27.3.1反比例函数的应用（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的应用，通过回顾反比例函数定义、图象及性质引入新课，结合工程、力学等实际问题搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以“审建定解验”解题步骤培养数学思维，通过港口起重机卸载、杠杆原理等实例引导学生用数学眼光观察现实世界，用函数解析式表达数量关系发展数学语言。学生能提升应用能力，教师可直接使用结构化资源提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.3.1反比例函数的应用 2026年7月31日 人教版九年级下册27.3.1反比例函数的应用专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 反比例函数解决实际问题的三步法：审题找定值、________、________求解实际问题。 2. 实际问题中，反比例函数解析式形式为$$y=\frac{k}{x}$$，其中$$k$$代表________总量。 3. 工作总量一定时，工作效率与工作时间成________比例。 4. 路程一定时，行驶速度越快，行驶时间越________，符合反比例变化规律。 5. 反比例函数实际应用题中，自变量$$x$$的取值范围必须是________且符合实际意义。 6. 压强公式$$P=\frac{F}{S}$$，当压力$$F$$一定时，压强$$P$$与受力面积$$S$$成________比例。 7. 总价一定时，商品单价越高，购买数量越________。 8. 已知两个变量成反比例关系，只需代入________组对应数值，即可求出函数解析式。 9. 反比例函数实际问题的函数图象，通常只在第________象限。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 已知全程路程固定，汽车行驶速度v与时间t的函数关系是（） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 2. 某工厂加工固定数量的零件，每天加工数量越多，则加工总天数（） A.越多 B.越少 C.不变 D.无法确定 3. 一定质量的气体，温度不变时，气压P与体积V成反比例，下列说法正确的是（） A.体积增大，气压增大 B.体积增大，气压减小 C.体积为0时气压最大 D.气压与体积无关联 4. 购买文具总费用固定，单价x元，购买数量y件，若单价上涨，则购买数量会（） A.增加 B.减少 C.不变 D.随机变化 5. 某项任务总量为60，工作效率为x，工作时间为y，则解析式为（） A.$$y=60x$$ B.$$y=\frac{60}{x}$$ C.$$y=60+x$$ D.$$y=60-x$$ 6. 反比例实际问题中，图象只在第一象限的原因是（） A.数值均为正数 B.计算需要 C.图象美观 D.题目规定 7. 下列实际情境，不属于反比例函数关系的是（） A.总产量一定，亩产量与亩数 B.存款利息一定，本金与利率 C.圆的周长与半径 D.压力一定，压强与受力面积 三、解答题（共42分） 1. 基础建模应用题（每题6分，共24分） 1. 一批货物总重80吨，运输车辆每次运货量为x吨，运输次数为y次，求y与x的函数关系式。 2. 完成一项工程需要48工时，设每天工作x小时，需要y天完成，写出函数解析式。 3. 已知总价不变，购买3元一支的钢笔可买20支，若单价变为5元，可购买多少支？ 4. 压力一定，压强P与受力面积S成反比例，已知$$S=2m^2$$时，$$P=10Pa$$，求函数解析式。 2. 工程效率综合题（9分） 某工地需运送砂石，总量固定，若每天运送15吨，20天可以运完。设每天运送x吨，所需天数为y天，求函数关系式；若要求12天内运完，每天至少运送多少吨？ 3. 生活实际应用题（9分） 小明带一笔钱买笔记本，单价4元可买30本，若单价上涨为6元，能买多少本？并说明变量间的反比例关系。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 列出函数解析式；代入数据 2. 固定不变的总 3. 反 4. 短 5. 正数 6. 反 7. 少 8. 一 9. 一 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 三、解答题 1. 解：（1）总货物80吨，解析式$$y=\frac{80}{x}(x>0)$$。 （2）总工时48，解析式$$y=\frac{48}{x}(x>0)$$。 （3）总钱数$$3\times20=60$$元，$$60\div5=12$$支，可买12支。 （4）设$$P=\frac{k}{S}$$，代入得$$k=20$$，解析式$$P=\frac{20}{S}(S>0)$$。 2. 解：总量$$15\times20=300$$吨，解析式$$y=\frac{300}{x}(x>0)$$；当$$y=12$$时，$$x=25$$，每天至少运送25吨。 3. 解：总钱数$$4\times30=120$$元，$$120\div6=20$$本；总钱数一定，笔记本单价与购买数量成反比例关系。 拓展思考题 思考：反比例函数实际问题为什么不用二、四象限图象？ 答：实际问题中的数量（长度、数量、效率、时间等）均为正数，自变量和函数值都大于0，因此图象只取第一象限部分。 （总字数：1020） 灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围. 新课引入 回顾 1.反比例函数的一般形式是什么？ 2. 当时，图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大 一般形式 ,为常数， 图象形状 双曲线 性质 当时，图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小； 今天我们就一起运用反比例函数的知识，解决生活中常见的实际问题。 新知探究 探究1 工程中的反比例函数 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ 想一想 你还记得工程问题的基本公式吗？ 货物总量 = 装载速度 × 装载时间 = (t) 固定的量 故 即 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 新知探究 （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 把 代入 得 法二：结合函数性质分析 答：若货物不超过 6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 货物。 不超过 6 h 卸载完毕 对应的是 想一想 你还有其他方法能解决此问题吗？ 对于函数 ，当时，越小，越大。 因此当卸载时间最长为 时，对应的卸载速度就是最小值。 1. 返回 [河北模拟一个用电器的电阻R、电功率P与它两端的电压U之间的关系式为P＝ ，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功率为36瓦时，它两端的电压为(　　) A．144伏特 B．72伏特 C．24伏特 D．12伏特 D 举一反三 6 返回 2. 四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水，分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系为(　　) C 举一反三 新知巩固 工程中的反比例函数 仓库有一批货物，用传送带卸货，每小时可卸120吨，8小时可以全部卸完。 （1）求卸货速度（单位：吨/小时）与卸货时间（单位：小时）的函数解析式； （2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？ 【分析】先计算货物总重量，根据“速度×时间 = 总重量”建立反比例函数；结合时间上限，利用反比例函数增减性求出速度的最小值。 解： （1）货物总重量为：（吨） 由，得函数解析式： 8 新知巩固 工程中的反比例函数 （2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？ （2）由题意得，对于函数 时随的增大而减小 因此当取最大值5时，取得最小值 将代入，得： 答：平均每小时至少要卸货192吨。 返回 3. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)与液体的密度ρ(单位：g/cm3)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量ρ，h的部分对应值如下表： ρ/(g/cm3) 2.5 4 5 8 10 h/cm 8 5 4 2.5 2 (1)求h关于ρ的函数解析式； 解：由题表可知ρ与h的积是定值，即ρh＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h＝ 举一反三 返回 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，浸在液体中的高度为25 cm，求该液体的密度． 解：把h＝25代入h＝ 解得ρ＝0.8. 答：该液体的密度为0.8 g/cm3. 举一反三 返回 4. 已知杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为5 000 N和0.2 m，动力臂为4 m，则撬动这块大石头至少需要的动力是(　　) A．200 N B．250 N C．300 N D．350 N B 举一反三 新知探究 探究2 力学中的反比例函数 生活中我们常说“杠杆省力”，用撬棍撬石头时，动力臂越长越省力，这就是杠杆平衡原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂 (). 根据杠杆原理得： 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。 （1）动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 整理得 ()。 当 m 时， (N)。 当动力为 400 N 时，杠杆恰好平衡；要撬动石头，动力至少需要 400 N。 新知探究 （2）若想使动力不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ （1）中用力的一半为，“不超过 ”即。 对于函数，当时，随的增大而减小。 因此要求，只需求出时对应的动力臂长度。 将代入，得，解得 动力臂需要加长： 。 结论：动力臂至少要加长 1.5 m。 知识小结 思考 你能总结反比例函数在实际问题中的解题步骤吗？ 解题一般步骤： 1.审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系； 2.建：根据 “乘积为定值” 的等量关系，建立反比例函数解析式； 3.定：结合实际意义，确定自变量的取值范围； 4.解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围； 5.验答：检验结果是否符合实际，规范作答。 注：涉及 至少最多类问题时，必须结合反比例函数的增减性判断变量的最值对应关系，避免范围写反。 某城市引入了智能交通管理系统，通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/时)与车辆的平均速度v(单位：千米/时)之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/时时，交通流量Q为1 200辆/时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000辆/时以内，车辆的平均速度应至少达到________千米/时． 返回 5. 48 举一反三 一工程中，工程队工人每天需要挖掘20吨土，整个工程完毕恰好用了6天． (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：吨/天)与回填天数t之间有怎样的函数关系？ 返回 6. 解：设总工作量为k吨，根据已知条件得k＝20×6＝120， ∴v关于t的函数解析式为v＝ 举一反三 (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 返回 举一反三 巩固训练2 工程工作类 变式题 修路队修建一段乡村公路，原计划每天修 120 米，25 天可以完工。 （1）求每天修路长度 （单位：米 / 天）与完工所需天数 （单位：天）的函数解析式； （2）为了赶工期，需要提前 5 天完工，每天至少需要多修多少米？ 由 ，得函数解析式： （2）提前 5 天后，完工天数为 将 代入 ，得： 每天需多修：（米） 答：每天至少需要多修 30 米。 解： （1）公路总长度为： （米） 返回 7. [河北中考]节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500 kW·h电，若平均每天用电x kW·h，则能使用y天．下列说法错误的是(　　) A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 C 举一反三 返回 8. 甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻R，经过测量发现，检测电阻R的阻值与空气中甲醛浓度C之间的变化关系如下表所示： 则当甲醛浓度C＝0.8 mg/m3时，检测电阻R的值为________Ω. 25 C/(mg/m3) 0.1 0.2 0.4 0.6 … R/Ω 200 100 50 … 举一反三 返回 9. A，B两地相距400 km.汽车以x km/h的平均速度从A地到达B地需要y h. (1)①写出y与x的函数解析式； 举一反三 22 返回 ②如果汽车的平均速度不超过100 km/h，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 解：把x＝100代入y＝ (x>0)，得y＝4. ∵400>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵汽车的平均速度不超过100 km/h， ∴汽车从A地到B地至少需要4 h. 举一反三 23 返回 (2)若某车从A地驶往B地，先以a km/h的平均速度行驶80 km，余下路程的平均速度是原平均速度的1.6倍，两段路程共用4 h，求a的值． 解：易得余下路程的平均速度是1.6a km/h， 根据题意，得 经检验，a＝70是所列方程的解，且符合题意， ∴a的值为70. 举一反三 24 课堂总结 本节课你学到了什么？ 25 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝300x . ，得25＝. . 解：∵v＝，∴t＝， ∵t≤4，∴≤4，解得v≥30. 答：平均每天至少要回填30吨土． 解：根据题意，得y＝(x>0)， ∴y与x的函数解析式为y＝(x>0)． ＋＝4，解得a＝70， $