专题 27.1 反比例函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的概念这一核心知识点，系统梳理定义（含标准分式型、乘积型、负指数型三种等价形式及自变量非零取值范围）、待定系数法求解析式（设代求写四步骤）、实际应用（面积、工程等反比例关系模型），构建从概念辨析到实际建模的完整学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，从入门基础的概念辨析到难点突破的复合型函数求值，如实际问题列解析式（题型3）培养模型意识，复合型函数探究（题型5）发展创新意识。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题 27.1 反比例函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】反比例函数的定义 1 【知识点二】反比例函数解析式的求解（待定系数法） 2 【知识点三】反比例关系的实际应用 2 二.题型精析 2 【题型1】反比例函数的概念辨析（入门基础） 2 【题型2】待定系数法求反比例函数解析式（核心必会） 4 【题型3】实际问题列反比例函数解析式（能力提升） 6 【题型4】反比例函数定义及函数值综合（中档拔高） 8 【题型5】复合型反比例函数求值（难点突破） 11 三.同步检测 17 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 24 一.知识梳理与解读 【知识点一】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如（为常数，且）的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是的函数。 2.自变量取值范围：不等于0的全体实数（分式分母不为0）。 3. 三种等价表达形式 ① 标准分式型：；② 乘积型：；③ 负指数型：。 4. 核心本质：两个变量的乘积始终为一个非零定值，变量之间成反比例关系。 【要点提示】 判断反比例函数必须满足自变量单独在分母、比例系数非零；形如、、的式子均不是反比例函数。 【知识点二】反比例函数解析式的求解（待定系数法） 1. 解题步骤 ① 设：设反比例函数解析式为； ② 代：将一组已知的对应值代入解析式； ③ 求：解方程求出常数的值； ④ 写：将回代，写出完整的反比例函数解析式。 2. 方法特点：反比例函数仅有一个待定系数，因此只需一组对应值即可求出解析式。 【要点提示】 求解解析式时，必须保留的前提条件；实际问题中，需根据题意额外限定自变量取值范围，不能直接默认。 【知识点三】反比例关系的实际应用 在实际问题中，若两个变量的乘积为固定不变的非零常量，则两个变量成反比例关系，可列出反比例函数解析式。常见模型：面积、路程、工程、电学电阻等问题。 【要点提示】 实际问题中自变量、函数值均为正数，取值范围需结合实际意义确定，是考试高频易错点。 二.题型精析 【题型1】反比例函数的概念辨析（入门基础） 【例题1】（24-25九年级下·全国·课后作业）如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数吗？ 【答案】x是y的反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，解答即可 ． 解：如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数．理由如下： 若y是x的反比例函数，则， 可得：， 所以x也是y的反比例函数． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【变式2】（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数存在的的值：_____． 【答案】3（答案不唯一） 解：∵函数存在， ∴， 解得， 故的值可为3． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不是；（2）是，；（3）不是 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 解：（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 【题型2】待定系数法求反比例函数解析式（核心必会） 【例题2】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 解：（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 【变式1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：将点代入，得，解得． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到点C的坐标，再代入反比例函数中可求得k值． 解：设与y轴相交于点D， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，即轴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·四川自贡·阶段检测）已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 【答案】 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，求出待定系数，进而得到与的函数关系式． 解：y与成反比例， ∴设， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 【题型3】实际问题列反比例函数解析式（能力提升） 【例题3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… （1）这批货物共有多少吨？ （2）用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． （3）与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】（1）500吨；（2） ；（3）成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 解：（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 【变式1】（2024·江苏南京·三模）若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将代入反比例函数解析式即可求解． 解：将代入反比例函数， 得到：， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． （1）当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． （2）玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】（1），是反比例函数；（2），是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 解：（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 【题型4】反比例函数定义及函数值综合（中档拔高） 【例题4】（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． （1）求k的值． （2）连接，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 解：（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式求出k的值，再计算反比例函数的比例系数，最后利用反比例函数图象上点的坐标满足比例系数，判断选项即可． 解：∵ ，，两边同乘，再整理得， 解得 ，， 经检验，，是方程的解， 当时，，此时反比例函数满足， 当时，，此时反比例函数满足， 依次计算各选项横纵坐标乘积： A、，不符合题意； B、，符合； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·江西上饶·期末）（1）解方程：； （2）已知反比例函数（为常数，），若点在这个函数图象上，试判断点是否也在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1），；（2）不在．理由如下： 把点代入得， 解得， 反比例函数的解析式为． 当时，， 点不在这个函数的图象上． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用待定系数法求得，可知反比例函数的解析式为，当时，，即可判断不在这个函数的图象上． 解：（1）移项，得， 因式分解，得， 解得，． （2）略 【题型5】复合型反比例函数求值（难点突破） 【例题5】（24-25八年级下·河南·期中） 某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是________； （2）下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 3 … y … 2 m … 则表中m的值为________； （3）根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出了函数的一部分，请你画出该函数的图象的另一部分； （4）观察函数图象，写出该函数的一条性质：__________________________． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查了分式有意义的条件，画函数图像，反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据分式有意义的条件求解即可； （2）将代入解析式，即可求得m的值； （3）据表中数据，描点连线，即可得到该函数图象的另一部分； （4）观察表中数据和函数图象的特征，写出其中一条性质即可． 解：（1）解：函数的自变量x在分母上， x的取值范围是， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：； （3）解：如图，即为该函数的图象的另一部分； （4）解：观察函数图象可知该函数的性质（写出一条即可） ①该函数无最大值，也无是小值； ②函数图象关于原点对称； ③当时，y随x增大而增大； ④当时，y随x增大而增大； ⑤当时，y随x增大而减小； ⑥当时，y随x增大而减小． 【变式1】（2025·内蒙古兴安·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … （1）函数的自变量x的取值范围______； （2）绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （3）获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 【答案】（1）；（2）①；②图见分析；③图见分析；（3）①函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线；②和；③． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量取值范围及反比例函数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． （1）根据函数的分母不为即可求解； （2）①将代入中求解即可； ②根据描点法描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即可； （3）①观察函数图象可知函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②结合函数图象即可得出不等式的解集； ③根据题意求出点的坐标，再求出的长即可求解． 解：（1）解：函数的自变量x的取值范围是：， 故答案为：； （2）解：①将代入中得：， 故答案为：； ②根据表中的数值描点，如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，如图： （3）解：①由（2）中图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②当时，，当时，， 由图象可知不等式的解集为：和， 故答案为：和； ③如图： ∵点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）， ∴点M，N的纵坐标为， ∵当时， ， ∴点在的右侧， ∵当时，， ∴， ∴点，点， ∴，， ∴， 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 解：反比例函数的值是． 4．（21-22八年级下·山东泰安·期末）若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 5．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案. 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为，即图象上的点满足. 对各选项验证：A选项：，满足条件，在此函数图象上； B选项：，不满足； C选项：，不满足； D选项：，不满足. 6．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴把代入得，解得， 把代入得， 把代入得， ∵， ∴． 7．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 8．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2024·陕西西安·二模）已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 10．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】本题主要考查了了反比例函数的定义， 根据题意得出关系式，再根据关系式得出答案. 解：根据题意，得，即， 所以水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是反比例函数关系. 故答案为：反. 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 【答案】 解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 13．（2026·江苏南京·二模）将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 【答案】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解的值即可． 解：根据点平移的坐标变化规律，向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后点的坐标为， 平移后的点落在函数的图象上， 将代入得 ，即 ， 解得． 14．（2025·云南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为________． 【答案】6 【分析】先设出反比例函数解析式，代入已知点求出的值，再将所求点坐标代入解析式即可求出的值． 解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵该反比例函数的图象也经过点， ∴， 解得． 15．（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为， （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数． 【答案】（1）；（2）是反比例函数，比例系数为 【分析】本题考查了反比例函数的定义，求反比例函数的解析式． （1）铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量，把相关数值代入即可得到y与x之间的函数关系式； （2）反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数，写出比例系数即可． 解：（1）解：∵铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）∵反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k， ∴是反比例函数，比例系数为． 18．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知反比例函数（）的图象经过点． （1）求的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点不在该反比例函数的图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）计算当时的函数值，即可求解． 解：（1）解：将代入， 得 解得； （2）解：， 当时，， ∴点不在该反比例函数的图象上． 19．