3.1 代数式（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦整式及其加减中的代数式核心知识点，从用字母表示数切入，系统讲解代数式的概念、书写规范及求值方法，进而延伸到单项式、多项式、整式的概念与要素，构建从具体到抽象的完整学习支架。 资料通过“随学随练”即时巩固、题型分类细化（如用字母表示三位数、连续偶数）及规律探究（数、图形、单项式规律），培养学生抽象能力与符号意识。分层练习设计兼顾课中教学与课后查漏，助力提升数学思维与应用意识。

第三章 整式及其加减 3.1 代数式 课标要点 1. 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单数量关系并用代数式表示。 2. 理解单项式、多项式、整式的概念，掌握单项式的系数、次数及多项式的项、次数等核心要素。 3. 会把具体数代入代数式进行计算，能解释代数式的实际意义，发展符号意识和抽象思维。 学习重难点 学习重点 1. 理解代数式、单项式、多项式、整式的概念，能用代数式表示实际问题中的数量关系。 2. 掌握单项式的系数与次数、多项式的项与次数的确定方法。 学习难点 1. 从实际问题中抽象数量关系并列出代数式，尤其是隐蔽关系的处理。 2. 准确区分单项式、多项式与整式的范围，正确确定多项式的次数（最高次项的次数）。 知识点 用字母表示数 用字母代替具体数，简明表达数量与规律。掌握书写规范（乘号省略、除法化分数），体会从特殊到一般的数学思想。注意同一字母表同一量，取值需符合实际意义。 特别提醒 书写规范：数字与字母相乘时乘号省略，数字在前（如“3a”）；带分数要化为假分数，除法写成分数形式；和差式子带单位需加括号。同时注意字母取值需使式子有意义且符合实际。 随学随练 1．（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江·开学考试）三个连续的偶数从小到大排列，它们的和是，那么中间的数是_____ 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，相邻的两个偶数之间相差，三个连续偶数的和中间偶数，据此解答即可． 【详解】解：三个连续的偶数从小到大排列，它们的和是， 那么中间的数是：， 故答案为：． 知识点 代数式的概念 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 特别提醒 代数式是用运算符号把数或字母连接起来的式子，单独一个数或字母也是代数式。特别注意：代数式中不含“=、>、<”等关系符号，等式和不等式都不是代数式。 随学随练 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的识别，代数式是由运算符号连接数或字母的式子，不能包含等号或不等号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵代数式定义为由运算符号连接数或字母的式子，不含等号或不等号， 选项A、B、C均符合代数式定义，故均不符合题意， 选项D含有等号“”，为方程，不是代数式，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 【答案】 6/六 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解．代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：是代数式；是代数式；是方程，不是代数式；是代数式；0是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是不等式，不是代数式，则，其中是代数式的有个． 故答案为：6． 知识点 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 特别提醒 书写规范要记牢：数字与字母相乘时乘号省略，数字写在字母前；带分数要化成假分数；除法写成分数形式；和差式子带单位需加括号。 随学随练 1．（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的正确书写格式，需掌握核心规范：①带单位的和/差形式代数式需添加括号；②带分数与字母相乘时要转化为假分数；③数字与字母相乘时，数字前置且省略乘号；④除法运算需写成分数形式． 【详解】解：∵选项A中，带单位的差形式代数式应写为人，不符合书写格式； 选项B中，带分数与字母相乘应化为假分数形式，即，不符合书写格式； 选项C中，数字与字母相乘应写为，不符合书写格式； 选项D中，除法运算写成分数形式，符合代数式书写格式； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北随州·期中）下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有_____个． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：①应写成分数 ，故书写错误，不符合题意； ②应写成，故书写错误，不符合题意； ③书写正确，符合题意； ④书写正确，符合题意； 综上所述，书写正确的有③④，共个， 故答案为：． 知识点 代数式的值 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 特别提醒 求代数式的值，必须严格按运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）。代入负数或分数时，要加括号，避免符号错误。结果要化简。 随学随练 1．（2026·河北廊坊·二模）当时，代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：当时，． 2．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若，为有理数，且，则________． 【答案】 【详解】解：由绝对值的非负性可知，，， ， ，， 解得，， 代入得． 知识点 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 特别提醒 1. 系数是数字因数（含符号），π是常数，不是字母。 2. 次数是所有字母指数的和。 3. 单独数字（如 5）系数是本身，次数是 0；单独字母 x 系数是 1，次数是 1。 随学随练 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）下列各式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，正确理解单项式的定义是解题的关键．