专题2.4 整数指数幂（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦整数指数幂核心知识点，系统梳理同底数幂的除法法则、零指数幂性质、负整数指数幂定义及科学记数法，从基础运算到拓展应用，构建连贯的知识学习支架。 资料以9类题型为框架，例题与变式题结合，培养学生抽象能力、运算能力和应用意识，如科学记数法解决实际问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识掌握。

专题2.4 整数指数幂（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 同底数幂的除法】 2 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 3 【题型3 零指数幂】 4 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 5 【题型5 求某数的负整数指数幂】 7 【题型6 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 8 【题型7 还原用科学记数法表示的小数】 10 【题型8 含负整数指数幂的混合计算】 11 【题型9 根据整数指数幂的性质求值】 13 考点1 整数指数幂 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点2 零次幂和负整数指数冪 1.=1， 即任何非零实数的零次幂都等于1. 2. 当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 3. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点3 整数指数冪的基本性质 （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）．以上式子中，m，n均为整数． 【题型1 同底数幂的除法】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若，，则____________________ ． 【答案】 【分析】先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 将，代入，得原式． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A选项错误； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 选项D： 等式成立，故D选项正确． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由已知得，，再根据同底数幂的乘法的逆运算将所求式子变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式1-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】由得出，将化简为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则n的值为______． 【答案】 【分析】先把所有底数统一为2，再利用幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则的值是_______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握同底数幂的乘除法的逆运算解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 【题型3 零指数幂】 【例3】若，则______． 【答案】0或7 【分析】根据“任何非零实数的0指数幂等于1、1的任意次幂等于1以及的偶次幂等于1”分情况讨论即可； 【详解】解：分三种情况讨论： 1、非零数的0次幂为1：若指数，底数，此时，满足等式，是有效解； 2、1的任意次幂为1：若底数，解得，此时，满足等式，是有效解； 3、的偶次幂为1：若底数，解得，此时指数是奇数，，不满足，舍去； 综上，的值为或． 【变式3-1】的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：． 【变式3-2】的相反数为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的性质、绝对值的化简和相反数的定义，按照运算顺序逐步计算出原式的值，再求出它的相反数即可． 【详解】解：∵ 任何不等于零的数的零次幂为 ，， ∴ ， ∴ 原式， ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数为． 【变式3-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）若，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据零指数幂有意义的条件：求解即可． 【详解】解：∵， 根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为0， ∴． 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 【例4】（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）将 表示成只含有正整数的指数幂形式___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案． 【详解】解： 故答案为：. 【变式4-1】________，________，________．（结果化成只含有正整数指数幂形式） 【答案】 【分析】首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后利用同底数的幂的乘法法则计算，最后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查积的乘方法则、幂的乘方法则，负整数指数幂以及同底数幂的乘法法则等多个运算性质，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）将分式表示成不含分母的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，负指数幂的计算，掌握负指数幂的计算方法是关键． 根据负指数幂的计算方法“”求解即可． 【详解】解：, 故答案为： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）将分式表示成只含有正整数指数幂的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，负指数幂的计算，掌握分式的性质，负指数幂的计算方法是关键． 根据分式的性质，负指数幂的计算方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【题型5 求某数的负整数指数幂】 【例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式5-1】如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为（     ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机，输出的结果为 ，将输入 代入计算即可． 【详解】解：根据数值转换机，输出的结果为 ， 将输入 代入可得． 【变式5-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】是正整数． 【详解】，，， ， ． 【变式5-3】（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）若，，则______． 【答案】 【分析】先确定一定为正数，然后再对进行分情况讨论计算即可 ． 【详解】解：∵， ∴一定为正数， ∴， 当y为负数时，， 解得，此时； 当y为非负数时，， 解得：，不符合y为非负数和一定为正数，故舍去， 故综上 ． 【题型6 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例6】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】根据科学记数法的一般形式（其中，为正整数），先将纳米单位换算为米，再转化为符合要求的科学记数法形式即可解答． 【详解】解：因为1米纳米，所以1纳米米， 则234纳米米米． 【变式6-2】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为1， ， 根据题意可得， ， 所以小数中总共有个“0”， 则破损处“0”的个数为个． 【变式6-3】（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 【题型7 还原用科学记数法表示的小数】 【例7】已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，科学记数法转换为小数时，需将的小数点向左移动位，对于，将1.24的小数点左移3位即可作答． 【详解】解：依题意，将科学记数法转换为小数形式，需将1.24的小数点向左移动3位， ∴用小数表示为， 故选A． 【变式7-1】某种原子直径为纳米，把这个数化为小数是__纳米． 