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的、值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将代入第题求出的函数关系式中，计算得出的值． 解：（1）解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：当时，． 20．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． （1）求k的值． （2）连接，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 解：（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 27.1 反比例函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】反比例函数的定义 1 【知识点二】反比例函数解析式的求解（待定系数法） 2 【知识点三】反比例关系的实际应用 2 二.题型精析 2 【题型1】反比例函数的概念辨析（入门基础） 2 【题型2】待定系数法求反比例函数解析式（核心必会） 3 【题型3】实际问题列反比例函数解析式（能力提升） 3 【题型4】反比例函数定义及函数值综合（中档拔高） 4 【题型5】复合型反比例函数求值（难点突破） 5 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与解读 【知识点一】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如（为常数，且）的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是的函数。 2.自变量取值范围：不等于0的全体实数（分式分母不为0）。 3. 三种等价表达形式 ① 标准分式型：；② 乘积型：；③ 负指数型：。 4. 核心本质：两个变量的乘积始终为一个非零定值，变量之间成反比例关系。 【要点提示】 判断反比例函数必须满足自变量单独在分母、比例系数非零；形如、、的式子均不是反比例函数。 【知识点二】反比例函数解析式的求解（待定系数法） 1. 解题步骤 ① 设：设反比例函数解析式为； ② 代：将一组已知的对应值代入解析式； ③ 求：解方程求出常数的值； ④ 写：将回代，写出完整的反比例函数解析式。 2. 方法特点：反比例函数仅有一个待定系数，因此只需一组对应值即可求出解析式。 【要点提示】 求解解析式时，必须保留的前提条件；实际问题中，需根据题意额外限定自变量取值范围，不能直接默认。 【知识点三】反比例关系的实际应用 在实际问题中，若两个变量的乘积为固定不变的非零常量，则两个变量成反比例关系，可列出反比例函数解析式。常见模型：面积、路程、工程、电学电阻等问题。 【要点提示】 实际问题中自变量、函数值均为正数，取值范围需结合实际意义确定，是考试高频易错点。 二.题型精析 【题型1】反比例函数的概念辨析（入门基础） 【例题1】（24-25九年级下·全国·课后作业）如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数吗？ 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数存在的的值：_____． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． （1）； （2）； （3）． 【题型2】待定系数法求反比例函数解析式（核心必会） 【例题2】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【变式1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【变式3】（25-26九年级下·四川自贡·阶段检测）已知y与成反比例，且其函数图象经过．求y与x的函数关系式； 【题型3】实际问题列反比例函数解析式（能力提升） 【例题3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… （1）这批货物共有多少吨？ （2）用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． （3）与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【变式1】（2024·江苏南京·三模）若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． （1）当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． （2）玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【题型4】反比例函数定义及函数值综合（中档拔高） 【例题4】（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． （1）求k的值． （2）连接，，求证：． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【变式3】（25-26九年级上·江西上饶·期末）（1）解方程：； （2）已知反比例函数（为常数，），若点在这个函数图象上，试判断点是否也在这个函数的图象上，并说明理由． 【题型5】复合型反比例函数求值（难点突破） 【例题5】（24-25八年级下·河南·期中） 某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是________； （2）下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 3 … y … 2 m … 则表中m的值为________； （3）根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出了函数的一部分，请你画出该函数的图象的另一部分； （4）观察函数图象，写出该函数的一条性质：__________________________． 【变式1】（2025·内蒙古兴安·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【变式2】（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【变式3】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … （1）函数的自变量x的取值范围______； （2）绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （3）获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 4．（21-22八年级下·山东泰安·期末）若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 5．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2024·陕西西安·二模）已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 10．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 13．（2026·江苏南京·二模）将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 14．（2025·云南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为________． 15．（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为， （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数． 18．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知反比例函数（）的图象经过点． （1）求的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 19．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 20．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． （1）求k的值． （2）连接，，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $