精品解析：四川南充市高坪中学2026届高三上学期第一次月考数学试题

高2023级高三上期第一次月考 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得到，即，则， 由，得到，则，所以. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 5. 在二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. ﹣42 B. 42 C. 14 D. ﹣14 【答案】C 【解析】 【分析】先求出通项，再令的指数为0，即可求得常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，解得，， 故选：C 6. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直的向量表示，结合数量积的运算律可得，进而得到即可． 【详解】， ， 解得，又， 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合两角和余弦公式可得，两边平方可求，根据同角三角函数关系可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 两边平方，可得，又， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 8. 已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、、结合导数求解即可. 【详解】当时，，满足不等式恒成立； 当时，易得在单调递减，值域为， 令，， 则， 当时，，单调递增，值域为，满足题意； 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的值域为， 当，即时，， 而在中， 此时存在，不符合题意； 所以，此时要使关于的不等式恒成立， 只需，即，可得． 综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为． 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，利用不等式的性质进行判断即可；对于CD，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，正确 对于B，因为，所以，两边同乘得，错误； 对于C，因为，所以，正确； 对于D，， 因为，所以，所以成立，正确. 故选：ACD 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则，所以，D选项正确. 故选：BCD. 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解. 【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：对于含有，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上． 12. 已知的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：令,求得,故函数的定义域为,且,本题即求函数在定义域内的增区间.利用二次函数的性质可得在定义域内的增区间为,因此，本题正确答案是: . 考点：复合函数的单调性. 13. 已知男､女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为______人. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意建立组合数方程求解即可. 【详解】设男生有人，则女生有人，由题意得， 即，所以，所以，即其中女生人数为2人. 故答案为：2 14. 已知函数，数列的前项和为，记数列的前项和为，则使得成立的的最小值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据题意解出数列的通项公式，再利用裂项相消法解出数列的通项公式，分析的单调性，代入特值来确定最小正整数，即可得解. 【详解】根据题意，显然， 当时，，因为也符合，所以． 由题易得，所以， 则， 所以 ， 易得单调递增，且， ，所以的最小值为7． 故答案为：7. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出，设的公差为，结合求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 17. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示，已知区间，，，上的频率依次成等差数列． （1）分别求出区间，，上的频率； （2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为生态文明建设知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，设随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）0.1，0.2，0.3；（2）分布列见解析；． 【解析】 【分析】（1）通过所给的频率，求出其余频率之和，借助前三个频率成等差数列可分别求出对应的频率；（2）分别求出当时，，当，或，时，，当，，，找到的所有可能取值后，借助排列组合知识求解即可． 【详解】（1），，上的频率之和为， 且前三个频率成等差数列（设公差为），故上的频率为， 从而，解得. 故区间，，上的频率分别为0.1，0.2，0.3. （2）由题意知组抽取3人，组抽取4人， 当时，， 当，或，时，， 当，，， 所以的所有取值为0，2，4， 所以，，， 所求分布列为 0 2 4 所以. 18. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，求面积的最大值． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算将函数的解析式化简，即可求解； 首先求出角，再利用余弦定理和基本不等式可得，然后结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 向量，， ， 函数的最小正周期为； 令，则， 函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 ，即， ，， ，解得， 又， 即， 解得，当且仅当时取等， ， 则面积的最大值为． 19. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若方程有两个解 证明:使得 【答案】（1）1 （2） 当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1， 当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2， 当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0. （3） 由可得， 要证，只需要证明在的值域是一个包含1的区间即可， 由题意，即， 由（2）知，且在单调递减， 注意到， 即得证. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程得解； （2）分离参数，即可求导，根据函数的单调性，结合函数的图象即可求解； （3）根据（2）的结论，将问题转化为在的值域是一个包含1的区间即可. 【小问1详解】 设切点为则故， 又，则，即， 解得，故. 【小问2详解】 令，则， 令，则， 当在单调递增， 当在单调递减， 当时，取极大值，， 且当， 作出函数的大致图象如下： 由图象可知：当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1， 当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2， 当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三上期第一次月考 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 5. 在二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. ﹣42 B. 42 C. 14 D. ﹣14 6. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上． 12. 已知的单调增区间为__________. 13. 已知男､女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为______人. 14. 已知函数，数列的前项和为，记数列的前项和为，则使得成立的的最小值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示，已知区间，，，上的频率依次成等差数列． （1）分别求出区间，，上的频率； （2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为生态文明建设知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，设随机变量，求的分布列与数学期望． 18. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若方程有两个解 证明:使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $