专题14 二次函数中的存在性问题（12种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数中的存在性问题，系统梳理面积、特殊三角形、平行四边形等存在性问题的解法，从基础线段长度与图形面积计算，到复杂图形存在性判断，构建递进式知识支架。 资料分类清晰，典例与变式结合，通过割补法、平移法等培养几何直观与空间观念，在等腰三角形存在性问题中引导分类讨论列方程，发展推理能力，助力教师高效授课，学生课后巩固查漏补缺。

专题14 二次函数中的存在性问题 1．能利用二次函数解析式求出相应线段的长度及图形面积，并根据面积相等的条件在图像上确定点的位置，并求出相应的坐标。 2．在探索存在性问题的过程中，进一步体会研究函数图像和图形存在性问题的基本方法以及数形结合分类讨论的思想方法，体会利用平移变换确定点的位置方法。经历解决问题的过程，感受数学思想方法的价值，3．培养学生合作意识，让学生积累经验，提升学生总结归纳的能力 重点和难点： 重点：确定点的位置，求出点的坐标 难点：利用平移变换确定点的位置，利用函数解析法及代几综合法求出点的坐标。 一、二次函数中面积问题的存在性问题 三角形面积可分为面积定值问题，面积数量关系问题，面积最值问题，其解法有割补法，铅垂法，平移法（作平行线）等。四边形面积：规则四边形可用面积公式求解，不规则图形，通常用割补法转化为已学的规则图形进行求解。 二、二次函数中特殊三角形存在性问题 （1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。 （2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。 三、二次函数中平行四边形存在性问题 一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。 四、二次函数中特殊平行四边形存在性问题 菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。 五、二次函数中线段、角度问题的存在性问题 线段问题可分为线段定值问题，线段数量关系问题，线段最值问题。线段最值问题常与轴对称、最短距离结合，线段数量关系问题有时会涉及相似。角度问题可分为角度定值问题、角度数量关系问题，角度最值问题，有时会涉及锐角三角函数，角度最值问题有时还会涉及圆，本专题题目不涉及圆和相似 题型01二次函数中面积问题的存在性问题 【典例】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02二次函数中周长最值的存在性问题 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型03二次函数中全等三角形的存在性问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标． 【变式】如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程． 题型04二次函数中等腰三角形的存在性问题 【典例】如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 题型05二次函数中直角三角形的存在性问题 【典例】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【变式】如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； 题型06二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 【典例】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上且轴，A的坐标为，C的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，交y轴于点E，当为等腰直角三角形时，求m的值． 题型07二次函数中平行四边形的存在性问题 【典例】如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，抛物线与x轴交于和，与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由； (3)如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型08二次函数中矩形的存在性问题 【典例】综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型09二次函数中菱形的存在性问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 【变式】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10二次函数中正方形的存在性问题 【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【变式】如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11二次函数中角度问题的存在性问题 【典例】如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型12 二次函数中线段问题的存在性问题 【典例】已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．    【变式】如图1，抛物线过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，连接、，求面积的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点，使的值最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【巩固训练】 1．已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 2．已知抛物线与x轴右交点为A，与y轴交于点C，抛物线上存在点P，使得，则点P的坐标为__________ 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上且轴，A的坐标为，C的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，交y轴于点E，当为等腰直角三角形时，求m的值． 5．如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．抛物线与x轴交于两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线于x轴两交点A、B之间的距离； (2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若是等腰直角三角形，求的面积； (3)若是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求的最小值（用含t的代数式表示）． 8．已知抛物线与轴的交点为，（在的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上时，是否存在某个值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 10．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图（1），抛物线与x轴交于，两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知的面积为6． (1)求m的值及函数解析式； (2)在内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等.若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（2），已知抛物线上一点，连接，在线段上方抛物线上是否存在点P，使得，若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理 由．    3．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接．P是抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积为，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (4)在x轴上是否存在一点R，平面内有一点S，使得四边形为菱形，若存在，请说明理由，并写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 二次函数中的存在性问题 1．能利用二次函数解析式求出相应线段的长度及图形面积，并根据面积相等的条件在图像上确定点的位置，并求出相应的坐标。 2．在探索存在性问题的过程中，进一步体会研究函数图像和图形存在性问题的基本方法以及数形结合分类讨论的思想方法，体会利用平移变换确定点的位置方法。经历解决问题的过程，感受数学思想方法的价值，3．培养学生合作意识，让学生积累经验，提升学生总结归纳的能力 重点和难点： 重点：确定点的位置，求出点的坐标 难点：利用平移变换确定点的位置，利用函数解析法及代几综合法求出点的坐标。 一、二次函数中面积问题的存在性问题 三角形面积可分为面积定值问题，面积数量关系问题，面积最值问题，其解法有割补法，铅垂法，平移法（作平行线）等。四边形面积：规则四边形可用面积公式求解，不规则图形，通常用割补法转化为已学的规则图形进行求解。 二、二次函数中特殊三角形存在性问题 （1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。 （2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。 三、二次函数中平行四边形存在性问题 一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。 四、二次函数中特殊平行四边形存在性问题 菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。 五、二次函数中线段、角度问题的存在性问题 线段问题可分为线段定值问题，线段数量关系问题，线段最值问题。线段最值问题常与轴对称、最短距离结合，线段数量关系问题有时会涉及相似。角度问题可分为角度定值问题、角度数量关系问题，角度最值问题，有时会涉及锐角三角函数，角度最值问题有时还会涉及圆，本专题题目不涉及圆和相似 题型01二次函数中面积问题的存在性问题 【典例】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)当时，的面积有最大值，最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）解：作轴于点D，交于点E， 设，则， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， ∴点M的坐标为或或或． 【变式】如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． 【详解】（1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 题型02二次函数中周长最值的存在性问题 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键． 【变式】如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的周长最小为 (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴， ，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）∵抛物线， ∴对称轴为， ∴， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； ∴存在满足条件的点，此时，且， ∴的周长最小为； （3）设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键． 题型03二次函数中全等三角形的存在性问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）分情况讨论：当时，，当时，，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入得；把代入得． ∴，． 把，代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图： 由题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则． 当时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或． ∵， ∴或． 当时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或． ∵， ∴或． 综上所述，满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或． 【变式】如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程． 【答案】(1) (2)当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先分和两种情况求出对应的点D的坐标，再设出平移后的抛物线解析式，代入对应的B、D坐标求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴只存在和两种情况， 当时，如图1所示，由对称性可知点D的坐标为； 当时，如图2所示， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； 设平移方式为向右平移m个单位长度，向下平移n个单位长度，则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过B、D， 当点D的坐标为时， ∴， 解得， ∴平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度； 当点D的坐标为时， ∴， 解得， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度； 综上所述，当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，全等三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型04二次函数中等腰三角形的存在性问题 【典例】如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 【变式】已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 题型05二次函数中直角三角形的存在性问题 【典例】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式】如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； 题型06二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 【典例】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上且轴，A的坐标为，C的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，交y轴于点E，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【答案】(1) (2)2或4 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式求解、坐标与图形的翻折变换、等腰直角三角形的性质，结合翻折的对称性得到点的坐标，根据垂直关系和等腰直角三角形的边的关系建立方程求解是解题关键． （1）先由的坐标和的长度确定的坐标，再设交点式，代入点 坐标求出系数a，得到解析式； (2)先由轴 求出的坐标，再根据翻折的对称性得到的坐标，结合的垂直关系，利用等腰直角三角形直角边相等的性质列方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：,且在轴上， ∴的坐标为， 设抛物线的解析式为交点式：， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， （2）解：∵轴，， ∴的纵坐标为3， 将代入的解析式： ， 解得或， ∴, 中，轴，， ; ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 分两种情况解方程： 由，得； 由，得． 综上所述，的值为2或4． 题型07二次函数中平行四边形的存在性问题 【典例】如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，取最大值，点P的坐标为 (3)存在，P坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：①若为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； ②若为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【变式】如图，抛物线与x轴交于和，与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由； (3)如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，M点的坐标为 (3)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点，再求出直线的解析式为：，根据，得出，求出直线的解析式为：，令，求出x的值，最后求出点M的坐标即可； （3）先求出直线的解析式为：，分三种情况进行讨论，当，四边形为平行四边形时，当，四边形为平行四边形时，当为平行四边形的对角线时，利用点的平移和中点坐标公式，求出点F坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于和， 故代入A、B坐标得， 解得：， ∴； （2）解：存在； 把代入得：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， 把代入得：， ∴点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 将化为顶点式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D，点为， ∴点D的坐标为：， 设直线的解析式为： ∴代入、得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 当，四边形为平行四边形时， ∵，， ∴设，， 即， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点F的坐标为：； 当，四边形为平行四边形时， ∵，， ∴设，， 即， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：或， ∴此时点F的坐标为：或； 当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴设，， 则根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴此时点F的坐标为：； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；能利用两点间的平移性质进行求解． 题型08二次函数中矩形的存在性问题 【典例】综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，根据则计算即可； （3）分当时；两种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设， 将代入， ， 解得， 故， ， 将代入， ， 解得， ； （2）解：点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点，点在第四象限， 设，，则， ，整理得，， ∴，， ， ∴； （3）解：，，， ∴，，， ①当时． ， ， ， ， ， ， 解得，或（舍）， (没在第四象限，舍去)； ②时， ， ， ， 而， ， ∴四边形是矩形时，， 综上所述，． 题型09二次函数中菱形的存在性问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为 ∴，A点坐标为 ∴， ∴点坐标为 把点的坐标代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在， 由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线 ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称 ∴点坐标为 ∴由两点距离公式可得 设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图1所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； ②当时，如图2所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； 综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用． 【变式】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标为，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，证明，得到，，即可求解； （3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，得， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， 如图1，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴当时，点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线的解析式为，顶点为D， ∴点D的坐标为， 分两种情况讨论： ①当为菱形的边时， 如图2， ∵，， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或； ②当为菱形的对角线时， 如图3， 设点，， ∵， ， 解得： ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键． 题型10二次函数中正方形的存在性问题 【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 【变式】如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 题型11二次函数中角度问题的存在性问题 【典例】如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可； （2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得：， ∴， 将、代入中得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （3）解：存在，的坐标为或 ①当点在直线上方时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②如图，当点在直线下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 所以； 综上所述：存在点，使得，的坐标为或． 【变式】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 题型12 二次函数中线段问题的存在性问题 【典例】已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、 【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标； （3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：过点O作于一点H，如图所示：   ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴点H为的中点，即， 则所在的直线方程为， ∵四边形为矩形， ∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同， ∴设所在的直线解析式为， ∵点A在直线上， ∴可求得，即所在的直线解析式为， 联立的直线方程与抛物线的解析式， 得，解得或， 其中为点A的坐标，即， ∵四边形为矩形，且， 根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标， 即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键． 【变式】如图1，抛物线过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，连接、，求面积的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点，使的值最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为，点 (3)存在，点 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性求解． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由为最小，即可求解． 【详解】（1） 解：抛物线经过，，三点 ，解得：， 这条抛物线的解析式为； （2） 如图1，过点作于交于点， 由点、的坐标得，直线的解析式为： 设点， 点， 则， 的面积 ， 当时，的面积的最大值为，此时点； （3）存在，理由： 如图2，由抛物线的对称性，对称轴垂直平分， ， 则为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，， 即点． 【巩固训练】 1．已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 【答案】 或或或 【分析】将代入求出点的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ ∴点的坐标为； ∵是等腰三角形， ∴如图，当时， ∵ ∴； 当时， ∴ ∴； 当或时， ∵ ∴ ∴ ∴， 综上所述，点的坐标为或或或． 2．已知抛物线与x轴右交点为A，与y轴交于点C，抛物线上存在点P，使得，则点P的坐标为__________ 【答案】或 【分析】先求解，，证明，如图，延长与轴交于点，记与轴的交点为，结合，可得，，可得，，求解，，再进一步求解直线，的解析式，从而可得答案． 【详解】解：∵， 当，则， ∴， 当，则， 解得：，， ∴， ∴， ∴， 如图，延长与轴交于点，记与轴的交点为， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴， 解得：，； ∴的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴， 同理：， 解得：，， ∴的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴， 综上：的坐标为：或； 故答案为： 或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上且轴，A的坐标为，C的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，交y轴于点E，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【答案】(1) (2)2或4 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式求解、坐标与图形的翻折变换、等腰直角三角形的性质，结合翻折的对称性得到点的坐标，根据垂直关系和等腰直角三角形的边的关系建立方程求解是解题关键． （1）先由的坐标和的长度确定的坐标，再设交点式，代入点 坐标求出系数a，得到解析式； (2)先由轴 求出的坐标，再根据翻折的对称性得到的坐标，结合的垂直关系，利用等腰直角三角形直角边相等的性质列方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：,且在轴上， ∴的坐标为， 设抛物线的解析式为交点式：， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， （2）解：∵轴，， ∴的纵坐标为3， 将代入的解析式： ， 解得或， ∴, 中，轴，， ; ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 分两种情况解方程： 由，得； 由，得． 综上所述，的值为2或4． 5．如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，分割法求三角形面积是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）设，根据列出关于的方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点， ∴设二次函数为， ∵经过， ， 解得，， ∴二次函数； （2）解：设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 由一次函数可知， 设， ， ， ， 或11， 或． 6．如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—周长问题、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接交抛物线对称轴于，此时，的周长最小，求出直线的解析式和抛物线的对称轴，从而可得点的坐标，再求出，即可得解； （3）设，由题意并结合可得，分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题图及，得，． 把A，C坐标带入中，， 解得：， 故． （2）解：连接交抛物线对称轴于，此时， ∴，此时的周长最小， ∵， ∴对称轴为直线， ∴由二次函数对称性可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 由，，，得，． 故的周长最小值为． （3）解：在中，边上的高为，又，则在抛物线上到的距离为3的点均满足条件．如图，设，由在轴上，得． ①当时，即，解得； ②当时，即，解得或0（与点重合，舍去）． 故点存在，其坐标为或或． 7．抛物线与x轴交于两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线于x轴两交点A、B之间的距离； (2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若是等腰直角三角形，求的面积； (3)若是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求的最小值（用含t的代数式表示）． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和抛物线与y轴交点坐标求出抛物线表达式，再利用韦达定理求解即可； （2）利用抛物线对称性结合等腰直角三角形几何性质求解即可； （3）利用换元法将含参距离问题转化为二次函数最值问题求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得， 抛物线的表达式为， 设抛物线与x轴交点的坐标分别为，， ，， ， 、两点之间的距离为； （2）解：是等腰直角三角形， ，， 设和x轴之间的距离为m，则， 点， ， 将点F的坐标代入抛物线表达式得， 解得（舍去）或， ； （3）解：设点Q的坐标为，则， 设，则，，其对称轴为， 二次项系数为， 有最小值， ①当时，最小值在对称轴处取得， 即时，的最小值， 的最小值为； ②当时，最小值在处取得， 即时，的最小值， 的最小值为； 当时，， 当时，， 综上所述，． 8．已知抛物线与轴的交点为，（在的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上时，是否存在某个值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)存在， 【分析】（1）将代入，化简可得抛物线的解析式为，根据二次函数的性质得到顶点，令时得出，求出，，由，，可判断是等腰直角三角形； （2）当时，得到，由点在点的右边及点在轴的正半轴上，得出，令时得出，由点在轴的负半轴上得出，根据为等腰三角形得出，依此列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，即， ∴顶点， 令，得，解得，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示，存在某个的值，使得为等腰三角形， ∵当时，，即， ∴，， ∵点在点的右边， ∴，， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∵当时，，点在轴的负半轴上， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， 整理得， 解得或， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， 故存在为等腰三角形的，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点公式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，等腰直角三角形的判定与性质． 9．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 10．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 【强化训练】 1．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2．如图（1），抛物线与x轴交于，两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知的面积为6．    (1)求m的值及函数解析式； (2)在内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等.若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（2），已知抛物线上一点，连接，在线段上方抛物线上是否存在点P，使得，若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，函数解析式为： (2)存在，点的坐标 (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键． （1）求出，根据题意求出，再根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点M到点A、点B和点C的距离相等求出的垂直平分线解析式为：，即可得到答案； （3）以为直角边，D为直角顶点向上作，等腰直角，过点D作直线轴交于点F，过点Q作，证明，求出直线的解析式为，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：点， ， ， ， ， 将点A、B坐标代入抛物线， 得：， 解之得：， ， 综上所述：，函数解析式为：； （2）解：如图①，，， ， 线段的垂直平分线过原点， 线段的垂直平分线解析式为：， 由，， 线段的垂直平分线为， 将代入， 解得：， 点的坐标；    （3）解：如图，以为直角边，D为直角顶点向上作，等腰直角，过点D作直线轴交于点F，过点Q作， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线，将，代入，得 ，解得， 直线的解析式为， 又，点P在抛物线上， 联立， 解得或（与点A重合，舍去）， ．    3．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接．P是抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积为，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (4)在x轴上是否存在一点R，平面内有一点S，使得四边形为菱形，若存在，请说明理由，并写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)的面积为9； (3)点P的坐标为或； (4)点R的坐标为或或或． 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）过点P作y轴的平行线交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据，列式计算即可求解； （4）分、为边、当、为边、当为对角线，三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：令，则； 令，则， 解得，； ∴，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得，，， ∴，，∴的面积为； （3）解：过点P作y轴的平行线交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， 依题意得，即， 整理得， 解得，， ∴点P的坐标为或； （4）解：∵，， ∴， 当、为菱形的边时， 则点R的坐标为或； 当、为菱形的边时，此时， 则点R的坐标为； 当为菱形的对角线时，此时， 设点R的坐标为， ∴， 解得， 则点R的坐标为； 综上，点R的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形的面积、平行四边形等知识，解题的关键是学会构建方程解决点的坐标问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大． 5．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 6．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 7．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与面积： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ． （2）解：，令，则， 解得，， ， ， ， ， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ， ， 有最大值， 当时，S有最大值，此时点P的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． / 学科网（北京）股份有限公司 $