【答案】 【分析】本题科学记数法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式：，其中，为整数；当时，还原成原数时，把的小数点向左移动位，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-2】世界上最薄的纳米材料其理论厚度为个，是该数据用科学记数法表示为3.4×10－6，则a的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据科学记数法将3.4×10－6化为原数，即可求解． 【详解】解：3.4×10－6=0.0000034， ∴a=5． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式7-3】在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按“=”键，这个数被化为科学记数法的形式，则这个数用小数表示出来是______． 【答案】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】主要考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法是基本表示方法是解题关键． 【题型8 含负整数指数幂的混合计算】 【例8】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查负指数幂、平方差公式和分数的除法运算，利用分数的除法运算是解题的关键． 首先将负指数化为倒数形式，分子和分母分别通分后，利用分式的除法法则转化为乘法，再结合平方差公式约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，应用负指数和幂的乘方规则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算：__________ 【答案】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式8-3】定义：，计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂，异分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，得，再进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 【题型9 根据整数指数幂的性质求值】 【例9】若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 【变式9-1】已知，则m的值为______． 【答案】-2 【分析】由已知可以得到关于m的方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：由已知可得：, 即， ∴2+3m=-4， 解之得：m=-2． 故答案为-2． 【点睛】本题考查整数指数幂与一元一次方程的综合运用，熟练掌握整数指数幂的运算法则和一元一次方程的解法是解题关键． 【变式9-2】（2026·河北邯郸·二模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂除法逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方和同底数幂除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 整数指数幂（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 同底数幂的除法】 2 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 2 【题型3 零指数幂】 2 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 2 【题型5 求某数的负整数指数幂】 3 【题型6 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 3 【题型7 还原用科学记数法表示的小数】 4 【题型8 含负整数指数幂的混合计算】 4 【题型9 根据整数指数幂的性质求值】 4 考点1 整数指数幂 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点2 零次幂和负整数指数冪 1.=1， 即任何非零实数的零次幂都等于1. 2. 当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 3. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点3 整数指数冪的基本性质 （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）．以上式子中，m，n均为整数． 【题型1 同底数幂的除法】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若，，则____________________ ． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【变式1-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知，则______． 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则n的值为______． 【变式2-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则的值是_______． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2-3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【题型3 零指数幂】 【例3】若，则______． 【变式3-1】的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【变式3-2】的相反数为（     ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）若，则应满足的条件是________． 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 【例4】（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）将 表示成只含有正整数的指数幂形式___________． 【变式4-1】________，________，________．（结果化成只含有正整数指数幂形式） 【变式4-2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）将分式表示成不含分母的形式______． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）将分式表示成只含有正整数指数幂的形式______． 【题型5 求某数的负整数指数幂】 【例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为（     ） A．9 B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【变式5-3】（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）若，，则______． 【题型6 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例6】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 【变式6-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【变式6-2】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式6-3】（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【题型7 还原用科学记数法表示的小数】 【例7】已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】某种原子直径为纳米，把这个数化为小数是__纳米． 【变式7-2】世界上最薄的纳米材料其理论厚度为个，是该数据用科学记数法表示为3.4×10－6，则a的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式7-3】在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按“=”键，这个数被化为科学记数法的形式，则这个数用小数表示出来是______． 【题型8 含负整数指数幂的混合计算】 【例8】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：___________． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：_____________． 【变式8-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算：__________ 【变式8-3】定义：，计算：____________． 【题型9 根据整数指数幂的性质求值】 【例9】若，则的值为_____． 【变式9-1】已知，则m的值为______． 【变式9-2】（2026·河北邯郸·二模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $