹簧被压缩至最短时（     ） A．P的动量变为0 B．Q的动量变为mv C．Q的动量达到最大值 D．P、Q系统总动量大小为mv 22．在光滑的水平面上，两个小车A和B之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度向右匀速运动，A、B的质量分别为m和3m。有一质量为m的黏性物体C从高处自由落下，正好落在A车上，并与之粘在一起，在以后的运动过程中，轻质弹簧获得的最大弹性势能为；如果黏性物体C不是落在A车上，而是落在B车上，其他条件不变，在以后的运动过程中，轻质弹簧获得的最大弹性势能为，则为（     ） A．1∶3 B．3∶1 C．1∶1 D．6∶1 23．如图甲所示，a、b两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上，a的质量为m。t＝0时刻，使a获得水平向右、大小为v0的初速度，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．b的质量为2m B．t3时刻，a、b间的距离最小 C．0~t2时间内，b所受冲量的大小为 D．图乙中阴影部分的面积为 24．如图所示，木块A、B的质量均为m，C的质量为3m。A与B通过竖直轻弹簧拴接后静止于水平地面上，此时弹簧压缩量为。C从B正上方高h处由静止自由下落，与B发生完全非弹性碰撞后粘连在一起。A、B、C均可视为质点，若运动过程中A恰好不离开地面，弹簧始终在弹性限度内，则h为（     ） A． B． C． D． 25．如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车的左侧为半径R=1m、圆心为O的四分之一光滑圆弧轨道，轨道的最低点B与小车右侧水平表面平滑连接，小车的右端固定有竖直挡板，水平轻质弹簧右端固定在挡板上，弹簧处于原长时左端位于小车上表面C点，小车表面除BC段外均光滑。将可视为质点、质量m=0.2kg的物块（未与弹簧连接）压缩弹簧至A点，在外力作用下物块及小车均静止，此时弹簧的弹性势能Ep=2.88 J。某时刻撤去外力，物块和小车同时由静止开始运动，物块恰能运动至圆弧轨道的最高点D。已知小车的质量M=0.8 kg，BC段的长度L=1 m，取重力加速度大小g=10 m/s2。求： （1）物块第一次经过C点时的速度大小v1； （2）物块与小车表面BC段间的动摩擦因数μ； （3）物块第二次经过小车上B点时的速度大小v及物块再次压缩弹簧时弹簧的最大弹性势能Emax。 动量守恒的图像问题 26．（2026·河南·模拟预测）质量分别为、、长度分别为、的长木板A、B均放置在光滑的水平面上，现让一滑块（可视为质点）先从长木板A的最左端以水平向右的速度滑上长木板A，最终刚好不从最右端滑出，两者的图像如图甲所示；再让同一滑块从长木板B的最左端以水平向右的速度滑上长木板B，最终滑块也刚好不从最右端滑出，两者的图像如图乙所示。设滑块与长木板A、B间的动摩擦因数分别为、，稳定运动时，图甲、图乙所描述系统的总动能分别为、。已知滑块在长木板A、B上滑行的加速度相等且图甲、图乙的标度相同。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 27．质量分别为和的两个大小相同的匀质小球在光滑水平面上发生正碰，碰撞时间极短，碰撞前后的位移—时间图像如图所示。已知，下列说法中正确的是（　　） A．碰后两球的速度方向相同 B．碰后质量为的小球速度为2m/s C． D．该碰撞为弹性碰撞 28．（2026·河南新乡·模拟预测）如图甲所示，物块A与物块B之间通过一根轻质弹簧栓接，静置在光滑的水平地面上，物块B与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，时解除锁定。规定向右为正方向，物块A在一段时间内运动的图像如图乙所示，已知物块A的质量为，则（     ） A．物块B的质量为 B．时刻弹簧处于原长 C．时间内，弹簧弹性势能的最大值为 D．时间内，物块A运动的位移大小为 29．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg，两物块之间用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触；另有一物块C从t=0时，以一定速度向右运动。在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v—t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小为12N·s B．物块C的质量为4kg C．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为8J D．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为4J 30．如图甲所示，质量为的物块、和质量为的用粘性炸药粘在一起，使它们获得的速度后沿足够长的粗糙水平地面向前滑动，物块A、B与水平地面之间的动摩擦因数相同，运动时间后炸药瞬间爆炸，A、B分离，爆炸前后物块A的速度随时间变化的图像如图乙所示，图乙中、均为已知量，若粘性炸药质量和体积均不计，爆炸前后A、B质量不变。则A、B均停止运动时它们之间的距离为（　　） A． B． C． D． 动量守恒中的临界问题 31．如图所示，小孩站在A车前端和车以4m/s的速度共同向右做匀速运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，并与B车保持相对静止，此时A、B两车恰好不相撞。小孩质量为25kg，A、B车质量均为50kg，不计地面阻力，小孩跳离A车时对地水平速度大小为（　　） A．6.0m/s B．7.2m/s C．8.0m/s D．10m/s 32．（多选）如图所示，一滑板的上表面由光滑的四分之一圆弧AB和水平面BC组成，右侧有一固定挡板，轻弹簧右端与挡板连接放在平面BC上，左端在平面BC上的D点右侧，滑板静置于光滑水平面上，已知滑板的质量为3m，圆弧的半径R，圆弧底端B点与D的距离为R，水平面BD间粗糙，CD间光滑。一个质量m的物块，从圆弧的最高点A由静止释放，物块第一次向左滑上圆弧面的最高点的位置离B点的高度，重力加速度为g，弹簧的形变在弹性限度内，则（　　） A．弹簧第一次被压缩到最短时，弹性势能为 B．弹簧第一次被压缩到最短时，弹性势能为mgR C．物块最终停止时，滑板的位移为R D．物块最终停止时，滑板的位移为R 33．小敏同学设计了如图所示的游戏装置，该装置由倾角的固定倾斜轨道BC和静止在光滑水平面上的长木板组成。木板左端紧靠轨道右端且与轨道C点等高但不粘连，斜面与木板接触处平滑相接。从B的左上方A点以初速度水平抛出一质量、可视为质点的物块，物块恰好能从B点无碰撞地进入倾斜轨道BC，经倾斜轨道BC滑上长木板。已知长木板的质量，，物块与倾斜轨道间的动摩擦因数为，空气阻力不计，重力加速度g取，。求： （1）的大小； （2）若长木板不固定，物块在长木板上滑行恰好不滑出长木板，求此过程中物块与长木板系统产生的热量。 34．如图，质量均为0.6kg的物块A、B用劲度系数为的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上物块A正上方有一个质量为M的物块C，物块C从距离A为0.8m处由静止释放，C下落后与A发生弹性碰撞，碰后瞬间A、C速度大小相等，碰撞后C上升到最高点时，弹簧的弹性势能恰好最大，忽略空气阻力三个物块均可视为质点，轻弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取； （1）求物块C的质量M以及碰后C的速度。 （2）只改变C由静止下落的位置，且使C与A碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后C与A粘合后做简谐运动的振幅，B始终未离开地面，求此运动过程中地面对物块B的最小弹力。 35．如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，与光滑水平平台相切于点，平台与顺时针匀速转动的传送带平滑连接，半径的四分之一圆弧固定在同一竖直平面内，其圆心刚好为点，物块a从圆弧轨道点由静止释放，与静止在平台上的物块b发生碰撞，碰后粘在一起并滑上传送带，最终与传送带共速。已知，，a、b两物块均可视为质点，并由同种材料构成，取重力加速度，不计空气阻力。 （1）求a与b碰撞过程中损失的机械能； （2）若物块a、b在传送带上运动过程中产生的热量，求传送带的速度大小； （3）设传送带长，物块a、b与传送带间的动摩擦因数为0.2，改变传送带转动的速度大小。求：使物块a、b从点水平抛出至落到圆弧面上的最小动能。 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共20小题，每小题2分，共40分。 1．如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于粗糙水平面上。一颗子弹水平射入木块A，射入时间极短并留在其中，在子弹射入木块A及弹簧被压缩的整个过程中，下列说法中正确的是（     ） A．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量不守恒，机械能不守恒 C．在弹簧被压缩的过程中，系统动量守恒、机械能不守恒 D．在弹簧被压缩的过程中，系统动量、机械能都不守恒 2．如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，质量分别为mA=2 kg，mB=1 kg，mC=2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。A、B间动摩擦因数为0.6，则下列判断正确的是（     ） A．A与C碰撞后的瞬间A的速度大小是0 m/s B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15 J C．碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.5 m D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4 s 3．如图1所示，物块c静置于光滑水平面上，物块b置于水平木板a的左端，a、b一起以速度v0在光滑水平面上向右运动，时刻，木板a与物块c碰撞后立即粘合在一起。已知物块c质量为m，木板a与物块c粘合后速度为，随后b与ac运动的v-t关系如图2所示，不计空气阻力，重力加速度为g，物块b可视为质点，且物块b始终未滑出木板a。则下列说法正确的是（     ） A．物块b质量为2m B．物块b质量为m C．木板a长度至少为 D．物块b与木板a间的动摩擦因数为 4．如图所示，在水平面上，劲度系数的轻弹簧右端固定，左端连接一个质量为的小物块，最初物块静止在O点，此时弹簧处于原长。一质量为的子弹以的初速度水平向右射入物块（时间极短），之后二者一起运动。已知物块与水平面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，弹簧始终在弹性限度内。小物块到达右边最远处与O点的距离为（     ） A．1 m B．0.8 m C．0.6 m D．0.4 m 5．如图所示，质量的木块从距离水平地面高度处自由下落，在下落时，被沿水平方向以速度飞行的子弹击中，子弹留在木块中（子弹与木块作用时间极短）。已知子弹的质量，忽略空气阻力，取重力加速度大小，那么（　　） A．子弹与木块作用过程中子弹损失的动能等于木块增加的动能 B．子弹击中木块后木块（包括子弹）做平抛运动 C．子弹击中木块后木块的速度为10m/s D．木块（包括子弹）的落地点距释放点的水平距离约为8m 6．如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则（ 　） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小车向左运动的最大距离为 C．小球离开小车后做斜上抛运动 D．小球第二次能上升的最大高度 7．如题图所示，质量为的小车置于光滑水平地面上，其右端固定一半径的四分之一圆弧轨道。质量为的滑块静止于小车的左端，现被水平飞来的质量、速度的子弹击中，且子弹立即留在滑块中，之后与C共同在小车上滑动，且从圆弧轨道的最高点离开小车。不计与之间的摩擦和空气阻力，重力加速度，则（　　） A．子弹C击中滑块后瞬间，滑块的速度大小为 B．滑块第一次离开小车瞬间，滑块的速度大小为 C．滑块第二次离开小车瞬间，小车的速度大小为 D．滑块从第一次离开小车到再次返回小车的过程中，滑块的位移大小为 8．如图所示，水平光滑轨道宽度和轻弹簧自然长度均为，两小球质量分别为、，，的左边有一固定挡板。由图示位置静止释放、，当与第一次相距最近时，的速度为，则在释放后到第二次相距最近的运动过程中（　　） A．、和弹簧组成的系统动量守恒 B．弹性势能最大为 C．第二次相距最近时，正好向左运动 D．的最大速度是 9．如图甲所示，质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，用一轻细绳将、拴接，使弹簧处于压缩状态，将该系统靠墙静止在光滑水平面上。当烧断细绳时开始计时，、物体运动的加速度随时间变化的图像如图乙所示，、、分别表示对应时段图线与坐标轴所围面积的大小。下列说法正确的是（    ） A．烧断细绳后，系统的动量和机械能始终守恒 B．时刻、两物体的速度之比为 C．时刻弹簧最长 D． 10．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，轻质弹簧的一端固定在斜面底端，另一端与物块A拴接。物块A静止在位置O点，此时弹簧的压缩量为。现有一物块B从距离O点上方处由静止释放，与A碰撞后一起向下运动但不粘连。已知A、B质量均为m，两者均可视为质点，弹簧的弹性势能（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．碰撞后瞬间两物块的速度大小为 B．碰撞后两物块运动的最低点离O点距离为 C．向上弹起过程中，两物块在O点分离 D．运动过程中弹簧的最大弹性势能为 11．如图甲所示，光滑水平面上静置一质量为的长木板，木板左端固定一轻弹簧。质量为m的物块（可视为质点）从木板右端以水平初速度v滑上木板，当物块压缩弹簧至最短时，木板向左运动的距离为L，此时物块相对木板的位移也为L。物块和长木板的相对位移与两者间摩擦产热的关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为。从长木板开始运动到弹簧压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块与长木板间的动摩擦因数为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．物块克服摩擦力做的功为 D．物块和长木板组成的系统机械能减少了 12．如图（a），一滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为R的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。小球以水平向右的初速度v0从圆弧最低点冲上滑块，且小球能从圆弧最高点冲出滑块。小球与滑块水平方向的速度大小分别为v1、v2，作出v1-v2的关系图像，某段时间内图像如图（b）所示，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．滑块与小球组成的系统动量守恒 B．当滑块速度为0.5v0时，小球运动至最高点 C．小球与滑块的质量比为1:2 D．小球的初速度大小可能为 13．如图甲所示，滑块、静置在光滑水平地面上，时刻，给质量为的滑块水平向右的初速度，如图乙所示为滑块、运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，滑块、发生非弹性碰撞 B．碰撞过程中，滑块、组成的系统损失的机械能为 C．碰撞后滑块的速度大小为 D．碰撞过程中，滑块对做的功为 14．（多选）如图甲所示，质量为的滑块静止在静置于光滑水平地面的长木板的左端，给滑块施加一水平瞬时冲量I，同时立即受到一个方向竖直向上、大小与滑块速度成正比的力F作用（即，其中）从滑块滑上长木板开始计时，滑块与长木板运动的速度-时间图像如图乙所示。滑块可视为质点，滑块与长木板之间的动摩擦因数，重力加速度g取。则（     ） A． B．滑块位移4.4m C．长木板位移0.9m D．滑块与长木板的最大相对位移为3.5m 15．（多选）如图所示，质量分别为、、（、2、3……）的圆弧槽、小球B、小球C均静止在水平面上，圆弧槽的半径为，末端与水平面相切。现将质量为的小球A从圆弧槽上与圆心等高的位置由静止释放，一段时间后与B发生弹性正碰，已知重力加速度为，不计A、B、C大小及一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球A通过圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力大小为 B．若BC发生的是完全非弹性碰撞，取不同值时，BC碰撞损失的机械能不同 C．若BC发生的是弹性正碰，当时，碰撞完成后小球C的速度为 D．取不同值时，C最终的动量不同，其最小值为 16．（多选）如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻，规定向左为正方向，内P、Q物块运动的图像如图所示，其中t轴下方部分的面积大小为，t轴上方部分的面积大小为，则（　　 ） A．物体Q的质量为m B．时刻Q物体的速度为 C．时刻P物体的速度为 D．时间内弹簧始终处于压缩状态 17．（多选）如图甲所示，质量分别为m、3m的两物块a、b放在光滑水平面上，用轻质橡皮条水平连接，橡皮条恰好处于原长。0时刻给a向左的瞬时冲量，同时给b向右的瞬时冲量，以b的初速度方向为正，在此后的时间内，a、b运动的图像如图乙所示。已知时刻橡皮条弹性势能为8J，图像中的阴影面积为S，橡皮条一直处于弹性限度范围内。下列说法正确的是（　　） A．时间内，a运动的距离为0.75S B．时间内，b运动的距离为0.2S C．从时刻开始至橡皮条第一次恢复原长过程中，橡皮条的弹力对a做功2J D．从t0时刻开始至橡皮条第一次恢复原长过程中，橡皮条的弹力对a做功6J 18．（多选）如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取，则下列说法正确的是（　　） A．子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s B．滑块B离开小车瞬间的速度大小为 C．小车粗糙水平面的长度为1.9m D．滑块B离开小车后再下落可从小车右端进入小车的圆弧轨道 19．（多选）质量为的物块A以一定速度在光滑的水平面运动，在其右侧有一质量为的物块B其曲面为光滑圆弧，半径为R，最低点与水平面相切。A恰好滑到B的圆弧最高点，重力加速度为g。未知。则下列说法正确的是（　　） A．A和B动量守恒 B．A的初速度 C．B的最大速度为 D．若A的初速度增大为，A从B最高点飞出再落回过程，B的位移为 20．（多选）如图，质量为0.3kg的滑块A套在水平固定的光滑轨道上，A的右侧有一挡板，挡板与A不连接，质量为0.2kg的小球B通过长为1.2m的轻杆与滑块上的光滑轴连接，可绕点在竖直平面内自由转动。初始时滑块静止，轻杆处于水平状态。小球以竖直向下的初速度开始运动，A、B均视为质点，取，则（　　） A．B第一次到达最低点的速度大小为 B．B第一次到达最低点时轻杆的拉力约为12.7N C．B在最高点时，B与光滑轨道的高度差为0.6m D．B在最高点时，B与A水平方向上的距离为0.96m 二、非选择题：本题共5题，共60分。 21．（12分）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，A、B均静止，M、N处于原长状态。时，有一水平向右的恒力作用在B上，B运动后开始匀速运动，B开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为0.1 J。已知A、B的质量分别为0.2 kg、0.4 kg，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内且弹性势能和形变量的平方成正比。 （1）求A与B间的动摩擦因数； （2）求B做匀速运动时的速度大小； （3）若时，有一水平向右的恒力作用在B上，A向右运动到最远点后向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离） 22．（8分）如图所示，质量为2m的物块A与质量为m的物块B用轻质弹簧相连，其组成的整体被一个垂直于斜面的挡板挡住，静止在一倾角θ=30°的光滑斜面上。另一质量为m的物块C从斜面上某点由静止释放，释放时B、C间的距离为L，物块C与B碰后粘在一起组成新物块D，D继续向下压缩弹簧，当弹簧被压缩到最短时开始计时，此后物块D在斜面上做简谐运动，时刻第一次运动到最高点，此时物块A恰要离开挡板。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧弹性势能与形变量的关系为，重力加速度大小为g，求： （1）物块B与C碰前弹簧的形变量； （2）物块D在运动过程中速度的最大值； 23．（12分）如图所示，质量为的足够长的长木板静止在光滑的水平面上，长木板的部分是水平的，部分是半径为的四分之一光滑圆弧，质量为的滑块静止在长木板上的点，滑块与长木板部分之间的动摩擦因数为。一质量为的橡皮弹丸以的速度水平向右射向滑块并与滑块发生弹性碰撞（碰撞时间极短），重力加速度取。 （1）求滑块被弹丸撞击后获得的初速度大小； （2）若滑块开始运动后，与长木板第一次共速时的位置在、之间（包含、两点），求、之间的距离应满足什么条件。 24．（12分）如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98kg的小车，B点右侧为水平轨道，其中BC段粗糙，CD段光滑。B点的左侧为一半径R＝1.3m的光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，车的最右端D点固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度时左端恰好位于小车的C点，B与C之间距离L＝0.7m。一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），置于小车的B点，开始时小车与小物块均处于静止状态。一质量m0＝20g的子弹以速度v0＝600m/s向右击中小车并停留在车中，假设子弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，取g=10m/s2。求： （1）小物块沿圆弧轨道上升的最大高度； （2）小物块第一次返回到B点时速度的大小； （3）弹簧弹性势能的最大值。 25．（16分）如图所示，一质量为且左右对称的光滑小车（不计轮子质量）放置于光滑水平面上，轮子被固定住。将一个质量为的小球从点自由释放，其下落之后自B点进入半径为的圆弧部分，滑至点飞出，恰好在点沿切线进入右侧圆弧，最终上升到右侧与开始相同的高度。已知过的半径与竖直方向夹角，，，求： （1）小球在C点对小车的压力大小； （2）l的长度； （3）不再固定轮子，仍将小球从A点自由释放，求小球在C点的速度大小。（结果可用根号表示） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 动量守恒中的四类模型 目 录 真题·命题感知 考法01 “子弹打木块”模型 1 考法02 “滑块—木板”模型 2 考法03 “滑块—曲（斜）面”模型 6 考法04 “滑块—弹簧”模型 14 进阶·强化演练 “子弹打木块”模型 18 “滑块—木板”模型 18 “滑块—曲（斜）面”模型 23 “滑块—弹簧”模型 28 动量守恒的图像问题 38 动量守恒中的临界问题 42 拔高·模拟预测 52 真题·命题感知 考法01 “子弹打木块”模型 解题方法 1．模型解读 （1）子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 （2）系统的机械能有损失（因为摩擦生热，可以应用能量守恒定律）。 2．两种情境 （1）子弹嵌入木块中，两者速度相同，机械能损失最多（类比完全非弹性碰撞）。 ·动量守恒：。 ·能量守恒：。 （2）子弹穿透木块，两者速度不相同，机械能有损失（类比非弹性碰撞）。 ·动量守恒：。 ·能量守恒：。 1．（2026·江西九江·一模）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹以不同的初速度水平射向木块，设子弹在木块内运动过程中受到的阻力f不变。当木块获得的速度最大时，下列说法正确的是（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块获得的最大动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 【答案】B 【解析】A．要使木块获得的速度最大，子弹与木块相对运动的时间要最长，此时子弹刚好要击穿木块，设二者共同速度为v，由动量守恒有 由能量守恒定律得 联立解得，故A错误； B．子弹和木块相互作用过程中合力都为，木块的加速度为 由运动学公式，可得，故B正确； C．由能量守恒可得木块获得的最大动能，故C错误； D．木块加速过程运动的距离为，故D错误。故选B。 2．（2025·辽宁·三模）如图所示，两个完全相同的木块、厚度均为，质量均为。第一次把、粘在一起静置在光滑水平面上，质量为的子弹以速度水平射向木块，恰好将木块击穿，但未穿入木块。第二次只放置木块，子弹以同样的速度水平射向。设子弹在木块中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。则第二次子弹（　　） A．能击穿木块，子弹穿出木块的速度为 B．能击穿木块，子弹穿出木块的速度为 C．不能击穿木块，子弹进入木块的深度为 D．不能击穿木块，子弹进入木块的深度为 【答案】C 【解析】一次击A、B粘在一起静置在光滑水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向木块A，恰好将木块A击穿，但未穿入木块B，由动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律得 解得 第二次只放置木块B，子弹以同样的速度水平射向B，由动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律得 解得 联立可得     所以子弹不能击穿木块B，子弹进入木块的深度为。故选C。 3．（2025·北京东城·二模）如图所示，将质量为的沙箱用长为的不可伸长的轻绳悬挂起来，一颗质量为的子弹水平射入沙箱（未穿出），沙箱摆动的最大摆角为。摆动过程中，沙箱可视为质点，重力加速度为，则子弹将要射入沙箱时的速度大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设子弹射入沙箱时整体速度为v，由机械能守恒有 设子弹将要射入沙箱时的速度大小为，规定向右为正方向，子弹射入沙箱过程，由动量守恒有 联立解得 故选B。 4．（2026·四川眉山·三模）如图所示，水平长直轨道上停有滑块a，小球b（视为质点）通过长为L＝1m的不可伸长的细线与a连接。开始时a、b均处于静止状态，已知子弹c以＝4m/s初速度水平击中滑块a并留在其中，这个过程作用时间极短。已知a、b、c质量均为m＝1kg，重力加速度为，忽略一切摩擦及空气阻力。 （1）求子弹撞击完成瞬间，ac整体的速度大小及碰撞过程中损失的能量。 （2）求在之后的运动过程中，b球第一次摆到最高点时细线与竖直方向夹角的余弦值。 （3）求绳子再一次摆到竖直位置时，ac整体的速度大小和b的速度大小。以及此刻绳上的拉力大小。 【答案】（1）； （2） （3）；； 【解析】（1）碰撞时间极短，细线沿竖直方向，取子弹初速度方向为正方向。对子弹与滑块组成的系统，由水平方向动量守恒得 解得 碰撞过程中损失的能量为 （2）子弹嵌入后，对滑块、子弹与小球组成的系统，水平方向动量守恒，机械能守恒。小球第一次摆到最高点时相对滑块的速度为零，三者速度均为，由水平方向动量守恒得 解得 设细线与竖直方向的夹角为，由机械能守恒得 代入数据，解得 （3）细线再次摆到竖直位置时，系统的重力势能恢复到碰撞后的初始值。由机械能守恒可知，系统总动能也恢复到碰撞后的初始值。设此时滑块和子弹组成的整体速度为，小球的速度为，由水平方向动量守恒得 由机械能守恒得 联立两式，除去碰撞刚结束时、 的初始状态，解得 进而有 此时小球相对滑块的速度大小为 在竖直方向上，小球的加速度等于其相对滑块的向心加速度。设细线的拉力为，由牛顿第二定律得 代入数据，解得 考法02 “滑块—木板”模型 解题方法 1．模型特点：上表面粗糙、质量为M的木板，放在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0滑上木板。 （1）系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移大小的乘积等于系统减少的机械能。 （2）若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。根据能量守恒，系 统损失的动能，可以看出，滑块的质量越小、木板的质量越大，动能损失越多。 2．模型解读 （1）如图所示，若滑块未滑离木板，当滑块与木板相对静止时，二者的共同速度为v，滑块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，滑块和木板间的摩擦力为Ff。 这类问题类似于子弹打木块模型中子弹未射出的情况。 ①系统动量守恒：。 ②系统能量守恒：。 （2）若滑块滑离木板，设滑离木板时，滑块的速度为v1，木板的速度为v2，木板长为L。 ①系统动量守恒：。 ②系统能量守恒：。 1．在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑应用动量定理。 2．在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑应用动能定理。 3．在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑应用系统的能量守恒（或功能关系）。 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在光滑水平面上静置一质量为M、长为L的木板，质量为m的物块以速度水平向右从左端滑上木板。若物块在木板上运动过程中受到的阻力恒定，大小为f，物块可看作质点，改变物块的初速度大小，下列说法中正确的是（　　） A．越大，木板的末速度就越大 B．越大，物块与木板损失的总动能就越多 C．越大，物块与木板相对运动的时间就越短 D．无论取何值，木板的末速度都不可能大于 【答案】D 【解析】ABC．当物块未从木板上滑离，系统水平方向动量守恒，物块的初速度越大时，木板的末速度越大，两者相对位移也就越大；因物块与木板损失的总动能等于系统产热，满足 可知物块的初速度越大时，物块与木板损失的总动能就越多，木板加速度恒定，物块与木板相对运动达到共速的时间越长。当物块从木板上滑离，物块的初速度越大时，木板的末速度越小，物块与木板损失的总动能不变，物块与木板相对运动的时间越短，故ABC错误； D．当物块从木板的最左端恰好滑到木板的最右端时，物块与木板的速度相等时，木板的末速度最大，物块和木板动量守恒，根据动量守恒定律 根据能量守恒 联立解得，故D正确。故选D。 2．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图1所示，光滑水平地面上并排放着质量kg的木板A、B，一质量为kg的滑块C（可视为质点）以水平初速度m/s从木板A的左端开始运动，最终与木板B保持相对静止。已知从滑块C滑上木板A开始计时，木板B运动的v-t图像如图2所示，木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数相同，重力加速度g取10，下列说法正确的是（　　） A．木板A、B与滑块C之间的动摩擦因数为0.2 B．木板B获得的最大速度为m/s C．木板A、B相互作用过程中，B对A的冲量大小为2N·s D．整个过程中，A、B、C组成的系统机械能的减少量为60J 【答案】AC 【解析】A．根据运动分析可知，前内，C在A上滑动，A与B一起加速，由图2知，B的加速度 对A、B整体，由牛顿第二定律 代入数据解得，故A正确； B． 时，C刚滑上B，此时， 此后A匀速，B与C组成系统动量守恒 解得，即B最大速度为，故B错误； C．设A受B的弹力为N，对A牛顿第二定律 解得 B对A的冲量大小为，故C正确； D．初始动能 末动能 机械能减少量，故D错误。故选AC。 3．（2026·河北·高考真题）如图所示，质量为的木板上放有一个质量为的机器人，木板始终受到水平向右、大小为的恒力作用。初始时木板与机器人一起以的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起，后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求 （1）机器人被提起的内，木板位移的大小。 （2）从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意，设木板与地面间的摩擦因数为，则有 解得 机器人被提起时，对木板有 解得 机器人被提起的2s内，木板位移的大小 （2）机器人被放回木板时，木板的速度为 机器人被放回木板后，恒力与地面对木板的摩擦力平衡，机器人和木板组成的系统所受合力为零，则由动量守恒定律有 解得 对机器人，由动能定理可得，摩擦力对机器人所做的功 考法03 “滑块—曲（斜）面”模型 解题方法 模型解读 1．整个过程中因为系统水平方向所受合力为0，系统水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，所以不能说系统动量守恒，只能说系统水平方向动量守恒。整个过程中系统的机械能守恒。 2．上升到最大高度：滑块的水平分速度与曲（斜）面体速度相同，为v共，此时滑块的竖直分速度vy＝0。系统水平方向动量守恒：；系统的机械能守恒：，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度（相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能）。 3．返回最低点：滑块与曲面（斜）体分离点。系统水平方向动量守恒：；系统机械能守恒：（相当于弹性碰撞）。 1．（2026·江西宜春·一模）如图，一质量为的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为小球以水平向右的初速度从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g取。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是（　　） A．1.63 m B．1.73 m C．1.83 m D．1.93 m 【答案】B 【解析】根据小球和小滑块水平方向动量守恒可得 可得在t时间内求和可得 可得 且 可得。 当小球运动到最高点时可得， 得， ，则 最终小滑块的位移是。故选B。 2．（2026·湖北十堰·三模）如图，在光滑水平面上放置一质量为的轨道，轨道的水平部分粗糙，长为；倾斜部分光滑。两部分在点用一段小弧平滑连接，使物体经过该点时没有机械能损失。质量为的小木块（可视为质点）以初速度从左端滑上轨道，最终木块恰好没有从轨道左端滑离。重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．轨道和木块组成的系统，相互作用过程中动量守恒 B．木块与轨道部分之间的动摩擦因数为 C．的长度至少为 D．木块在轨道部分发生相对运动的总时间为 【答案】D 【解析】A．由于木块在斜面部分运行的过程，系统竖直方向的合外力并不为0，所以系统的动量不守恒，故A错误； B．由于系统在水平方向不受力，故系统水平方向动量守恒。以水平向右为正方向，则从开始运动到木块恰好回到轨道左端的整个过程，在水平方向对系统列动量守恒定律有 解得木块最终的速度为 根据能量守恒定律有 解得木块与轨道部分之间的动摩擦因数为，故B错误； C．由分析可知，当木块沿斜面上升的高度最大时，二者的速度相等，设其速度为，则在水平方向对系统列动量守恒定律有 解得 根据能量守恒定律有 解得木块上升的最大高度为 由于为斜面的高度而非长度，所以的长度应大于，故C错误； D．设木块运动到B位置时木块和轨道的速度分别为、，以向右为正方向，则有， 代入数据联立解得当木块第一次从A运动到B点时，木块和轨道的速度分别为， 第二次木块从斜面返回B点时，木块和轨道的速度分别为， 设木块从A运动到B的时间为，则由动量定理有 解得 设木块从B返回到A的时间为，则由动量定理有 解得 所以木块在轨道AB部分运动的总时间为，故D正确。故选D。 3．如图所示，光滑半圆形凹槽B静止在光滑水平地面上，圆心为，物块C静止在B右侧。现将小球A从距离高度为的位置静止释放，恰能无碰撞地从凹槽右端进入凹槽，当A滑至B的最低点时，B恰好与C发生碰撞并粘连在一起（时间极短）。已知A、B、C的质量均为，凹槽半径为，重力加速度为，则（　　） A．初始时，B右侧与C的左侧相距为 B．B与C刚要碰撞时，A的速度大小为 C．小球A从第一次离开凹槽到再次返回凹槽经历的时间为 D．小球A从凹槽左端飞出后能运动到与释放点等高的位置 【答案】C 【解析】A．从A开始下滑到到达最低点过程，A、B组成的系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，设A滑至B的最低点过程中，A、B水平方向移动的距离分别为、。故最初时B右侧与C的间距为，由水平方向动量守恒得 故，又因为 解得，故A错误； B．从A开始下滑到到达最低点过程，由机械能守恒定律得 解得，故B错误； C．当A滑至B的最低点时，B恰好与C发生碰撞并粘连在一起，对B、C应用动量守恒有，解得 之后A、B、C水平方向动量守恒，当A滑到凹槽左端时，A、B、C水平方向共速，由动量守恒，可知A、B、C水平方向速度为零，设此时A的速度为 由机械能守恒 解得 小球A从第一次离开凹槽到再次返回凹槽经历的时间为，故C正确； D．小球A从凹槽左端飞出后，由机械能守恒 解得，故小球A从凹槽左端飞出后不能运动到与释放点等高的位置，故D错误。故选C。 4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，光滑水平面上有固定弹性挡板P，光滑四分之一圆弧体B和可视为质点物体C静止在水平面上，B的质量为、半径为，最低点刚好与水平面相切，B的左侧面与物体C的距离也为，物体C的质量为。将质量为可视为质点的小球A从圆弧面最高点的位置由静止释放，当小球A第一次与挡板P发生弹性碰撞时，圆弧体B也刚好第一次与C碰撞并粘连；重力加速度为。求： （1）小球A第一次运动到水平面上时的速度大小； （2）挡板P与物体C间初始时的距离； （3）小球A与P碰撞后第一次滑上圆弧体能达到的最大高度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设小球第一次运动到水平面上时圆弧体B的速度大小为，A、B水平方向动量守恒   A、B机械能守恒：   得 （2）设小球从圆弧面最高点运动到挡板P的过程中，小球沿水平方向运动的距离为，圆弧体沿水平方向运动的距离为，则   A、B水平方向动量守恒，则 则  ，即   ，得 （3）B与C相碰时动量守恒   A向左滑上圆弧体B到达最大高度过程水平方向动量守恒，   A、B、C能量守恒   考法04 “滑块—弹簧”模型 解题方法 1．模型解读：物体A、B通过轻弹簧（开始处于原长）相连，物体A以初速度v0运动。 2．两种情境 （1）当弹簧处于最短（或最长）时两物体瞬时速度相同，弹簧的弹性势能最大（类比完全非弹性碰撞）。 ①系统动量守恒：。 ②系统机械能守恒：。 （2）当弹簧恢复原长时弹性势能为0（类比弹性碰撞）。 ①系统动量守恒：。 ②系统机械能守恒：。 1．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，三小球、、的质量分别为、、，放于光滑的水平面上，小球、中间的轻质弹簧此时为原长（弹簧与小球均没有连接，可以分离），小球右侧有一固定挡板。现让小球以速度向右运动，碰后与小球黏在一起，、两小球碰撞时间极短，当、整体的速度大小为时撤去挡板，则运动全过程中，弹簧的最大弹性势能可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】、碰撞后黏在一起，即完全非弹性碰撞，动量守恒有 解得 右侧有挡板，初始静止且与挡板接触。、向右压缩弹簧，被挡板顶住不动。则、与弹簧组成的系统机械能守恒，有 由于压缩弹簧，、做简谐运动的一部分，即速度从向右减速至，再反向加速至，方向向左，故速度大小为的时刻有两个。 ①当向右减速至时，弹性势能设为，由机械能守恒解得 此时撤去挡板，总动量，总机械能 、快于，弹簧继续压缩，直至三者共速 则由动量守恒解得 共速动能 则此时弹性势能最大为 ②当向左加速至时，此时在撤去前弹簧已历经最大压缩状态，即、速度为零时。 故、速度为零时，由机械能守恒 解得 综上，弹性势能最大有两处，故选C。 2．如图甲，轻质弹簧左端与物块相连，右端与物块接触但不拴接，系统处于静止状态，给一水平向右的瞬时速度，之后两物块的图像如图乙所示，已知物块的质量为，时刻与弹簧分离，弹簧始终处于弹性限度内。则下列说法正确的是（　　） A．物块的质量为 B．时刻的速度大小为 C．时间内，弹簧对物块的冲量大小为 D．时间内，弹簧弹性势能变化量 【答案】D 【解析】A．由图乙可知，两物块速度相等时，速度为，根据动量守恒有 解得，故A错误； B．时间内，两物块相当于发生了一次弹性碰撞，根据动量守恒和初、末状态系统动能相等有， 联立解得，故B错误； C． 时间内，根据动量定理可知，弹簧对物块的冲量 故弹簧对物块A的冲量大小为，故C错误； D．时间内，根据物块A、B和弹簧组成的系统机械能守恒有，故D正确。故选D。 3．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 （1）求碰撞后瞬间木板的速度大小。 （2）弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 4．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 （1）求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； （2）求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； （3）欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ （4）欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 进阶·强化演练 “子弹打木块”模型 1．射击游戏中，质量为m的子弹以某一初速度击中静止在光滑水平地面上质量为M的木块，陷入木块一定深度后与木块相对静止，设木块对子弹的阻力大小恒定。这一过程开始和结束时子弹和木块的相对位置，下列图示可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设弹丸与木块达到共同速度所用时间为，在此过程中弹丸、木块相对地面的位移大小分别为、。系统水平方向动量守恒，有 故，因阻力大小恒定，弹丸和木块均做匀变速直线运动，由平均速度公式得 由关系式 弹丸相对木块的位移大小为 所以。故选A。 2．如图所示，在光滑水平面上有一质量为3m的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，弹簧处于水平状态，木块处于静止状态，一质量为m的子弹以水平向左的速度射入（时间极短）木块并停留在木块内，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 子弹射入木块的时间极短，弹簧还未发生明显形变，弹力冲量可忽略，子弹和木块组成的系统动量守恒。 设碰撞后子弹和木块的共同速度为，根据动量守恒定律 解得 子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒。当木块速度减为0时，动能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，最大弹性势能等于子弹和木块的共同动能。故选A。 3．如图所示，质量为的子弹，以初速度射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。木块质量为，长度为，子弹射入木块的深度为，在子弹射入木块的过程中木块移动距离为。假设木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（　　） A．可能大于，也可能小于 B．一定小于，一定小于 C．子弹动能减少量小于木块动能增加量 D．子弹动量变化量等于木块动量变化量 【答案】B 【解析】AB．子弹射入木块并留在其中，系统动量守恒，最终二者共速。设阻力大小为 由动量守恒，木块位移，子弹位移，子弹陷入深度 联立解得，由于，故恒成立。又因为子弹未穿出木块，有， 所以 因此，一定小于，一定小于，故A错误，B正确； C．子弹减少的动能一部分转化为木块的动能，一部分因摩擦生热转化为内能。所以子弹动能减少量大于木块动能增加量，故C错误； D．系统动量守恒，子弹动量的减少量等于木块动量的增加量。但子弹的动量变化量，木块的动量变化量，，两者互为相反数，矢量不相等，故D错误。故选B。 4．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，上端连接一质量为M=0.98kg的物块，静止于某点P，质量为m=0.02kg的子弹以v0=200m/s的竖直初速度瞬间打入物块并留在其中，此后经t=1.0s物块第一次返回P点，空气阻力不计，重力加速度g=10m/s2。则在此t=1.0s内弹簧对物块的冲量是（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】子弹打入物块瞬间内力远大于外力，弹簧弹力冲量可忽略，系统动量守恒。取向下为正方向 代入数据 ，解得 子弹和物块碰撞后从P点出发，向下运动到最低点后返回P点，根据简谐运动的对称性，回到P点时速度大小仍为，方向向上 取向下为正方向，在t=1.0s内，应用动量定理 解得。故选B。 5．（多选）测弹丸速率常用如图所示冲击摆，用长为l的细线悬挂质量为M的沙袋（沙袋尺寸远小于l），沙袋静止，质量为m的子弹以一定的初速度自左方水平射向沙袋，并留在沙袋中，测出沙袋向右摆过的最大偏角θ（小于90°），就可以计算出子弹的初速度。重力加速度为g，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．子弹打击沙袋过程中系统机械能守恒 B．子弹射入沙袋后瞬间细线的拉力为 C．子弹射入沙袋瞬间子弹和沙袋的共同速度为 D．子弹的初速度 【答案】CD 【解析】A．子弹射入沙袋过程中需要克服阻力做功，系统有机械能损失，故A错误； BC．根据牛顿第二定律可得 整体向右摆动过程中，有 联立可得 故B错误，C正确； D．子弹射入沙袋过程，根据动量守恒定律可得 所以 故D正确。 故选CD。 6．如图，弹性轻绳连接的滑块A、B静止在光滑水平面上。子弹C水平击穿A向前运动，子弹射入、射出速度分别为、。一段时间后，B与A碰撞并粘在一起。已知两滑块的质量分别为、，子弹的质量为，求： （1）子弹击穿滑块时A的速度大小； （2）两滑块发生碰撞前瞬间的速度大小、； （3）两滑块碰撞过程中损失的机械能。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】（1）子弹击穿滑块A过程，以向左为正方向，根据动量守恒可得 代入数据解得子弹击穿滑块时A的速度大小为 （2）子弹击穿滑块A后，滑块A开始向左运动，弹性轻绳先处于伸长状态，使得滑块B也向左运动，当A、B共速时，弹性轻绳伸长量达到最大，之后弹性轻绳逐渐恢复到原长状态，设此时A、B的速度分别为、，根据系统动量守恒可得 根据能量守恒可得 解得， 之后弹性轻绳处于松弛状态，直到A、B发生碰撞，所以两滑块发生碰撞前瞬间的速度大小分别为， （3）两滑块碰撞过程中，以向左为正方向，根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒可知，两滑块碰撞过程中损失的机械能为 解得 “滑块—木板”模型 7．如图所示，光滑水平面上静置一质量为的木板，质量为的小物块以初速度从左端滑上木板，与木板相对静止时恰好运动到木板中央。已知物块与木板间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．木板长度为 B．木板长度为 C．系统因摩擦产生的热量大于木板获得的动能 D．系统因摩擦产生的热量小于木板获得的动能 【答案】C 【解析】AB．设共速为，水平面光滑，小物块和木板组成的系统动量守恒 解得 小物块相对木板滑动到中央，相对位移，则摩擦生热 等于系统动能损失 联立解得，故AB错误； CD．木板获得的动能 由之前分析得摩擦热 而，即，系统摩擦生热大于木板获得的动能，故C正确，D错误。故选C。 8．如图甲所示，一质量为的木板静止于光滑水平桌面上，时，质量为的物块（视为质点）以大小为的速度水平滑上木板左端。图乙为物块与木板运动的图像，图中已知，重力加速度大小为。下列说法正确的是（     ） A． B．整个过程中摩擦力对物块做的功为 C．时间内木板对物块作用力对应冲量大小为 D．木板的长度一定不小于 【答案】D 【解析】A．图乙可知，时刻物块与木板达到共同速度。系统在水平方向不受外力，动量守恒。取向右为正方向，由动量守恒定律得 解得 即 ，故A错误； B．对物块应用动能定理，整个过程中摩擦力对物块做的功等于物块动能的变化量，故B错误； C．时间内，木板对物块的作用力包括竖直向上的支持力和水平向左的摩擦力。 水平方向上，由动量定理，摩擦力的冲量大小 竖直方向上，支持力 支持力的冲量大小 木板对物块作用力的总冲量大小，故C错误； D．使物块不滑出木板，木板的长度应不小于物块相对于木板的位移大小。在图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移，两图线围成的面积表示相对位移，即 故木板的长度一定不小于，故D正确。 故选D。 9．（2026·安徽铜陵·一模）如图，木板m1足够长，静止在光滑水平地面上，物块m3静止在木板右侧，m3左端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧处于自然状态。滑块m2以水平向右的速度v0滑上木板m1，m2与m1速度相等时m1刚好与弹簧接触，此后再经过时间t0弹簧压缩量最大，并且m2与m1恰好能始终保持相对静止。已知m1、m2和m3的质量均为m，弹簧始终处在弹性限度内，弹性势能Ep与形变量x的关系为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法不正确的是（   ） A．木板刚接触弹簧时速度 B．弹簧的最大压缩量 C．弹簧压缩量最大时，m3的位移大小为 D．m2与m1间的动摩擦因数 【答案】B 【解析】A．设木板刚接触弹簧时速度为，则以m1和整体作为研究对象，对其列动量守恒定律方程有，解得，故A正确； B．当和m3共速时，弹簧的压缩量最大，以、以及m3整体作为研究对象，对其列动量守恒定律方程有，解得共同的速度为 设此时弹簧的最大压缩量为，则由能量守恒定律有 解得，故B错误； C．m1、m2和m3组成的系统动量守恒有 对应三者的位移关系有 由选项B可知弹簧的最大压缩量为 联立解得 故C正确； D．弹簧压缩过程中，和的合力等于弹簧的弹力，由于和相对静止，说明二者间的静摩擦力提供的加速度，且弹簧压缩到最大时静摩擦力达到最大值（等于滑动摩擦力）。设弹簧压缩到最大时和的加速度为，则对和整体列牛顿第二定律方程有 此时对列牛顿第二定律方程有 联立解得与间的动摩擦因数为，故D正确。 由于本题选择错误的，故选B。 10．（多选）如图所示，质量为M的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一质量也为M的小物块A，一颗质量为m的子弹以水平初速度v射入A并留在A内。已知子弹射入A时间极短，A与B之间的动摩擦因数为，且A与B最终达到相对静止，下列说法正确的是（     ） A．A与B最终的速度为 B．系统损失的总机械能为 C．A与B组成的系统因摩擦产生的热量为 D．平板车B的长度至少为 【答案】AD 【解析】A．子弹射入木块由动量守恒定律得 整个过程 A与B最终的速度为，故A正确； BC．A与B组成的系统因摩擦产生的热量 得 子弹射入木块的过程也有机械能损失，故BC错误； D．A与B组成的系统因摩擦产生的热量 解得平板车B的长度至少为，故D正确。 故选AD。 11．如图1所示，水平平台ab与凹槽cd相连，质量的小物块A静止在平台上，质量的长木板紧靠凹槽左侧壁静止在光滑水平面上，其上表面与平台ab齐平，质量的小物块B静止在长木板的左端。现对小物块A施加一水平向右的拉力F，拉力F随时间t变化的规律如图2所示，时撤去F，此时小物块A刚好与小物块B发生弹性碰撞。已知小物块A与平台、小物块B与长木板之间的动摩擦因数均为，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。长木板与凹槽侧壁碰撞后以原速率反弹（碰撞时间极短），且长木板与凹槽侧壁仅碰撞一次，最终小物块B恰好没有离开长木板。求： （1）小物块A与小物块B碰撞后瞬间的速度分别为多大； （2）初始时长木板的右端到凹槽右侧壁的距离； （3）长木板的长度。 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】（1）由题意可知，时，拉力 此时小物块A开始运动，运动时间，运动过程中拉力的冲量 设小物块A与小物块B碰撞前瞬间的速度为，根据动量定理有 可得 若小物块A与小物块B碰撞后瞬间，A的速度为，B的速度为，由动量守恒定律，有， 解得 即小物块A与小物块B碰撞后瞬间的速度大小分别为， （2）长木板仅与凹槽侧壁碰撞一次，则与凹槽右壁碰撞后，小物块B与长木板动量大小相等，方向相反。设长木板与凹槽右壁碰撞后，小物块B的速度大小为，长木板的速度大小为，则有 长木板与凹槽右壁碰撞前，小物块B与长木板组成的系统动量守恒 解得， 长木板向右加速的加速度大小为，根据， 联立求得长木板的右端最初到凹槽右侧壁的距离 （3）设长木板的长度为，则 解得长木板的长度 “滑块—曲（斜）面”模型 12．如图所示，一平板小车静止在光滑水平地面上，小车上固定有一光滑曲面，末端与小车平滑相切，小车与曲面总质量为。质量为的小球以初速度从轨道末端向右滑上曲面，恰能到达曲面最高点，然后又落回轨道末端，最终与小车分离。重力加速度为，小球视作质点，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是（     ） A．小球到达点时，小球的速度大小为0 B．曲面的竖直高度 C．小车的最大速度为 D．小球与小车分离后做自由落体运动 【答案】C 【解析】AB．小球到达最高点P时，与小车水平方向共速，规定向右为正方向，水平方向根据系统动量守恒有 解得 小球从滑上曲面至P点过程中，根据能量守恒有 解得曲面的竖直高度为，故AB错误； CD．当小球又落回轨道末端时，小车的速度达到最大，设此时小球的速度为，小车的速度为，根据系统水平方向动量守恒可得 根据能量守恒有 联立解得， 可知小车的最大速度为，小球与小车分离后，向左做初速度大小为的平抛运动，故C正确，D错误。 故选C。 13．如图所示，半径为R、质量为2m的四分之一光滑圆弧槽静置于光滑的水平地面上，一个质量为m的小球从弧槽的顶端紧贴着弧槽由静止释放，若槽不固定，当小球落地时，与圆弧末端的水平距离为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】设小球滑到圆弧底端与槽分离时，小球的速度大小为，圆弧槽的速度大小为 小球下滑的过程中，系统在水平方向上不受外力，故水平方向动量守恒。规定向右为正方向，有 解得 系统中只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒。小球下落的高度为，则有 将代入上式，得 解得， 小球离开圆弧槽后做平抛运动，下落的高度为。设平抛运动的时间为，在竖直方向上有 解得 在这段时间内，小球向右做匀速直线运动，圆弧槽由于不受水平力，继续以的速度向左做匀速直线运动。两者在水平方向上的相对速度大小为 当小球落地时，小球与圆弧末端的水平距离，即为两者在这段平抛时间内的相对位移大小。故选C。 14．如图所示，一木箱内部有三段内径相同的管道，三段管道均在同一竖直平面内且平滑连接。第一段为倾斜直管道，其水平投影的长度为，倾角。第二段为水平粗糙直管道，长度也为。第三段为四分之一圆弧管道，圆心为，圆弧半径的长度也为，木箱静止在光滑的水平面上。将一个质量为，直径略小于管道内径的小球（可视为质点），从管道点由静止释放，已知木箱的质量，管道内径远小于，小球与直管道的动摩擦因数，其余部分均光滑，重力加速度取，取。下列说法正确的是（　　） A．在小球下滑到的过程中，小球和木箱组成的系统动量守恒 B．小球从点刚进入水平直管道时，小球的速度大小为 C．小球在水平直管道内运动的时间为 D．小球即将从点撞上水平面时，小球的速度大小为 【答案】C 【解析】A．小球和木箱组成的系统在水平方向动量守恒，竖直方向受到的合外力不为零，故小球和木箱组成的系统动量不守恒，故A错误； B．设小球从点刚进入水平直管道时，小球的速度为，木箱的速度为，小球和木箱组成的系统水平方向动量守恒，选取小球的速度方向为正方向，则有 根据能量守恒可得 代入数据解得，，故B错误； C．小球在BC段受到摩擦力的作用，对小球，根据牛顿第二定律可得 解得（向右减速） 对木箱则有 解得（向左加速） 二者的相对加速度 相对位移为 根据运动学规律可得 代入数据解得，故C正确； D．假设段也是光滑的，小球从D点滑离木箱时，水平方向一定与木箱共速，又因为系统水平方向动量守恒且为0，故小球在D点时，小球速度竖直向下，木箱速度为0，由系统机械能守恒 解得 但实际BC段是粗糙的，整个过程中有能量损失，因此小球即将从点撞上水平面时，小球的速度一定小于，故D错误。 故选C。 15．如图所示，总质量为M的轨道ABC置于光滑水平面上，由粗糙水平轨道AB和竖直面内四分之一光滑圆弧轨道BC组成，AB恰与BC在B点相切。一个质量为m的小物块从轨道的A端以初速度向右冲上水平轨道，到达圆弧轨道上某位置后，沿轨道返回。则（　　） A．物块在AB上运动时，轨道与物块组成的系统机械能守恒 B．物块在轨道ABC上滑动全过程中，轨道与物块组成的系统总动量始终保持不变 C．物块在BC上运动过程中，轨道的动量不断减小 D．当物块相对轨道静止时，速度变为 【答案】D 【解析】A．物块在AB上运动时，对物块、轨道受力分析，可知滑动摩擦力对整体做负功，机械能转化为内能，可知轨道与物块组成的系统机械能减小，故A错误； B．物块在轨道上运动的全过程中，整体在水平方向不受外力，即整体水平方向动量守恒；物块在BC段运动时，整体在竖直方向的动量不守恒，即轨道与物块组成的系统总动量不守恒，故B错误； C．物块在BC上运动时，物块对轨道的压力斜向右下方，在水平方向有向右的分力，而轨道在水平方向不受其它力，即轨道水平方向的受力与运动方向相同，则轨道水平方向做加速运动，轨道的动量增加，故C错误； D．对物块和轨道整体受力分析，根据水平方向系统动量守恒，即可得mv0=（m+M）v 解得相对静止时的速度为，故D正确。 故选D。 16．（多选）如图所示，一内表面光滑的半圆槽静置在光滑水平地面上且右侧与固定挡板接触，半圆槽的半径为、质量为。现将一质量为、可视为质点的小球，从半圆槽右侧槽口正上方高度位置由静止释放，小球从点沿切线方向滑入半圆槽内部，已知重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球第一次运动到半圆槽的最低点时，其速度大小为 B．小球第一次运动到半圆槽的最低点时，其所受弹力的大小为 C．小球第一次经过半圆槽的最低点后，在左侧弧面上升的最大高度为 D．若仅撤去挡板，小球仍从原位置静止释放，则小球第一次运动到半圆槽的最低点时，其动能为 【答案】BD 【解析】A．小球从释放点到点做自由落体运动，下落高度为0.5R，根据机械能守恒定律有 解得 小球从点到最低点过程中，半圆槽受小球作用有向右的水平分力，被挡板挡住而保持静止，小球机械能守恒，从点到最低点又下降高度，有 解得，故A错误； B．小球第一次到最低点时，由A选项可知，在竖直方向由牛顿第二定律有 解得，故B正确； C．小球经过最低点后进入左侧弧面，半圆槽受到向左的水平分力而离开挡板，系统水平方向动量守恒，设最低点后小球上升到最大高度时，小球与半圆槽具有共同水平速度，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律有 解得 根据机械能守恒定律有 解得，故C错误； D．若撤去挡板，小球从点进入槽内后，系统水平方向动量守恒，设小球第一次到最低点时速度大小为，半圆槽速度大小为，由动量守恒定律有 从释放点到最低点，系统机械能守恒，有 联立解得 小球动能为，故D正确。 故选BD。 17．（多选）如图所示，质量为2 m的曲面体锁定在光滑的水平面上，曲面体左端P点与水平面相平，曲面体上表面是以O为圆心（P点的正上方）、半径为R的六分之一光滑圆弧轨道PQ；弹簧左端固定在挡板A上，右端与质量为m的小球（可视为质点）接触（未拴接），弹簧处于原长时的右端在P点的左侧。现给小球施加一个向左的外力缓慢压缩弹簧至某一位置时撤去外力，小球由静止被弹出，恰好不从Q点离开曲面体。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．弹簧的最大弹性势能为mgR B．小球与曲面体作用过程中对曲面体压力的最小值为 C．若曲面体未锁定，则小球能上升的最大高度为 D．若曲面体未锁定，小球第二次到P点时对曲面体的压力大小为2 mg 【答案】BD 【解析】A．对小球和弹簧由系统机械能守恒有弹簧的最大弹性势能为，故A错误； B．小球到点Q时速度为零，曲面体对其支持力最小，沿径向方向由平衡条件有 根据牛顿第三定律小球到Q点时，对曲面体压力的最小值为，故B正确； C．小球到达P点的速度大小为 若曲面体未锁定，小球上升到最大高度时，水平方向小球与曲面体共速，竖直方向速度减为0,故水平方向由 联立解得，故C错误； D．小球再次回到P点时，有 解得， 小球相对物块的运动速度为 物块对小球的支持力满足 由牛顿第三定律小球对物块的压力 解得，故D正确。故选BD。 18．如图所示，处于光滑水平面上的四分之一光滑圆弧小车，半径R=0.2 m，停靠在平台CDE左端且与平台高度相等。其中CD部分光滑，DE部分粗糙且与滑块Q间的动摩擦因数μ=0.25，平台DE长度L=1 m。滑块P、Q间有一被锁定且处于压缩状态的轻质弹簧，弹簧与P、Q不拴接，解除锁定后，滑块Q到达轨道E点时的速度大小为2m/s。已知滑块P、Q离开CD平台前弹簧已经恢复原长，P、Q质量均为m=1 kg，小车质量为M=0.5 kg，取g=10 m/s2，忽略运动过程中空气阻力的影响。求： （1）初始弹簧的弹性势能； （2）滑块P滑离小车时，小车和滑块P的速度大小； 【答案】（1）9 J （2）4 m/s，1 m/s 【解析】（1）滑块Q从D点运动到E点过程由动能定理 解得 滑块P与滑块Q被弹簧弹开过程中，满足系统动量守恒可得 解得 根据两个滑块与弹簧组成的系统机械能守恒可得 解得 （2）最终滑块P从B点滑离小车，研究P和小车组成的系统，根据水平方向动量守恒可得 根据P和小车组成的系统相互作用过程中机械能守恒可得 解得， 即滑块速度大小为，小车速度大小为。 19．如图所示，水平地面左侧有光滑台阶，斜面体B静止放置在光滑台阶上，斜面B足够长且光滑，质量；台阶右侧地面粗糙，地面上静置木板C，木板C质量，板长。物块A质量，在台阶上以水平向左的初速度冲向斜面体B。一段时间后，A滑上C且恰好能运动到C的最右端，C在地面上滑行的最大距离为。已知A与木板C接触面粗糙，动摩擦因数为；木板C与地面接触面粗糙，动摩擦因数为，物块A可视为质点，重力加速度取。求： （1）物块A在斜面体B上滑动时上升的最大高度； （2）物块A刚滑上木板C时的速度大小； （3）和的大小。 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】（1）取向左为正方向，当物块上升到最高点时，物块相对斜面体静止，二者具有共同速度。根据水平方向动量守恒定律有 解得 设物块上升的最大高度为，根据机械能守恒定律有 代入数据得 解得 （2）物块从最高点沿斜面下滑并回到台阶水平面时，物块与斜面体的高度恢复到初始状态。取向右为正方向，设物块离开斜面体时速度为，斜面体速度为，根据水平方向动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 代入数据解得， 因此物块刚滑上木板时的速度大小为 （3）取向右为正方向，物块刚滑上木板时，，木板静止。物块恰好运动到木板右端时，相对木板速度恰好减小到零。设此过程经历时间为，物块相对木板的加速度为，根据匀变速直线运动规律有， 代入解得， 物块相对木板向右滑动时，木板对物块的摩擦力向左，根据牛顿第二定律有 解得 木板受到物块的摩擦力向右、地面的摩擦力向左，根据牛顿第二定律有 代入数据得 又有 解得 在内，木板的位移为 此时物块与木板的共同速度为 之后物块与木板一起在地面上滑动，受地面摩擦力作用直到停止，加速度大小为，木板继续滑行的距离为 由木板滑行的最大距离可得 联立解得， 20．如图所示，斜面AB下端与半径为R的圆弧轨道BC连接并固定在水平地面上，斜面、圆弧、地面均光滑。将质量为m的小物块P由斜面上A点静止释放。水平轨道上有一质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道Q（不固定）。已知AC高度差为2R，重力加速度为g。求： （1）物块P经过圆弧轨道C点时所受的支持力大小； （2）若物块从A运动到C点所经历时间为t，求该过程弹力的冲量I的大小； （3）小物块P上升的最大高度以及此时轨道Q的速度。 【答案】（1） （2） （3）；，方向水平向右。 【解析】（1）从A到C，轨道光滑，机械能守恒 解得 在C点由向心力公式 解得 （2）对A到C过程弹力冲量的水平分量 竖直方向 弹力冲量的大小为 （3）P滑上Q过程，水平面光滑，当P上升到最大高度时，P竖直速度为0，P与Q水平速度相等，设共速为，水平方向动量守恒 解得 方向水平向右。再由机械能守恒，动能损失转化为P的重力势能 解得 “滑块—弹簧”模型 21．如图所示，光滑水平地面上，一质量为m的物体P以速度v向右运动，物体Q静止且左端固定一轻弹簧。P撞上弹簧后，弹簧被压缩至最短时（     ） A．P的动量变为0 B．Q的动量变为mv C．Q的动量达到最大值 D．P、Q系统总动量大小为mv 【答案】D 【解析】A．弹簧最短时P、Q共速，P仍有向右的速度，故P的动量不为0，故A错误； B．由于水平面光滑，P、Q与弹簧组成的系统合外力为0，系统总动量守恒，规定向右为正方向，则有 则Q的动量为 联立解得，故B错误； C．弹簧被压缩至最短时，弹簧弹力继续推动Q向右加速，Q的速度还会增大，动量还会变大；因此弹簧最短时Q的动量不是最大值，故C错误； D．根据系统总动量守恒可知，P、Q系统总动量大小为mv，故D正确。故选D。 22．在光滑的水平面上，两个小车A和B之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度向右匀速运动，A、B的质量分别为m和3m。有一质量为m的黏性物体C从高处自由落下，正好落在A车上，并与之粘在一起，在以后的运动过程中，轻质弹簧获得的最大弹性势能为；如果黏性物体C不是落在A车上，而是落在B车上，其他条件不变，在以后的运动过程中，轻质弹簧获得的最大弹性势能为，则为（     ） A．1∶3 B．3∶1 C．1∶1 D．6∶1 【答案】D 【解析】对于黏性物体C与A车作用过程，根据水平方向动量守恒得 得 黏性物体落在A车上后，当A、B两车速度相等时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒和机械能守恒得 轻质弹簧获得的最大弹性势能 联立解得 对于黏性物体C与B车作用过程，根据水平方向动量守恒得 得 黏性物体落在B车上后，当A、B两车速度相等时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒和机械能守恒得 轻质弹簧获得的最大弹性势能 联立解得 所以Ep1：Ep2=6：1。故选D。 23．如图甲所示，a、b两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上，a的质量为m。t＝0时刻，使a获得水平向右、大小为v0的初速度，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．b的质量为2m B．t3时刻，a、b间的距离最小 C．0~t2时间内，b所受冲量的大小为 D．图乙中阴影部分的面积为 【答案】D 【解析】A．0~t1时间内，对ab系统由动量守恒定律，可得b的质量为，A错误； B．t1时刻，弹簧被压缩到最短，此时a、b间的距离最小；t3时刻，弹簧被拉伸最长，此时a、b间的距离最大，B错误； C．0~t2时间内，b所受冲量的大小为，C错误； D．由能量关系 解得 即此时弹簧的压缩量为，也就是两物体的位移差为，由v-t图像的面积等于位移可知，图乙中阴影部分的面积为，D正确。 故选D。 24．如图所示，木块A、B的质量均为m，C的质量为3m。A与B通过竖直轻弹簧拴接后静止于水平地面上，此时弹簧压缩量为。C从B正上方高h处由静止自由下落，与B发生完全非弹性碰撞后粘连在一起。A、B、C均可视为质点，若运动过程中A恰好不离开地面，弹簧始终在弹性限度内，则h为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】初始弹簧压缩量为，对B有 得 A恰好不开离地，B、C上升到最高点时，弹簧伸长量 两状态弹性势能相等，故从B、C碰后瞬间到A刚离地，弹簧弹性势能不变，由机械能守恒 解得 C与B碰撞过程动量守恒 得 C自由落体 解得。故选B。 25．如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车的左侧为半径R=1m、圆心为O的四分之一光滑圆弧轨道，轨道的最低点B与小车右侧水平表面平滑连接，小车的右端固定有竖直挡板，水平轻质弹簧右端固定在挡板上，弹簧处于原长时左端位于小车上表面C点，小车表面除BC段外均光滑。将可视为质点、质量m=0.2kg的物块（未与弹簧连接）压缩弹簧至A点，在外力作用下物块及小车均静止，此时弹簧的弹性势能Ep=2.88 J。某时刻撤去外力，物块和小车同时由静止开始运动，物块恰能运动至圆弧轨道的最高点D。已知小车的质量M=0.8 kg，BC段的长度L=1 m，取重力加速度大小g=10 m/s2。求： （1）物块第一次经过C点时的速度大小v1； （2）物块与小车表面BC段间的动摩擦因数μ； （3）物块第二次经过小车上B点时的速度大小v及物块再次压缩弹簧时弹簧的最大弹性势能Emax。 【答案】（1）4.8m/s （2）0.44 （3）4m/s  1.12J 【解析】（1）由机械能守恒定律有 由动量守恒定律有0=mv1-Mv2 解得物块第一次经过C点时的速度大小v1=4.8 m/s （2）物块与小车构成的系统水平方向上动量守恒，物块恰能运动至圆弧轨道的最高点D，说明此时物块与小车的速度均为0。由功能关系有Ep=mgR+μmgL 解得μ=0.44 （3）物块从D点到第二次经过B点，根据能量守恒，有 由水平方向动量守恒有0=mv-Mv3 解得v=4 m/s 物块再次压缩弹簧时，物块与小车的速度再次减为0，由功能关系有mgR=μmgL+Emax 解得Emax=1.12 J 动量守恒的图像问题 26．（2026·河南·模拟预测）质量分别为、、长度分别为、的长木板A、B均放置在光滑的水平面上，现让一滑块（可视为质点）先从长木板A的最左端以水平向右的速度滑上长木板A，最终刚好不从最右端滑出，两者的图像如图甲所示；再让同一滑块从长木板B的最左端以水平向右的速度滑上长木板B，最终滑块也刚好不从最右端滑出，两者的图像如图乙所示。设滑块与长木板A、B间的动摩擦因数分别为、，稳定运动时，图甲、图乙所描述系统的总动能分别为、。已知滑块在长木板A、B上滑行的加速度相等且图甲、图乙的标度相同。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．根据图像与坐标轴所围面积表示位移，由图像可得，滑块与木板A的相对位移大于滑块与木板B的相对位移，则有，A项错误； C．由题意可得 即 则有，C项错误； B．根据图像的斜率表示加速度，则相对滑块时长木板的加速度结合图像可得 则有，B项错误； D．由动量守恒定律， 可得图甲、图乙系统的总动能分别为， 则有，D项正确。 故选D。 27．质量分别为和的两个大小相同的匀质小球在光滑水平面上发生正碰，碰撞时间极短，碰撞前后的位移—时间图像如图所示。已知，下列说法中正确的是（　　） A．碰后两球的速度方向相同 B．碰后质量为的小球速度为2m/s C． D．该碰撞为弹性碰撞 【答案】D 【解析】A．因x-t图像的斜率等于速度，可知碰后两球的速度方向相反，A错误； B．碰后质量为的小球速度为，B错误； C．碰前质量为的小球速度为 碰前质量为的小球速度为0；碰后质量为的小球速度为 根据动量守恒定律 解得，C错误； D．碰撞损失能量 则该碰撞为弹性碰撞，D正确。 故选D。 28．（2026·河南新乡·模拟预测）如图甲所示，物块A与物块B之间通过一根轻质弹簧栓接，静置在光滑的水平地面上，物块B与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，时解除锁定。规定向右为正方向，物块A在一段时间内运动的图像如图乙所示，已知物块A的质量为，则（     ） A．物块B的质量为 B．时刻弹簧处于原长 C．时间内，弹簧弹性势能的最大值为 D．时间内，物块A运动的位移大小为 【答案】C 【解析】对物块A运动状态分析： 时间段弹簧处于压缩状态，接触锁定后弹簧逐渐恢复原长，物块B与墙面接触保持静止，物块A随着弹簧恢复原长，弹力减小，做加速度减小的加速运动，时刻弹簧恢复原长，物块A速度达到最大 时间段，物块A要继续向右运动，弹簧逐渐被拉长弹力增大，物块A将做加速度增大的减速运动，物块B将从静止开始做加速度增大的加速运动，时刻物块AB共速时，弹簧长度达到最大。 时间段，方向均向右，弹簧逐渐恢复原长，物块A将做加速度减小的减速运动，物块B将做加速度减小的加速运动，时刻物块A速度减到最小，弹簧恢复原长，此后由于，弹簧将再次被压缩， 物块A加速，物块B减速。 A．由分析知时刻物块AB共速，由动量守恒得，解得，故A错误； B．时刻弹簧长度达到最大，故B错误； C．时刻物块AB共速，弹簧长度达到最大，由机械能守恒得 弹性势能，故C正确； D．内物块A运动的位移是图像与时间轴围成的面积，由图象知，故D错误。 故选 C。 29．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg，两物块之间用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触；另有一物块C从t=0时，以一定速度向右运动。在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v—t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小为12N·s B．物块C的质量为4kg C．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为8J D．B离开墙后的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为4J 【答案】D 【解析】B．由乙图可知物块C速度为 A、C碰撞过程由动量守恒定律 解得物块C的质量为mC=2kg，B错误； A．在4~12s的时间内弹簧对A、C的冲量为 墙壁对物块B的弹力在4~12s的时间内对B的冲量I的大小等于弹簧对AC冲量的大小，则为24N·s，A错误； CD．B离开墙后的过程中，当A、B、C共速时弹簧弹性势能最大，则由动量守恒定律 解得 弹簧具有的最大弹性势能，C错误，D正确。故选D。 30．如图甲所示，质量为的物块、和质量为的用粘性炸药粘在一起，使它们获得的速度后沿足够长的粗糙水平地面向前滑动，物块A、B与水平地面之间的动摩擦因数相同，运动时间后炸药瞬间爆炸，A、B分离，爆炸前后物块A的速度随时间变化的图像如图乙所示，图乙中、均为已知量，若粘性炸药质量和体积均不计，爆炸前后A、B质量不变。则A、B均停止运动时它们之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】爆炸过程，A、B组成的系统动量守恒 由图像可知 解得 爆炸后A、B减速滑动，由图像可知它们的加速度大小为 爆炸后，A向后的位移大小为 B向前的位移大小为 所以，A、B均停止运动时它们之间的距离为。故选B。 动量守恒中的临界问题 31．如图所示，小孩站在A车前端和车以4m/s的速度共同向右做匀速运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，并与B车保持相对静止，此时A、B两车恰好不相撞。小孩质量为25kg，A、B车质量均为50kg，不计地面阻力，小孩跳离A车时对地水平速度大小为（　　） A．6.0m/s B．7.2m/s C．8.0m/s D．10m/s 【答案】B 【解析】向右为正方向，设小孩的质量为，车的质量为，小孩跳离A车时对地水平速度大小为，跳离A车后A车的速度为，跳上B车后的共同速度为，则对人和A车系统由动量守恒，得 对人和B车系统由动量守恒，得 其中 解得。故选B。 32．（多选）如图所示，一滑板的上表面由光滑的四分之一圆弧AB和水平面BC组成，右侧有一固定挡板，轻弹簧右端与挡板连接放在平面BC上，左端在平面BC上的D点右侧，滑板静置于光滑水平面上，已知滑板的质量为3m，圆弧的半径R，圆弧底端B点与D的距离为R，水平面BD间粗糙，CD间光滑。一个质量m的物块，从圆弧的最高点A由静止释放，物块第一次向左滑上圆弧面的最高点的位置离B点的高度，重力加速度为g，弹簧的形变在弹性限度内，则（　　） A．弹簧第一次被压缩到最短时，弹性势能为 B．弹簧第一次被压缩到最短时，弹性势能为mgR C．物块最终停止时，滑板的位移为R D．物块最终停止时，滑板的位移为R 【答案】AD 【解析】AB．弹簧第一次压缩到最短时，滑板和物块速度相同，由水平方向动量守恒 解得 设物块通过BD段一次生热为Q，由系统能量守恒得 物块第一次向左滑上圆弧面的最高点时，滑板和物块速度相同，由水平方向动量守恒 解得 由系统能量守恒 联立解得，，故A正确，B错误； CD．物块最终和滑板保持相对静止时，滑板和物块速度相同，由水平方向动量守恒 解得 由系统能量守恒解得 解得 物块最终停止时，恰好停在B点，物块与滑板均静止。 物块与滑板运动过程中由水平方向动量守恒得 可得 因为， 解得 又 解得 即物块最终停止时，滑板的位移为R，C错误，D正确。故选AD。 33．小敏同学设计了如图所示的游戏装置，该装置由倾角的固定倾斜轨道BC和静止在光滑水平面上的长木板组成。木板左端紧靠轨道右端且与轨道C点等高但不粘连，斜面与木板接触处平滑相接。从B的左上方A点以初速度水平抛出一质量、可视为质点的物块，物块恰好能从B点无碰撞地进入倾斜轨道BC，经倾斜轨道BC滑上长木板。已知长木板的质量，，物块与倾斜轨道间的动摩擦因数为，空气阻力不计，重力加速度g取，。求： （1）的大小； （2）若长木板不固定，物块在长木板上滑行恰好不滑出长木板，求此过程中物块与长木板系统产生的热量。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）物块从A点做平抛运动到B点，则有 解得 （2）从A到C过程有 解得 物块滑上长木板后，木块和长木板系统动量守恒，则有 解得 物块刚好不滑离长木板，由功能关系可得 解得 34．如图，质量均为0.6kg的物块A、B用劲度系数为的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上物块A正上方有一个质量为M的物块C，物块C从距离A为0.8m处由静止释放，C下落后与A发生弹性碰撞，碰后瞬间A、C速度大小相等，碰撞后C上升到最高点时，弹簧的弹性势能恰好最大，忽略空气阻力三个物块均可视为质点，轻弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取； （1）求物块C的质量M以及碰后C的速度。 （2）只改变C由静止下落的位置，且使C与A碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后C与A粘合后做简谐运动的振幅，B始终未离开地面，求此运动过程中地面对物块B的最小弹力。 【答案】（1）0.2kg；2m/s，方向竖直向上 （2）2N 【解析】（1）物块C从距离A为h = 0.8m处由静止释放，与A发生弹性碰撞前的速度为，根据自由落体运动规律 可得 C下落后与A发生弹性碰撞，碰后瞬间A、C速度大小相等为v，由动量守恒及能量守恒有， 解得物块C的质量为 碰后C的速度大小为 方向竖直向上。 （2）初始弹簧处于压缩状态，有 解得 与碰撞后立即粘在一起的平衡位置满足 解得 与粘合后做简谐运动的振幅，在最高点时地面对物块的弹力最小，此时弹簧处于伸长状态，伸长了，弹簧弹力为 对物块有 解得 35．如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，与光滑水平平台相切于点，平台与顺时针匀速转动的传送带平滑连接，半径的四分之一圆弧固定在同一竖直平面内，其圆心刚好为点，物块a从圆弧轨道点由静止释放，与静止在平台上的物块b发生碰撞，碰后粘在一起并滑上传送带，最终与传送带共速。已知，，a、b两物块均可视为质点，并由同种材料构成，取重力加速度，不计空气阻力。 （1）求a与b碰撞过程中损失的机械能； （2）若物块a、b在传送带上运动过程中产生的热量，求传送带的速度大小； （3）设传送带长，物块a、b与传送带间的动摩擦因数为0.2，改变传送带转动的速度大小。求：使物块a、b从点水平抛出至落到圆弧面上的最小动能。 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】（1）物块从到的过程中机械能守恒，设物块到点的速度为，有 解得 碰撞过程中水平方向动量守恒，设碰后整体速度为，有 解得 碰撞前后高度相同，碰撞过程中损失的机械能为 （2）设物块、整体质量为，传送带速度为。当时，整体先减速；当时，整体先加速 整体与传送带共速前的相对位移大小为 滑动摩擦力大小为 故产生的热量为 代入、、，得 由于传送带速度大小非负，解得或 （3）传送带改变速度后，物块、整体达到共速时的速度就是从点抛出的初速度，记为，由，知滑动摩擦加速度大小为 当传送带速度大于时，达到共速所需位移满足 故 当传送带速度小于时，最大所需位移为 故可取 物块从点水平抛出，设运动时间为，取竖直向下为正方向，有、，且落在圆弧上满足 由 整理得 落到圆弧上的速度大小为，则 根据均值不等式， 等号成立条件为 此时 即，满足传送带速度范围，因此物块落到圆弧面上的最小动能为 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共20小题，每小题2分，共40分。 1．如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于粗糙水平面上。一颗子弹水平射入木块A，射入时间极短并留在其中，在子弹射入木块A及弹簧被压缩的整个过程中，下列说法中正确的是（     ） A．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量不守恒，机械能不守恒 C．在弹簧被压缩的过程中，系统动量守恒、机械能不守恒 D．在弹簧被压缩的过程中，系统动量、机械能都不守恒 【答案】D 【解析】AB．子弹射入时间极短，弹簧来不及形变，B尚未运动。子弹和A组成的系统中，子弹与A的相互作用力（内力）远大于水平面摩擦力等外力，系统动量近似守恒；但子弹射入过程中摩擦生热，机械能转化为内能，机械能不守恒，故AB错误； CD．子弹、A、B组成的整体系统，放置在粗糙水平面上，A、B受到的总滑动摩擦力不为零，系统合外力不为零，因此动量不守恒；同时压缩过程中摩擦力持续做功，机械能不断转化为内能，因此机械能也不守恒，故C错误，D正确。 故选D。 2．如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，质量分别为mA=2 kg，mB=1 kg，mC=2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。A、B间动摩擦因数为0.6，则下列判断正确的是（     ） A．A与C碰撞后的瞬间A的速度大小是0 m/s B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15 J C．碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.5 m D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4 s 【答案】C 【解析】A．因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A的速度大小为vA，C的速度大小为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0=mAvA+mCvC A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA+mBv0=(mA+mB)vAB A、B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB=vC 联立解得vA=2m/s，vAB=3m/s，A错误； B．运动过程中因摩擦而产生的热量等于A、B相互作用的过程中损失的机械能，由能量守恒定律得 代入数据解得Q=3J，B错误； C．根据 解得x=0.5m 即碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.5m，C正确； D．对B由动量定理 解得，D错误。故选C。 3．如图1所示，物块c静置于光滑水平面上，物块b置于水平木板a的左端，a、b一起以速度v0在光滑水平面上向右运动，时刻，木板a与物块c碰撞后立即粘合在一起。已知物块c质量为m，木板a与物块c粘合后速度为，随后b与ac运动的v-t关系如图2所示，不计空气阻力，重力加速度为g，物块b可视为质点，且物块b始终未滑出木板a。则下列说法正确的是（     ） A．物块b质量为2m B．物块b质量为m C．木板a长度至少为 D．物块b与木板a间的动摩擦因数为 【答案】B 【解析】AB．木板a与物块c碰撞前后，由动量守恒定律可得 解得木板a的质量为 由图2知，物块b、c和木板a系统最终一起做匀速直线运动，速度大小为，由动量守恒定律可得 解得，故A错误，B正确； C．v-t图像中的图线与坐标轴所围成的面积表示位移，图2中三角形部分的面积表示物块b与木板a的相对位移，由图可知，此相对位移为 故木板a的长度至少为，故C错误； D．木板a与物块c粘合后至物块b、c和木板a系统一起匀速所经历的时间为t0，此过程，对木板a与物块c整体，由动量定理可得 解得，故D错误。故选B。 4．如图所示，在水平面上，劲度系数的轻弹簧右端固定，左端连接一个质量为的小物块，最初物块静止在O点，此时弹簧处于原长。一质量为的子弹以的初速度水平向右射入物块（时间极短），之后二者一起运动。已知物块与水平面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，弹簧始终在弹性限度内。小物块到达右边最远处与O点的距离为（     ） A．1 m B．0.8 m C．0.6 m D．0.4 m 【答案】B 【解析】子弹射入物块时，动量守恒 解得v=2m/s 之后二者一起压缩弹簧至最短时；由能量守恒定律可知 解得x=0.8m（负值已舍去）。故选B。 5．如图所示，质量的木块从距离水平地面高度处自由下落，在下落时，被沿水平方向以速度飞行的子弹击中，子弹留在木块中（子弹与木块作用时间极短）。已知子弹的质量，忽略空气阻力，取重力加速度大小，那么（　　） A．子弹与木块作用过程中子弹损失的动能等于木块增加的动能 B．子弹击中木块后木块（包括子弹）做平抛运动 C．子弹击中木块后木块的速度为10m/s D．木块（包括子弹）的落地点距释放点的水平距离约为8m 【答案】D 【解析】A．子弹与木块作用过程中，由于摩擦生热，会产生内能，所以子弹损失的动能大于木块增加的动能，故A错误； B．子弹击中木块后，木块（包括子弹）的合速度斜向下，不是做平抛运动，故B错误； C．子弹击中木块前瞬间，木块竖直方向的速度为 子弹击中过程作用时间极短，水平方向由动量守恒得 解得 竖直方向由动量守恒得 解得 则子弹击中木块后木块的速度为，故C错误； D．由于子弹击中木块后竖直方向的分速度 则子弹击中木块后到落地所用时间为 则木块（包括子弹）的落地点距释放点的水平距离约为，故D正确。故选D。 6．如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则（ 　） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小车向左运动的最大距离为 C．小球离开小车后做斜上抛运动 D．小球第二次能上升的最大高度 【答案】D 【解析】A．小球与小车组成的系统在水平方向所受的合外力为零，水平方向系统动量守恒。由于小球有竖直分加速度，所以系统所受的合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误； B．系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，在水平方向，根据动量守恒定律有 变形得 又， 整理得 即 又 联立解得，故B错误； C．小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，小球由A点离开小车时系统水平方向动量为零，小球与小车水平方向速度为零，小球离开小车后做竖直上抛运动，故C错误； D．小球第一次在小车中运动，根据动能定理有 解得小球克服摩擦力做功大小为 即小球第一次在车中运动损失的机械能为，由于小球第二次在车中运动时，对应位置处速度变小，因此小车给小球的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功小于，则机械能损失小于，因此小球再次离开小车时，能上升的高度 且，综上分析可得小球第二次能上升的最大高度，故D正确。故选D。 7．如题图所示，质量为的小车置于光滑水平地面上，其右端固定一半径的四分之一圆弧轨道。质量为的滑块静止于小车的左端，现被水平飞来的质量、速度的子弹击中，且子弹立即留在滑块中，之后与C共同在小车上滑动，且从圆弧轨道的最高点离开小车。不计与之间的摩擦和空气阻力，重力加速度，则（　　） A．子弹C击中滑块后瞬间，滑块的速度大小为 B．滑块第一次离开小车瞬间，滑块的速度大小为 C．滑块第二次离开小车瞬间，小车的速度大小为 D．滑块从第一次离开小车到再次返回小车的过程中，滑块的位移大小为 【答案】D 【解析】A．子弹击中滑块B的过程，子弹与滑块B组成的系统动量守恒，子弹与B作用过程时间极短，A没有参与，速度仍为零，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律，得 解得=8m/s 故A错误； BCD．滑块B离开小车瞬间，滑块与小车具有相同的水平速度，以水平向右的方向为正方向，由水平方向动量守恒，得 解得=2m/s 滑块B开始滑动到离开小车瞬间，由能量守恒定律得 设滑块B离开小车时的竖直分速度为vy，则 联立解得vy=5m/s 滑块B离开小车后，以小车为参照物，滑块B做竖直上抛运动，则再次返回小车所需要的时间为s 则m 从子弹击中后到B第二次离开小车的过程中，以水平向右的方向为正方向，则、 解得 故D正确，BC错误；故选D。 8．如图所示，水平光滑轨道宽度和轻弹簧自然长度均为，两小球质量分别为、，，的左边有一固定挡板。由图示位置静止释放、，当与第一次相距最近时，的速度为，则在释放后到第二次相距最近的运动过程中（　　） A．、和弹簧组成的系统动量守恒 B．弹性势能最大为 C．第二次相距最近时，正好向左运动 D．的最大速度是 【答案】B 【解析】A．、和弹簧组成的系统在水平方向上，当接触挡板时，挡板会对产生外力，因此系统动量不守恒，故A错误； B．第一次相距最近时，被挡板挡住，速度为0，此时速度为。之后离开挡板，由于系统水平方向不再受外力，故之后、和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒。由分析可知，当与两者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，则根据动量守恒定律有 解得共同速度为 根据机械能守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为，故B正确； CD．由分析可知，当与第一次相距最近时，的速度为0。此后在前做减速运动，在后做加速运动，当两者再次相距最近时，减速结束，加速结束，因此此时速度最小，速度最大，设此时的最小速度为，的最大速度为，在此过程中根据系统动量守恒和机械能守恒有， 联立解得， 由于，所以 即第二次相距最近时，的速度向右，不是向左，故CD错误。 故选B。 9．如图甲所示，质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，用一轻细绳将、拴接，使弹簧处于压缩状态，将该系统靠墙静止在光滑水平面上。当烧断细绳时开始计时，、物体运动的加速度随时间变化的图像如图乙所示，、、分别表示对应时段图线与坐标轴所围面积的大小。下列说法正确的是（    ） A．烧断细绳后，系统的动量和机械能始终守恒 B．时刻、两物体的速度之比为 C．时刻弹簧最长 D． 【答案】D 【解析】A．烧断细绳后，离开墙之前，墙对系统有外力作用，系统合外力不为零，动量不守恒；只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒，故A错误； B．图像的面积表示速度变化量，初速度为零，因此速度的大小等于对应面积的大小。时刻，、加速度最大，说明弹簧弹力最大，形变量最大，此时两者速度相等，故B错误； C．时刻、的加速度都为零，说明弹簧弹力为零，弹簧恢复原长，不是弹簧最长的位置，故C错误； D．阶段，静止，的速度增量为。时刻弹簧恢复原长，开始运动，此时系统总动量 是时段的图线与坐标轴围的总面积，该时段的图像关于对称，因此时段，的速度增量 又时刻、速度相等，由系统的动量守恒可知 解得，故D正确。故选 D。 10．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，轻质弹簧的一端固定在斜面底端，另一端与物块A拴接。物块A静止在位置O点，此时弹簧的压缩量为。现有一物块B从距离O点上方处由静止释放，与A碰撞后一起向下运动但不粘连。已知A、B质量均为m，两者均可视为质点，弹簧的弹性势能（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．碰撞后瞬间两物块的速度大小为 B．碰撞后两物块运动的最低点离O点距离为 C．向上弹起过程中，两物块在O点分离 D．运动过程中弹簧的最大弹性势能为 【答案】B 【解析】A．设物块B与物块A碰撞前瞬间物块的速度为，由机械能守恒得 解得 设碰撞后瞬间两者一起向下运动的初速度为，由动量守恒定律得 解得，故A错误； BD．碰撞后两物块向下运动过程机械能守恒，设运动的最低点离O点距离为，满足 因A初始受力平衡位置弹簧的压缩量为，可知 联立解得 此时弹簧的压缩量最大，弹性势能最大，为，故B正确、D错误； C．两物体发生分离的临界条件为物块间弹力为0，且加速度相等；以物块B作为研究对象，与物块A发生分离瞬间，所受合力大小为 由牛顿第二定律可知，此时物块B的加速度为 故物块A的加速度为 由牛顿第二定律可知，此时物块A所受合力大小为，因此弹簧处于原长状态，故C错误。 故选B。 11．如图甲所示，光滑水平面上静置一质量为的长木板，木板左端固定一轻弹簧。质量为m的物块（可视为质点）从木板右端以水平初速度v滑上木板，当物块压缩弹簧至最短时，木板向左运动的距离为L，此时物块相对木板的位移也为L。物块和长木板的相对位移与两者间摩擦产热的关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为。从长木板开始运动到弹簧压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块与长木板间的动摩擦因数为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．物块克服摩擦力做的功为 D．物块和长木板组成的系统机械能减少了 【答案】C 【解析】A．根据题图乙可知，从长木板开始运动到弹簧压缩到最短的过程中，因摩擦产生的总热量为，由功能关系可知 解得物块与长木板间的动摩擦因数为，故A错误； B．物块和长木板组成的系统满足动量守恒，当弹簧形变量最大时，两物体共速且此时弹簧的弹性势能最大，设两物体共速时速度为，则由动量守恒定律有 解得 由能量守恒定律有 解得弹簧的最大弹性势能为，故B错误； C．从长木板开始运动到弹簧压缩到最短的过程中，物块向左运动的位移为 则摩擦力对物块做的功为 所以物块克服摩擦力做的功为，故C正确； D．物块和长木板组成的系统机械能的减少量为，故D错误。 故选C。 12．如图（a），一滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为R的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。小球以水平向右的初速度v0从圆弧最低点冲上滑块，且小球能从圆弧最高点冲出滑块。小球与滑块水平方向的速度大小分别为v1、v2，作出v1-v2的关系图像，某段时间内图像如图（b）所示，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．滑块与小球组成的系统动量守恒 B．当滑块速度为0.5v0时，小球运动至最高点 C．小球与滑块的质量比为1:2 D．小球的初速度大小可能为 【答案】C 【解析】A．小球与滑块组成的系统水平方向不受外力，滑块与小球在相互作用的过程中，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，故A错误； C．设小球的质量为m，滑块质量M，水平方向上，根据动量守恒定律可得 化简可得 结合图（b）可得 所以，故C正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上，由动量守恒定律得 解得，故B错误； D．若小球恰好能到达圆弧最高点，小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，根据能量守恒定律得 解得 由于小球能从圆弧最高点冲出滑块，所以其初速度一定大于，即小球的初速度大小不可能为，故D错误。 故选C。 13．如图甲所示，滑块、静置在光滑水平地面上，时刻，给质量为的滑块水平向右的初速度，如图乙所示为滑块、运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，滑块、发生非弹性碰撞 B．碰撞过程中，滑块、组成的系统损失的机械能为 C．碰撞后滑块的速度大小为 D．碰撞过程中，滑块对做的功为 【答案】D 【解析】ABC．由图像斜率表示速度，可知碰撞前A的速度 B静止。时发生碰撞。碰撞后，两图线斜率分别为， 因碰撞后B的速度应大于等于A的速度，故， 根据动量守恒 代入数据解得 碰撞前系统动能 碰撞后系统动能 机械能守恒，为弹性碰撞，损失的机械能为0，故ABC错误； D．碰撞过程中，滑块A对B做的功等于B动能的增加量，即，故D正确。 故选D。 14．（多选）如图甲所示，质量为的滑块静止在静置于光滑水平地面的长木板的左端，给滑块施加一水平瞬时冲量I，同时立即受到一个方向竖直向上、大小与滑块速度成正比的力F作用（即，其中）从滑块滑上长木板开始计时，滑块与长木板运动的速度-时间图像如图乙所示。滑块可视为质点，滑块与长木板之间的动摩擦因数，重力加速度g取。则（     ） A． B．滑块位移4.4m C．长木板位移0.9m D．滑块与长木板的最大相对位移为3.5m 【答案】AC 【解析】A．瞬时冲量等于滑块获得的初动量，由乙图知时滑块初速度，因此，故A正确； BC．滑块在长木板上运动过程，两者组成系统的动量守恒，设长木板质量为M，则有 代入乙图数据，解得 滑块在长木板上运动过程，对于任意一个极短时间均满足 累积得，其中 代入数据可得 对木板由动量定理可得 即 联立解得，，故B错误，C正确； D．在共速前滑块速度始终大于长木板，相对位移持续增加，之后一起共速运动，因此最大相对位移为，故D错误。 故选AC。 15．（多选）如图所示，质量分别为、、（、2、3……）的圆弧槽、小球B、小球C均静止在水平面上，圆弧槽的半径为，末端与水平面相切。现将质量为的小球A从圆弧槽上与圆心等高的位置由静止释放，一段时间后与B发生弹性正碰，已知重力加速度为，不计A、B、C大小及一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球A通过圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力大小为 B．若BC发生的是完全非弹性碰撞，取不同值时，BC碰撞损失的机械能不同 C．若BC发生的是弹性正碰，当时，碰撞完成后小球C的速度为 D．取不同值时，C最终的动量不同，其最小值为 【答案】BD 【解析】A．小球A从释放到通过圆弧槽最低点，小球A和圆弧槽系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒，则有 联立解得 对小球A，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律小球A通过圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力大小为5mg，故A错误； B．小球A与小球B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律 机械能守恒定律，有 联立解得， 若BC发生的是完全非弹性碰撞，则有 解得 BC碰撞损失的机械能为 因此n取不同值时，BC碰撞损失的机械能不同，故B正确； C．若BC发生的是弹性正碰，当n=2时，根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律，有 联立解得，故C错误； D．当B与C发生完全非弹性碰撞时，C最终动量为 根据数学知识知，当n=1时，所以C最终的动量最小为，故D正确。 故选BD。 16．（多选）如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻，规定向左为正方向，内P、Q物块运动的图像如图所示，其中t轴下方部分的面积大小为，t轴上方部分的面积大小为，则（　　 ） A．物体Q的质量为m B．时刻Q物体的速度为 C．时刻P物体的速度为 D．时间内弹簧始终处于压缩状态 【答案】CD 【解析】A．由图像可知，Q的加速度始终方向向左，先增大后减小，最大值为；P的加速度始终方向向右，大小先增大后减小，最大值为 在任意时刻，弹簧对两物体的弹力等大反向。由牛顿第二定律，在时刻有 解得，故A错误； BC．图像图线与时间轴围成面积表示速度的变化量，由图像可知，两图线均关于时刻对称。 内，P的速度变化量，Q的速度变化量 初速度， 在时刻，，故B错误，C正确； D．P获得向左的初速度后压缩弹簧，P受向右的弹力（加速度为负），Q受向左的弹力（加速度为正）。只要弹簧处于压缩状态，弹力方向就保持不变。 在内，P的加速度始终为负，Q的加速度始终为正，说明弹力方向没有反向，因此弹簧始终处于压缩状态，故D正确。 故选CD。 17．（多选）如图甲所示，质量分别为m、3m的两物块a、b放在光滑水平面上，用轻质橡皮条水平连接，橡皮条恰好处于原长。0时刻给a向左的瞬时冲量，同时给b向右的瞬时冲量，以b的初速度方向为正，在此后的时间内，a、b运动的图像如图乙所示。已知时刻橡皮条弹性势能为8J，图像中的阴影面积为S，橡皮条一直处于弹性限度范围内。下列说法正确的是（　　） A．时间内，a运动的距离为0.75S B．时间内，b运动的距离为0.2S C．从时刻开始至橡皮条第一次恢复原长过程中，橡皮条的弹力对a做功2J D．从t0时刻开始至橡皮条第一次恢复原长过程中，橡皮条的弹力对a做功6J 【答案】AD 【解析】AB．0～t0时间内，由系统动量守恒得任意时刻mava=-mbvb，即 得位移大小满足xa=3xb 又相对位移S=xa+xb 解得xa=0.75S，xb=0.25S，故A正确，B错误。 CD．t0时刻弹性势能8J全部转化为动能，由动量守恒va=3vb， 得a的动能为Eka=6J 由动能定理可知弹力对a做功6J，故C错误，D正确。故选AD。 18．（多选）如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取，则下列说法正确的是（　　） A．子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s B．滑块B离开小车瞬间的速度大小为 C．小车粗糙水平面的长度为1.9m D．滑块B离开小车后再下落可从小车右端进入小车的圆弧轨道 【答案】AC 【解析】A．设小车A、滑块B、子弹C的质量分别为、、，子弹击中滑块B的过程，子弹与滑块B组成的系统动量守恒 解得，故A正确； B．从圆弧轨道的最高点离开小车，滑块B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m，则滑块B离开小车时竖直方向的分速度 滑块B离开小车瞬间，以小车为参照物，滑块B相对于小车沿水平方向的分速度 从滑块B开始滑动到离开小车，以水平向右的方向为正方向，系统水平方向动量守恒，得 其中 解得， 所以滑块B离开小车瞬间的速度大小，故B错误； C．滑块B开始滑动到离开小车瞬间，由能量守恒定律得 解得小车粗糙水平面的长度，故C正确； D．滑块B离开小车时水平方向速度不相等，则再下落至小车右端等高位置时，滑块B和小车水平位移不等，故不能从小车右端进入小车的圆弧轨道，故D错误。故选AC。 19．（多选）质量为的物块A以一定速度在光滑的水平面运动，在其右侧有一质量为的物块B其曲面为光滑圆弧，半径为R，最低点与水平面相切。A恰好滑到B的圆弧最高点，重力加速度为g。未知。则下列说法正确的是（　　） A．A和B动量守恒 B．A的初速度 C．B的最大速度为 D．若A的初速度增大为，A从B最高点飞出再落回过程，B的位移为 【答案】BCD 【解析】A．A、B组成的系统，竖直方向上A运动时，合外力不为零，总动量不守恒，只有水平方向动量守恒，故A错误； B．A恰好滑到圆弧最高点时，A、B水平方向共速，设共速速度为，水平方向动量守恒有 解得 由机械能守恒定律有 解得，故B正确； C．A从最高点滑回水平面后，B达到最大速度，该过程相当于弹性碰撞，水平动量守恒和机械能守恒， 设滑回后A速度，B速度，则， 联立解得 代入 解得，故C正确； D．初速度变为，A到达最高点飞出时，水平方向A、B共速，由动量守恒定律有 解得 设竖直方向的相对初速度为，由机械能守恒定律有 解得 竖直上抛总运动时间 B做匀速运动，位移，故D正确。故选BCD。 20．（多选）如图，质量为0.3kg的滑块A套在水平固定的光滑轨道上，A的右侧有一挡板，挡板与A不连接，质量为0.2kg的小球B通过长为1.2m的轻杆与滑块上的光滑轴连接，可绕点在竖直平面内自由转动。初始时滑块静止，轻杆处于水平状态。小球以竖直向下的初速度开始运动，A、B均视为质点，取，则（　　） A．B第一次到达最低点的速度大小为 B．B第一次到达最低点时轻杆的拉力约为12.7N C．B在最高点时，B与光滑轨道的高度差为0.6m D．B在最高点时，B与A水平方向上的距离为0.96m 【答案】BD 【解析】A．B第一次到达最低点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，有 代入数据解得，故A错误； B．B在最低点时，由拉力和重力的合力提供向心力，有 代入数据解得，故B正确； C．B到达最大高度时，竖直速度为0，水平速度与A相等，由动量守恒，得 解得共同速度 设B在最高点到最低点的高度差为，由机械能守恒，得 解得 B与光滑轨道的高度差为，故C错误； D．设B与A的水平距离为，由几何关系，得 代入，，解得 即B与A的水平距离为，故D正确。故选BD。 二、非选择题：本题共5题，共60分。 21．（12分）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，A、B均静止，M、N处于原长状态。时，有一水平向右的恒力作用在B上，B运动后开始匀速运动，B开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为0.1 J。已知A、B的质量分别为0.2 kg、0.4 kg，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内且弹性势能和形变量的平方成正比。 （1）求A与B间的动摩擦因数； （2）求B做匀速运动时的速度大小； （3）若时，有一水平向右的恒力作用在B上，A向右运动到最远点后向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）做匀速直线运动，根据共点力平衡条件，有 解得 （2）B开始匀速运动瞬间，A、B刚好要发生相对滑动，此时A、B速度大小相等为v，M、N两弹簧的弹性势能相同，B运动的过程中，对A、B及弹簧M、N组成的系统，由功能关系有 解得   （3）A、B刚好发生相对滑动时，设二者共同加速度为 对A有   对B有   联立解得 设此时A、B速度大小相等为     其中，弹性势能和形变量的平方成正比，故   此后A做简谐运动，当A速度最大的时候，加速度为0，对A可得 解得 对A由动能定理得   解得    22．（8分）如图所示，质量为2m的物块A与质量为m的物块B用轻质弹簧相连，其组成的整体被一个垂直于斜面的挡板挡住，静止在一倾角θ=30°的光滑斜面上。另一质量为m的物块C从斜面上某点由静止释放，释放时B、C间的距离为L，物块C与B碰后粘在一起组成新物块D，D继续向下压缩弹簧，当弹簧被压缩到最短时开始计时，此后物块D在斜面上做简谐运动，时刻第一次运动到最高点，此时物块A恰要离开挡板。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧弹性势能与形变量的关系为，重力加速度大小为g，求： （1）物块B与C碰前弹簧的形变量； （2）物块D在运动过程中速度的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】（1）刚开始物块B处于静止状态，由受力分析可知 解得 （2）设碰前瞬间物块C速度为，由动能定理可知 物块B、C碰撞后粘在一起结合成物块D，设碰后瞬间D的速度大小为，由动量守恒定律可知 物块D做简谐运动，经过平衡位置时速度最大，设此时弹簧的形变量为，由受力分析可知 由动能定理可知 弹力做的功 解得 23．（12分）如图所示，质量为的足够长的长木板静止在光滑的水平面上，长木板的部分是水平的，部分是半径为的四分之一光滑圆弧，质量为的滑块静止在长木板上的点，滑块与长木板部分之间的动摩擦因数为。一质量为的橡皮弹丸以的速度水平向右射向滑块并与滑块发生弹性碰撞（碰撞时间极短），重力加速度取。 （1）求滑块被弹丸撞击后获得的初速度大小； （2）若滑块开始运动后，与长木板第一次共速时的位置在、之间（包含、两点），求、之间的距离应满足什么条件。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）弹丸与滑块发生弹性碰撞过程中，由动量守恒定律可得 由动量守恒定律可得 联立解得滑块被弹丸撞击后获得的初速度大小为 （2）若滑块恰好运动到点时与长木板共速，则对滑块与长木板整体，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 联立解得 若滑块恰好运动到最高位置点时与长木板共速，则对滑块与长木板整体，由水平方向动量守恒可得 由能量守恒定律可得 联立解得 故、之间的距离应满足 24．（12分）如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98kg的小车，B点右侧为水平轨道，其中BC段粗糙，CD段光滑。B点的左侧为一半径R＝1.3m的光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，车的最右端D点固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度时左端恰好位于小车的C点，B与C之间距离L＝0.7m。一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），置于小车的B点，开始时小车与小物块均处于静止状态。一质量m0＝20g的子弹以速度v0＝600m/s向右击中小车并停留在车中，假设子弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，取g=10m/s2。求： （1）小物块沿圆弧轨道上升的最大高度； （2）小物块第一次返回到B点时速度的大小； （3）弹簧弹性势能的最大值。 【答案】（1）1.2m （2）8m/s （3）8.5J 【解析】（1）对子弹与小车组成的系统，由动量守恒定律有                                                  当小物块上升到最大高度时三者共速，对三者由水平方向动量守恒有                                         由机械能守恒定律有                               联立解得h＝1.2m                                                    即小物块沿圆弧轨道上升的最大高度h＝1.2m                                                                                                                  （2）当小物块第一次回到B点时，设车和子弹的速度为v3，取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒有                                         由能量守恒定律有                                   联立解得v3＝2m/s ，v＝8m/s                                                              即小物块第一次返回到B点时速度大小为 v＝8m/s    （3）当弹簧具有最大弹性势能Epm时，三者速度相同，由动量守恒定律有                                            由能量守恒定律有    联立解得 25．（16分）如图所示，一质量为且左右对称的光滑小车（不计轮子质量）放置于光滑水平面上，轮子被固定住。将一个质量为的小球从点自由释放，其下落之后自B点进入半径为的圆弧部分，滑至点飞出，恰好在点沿切线进入右侧圆弧，最终上升到右侧与开始相同的高度。已知过的半径与竖直方向夹角，，，求： （1）小球在C点对小车的压力大小； （2）l的长度； （3）不再固定轮子，仍将小球从A点自由释放，求小球在C点的速度大小。（结果可用根号表示） 【答案】（1）76N （2）0.384m （3） 【解析】（1） 小球从A运动到C的过程，小车固定，只有重力做功，机械能守恒。A点到C点的高度为 解得 根据机械能守恒定律有 解得 在C点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，小球对小车的压力大小为。 （2）小球从C点飞出后做斜抛运动。C点速度，方向沿切线斜向上，与水平方向夹角为，水平分速度大小为 竖直分速度大小为 小球恰好在D点沿切线进入右侧圆弧，小球从C到D做斜抛运动，竖直方向先上抛后下落，时间 水平位移 （3）不再固定轮子，小球下滑过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒。 设小球运动到C点时，小车的速度大小为，小球相对于小车的速度大小为，水平方向动量守恒 解得 又知，小球运动到C点时的速度大小为，其中， 联立解得 由于小球与小车相互作用的过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，故 联立解得， 所以，小球在C点的速度大小为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $