6.4生活中的圆周运动 考点分类提优讲义 - 2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦生活中的圆周运动核心知识点，先阐述离心与近心运动的条件（Fn与mω²r的关系），再系统梳理水平平面内圆周运动（合外力提供向心力及临界问题）和竖直平面内圆周运动（拱桥、轻绳、轻杆模型及临界速度），构建从基础条件到具体模型再到临界应用的学习支架。 该资料通过模型建构（对比轻绳与轻杆模型受力及临界条件）和科学推理（典例分析离心现象、竖直圆周运动受力）培养科学思维，结合洗衣机脱水、汽车转弯等生活实例体现科学态度与责任。课中例题解析助教师突破难点，课后练习题覆盖不同考向，助力学生巩固知识、查漏补缺。

6.4 生活中的圆周运动 1.能根据所学知识分析生活中的各种匀速圆周运动现象，在此过程中体会模型构建的方法。 2. 观察生活中的离心现象，知道离心运动产生的原因，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。 考点一　离心运动和近心运动 1．当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动，如图所示； 2．当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出； 3．当Fn<mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动； 4．当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 考点二　水平平面内的圆周运动 1、描述 此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。 2、求解方法 ①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；②分析物体受力情况，其合外力提供向心力；③由Fn＝m=mrω2列方程求解。 3、水平平面内圆周运动的临界问题 问题的描述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键 【注意】绳子的拉力出现临界条件的情形有：①绳恰好拉直意味着绳上无弹力；②绳上拉力恰好为最大承受力等。 物体间恰好分离的临界条件是：物体间的弹力恰好为零。 水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是：物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力。 分析方法：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。 考点三　竖直平面内的圆周运动 1、拱桥模型 受力特征：下有支撑，上无约束。 临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。过最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m<mg（失重）v>时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。 2、轻绳模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。 临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。过最高点条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 3、轻杆模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。 临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小；当v＝时，FN＝0；当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。 4、两种模型的比较 两种模型的对比如下表所示： 模型 绳子模型 杆模型 图例 受力分析 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 过最高点的临界条件 小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝m得v小＝ 由小球恰能运动到最高点得v临＝0。 讨论分析 若通过最高点时v>，则绳、轨道对球产生一个向下的弹力F，由F＋mg＝m可得F随v的增大而增大； 不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 当mg＝m即v＝时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力； 当0<v<时，球受到向上的支持力，由mg－FN＝m可得FN随v的增大而减小； 当v>时，球受到向下的拉力， 由 FN＋mg＝m可得FN随v的增大而增大； 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。 5、竖直面内圆周运动的求解思路 确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。 确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。 确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。 进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 6、小球的不脱轨问题 如下图所示，该问题包含两种情景：①小球没有通过最高点，但没有脱离圆轨道，这种情况下小球最高上升到与圆心等高位置处然后原路返回；②小球通过最高点并完成圆周运动，这种情况下最高点的速度要满足v>。 考向1 离心运动 【典例】下列现象中，与离心现象无关的是（　　） A．用洗衣机脱去湿衣服中的水 B．跳高运动员通过助跑会跳得更高 C．汽车转弯时，速度过大会翻车 D．运动员将链球旋转后掷出 【答案】B 【详解】离心现象定义：做圆周运动的物体，若所受合外力不足以提供所需向心力，或向心力突然消失，物体将做逐渐远离圆心的运动，即为离心现象。 A．洗衣机脱水时，湿衣服随转筒做圆周运动，衣服对水的吸附力不足以提供水做圆周运动的向心力，水做离心运动被甩出，属于离心现象，故A错误； B．跳高运动员助跑是利用惯性，使起跳时获得更大初动能，起跳后动能转化为重力势能从而跳得更高，过程中不存在圆周运动，与离心现象无关，故B正确； C．汽车转弯时可近似看做圆周运动，所需向心力满足 速度过大时，所需向心力超过地面最大静摩擦力，汽车做离心运动导致翻车，属于离心现象，故C错误； D．链球被旋转时做圆周运动，运动员松手后链球所受向心力突然消失，做离心运动被掷出，属于离心现象，故D错误。 故选B。 【变式1】下列关于生活中圆周运动的实例分析说法正确的是（　　） A．图甲中，传动装置转动过程中，两轮边缘上a、b两点的角速度相等 B．图乙中，乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，乘客加速度保持不变 C．图丙中，医务人员借助离心机利用离心运动从血液中分离出血浆和红细胞 D．图丁中，张雪机车在水平弯道做匀速圆周运动，合外力沿速度方向 【答案】C 【详解】A．两齿轮啮合传动时，接触处没有相对滑动，两轮边缘的线速度大小相等，因此有 又， 解得，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 乘客做匀速圆周运动，所受合力大小为 联立解得 乘客的加速度大小不变，但方向始终指向圆心并不断变化，因此加速度发生变化，故B错误； C．离心机高速转动时，血浆和红细胞因密度不同而发生分层，从而实现分离，这是离心现象的实际应用，故C正确； D．根据牛顿第二定律有 张雪机车做匀速圆周运动时，加速度大小为 解得 合外力始终指向圆周运动的圆心，并与瞬时速度方向垂直，不沿速度方向，故D错误。 故选C。 【变式2】（多选）下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（     ） A．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于超重状态 B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高 C．将雨伞上的雨水甩干，是应用离心现象 D．脱水桶的脱水原理是水滴受到离心力 【答案】ABC 【详解】A．图中汽车通过凹形桥的最低点时，加速度方向向上，汽车处于超重状态，故A正确； B．图中在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故B正确； C．转动雨伞时，雨滴需要的向心力大于雨伞对雨滴的附着力，雨滴做离心运动飞出，甩干雨水是对离心现象的应用，故C正确； D．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴与衣服间的附着力不足以提供其圆周运动的向心力，所以做离心运动，从而沿切线方向甩出，故D错误。 故选ABC。 考向2 水平平面内的圆周运动 【典例】（多选）如图，两个质量均为的小木块和可视为质点放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．、所受的摩擦力始终相等 B．一定比先开始滑动 C．当时，所受摩擦力的大小为 D．是开始滑动的临界角速度 【答案】BC 【详解】AB．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，两个木块的最大静摩擦力相等，较小时，两个小木块相对圆盘静止，随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得 根据，，可得b所受的静摩擦力大于a的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时b的静摩擦力先达到最大值，所以b一定比a先开始滑动，故A错误，B正确； C．当时，以a为研究对象，根据牛顿第二定律得 ，说明a没有相对滑动，故C正确； D．以b为研究对象，当刚要开始滑动时，由牛顿第二定律得 解得开始滑动的临界角速度，故D错误。 故选BC。 【变式1】游乐场名叫“旋转秋千”的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。人和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为，人与座椅的总质量，转盘的半径为，绳长，重力加速度取。 (1)求座椅受到绳子的拉力的大小； (2)求该同学运动的角速度的大小； (3)若转盘离地面的高度为，乘客携带的物品意外掉落，不计空气阻力，则物品的落点到转轴中心的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对该同学和座椅，竖直方向有 解得 （2）水平方向上，根据牛顿第二定律有 其中 联立解得 （3）物品掉落瞬间的速度 物品掉落后做平抛运动，竖直方向位移 又 解得物品掉落后做平抛运动的时间 则平抛运动的水平位移为 由题意可得，物品掉落点与转轴中心的距离 【变式2】（多选）小球（视为质点）由轻绳a和轻绳b系于一轻质细杆上，如图所示，当轻杆绕轴匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。改变轻杆转速时，轻绳a始终水平，则下列说法正确的是（     ） A．轻绳b可能松弛 B．轻绳a上的弹力大小随轻杆转速改变而改变 C．轻绳b上的弹力大小始终保持不变 D．轻绳a上的弹力大小始终保持不变 【答案】BC 【详解】AC．设轻绳上的弹力大小为，轻绳与竖直方向的夹角为，小球的质量为，重力加速度大小为，小球在水平面内做匀速圆周运动过程中，竖直方向根据平衡条件可得 解得 由于保持不变，故轻绳上的弹力大小始终保持不变，故A错误，C正确； BD．设轻绳上的弹力大小为，小球做匀速圆周运动的转速为，水平方向根据牛顿第二定律可得 由于、以及半径保持不变，可知轻绳a上的弹力大小随轻杆转速改变而改变，故B正确，D错误。 故选BC。 考向3 竖直平面内的圆周运动 【典例】如图，一个质量为0.9 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点沿切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）。已知圆弧的半径R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A点时的速度vA＝4 m/s（取g＝10 m/s2）。下列说法正确的是（     ） A．小球做平抛运动的初速度v0＝m/s B．P点和C点等高 C．小球到达圆弧最高点C点时对轨道的压力大小为14 N D．P点与A点的竖直高度h＝0.6 m 【答案】D 【详解】A．小球做平抛运动沿A点切线进入圆弧，A点速度方向与水平方向夹角为 平抛运动水平方向匀速运动，则平抛运动的初速度，故A错误； BD．A点竖直方向分速度为 平抛运动竖直方向做自由落体运动，则 解得P点与A点的竖直高度为 C点与A点的竖直距离为，可知P点高于C点，故B错误，D正确； C．以A点为重力势能零点，由机械能守恒定律得 在C点由牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可得小球在C点时对轨道的压力大小为，故C错误； 故选D。 【变式1】（多选）如图所示，轨道固定在竖直平面内，足够长的水平粗糙轨道与半径为的光滑半圆形轨道在点相切，半圆轨道的圆心处固定一垂直轨道平面的光滑钉子。为的中点，为等边三角形。将原长为的弹性轻绳一端固定在点，另一端连接质量为的小圆环，小圆环恰能在点处于静止状态；若将小圆环套在半圆形轨道上从点由静止释放（弹性绳处于原长），小圆环将沿半圆形轨道越过点。已知重力加速度为，小圆环与水平轨道间的动摩擦因数，弹性轻绳的弹性势能，其中为形变量的大小。下列说法正确的是（　　） A．弹性轻绳的劲度系数为 B．小圆环沿半圆形轨道下滑至点时，半圆形轨道受到的压力大小为 C．小圆环越过点后往运动的过程中，轨道对小圆环的弹力减小 D．小圆环越过点后往运动的过程中，与点的最大距离为 【答案】AD 【详解】A．小圆环恰能在点处于静止状态，则有，解得，故A正确； B．小圆环沿半圆形轨道下滑至点过程，有，在点，有，解得，故B错误； CD．小圆环越过点后，设弹性轻绳与水平方向的夹角为，则有 其中 解得 则小圆环越过点后往运动的过程中，轨道对小圆环的弹力大小不变，根据能量守恒定律有 解得，故C错误，D项正确。 故选AD。 【变式2】如图所示，光滑水平面与竖直面内的光滑半圆形导轨在点相切，为最高点，导轨半径。一个质量的物块（可视为质点）将弹簧压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物块获得某一向右速度后脱离弹簧，经过点后沿半圆形导轨运动，重力加速度取，弹簧始终在弹性限度以内，不计空气阻力。 (1)若释放时弹簧的弹性势能为0.8 J，求物块到达半圆形导轨点时的速度以及对导轨压力大小； (2)为保证物块在半圆形导轨上运动过程始终不脱离导轨，求弹簧弹性势能的取值范围。 【答案】(1)， (2)弹性势能取值范围或 【详解】（1）设物块到达半圆形导轨点时的速度为，从A点到C点过程，根据机械能守恒 解得 物块在C点，根据牛顿第二定律 解得轨道对物块的弹力 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为 （2）物块不脱离半圆导轨分两种临界情况 情况一：能完整通过最高点 C 圆周运动最高点最小速度（重力单独提供向心力），根据牛顿第二定律 代入机械能守恒得 解得 情况二：物块上滑不超过圆心等高位置（），原路返回不脱轨 最大上升高度，此时弹性势能全部转化为重力势能 最终弹性势能取值范围或 一、单选题 1．（25-26高一下·南京七校·期末）如图甲所示，杂技演员在绳索的拉力下在空中旋转，可简化为如图乙所示的圆锥摆模型。小球视为质点，质量为m，摆线长为L，角速度为，摆线与竖直方向的夹角为，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的合外力为0 B．小球受到离心力的作用，使小球偏离竖直位置 C．小球做圆周的向心力为 D．缓慢增大时，也逐渐变大 【答案】D 【详解】A．小球做匀速圆周运动，则所受到的合外力不为0，A错误； B．小球受到细绳的拉力和重力的合力提供向心力，使小球偏离竖直位置，B错误； C．小球做圆周运动的向心力为，C错误； D．根据，可得 则缓慢增大时，也逐渐变大，D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图所示，“空中飞椅”中的座椅A的质量比B的大，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘边缘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（    ） A．A的速度比B的大 B．A与B的向心加速度大小相等 C．悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B的小 D．悬挂A与B的缆绳所受的拉力大小相等 【答案】B 【详解】AC．设缆绳长为，缆绳与竖直方向夹角为，圆盘同轴转动，角速度相同，对座椅受力分析，竖直方向有 圆盘边缘半径为，水平方向有 消去质量，可得悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相同，可得A、B转动半径相同，根据可知A、B的速度大小相同，故AC错误； B．根据向心加速度可知A与B的向心加速度大小相等，故B正确； D．根据 可得拉力为 座椅A的质量比B的大，可得悬挂A与B的缆绳所受的拉力大小不相等，故D错误。 故选B。 3．（2026·江苏苏州·学情自测）固定翼航模飞机的升力方向与机翼垂直，大小随飞行速度增加而增大．如图所示，一航模飞机由水平匀速向前飞行转为向左拐弯，为保持飞行高度不变，则飞机拐弯时（     ） A．内侧机翼高于外侧，应降低速度 B．内侧机翼高于外侧，应提高速度 C．内侧机翼低于外侧，应降低速度 D．内侧机翼低于外侧，应提高速度 【答案】D 【详解】航模飞机由水平匀速向前飞行转为向左拐弯时，升力与重力的合力提供圆周运动的向心力，则升力的方向应该指向内侧斜向上方，飞机向内侧倾斜，则内侧机翼低于外侧，因升力的竖直分量与重力相等，可知要求升力要增加，而升力的大小随飞行速度增加而增大，则应提高飞机的速度。 故选D。 4．如图所示，轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随杆在竖直平面内做圆周运动．下列说法中正确的是（     ） A．小球能通过最高点的最小速度为 B．小球运动到最高点时，杆对球的作用力方向一定向下 C．小球运动到最低点时，杆对球的作用力方向一定向上 D．小球运动到水平位置B时，所受合外力一定指向O点 【答案】C 【详解】A．由于杆对球能提供支持力，所以小球能通过最高点的最小速度为0，此时支持力大小等于重力，故A错误； B．小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律，若杆对球无作用力，有 可得 即小球的速度大于时，杆对球为向下的拉力；若小球的速度小于时，杆对球为向上的支持力，故B错误； C．小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律，有 在最低点时向心加速度向上，所以杆对球的作用力为向上的拉力，且大于小球重力，故C正确； D．若小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则在水平位置B时，所受合力指向O点，若小球做变速圆周运动，则还应受到改变速度大小的切向力，所以小球所受合力不会指向圆心O点，故D错误。 故选C。 5．（25-26高一下·江苏苏州田家炳高中·月考）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（     ） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，当时，小球速度为零，向心力为零，杆对小球的支持力与重力平衡，即 当时，，此时重力完全提供向心力，根据牛顿第二定律有 联立解得，故A错误； B．由 可得当地重力加速度大小，故B错误； C．当时，由图可知，此时 重力不足以提供向心力，杆对小球表现为拉力，方向向下，故C错误； D．当时，，杆对小球表现为拉力，根据牛顿第二定律有 又因为 联立解得 即小球受到的弹力大小与重力大小相等，故D正确。 故选D。 6．（25-26高一下·江苏南京金陵中学·期中）如图所示为某离心分离装置示意图，水平转台可在电机的带动下绕过圆心的竖直轴转动。开始时将质量为1kg的物块静置于转台上，物块到转台圆心的距离为1m，时刻启动电机，转台由静止开始加速转动，其角速度与时间关系图像如图所示，当时物块刚好相对转台滑动，物块与转台间的动摩擦因数为（　　）（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】B 【详解】由图像可得转台做匀加速转动，角加速度 物块随转台做变速圆周运动，其切向加速度大小 当时物块刚好相对转台滑动，此时角速度为，向心加速度大小 此时静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律，最大静摩擦力提供合加速度，即 解得物块与转台间的动摩擦因数 故选B。 7．（25-26高一下·南京七校·期中）如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．火车转弯时受到重力、支持力和向心力 B．“水流星”表演时，通过最高点时处于失重状态 C．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车受到的支持力小于重力 D．脱水桶以更大的角速度转动时，筒壁对衣服的摩擦力会变大 【答案】B 【详解】A．向心力只是效果力，不是实际存在的力，火车转弯时没有受到向心力，故A错误； B．“水流星”表演时，通过最高点时，加速度方向向下，处于失重状态，故B正确； C．汽车通过凹形桥的最低点时，根据牛顿第二定律可得 可得汽车受到的支持力，故C错误； D．脱水桶以更大的角速度转动时，竖直方向根据平衡条件可得 可知筒壁对衣服的摩擦力等于重力，保持不变，故D错误。 故选B。 8．（25-26高三上·常州一中·月考）如图所示，半径为的半球形陶罐固定在水平转台上，转轴与陶罐球心O的对称轴重合，将一质量为m的小物块（视为质点）放入陶罐内，小物块随着陶罐一起以角速度（g为重力加速度大小）匀速旋转，小物块和O点的连线与的夹角，小物块受到的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小物块与罐壁恰好没有摩擦力，小物块和O点的连线与的夹角仍为，则小物块受到的重力与支持力的合力提供向心力，有 解得 由于 所以题中小物块受到的摩擦力沿罐壁向上，与水平方向成60°角，则有， 联立解得 故选B。 二、多选题 9．（25-26高一下·广西百色高级中学·期末）如图，水平圆盘上绕竖直轴匀速转动的A、B两个物块，B的质量是A质量的2倍，A、B到竖直轴的距离之比为，两物块与圆盘间动摩擦因数相同并与圆盘相对静止，则物块A、B的（     ） A．角速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．向心力大小之比为 D．向心力大小之比为 【答案】BD 【详解】AB．因A、B同轴转动，可知角速度相等，即角速度大小之比为，A错误，B正确； CD．根据，因A、B的转动半径之比2：1，质量之比为1：2，则向心力大小之比为1：1，C错误，D正确。 故选BD。 三、解答题 10．（25-26高一上·盐城大冈中学·期末）一滑雪表演的测试滑道如图所示，轨道的段为一半径的光滑四分之一圆形轨道，段为倾斜轨道，轨道倾斜角，段为足够长的水平减速轨道。一质量为的表演者从轨道上某点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为，离开B点做空中表演（可视为平抛运动），最后落回轨道，（重力加速度）求： (1)到达B点时圆形轨道对表演者的支持力大小； (2)表演者离开B点后，多长时间落在倾斜轨道上； (3)表演者落到倾斜轨道速度大小是多少。 【答案】(1) (2) (3)m/s 【详解】（1）表演者到达B点时由牛顿第二定律可得 解得 （2）轨道倾斜角为45°，由几何可知，表演者落在倾斜轨道上，水平方向位移等于竖直方向位移，即 解得 （3）表演者落到倾斜轨道竖直速度大小 表演者落到倾斜轨道速度大小 11．（25-26高一下·江苏南京金陵中学·期末）有一种叫飞椅的游乐项目，示意图如图所示。长为的钢绳一端系着飞椅，飞椅质量为5 kg。另一端固定在半径为的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。设当转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角，不计钢绳的重力和空气阻力，求 (1)转动时钢绳对飞椅的拉力大小； (2)飞椅匀速转动的角速度大小； 【答案】(1)62.5N (2) 【详解】（1）对飞椅分析可知 解得 （2）对飞椅水平方向 解得 12．（20-21高一下·常州北郊高中·月考）生活中经常会遇到圆锥摆运动，可以简化为如图所示的模型。长的细线一端系一小球，另一端悬挂在竖直转轴P上，缓慢增加转轴P的转动速度使小球在水平面内做匀速圆周运动。已知小球的质量，细线能承受的最大拉力，P点到水平地面的距离，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)小球能在水平面内做匀速圆周运动的最大角速度； (2)细线被拉断后，小球的落地点到P点在水平地面上的竖直投影点的距离d。 【答案】(1) (2)2m 【详解】（1）设小球转动角速度最大时细线与转轴的夹角为，对小球受力分析可知， 解得 （2）细线被拉断时，小球的速度 解得 细线被拉断后小球做平抛运动，如图所示 则有， 小球的落地点到P点在水平地面上的竖直投影点的距离 解得 13．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s，滑块与水平面动摩擦因数为0.4。盘面上距圆盘中心1m边缘的位置有一个质量为 0.10kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。 (1)求小物体所需向心力的大小。 (2)求当角速度为多大时，小物体滑离盘面。 (3)若圆盘距地面高度为5m，求滑块落地时速度大小。 【答案】(1)1.6N (2) (3) 【详解】（1）物体随着圆盘转动，则向心力为 （2）小物体滑离盘面 解得 （3）圆盘距地面高度为5m，小物块落地时间 滑块落地时竖直速度大小 落地时速度大小 14．（25-26高一下·南京七校·期中）如图甲所示，一根不可伸长的轻绳穿过一竖直固定的光滑细管，两端系有小球A、B。A球的质量为，对A施加一水平向右的拉力（未知），当时，系统正好处于静止状态，球到管顶之间的距离为。空气阻力不计，，，重力加速度为。 (1)求球B质量的； (2)撤去拉力，为保证球B的位置和角不变，可使球A绕中心轴以角速度匀速转动，如图乙所示，求； (3)撤去拉力，使球A绕中心轴以角速度匀速转动，测出球B相对于原来的位置，高度变化了，求。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对B球由平衡 对A由竖直方向平衡 得 （2）A做匀速圆周运动，则有 对B有 得 （3）由题意A以角速度匀速转动时，夹角变为。B处于平衡状态，故绳上的拉力不变，而A在竖直方向上平衡 与A以角速度匀速转动时一致，故 A的向心力大小不变，A做匀速圆周运动时 由，所以，B球下降。对A有 解得 15．（2026·江苏常州前黄中学·攀登行动一）如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=56N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.40，开始时弹簧未发生形变，长度l0=25cm，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求： (1)圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动； (2)当圆盘角速度缓慢地增加到6.0rad/s时，弹簧的长度是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆盘的角速度为时，物块A将开始滑动，此时物块的最大静摩擦力提供向心力，则有 解得 （2）设此时弹簧的长度为，物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力，则有 代入数据解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 生活中的圆周运动 1.能根据所学知识分析生活中的各种匀速圆周运动现象，在此过程中体会模型构建的方法。 2. 观察生活中的离心现象，知道离心运动产生的原因，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。 考点一　离心运动和近心运动 1．当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动，如图所示； 2．当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出； 3．当Fn<mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动； 4．当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 考点二　水平平面内的圆周运动 1、描述 此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。 2、求解方法 ①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；②分析物体受力情况，其合外力提供向心力；③由Fn＝m=mrω2列方程求解。 3、水平平面内圆周运动的临界问题 问题的描述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键 【注意】绳子的拉力出现临界条件的情形有：①绳恰好拉直意味着绳上无弹力；②绳上拉力恰好为最大承受力等。 物体间恰好分离的临界条件是：物体间的弹力恰好为零。 水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是：物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力。 分析方法：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。 考点三　竖直平面内的圆周运动 1、拱桥模型 受力特征：下有支撑，上无约束。 临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。过最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m<mg（失重）v>时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。 2、轻绳模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。 临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。过最高点条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 3、轻杆模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。 临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小；当v＝时，FN＝0；当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。 4、两种模型的比较 两种模型的对比如下表所示： 模型 绳子模型 杆模型 图例 受力分析 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 过最高点的临界条件 小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝m得v小＝ 由小球恰能运动到最高点得v临＝0。 讨论分析 若通过最高点时v>，则绳、轨道对球产生一个向下的弹力F，由F＋mg＝m可得F随v的增大而增大； 不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 当mg＝m即v＝时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力； 当0<v<时，球受到向上的支持力，由mg－FN＝m可得FN随v的增大而减小； 当v>时，球受到向下的拉力， 由 FN＋mg＝m可得FN随v的增大而增大； 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。 5、竖直面内圆周运动的求解思路 确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。 确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。 确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。 进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 6、小球的不脱轨问题 如下图所示，该问题包含两种情景：①小球没有通过最高点，但没有脱离圆轨道，这种情况下小球最高上升到与圆心等高位置处然后原路返回；②小球通过最高点并完成圆周运动，这种情况下最高点的速度要满足v>。 考向1 离心运动 【典例】下列现象中，与离心现象无关的是（　　） A．用洗衣机脱去湿衣服中的水 B．跳高运动员通过助跑会跳得更高 C．汽车转弯时，速度过大会翻车 D．运动员将链球旋转后掷出 【变式1】下列关于生活中圆周运动的实例分析说法正确的是（　　） A．图甲中，传动装置转动过程中，两轮边缘上a、b两点的角速度相等 B．图乙中，乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，乘客加速度保持不变 C．图丙中，医务人员借助离心机利用离心运动从血液中分离出血浆和红细胞 D．图丁中，张雪机车在水平弯道做匀速圆周运动，合外力沿速度方向 【变式2】（多选）下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（     ） A．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于超重状态 B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高 C．将雨伞上的雨水甩干，是应用离心现象 D．脱水桶的脱水原理是水滴受到离心力 考向2 水平平面内的圆周运动 【典例】（多选）如图，两个质量均为的小木块和可视为质点放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．、所受的摩擦力始终相等 B．一定比先开始滑动 C．当时，所受摩擦力的大小为 D．是开始滑动的临界角速度 【变式1】游乐场名叫“旋转秋千”的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。人和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为，人与座椅的总质量，转盘的半径为，绳长，重力加速度取。 (1)求座椅受到绳子的拉力的大小； (2)求该同学运动的角速度的大小； (3)若转盘离地面的高度为，乘客携带的物品意外掉落，不计空气阻力，则物品的落点到转轴中心的距离为多少？ 【变式2】（多选）小球（视为质点）由轻绳a和轻绳b系于一轻质细杆上，如图所示，当轻杆绕轴匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。改变轻杆转速时，轻绳a始终水平，则下列说法正确的是（     ） A．轻绳b可能松弛 B．轻绳a上的弹力大小随轻杆转速改变而改变 C．轻绳b上的弹力大小始终保持不变 D．轻绳a上的弹力大小始终保持不变 考向3 竖直平面内的圆周运动 【典例】如图，一个质量为0.9 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点沿切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）。已知圆弧的半径R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A点时的速度vA＝4 m/s（取g＝10 m/s2）。下列说法正确的是（     ） A．小球做平抛运动的初速度v0＝m/s B．P点和C点等高 C．小球到达圆弧最高点C点时对轨道的压力大小为14 N D．P点与A点的竖直高度h＝0.6 m 【变式1】（多选）如图所示，轨道固定在竖直平面内，足够长的水平粗糙轨道与半径为的光滑半圆形轨道在点相切，半圆轨道的圆心处固定一垂直轨道平面的光滑钉子。为的中点，为等边三角形。将原长为的弹性轻绳一端固定在点，另一端连接质量为的小圆环，小圆环恰能在点处于静止状态；若将小圆环套在半圆形轨道上从点由静止释放（弹性绳处于原长），小圆环将沿半圆形轨道越过点。已知重力加速度为，小圆环与水平轨道间的动摩擦因数，弹性轻绳的弹性势能，其中为形变量的大小。下列说法正确的是（　　） A．弹性轻绳的劲度系数为 B．小圆环沿半圆形轨道下滑至点时，半圆形轨道受到的压力大小为 C．小圆环越过点后往运动的过程中，轨道对小圆环的弹力减小 D．小圆环越过点后往运动的过程中，与点的最大距离为 【变式2】如图所示，光滑水平面与竖直面内的光滑半圆形导轨在点相切，为最高点，导轨半径。一个质量的物块（可视为质点）将弹簧压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物块获得某一向右速度后脱离弹簧，经过点后沿半圆形导轨运动，重力加速度取，弹簧始终在弹性限度以内，不计空气阻力。 (1)若释放时弹簧的弹性势能为0.8 J，求物块到达半圆形导轨点时的速度以及对导轨压力大小； (2)为保证物块在半圆形导轨上运动过程始终不脱离导轨，求弹簧弹性势能的取值范围。 一、单选题 1．（25-26高一下·南京七校·期末）如图甲所示，杂技演员在绳索的拉力下在空中旋转，可简化为如图乙所示的圆锥摆模型。小球视为质点，质量为m，摆线长为L，角速度为，摆线与竖直方向的夹角为，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的合外力为0 B．小球受到离心力的作用，使小球偏离竖直位置 C．小球做圆周的向心力为 D．缓慢增大时，也逐渐变大 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图所示，“空中飞椅”中的座椅A的质量比B的大，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘边缘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（    ） A．A的速度比B的大 B．A与B的向心加速度大小相等 C．悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B的小 D．悬挂A与B的缆绳所受的拉力大小相等 3．（2026·江苏苏州·学情自测）固定翼航模飞机的升力方向与机翼垂直，大小随飞行速度增加而增大．如图所示，一航模飞机由水平匀速向前飞行转为向左拐弯，为保持飞行高度不变，则飞机拐弯时（     ） A．内侧机翼高于外侧，应降低速度 B．内侧机翼高于外侧，应提高速度 C．内侧机翼低于外侧，应降低速度 D．内侧机翼低于外侧，应提高速度 4．如图所示，轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随杆在竖直平面内做圆周运动．下列说法中正确的是（     ） A．小球能通过最高点的最小速度为 B．小球运动到最高点时，杆对球的作用力方向一定向下 C．小球运动到最低点时，杆对球的作用力方向一定向上 D．小球运动到水平位置B时，所受合外力一定指向O点 5．（25-26高一下·江苏苏州田家炳高中·月考）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（     ） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 6．（25-26高一下·江苏南京金陵中学·期中）如图所示为某离心分离装置示意图，水平转台可在电机的带动下绕过圆心的竖直轴转动。开始时将质量为1kg的物块静置于转台上，物块到转台圆心的距离为1m，时刻启动电机，转台由静止开始加速转动，其角速度与时间关系图像如图所示，当时物块刚好相对转台滑动，物块与转台间的动摩擦因数为（　　）（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 7．（25-26高一下·南京七校·期中）如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．火车转弯时受到重力、支持力和向心力 B．“水流星”表演时，通过最高点时处于失重状态 C．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车受到的支持力小于重力 D．脱水桶以更大的角速度转动时，筒壁对衣服的摩擦力会变大 8．（25-26高三上·常州一中·月考）如图所示，半径为的半球形陶罐固定在水平转台上，转轴与陶罐球心O的对称轴重合，将一质量为m的小物块（视为质点）放入陶罐内，小物块随着陶罐一起以角速度（g为重力加速度大小）匀速旋转，小物块和O点的连线与的夹角，小物块受到的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·广西百色高级中学·期末）如图，水平圆盘上绕竖直轴匀速转动的A、B两个物块，B的质量是A质量的2倍，A、B到竖直轴的距离之比为，两物块与圆盘间动摩擦因数相同并与圆盘相对静止，则物块A、B的（     ） A．角速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．向心力大小之比为 D．向心力大小之比为 三、解答题 10．（25-26高一上·盐城大冈中学·期末）一滑雪表演的测试滑道如图所示，轨道的段为一半径的光滑四分之一圆形轨道，段为倾斜轨道，轨道倾斜角，段为足够长的水平减速轨道。一质量为的表演者从轨道上某点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为，离开B点做空中表演（可视为平抛运动），最后落回轨道，（重力加速度）求： (1)到达B点时圆形轨道对表演者的支持力大小； (2)表演者离开B点后，多长时间落在倾斜轨道上； (3)表演者落到倾斜轨道速度大小是多少。 11．（25-26高一下·江苏南京金陵中学·期末）有一种叫飞椅的游乐项目，示意图如图所示。长为的钢绳一端系着飞椅，飞椅质量为5 kg。另一端固定在半径为的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。设当转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角，不计钢绳的重力和空气阻力，求 (1)转动时钢绳对飞椅的拉力大小； (2)飞椅匀速转动的角速度大小； 12．（20-21高一下·常州北郊高中·月考）生活中经常会遇到圆锥摆运动，可以简化为如图所示的模型。长的细线一端系一小球，另一端悬挂在竖直转轴P上，缓慢增加转轴P的转动速度使小球在水平面内做匀速圆周运动。已知小球的质量，细线能承受的最大拉力，P点到水平地面的距离，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)小球能在水平面内做匀速圆周运动的最大角速度； (2)细线被拉断后，小球的落地点到P点在水平地面上的竖直投影点的距离d。 13．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s，滑块与水平面动摩擦因数为0.4。盘面上距圆盘中心1m边缘的位置有一个质量为 0.10kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。 (1)求小物体所需向心力的大小。 (2)求当角速度为多大时，小物体滑离盘面。 (3)若圆盘距地面高度为5m，求滑块落地时速度大小。 14．（25-26高一下·南京七校·期中）如图甲所示，一根不可伸长的轻绳穿过一竖直固定的光滑细管，两端系有小球A、B。A球的质量为，对A施加一水平向右的拉力（未知），当时，系统正好处于静止状态，球到管顶之间的距离为。空气阻力不计，，，重力加速度为。 (1)求球B质量的； (2)撤去拉力，为保证球B的位置和角不变，可使球A绕中心轴以角速度匀速转动，如图乙所示，求； (3)撤去拉力，使球A绕中心轴以角速度匀速转动，测出球B相对于原来的位置，高度变化了，求。 15．（2026·江苏常州前黄中学·攀登行动一）如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=56N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.40，开始时弹簧未发生形变，长度l0=25cm，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求： (1)圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动； (2)当圆盘角速度缓慢地增加到6.0rad/s时，弹簧的长度是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘） 2 学科网（北京）股份有限公司 $