由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，据此逐一判断选项 【详解】解：∵单项式的定义为：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和是多项式， ∴A选项是与的和，属于多项式， B选项是数与字母、的积，符合单项式定义， C选项=，是两个单项式的和，属于多项式， D选项是与的和，属于多项式， 故选：B． 2．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）单项式的系数是__________，次数是__________． 【答案】 3 【分析】本题考查了单项式的相关概念，解决本题的关键是熟练掌握单项式的系数与次数． 单项式的系数是数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，由此求解即可． 【详解】解：单项式的数字因数为，即系数是； 字母的指数为1，的指数为2，指数之和为，即次数是3． 故答案为:；3． 知识点 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 特别提醒 1. 项：多项式中的每个单项式，要带上前面的符号。 2. 次数：取最高次项的次数，不是所有项次数之和。 3. 常数项：不含字母的项，次数为0。 4. 按某个字母的降幂（指数从高到低）或升幂排列。 随学随练 1.（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】本题考查了多项式．根据多项式的定义，几个单项式的和组成的式子是多项式，进行分析，得出选项A、B、C均为单项式，只有选项D属于多项式，即可作答． 解：A、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； B、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； C、0是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； D、是多项式，故该选项符合题意； 故选：D 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）写出一个只含有，两个字母的三次二项式_____． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式是多项式的项，有几项即为几项式，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此构造符合条件的多项式即可． 【详解】解：根据要求，只含有，两个字母，最高次数为，且共有两项，可得符合条件的三次二项式为（答案不唯一）． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）整式的次数是_____次，一次项系数是_____． 【答案】 三 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项的次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关定义即可得出结果，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：整式的次数是三次，一次项系数是， 故答案为：三，． 知识点 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系：单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 随学随练 特别提醒 1. 整式包括单项式和多项式（分母不含字母）。 2. 判断时，看分母是否有字母。 随学随练 1．（25-26七年级上·河北唐山·期末）在式子中，整式的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：在式子中，整式有，共3个， 故选；A． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查了整式的定义，解题的关键是明确整式是单项式和多项式的统称，分母中含字母、根号下含字母的式子不是整式． 根据整式定义，判断各式：分母含字母的式子不是整式；根号下含字母的式子不是整式；单项式和多项式是整式． 【详解】解：①是多项式，属于整式； ②分母含字母，不是整式； ③根号下含字母，不是整式； ④是多项式，属于整式； ⑤是单项式，属于整式； ⑥是多项式，属于整式； 故整式是①④⑤⑥． 拓展 已知式子的值，求代数式的值 1. 直接代入：若已知每个字母的具体数值，直接“对号入座”代入计算。 2. 整体代入：若已知含字母的整个式子的值，可将该部分视为一个整体代入，避免求单个字母。 3. 转化变形：先对已知或所求式子进行恒等变形（如提公因式、变号），构造出相同整体后再代入求值。 活学活用 1．（2026·安徽·二模）若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用整体代入的方法计算，先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴移项得 ∴． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 【答案】4 【分析】先将代数式进行提公因数，然后将代入即可求出答案． 【详解】解： ， 3．（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， (1)_______，___________，__________． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)1或 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答； （2）分和两种情况，再整体代入和的值即可求解． 【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，， ，，． 故答案为：0；1；． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 拓展 用代数式表示数的规律 1. 观察序号：将数字与序号（1,2,3…）对应，看每个数是序号的几倍、加减几或平方等关系。 2. 分析差值：计算相邻两数的差，若差固定为一次关系；若差再差固定为二次关系。 3. 验证修正：写出含序号n的猜想式后，代入前几项验证，若不符则调整系数或常数项。 活学活用 1．（2026·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，分别找出系数和a的指数随序号n的变化规律，归纳即可得到结果． 【详解】解：对给出的代数式分别整理系数和指数： 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 归纳可得，第个代数式的系数为，的指数为，因此第个代数式是． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“如意数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，则572是“如意数”．若一个“如意数”为奇数，且十位数字比个位数字大5，则所有符合条件的“如意数”为________． 【答案】 561，583 【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出式子是解题的关键． 设百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据“如意数”的定义解题即可． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由题意知，， ∴， ∵该数为奇数， ∴或或或或， 代入解得或（的值舍去）， ∴该数为或． 故答案为：、． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）新春挂灯笼是中国传统习俗，象征吉祥喜庆．一批灯笼如果3个3个地数，正好数完没有剩余；如果5个5个地数，最后会剩下2盏；如果7个7个地数，正好数完没有剩余，则这批灯笼最少有___盏． 【答案】42 【分析】本题主要考查了列代数式、数的整除等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由题意可知：灯笼数量是3和7的公倍数且除以5余2，因此设灯笼的数量为（k为正整数），然后从小到大列举k的值即可解答． 【详解】解：由条件可知：灯笼数量是3和7的公倍数，且3和7互质，则灯笼的数量是21的倍数， 设灯笼的数量为（k为正整数）． 由题意可知：除以5余2， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意． 所以这批灯笼最少有42盏． 故答案为：42． 4．（26-27六年级·上海·小升初衔接）观察下列数列，用含的式子表示第个数： (1) (2)（提示：观察与 的幂的关系） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：；；；；， ∴第个数为； （2）解：；；；；，…… ∴第个数为． 拓展 用代数式表示图形的规律 1. 分解图形：将复杂图形拆分为基础单元（如点、线、面），数出各部分的个数与序号的关系。 2. 找增量：观察相邻图形之间增加的元素个数，若增量固定为一次关系，增量变化则为二次关系。 3. 建立模型：用序号n表示图形中的关键量，列出代数式，代入前几个图形验证，确保符合所有已知图形。 活学活用 1．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由22根火柴棍拼成，第2个图形由33根火柴棍拼成，按此规律，则拼成第n个图形需要（    ）根火柴棍(用含n的代数式表示)． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，熟练掌握整式的运算是解题的关键．由第一个图形有22根火柴棍，第二个图形有，后一个图形比前一个图形多11根火柴棍，由此找到规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有根火柴棍， 第二个图形有根火柴棍， 第三个图形有根火柴棍， ∴第个图形有：根火柴棍， 故选：B． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 【答案】15 【分析】由图可知，每一个图像都是在前一个三角形的基础上再加2根火柴，所以第一个是3根小棒，第二个是根小棒，第三个是根小棒，第个就是根小棒． 【详解】解：∵①由3根小棒组成； ②由根小棒组成； ③由根小棒组成； ④由根小棒组成； ∴⑦由根小棒组成． 3．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先列举出前3个图案中圆的个数，然后再归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第1个图案中有3个圆，可以表示为， 第2个图案中有5个圆，可以表示为， 第3个图案中有7个圆，可以表示为， ……， ∴第n个图案中有个圆． 4．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）探索规律，观察如图，回答问题： (1)第五个图形有_____个点 (2)第个图形，有_____个点； (3)当点数为210时，为多少？ 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示，图形类变化规律问题， （1）直接数出点数即可； （2）根据前五个图形数字变化特点得出规律解答即可； （3）根据两个连续正整数相乘结果等于420 解答可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形有1个点； 第二个图形有个点； 第三个图形有个点； 第四个图形有个点； 所以第五个图形有个点； 故答案为：15； （2）解：第一个图形有1个点； 第二个图形有个点； 第三个图形有个点； 第四个图形有个点； 第五个图形有个点； 所以第n个图形有个点； 故答案为：； （3）解：根据题意，得， 即， 解得， 所以． 拓展 单项式规律题 1. 分系数与字母：将单项式拆为系数和字母部分，分别观察其随序号（1,2,3…）的变化规律。 2. 注意符号交替：若符号正负交替，用（-1）ⁿ或（-1）ⁿ⁺¹表示；系数或指数常与序号成倍数、平方等关系。 3. 合并写通项：将系数、字母、指数及符号规律整合为一个含n的代数式，代入前几项验证正确性。 活学活用 1．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 2．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）有一列单项式按如下规律排列：，，，，，则第10项可以表示成______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究．观察单项式的系数和指数的规律，系数绝对值与项数相同，符号正负交替，指数与项数相同． 【详解】解：设第项的系数为，指数为，则第项为． 则第10项可以表示成 故答案为：． 3．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是__． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律，解决本题的关键是找到规律观察奇偶得到结论． 观察单项式的系数和指数的变化规律，系数的绝对值是连续整数，符号交替出现，奇数项为负，偶数项为正；指数是连续偶数，由此求解． 【详解】解：第1项系数为，指数为2； 第2项系数为3，指数为4； 第3项系数为，指数为6； 以此类推，第n项系数的绝对值为，符号由决定， 因此系数为；指数为， 故第n个单项式为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 【答案】(1) (2)当时，前6项的和为；当时，前6项的和为 【分析】本题主要考查单项式的规律问题，解题的关键是得到单项式的一般规律； （1）由题意易得…；由此问题可求解； （2）根据（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，，然后分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由x，，，，…；可知：…； ∴第8个单项式为； （2）解：由（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，， ∴当时，前6项的和为； 当时，前6项的和为． 拓展 多项式系数、指数中字母求值 1. 明确概念：系数是字母前的数字因数（含符号），指数是字母的右上角数字，先找准所求字母的位置。 2. 列方程求解：根据题目条件（如次数、项数、同类项等），列出关于字母的方程或方程组，解出字母值。 3. 代入检验：将求得的字母值代回原多项式，检验是否符合题意（如系数不为0、指数为正整数等），确保无增根。 活学活用 1.（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·天津静海·期中）已知关于x的多项式是二次三项式，则______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次三项式的定义．根据二次三项式的定义，最高次项次数为2且项数为3，因此需满足且二次项系数． 【详解】解：依题意得： ， 解得， 故答案为 ． 3．（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）多项式是关于x的四次三项式，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查多项式，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式次数和项数的定义，最高次项次数为4，且第二项系数不为零，求解m的值． 【详解】解：∵多项式 是关于的四次三项式， ∴，且， 由，得， 由，得， ∴． 故答案为： 4． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）若关于的多项式中不含二次项和一次项，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了多项式不含问题，不含哪一项，则哪一项的系数为0．根据多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式中不含二次项和一次项， ∴，， 解得，， ∴． 题型 用字母表示数 解题贴士 字母可代表任意数，让规律表达更简明。书写时注意：数字在前，乘号省略；除法写成分数；带分数化假分数；和差式子加括号再写单位。 ▌例1（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． ▌对点练1-1（24-25七年级上·全国·随堂练习）某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是_______． 【答案】元 【分析】本题主要考查了用字母表示数，根据消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元，用x表示出实际金额即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴购买该商品实际付款的金额是元， 故答案为： ▌对点练1-2（24-25七年级上·广西钦州·期中）如果等腰三角形的面积为，底边长为，底边上的高为，那么与的比例关系式为________，与成________关系. 【答案】 反比例 【分析】本题考查了用字母表示数；根据三角形的面积公式列出关系式，根据积一定，可得与成反比例关系，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的面积为，底边长为，底边上的高为， ∴ ∴那么与的比例关系式为，与成反比例关系 故答案为：，反比例． ▌对点练1-3（23-24七年级上·河北保定·开学考试）一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 【答案】/ 【分析】根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 题型 列代数式 解题贴士 抓住关键词“翻译”成运算，注意运算顺序。数字在前，乘号省略；除法写成分数；带括号避免歧义。 ▌例2（2026·吉林·中考真题）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． ▌对点练2-1（26-27六年级·上海·小升初衔接）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 【答案】 【详解】解：一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， ∴这个三位数是． ▌对点练2-2（2026·山西长治·三模）某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，解题思路为根据售价与进价，提高百分比的关系，列出代数式，再化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，售价为进价加上进价提高的部分，因此列式得 ． ▌对点练2-3（2026·内蒙古通辽·二模）李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 【答案】/ 【详解】解：由题意，得买斗酒，碟花生米一共需要贯钱． 题型 代数式的概念 解题贴士 用运算符号把数和字母连成的式子叫代数式。单独一个数或字母也是。注意：不含等号或不等号，且字母取值要符合实际意义。 ▌例3（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）下列式子不是代数式的是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，单独的一个数或一个字母也是代数式，不包含等号或不等号，据此可得答案． 【详解】解：根据代数式的定义可知，只有式子不是代数式， 故选：B． ▌对点练3-1（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式，掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式． 【详解】解：代数式定义为由数字、字母和运算符号组成的式子，不含关系符号， 选项A含“=”，是方程； 选项B含“>”，是不等式； 选项C含“≠”，是不等式； 选项D仅含数字、字母和运算符号“+”和“×”，属于代数式． 故选D． ▌对点练3-2（25-26七年级上·福建福州·期中）在下列各式中：①x；②；③5；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义． 代数式是由数或字母通过运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，但等式和不等式不是代数式． 【详解】解：①x是字母，属于代数式； ②是等式，不属于代数式； ③5是数，属于代数式； ④是不等式，不属于代数式； ⑤是加法式子，属于代数式； ∴代数式有①、③、⑤，共3个． 故选：C． ▌对点练3-3（25-26七年级上·全国·期末）有下列各式：，，，，，其中，代数式有___个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，且不能包含等号或不等号． 根据代数式的概念逐个判断即可． 【详解】解：是代数式； 是代数式； 是方程，不是代数式； 是代数式； 是代数式． ∴代数式有4个， 故答案为：4． 题型 代数式书写方法 解题贴士 数字在前，字母在后；乘号省略或记作“·”；除法写成分数；带分数化假分数；和差式子整体带括号再参与运算或写单位。 ▌例4（25-26六年级上·上海·期末）下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，解决本题的关键是熟练掌握代数式的规范书写． 代数式的规范书写要求包括数字系数的写法、除法的表示等，由此判断选项即可． 【详解】解：代数式书写要求数字系数省略1，避免带分数，除法用分数形式， 选项A中的1不应写出，不符合； 选项B中是带分数形式，应化为假分数，不符合； 选项C中使用除号，应写成分数形式，不符合； 选项D中符合规范． 故选：D． ▌对点练4-1（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 根据代数式书写规则，检查每个式子是否符合要求，如不使用带分数、除号，数字应在字母前，单位需加括号等． 【详解】解：∵①应写成，不符合书写要求； ②是加法运算，符合书写要求； ③是分数形式，符合书写要求； ④是分数形式，符合书写要求； ⑤数字在括号前，符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求； ⑦千米应写成千米，不符合书写要求. ∴符合要求的是②③④⑤，共4个， 故选：C． ▌对点练4-2（25-26七年级上·湖南永州·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据代数式书写方法，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶中数字1与字母相乘时，应省略1直接写成y，故①不符合书写要求； 中带分数应化为假分数，故②不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号省略、数字写在字母前面，且无带分数，故③符合书写要求； 中字母与分数相乘时应将数字写在前面，即写成，故④不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号应省略，即写成，故⑤不符合书写要求． 因此，符合书写要求的只有③． 故答案为：③． ▌对点练4-3（25-26七年级上·湖北随州·期中）有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则逐一进行判断即可． 【详解】①符合书写要求； ②百分比符号符合书写要求； ③米应写成米，不符合书写要求； ④符合书写要求； ⑤应写成，不符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求． 故符合要求的有①②④． 故答案为：①②④． 题型 代数式的实际意义 解题贴士 赋予代数式中字母具体含义，用生活语言描述运算关系。避免照读式子，要说出“谁是谁的几倍”“总价”“面积”等实际背景。 ▌例5（25-26七年级上·河北衡水·期末）代数式的意义可以是（    ） A．2026与的和 B．2026与的积 C．2026与的差 D．2026与的商 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义，明确数字与字母相乘时省略乘号的表示方法对应的运算，即可求解． 【详解】解：代数式的意义可以是2026与的积， 故选：B． ▌对点练5-1（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． ▌对点练5-2（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． ▌对点练5-3（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 【分析】结合常见的数量关系构造实际场景，只要符合的倍数关系即可，答案不唯一． 【详解】解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 题型 已知字母的值，求代数式的值 解题贴士 先代入数值，再按运算顺序计算。注意：负数、分数代入要添括号；代入后还原乘号；代入值需符合实际意义；结果要化简。 ▌例6（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． ▌对点练6-1（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知 ，则_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性与平方的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且 ， 解得， ． ▌对点练6-2（25-26六年级下·四川成都·期中）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且是最大的负整数，则代数式__________． 【答案】 【分析】由倒数的定义可得，由相反数的定义可得，最大的负整数为，从而可得，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，且是最大的负整数， ∴，，， ∴． ▌对点练6-3（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积减小了 【分析】（1）根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可； （2）将代入计算即可； （3）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为， ∴． （2）解：当时，， 答：此时阴影部分的面积为． （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴阴影部分的面积减小了． 题型 程序流程图与代数式求值 解题贴士 按箭头顺序逐句执行，将输入值代入每个计算框。注意判断框条件决定分支走向，把每个框的运算结果作为下一步的输入值。 ▌例7（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值与程序流程图，读懂程序流程图是解题关键．根据，代入计算即可得． 【详解】解：若输入，则， 故选：C． ▌对点练7-1（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 【答案】 【详解】解：开始输入x的值是， 由，得． ▌对点练7-2（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． ▌对点练7-3（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图． (1)用含x，y的代数式表示输出的结果； (2)当，时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用． （1）根据数值转换机写出代数式即可； （2）将，代入（1）中的代数式，计算后得出结果． 【详解】（1）解：用含x，y的代数式表示输出的结果为； （2）解：当，时， 原式 ． 题型 单项式的判断 解题贴士 由数与字母的乘积组成（含乘方），单独数或字母也是。注意：分母含字母、含加减运算（如a+b）不是单项式；π是数字，可作系数。 ▌例8（25-26七年级上·河南周口·期末）下列代数式中，属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 根据单项式的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：包含加法运算，不是单项式； 选项B：中x在分母，不是数字与字母乘积的形式，不是单项式； 选项C：是数字与字母的乘积，是单项式； 选项D：包含减法运算，不是单项式； 故选：C． ▌对点练8-1（25-26七年级上·福建南平·期末）在代数式，2，a，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的定义（数字或字母的积），判断每个代数式是否为单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，不是单项式；是常数，是单项式；是字母，是单项式；是字母与字母的乘积，是单项式； ∴单项式有、、，共3个， 故选：C． ▌对点练8-2（24-25七年级上·江苏无锡·期中）式子，，，，中，单项式有______个． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，数字或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式有：，共2个， 故答案为：． ▌对点练8-3（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题题主要考查了单项式 ，解题关键是明确单项式的概念；根据数与字母的乘积的形式表示的代数式叫作单项式，逐个进行判断即可． 【详解】①，是单项式； ②，是单项式； ③，不是单项式； ④，是单项式； ⑤1，是单项式； ⑥，不是单项式； ⑦，分母含有未知数不是整式，故不是单项式； ⑧，分母含有未知数不是整式，故不是单项式． 故答案为：①②④⑤． 题型 单项式的系数、次数 解题贴士 系数是数字因数（含符号），次数是所有字母指数之和。注意：π是数字；单独数字次数为0；字母指数为1时省略不写。 ▌例9（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． ▌对点练9-1（25-26七年级上·江苏盐城·期末）单项式的次数是_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，熟练掌握单项式的次数是所有字母指数的和这一概念是解题的关键． 根据单项式次数的定义，将单项式中所有字母的指数相加，即可得到该单项式的次数． 【详解】解：∵单项式的次数是所有字母指数的和， ∴对于单项式，的指数为，的指数为， ∴次数为． 故答案为：． ▌对点练9-2（25-26七年级上·山东青岛·期末）的系数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数的定义．根据单项式中数字因数叫做单项式的系数进行解答即可． 【详解】解：单项式的数字因数为， 故系数为：． ▌对点练9-3（25-26七年级上·浙江杭州·期末）单项式的系数是______，次数是______． 【答案】 3 【分析】本题考查单项式的系数和次数，正确记忆单项式相关知识是解题关键．单项式的系数是数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此系数是； 字母的指数是2，的指数是1，指数和为，因此次数是3． 故答案为，3． 题型 写出满足某些特征的单项式 解题贴士 先确定系数（符号和数字），再确定字母部分及次数。满足条件即可，答案不唯一。注意只含乘方运算，不能有加减或分母含字母。 ▌例10（2026·河南许昌·一模）写出一个含有字母的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可． 【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确． ▌对点练10-1（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） ▌对点练10-2（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义．根据单项式的定义，系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此，系数为、次数为的单项式需满足数字部分为，且字母部分的指数总和为即可． 【详解】解：可构造一个字母的指数为、系数为的单项式，如，其中的指数为，次数为，系数为，也可用多个字母，如，其中的指数为，的指数为，次数和为， 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练10-3（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义及次数的概念，解题的关键是理解单项式次数是所有字母指数的和，并据此构造符合条件的单项式． 根据单项式次数的定义，确定字母、的指数和为，再写出含有字母、的单项式即可． 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型 多项式的判断 解题贴士 几个单项式的和（含减法）叫多项式。关键看是否含加减运算，分母不能含字母。单独一个数或字母是单项式，不是多项式。 ▌例11（25-26七年级上·福建宁德·期中）下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式的定义相混淆． 根据多项式的定义判定即可． 【详解】解：∵几个单项式的和叫做多项式， 故选项C中是单项式a和的和，符合定义， 故选：C． ▌对点练11-1（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；根据多项式的定义，多项式是几个单项式的和，由此可排除选项． 【详解】解：∵多项式是由多个单项式相加而成的代数式； 选项A：是单项式； 选项B：是单项式； 选项C：5是常数，属于单项式； 选项D：是由单项式a和常数3相加而成的多项式； 故选D． ▌对点练11-2（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列各式是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，熟练掌握该定义是解题的关键． 几个单项式的和叫做多项式，据此判断即可． 【详解】A：，是和这两个单项式的和，符合多项式的定义，故该选项符合题意； B：，分母中含有字母，不是整式，即不是多项式，故该选项不符合题意； 对于C：，分母中含有字母，不是整式，即不是多项式，故该选项不符合题意； 对于D：，这是一个等式，不是代数表达式，因此不是多项式，故该选项不符合题意． 故选：A． ▌对点练11-3（25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 题型 多项式的项、项数或次数 解题贴士 项：加减号分割的每部分（含符号）；项数：项的个数；次数：最高次项的次数。注意常数项次数为0，不要漏掉符号。 ▌例12（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； ▌对点练12-1（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． ▌对点练12-2（25-26七年级上·山东枣庄·期末）多项式的二次项系数是______． 【答案】 【分析】此题考查了多项式．多项式即为几个单项式的和，其中每一个单项式称为项，单项式的次数即为多项式的几次项，不含字母的项称为常数项．直接利用多项式的定义得出二次项，进而得出答案． 【详解】解：多项式的二次项系数是． 故答案为：． ▌对点练12-3（25-26七年级上·湖北武汉·期末）多项式是______次_____项式，二次项的系数是________． 【答案】 四 三 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 根据多项式的项和次数的定义，分析每个单项式的次数和系数，即可确定多项式的次数、项数及二次项的系数． 【详解】解：多项式的项为，，三项， ∵单项式的次数为 ，的次数为，的次数为， ∴多项式的最高次数为， ∴多项式是四次三项式； ∵二次项为， ∴二次项系数为． 故答案为：四；三；． 题型 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 解题贴士 选定字母，只看该项中该字母的指数。升幂：从小到大排；降幂：从大到小排。常数项排在最前（升幂）或最后（降幂），注意带符号移动。 ▌例13（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． ▌对点练13-1（25-26七年级上·重庆北碚·期末）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按x的降幂排列：． 故选：C． ▌对点练13-2（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为． ▌对点练13-3（25-26七年级上·四川眉山·期末）将多项式按字母的升幂排列为____． 【答案】 【分析】根据多项式升幂排列的定义，按照的指数从小到大的顺序排列即可． 本题考查了多项式的升幂排列，熟练掌握多项式的升幂排列的定义是解题的关键． 【详解】解：将多项式按字母的升幂排列为． 故答案为：． 题型 整式的判断 解题贴士 单项式和多项式统称整式。判断标准：分母不含字母（π除外）。含分母字母或根号内字母不是整式，如1/x、√x都不是整式。 ▌例14（25-26七年级上·云南昭通·期末）下列各式中，整式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称为整式．根据整式的定义即可求解． 【详解】解：分母中含有字母，不是整式； 是等式，不是整式； 属于整式的有：，，，，共有4个， 故选：C． ▌对点练14-1（25-26七年级上·上海·期末）代数式，，，，，中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据整式的概念逐一判断即可求解． 本题主要考查了整式的概念，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的概念是解题的关键． 【详解】解：是多项式，∴ 是整式； 分母中含有字母 n，∴ 不是整式； 分母中含有字母 b，∴ 不是整式； 是常数，是单项式，∴ 是整式； 是单项式，∴ 是整式； 是多项式，∴ 是整式． ∴ 整式有 4 个． 故选：C． ▌对点练14-2（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． ▌对点练14-3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子中：，，，，，整式有______个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．根据整式的定义，判断所给式子是否为整式，从而确定整式的个数． 【详解】解：：分母含有字母，是分式，不是整式； ：单独的一个字母，是单项式，属于整式； ：字母的乘积，是单项式，属于整式； ：两个单项式的和，是多项式，属于整式； ：三个单项式的和，是多项式，属于整式； 故答案为：． 题型 单项式、多项式、整式的分类 解题贴士 整式包含单项式和多项式。单项式：数与字母乘积；多项式：几个单项式之和。判断时看分母是否含字母（含则不是整式），含加减运算的是多项式。 ▌例15（25-26七年级上·安徽·寒假作业）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 其中属于单项式的有_____________；（填序号） 属于多项式的有________________；（填序号） 属于整式的有_______________．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑨ ③⑤ ①②③⑤⑥⑨ 【分析】根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，； 整式有：，，，，，． 故答案是：①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨． 【点睛】本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式和整式的分类 ▌对点练15-1（25-26七年级下·北京·课堂例题）有下列式子：；；；；；．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 【答案】 ①⑤ ②④⑥ ①②④⑤⑥ 【分析】根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式，可以判断出是单项式；根据几个单项式的和叫做多项式，可以判断出属于多项式的有；根据单项式和多项式统称整式，可以判断出属于整式的有． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式， 是与的积， 是单项式， 是、、的积， 是单项式， 属于单项式的有； 几个单项式的和叫做多项式， ，是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 属于多项式的有； 单项式和多项式统称整式， 属于整式的有． 中的分母中含有字母， 是分式，既不是单项式也不是多项式，也不是整式． ▌对点练15-2（2024七年级上·湖南·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②③④⑤⑨ (3)②⑤ 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． （1）根据单项式的定义即可求解． （2）根据整式的定义即可求解． （3）根据二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； 故答案为：③④⑨． （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； 故答案为：①②③④⑤⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：②⑤． ▌对点练15-3（24-25七年级上·全国·课后作业）将式子：填入相应的横线上． 单项式：__________________________； 多项式：__________________________； 整式：__________________________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．解决本题的关键是熟练掌握单项式和多项式的概念和联系． 根据单项式、多项式、整式的概念解答即可． 【详解】解∶ 单项式：； 多项式：； 整式：． 故答案为∶ ；；． 基础通关 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南·单元测试）用表示的数一定是（   ） A．负数 B．正数或负数 C．0或负数 D．以上全不对 【答案】D 【分析】本题主要考查用字母可以表示数，既可以是正数，也可以是负数和0，带有负号的数不一定就是负数． 【详解】解：A、当为非正数时，则表示的数是非负数，故此选项不符合题意； B、当时，，即此时表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意； C、当时，，即此时表示正数，故此选项不符合题意； 综上所述，表示的数可以是负数，正数或0． 故选D． 2.（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 5.（25-26七年级上·河北沧州·期中）若多项式是一个关于、的四次三项式，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式的系数、指数中的字母求值，已知字母的值，求代数式的值． 由已知可得，，从而可得，，即可得的值． 【详解】解：∵ 多项式是一个关于、的四次三项式， ∴ ， 解得， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 6.（25-26七年级上·河南周口·期中）多项式是______次______项式，其中四次项有______． 【答案】 五 六 ， 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义通过计算多项式中每一项的次数（所有未知数的指数之和），确定最高次数为多项式的次数，并统计总项数；四次项是指次数为4的项． 【详解】解：的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， ∴该多项式的次数为5，项数为6，即该多项式为五次六项式，其中四次项有，， 故答案为：五；六；，． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，则=_____． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，利用同底数幂的除法法则将所求代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得， 将，代入得：原式． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴． 9．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【分析】根据运算步骤输入，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 10．（25-26九年级下·江苏徐州·阶段检测）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第n个图中三角形的个数是：__________ 【答案】 【分析】根据前几个图形的变化发现规律，进而可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图中有4个三角形，即， 第2个图中有7个三角形，即， 第3个图中有10个三角形，即， ， 第n个图中有个三角形． 三、解答题 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值 【答案】16 【分析】直接代入a、b值求解即可． 【详解】解：当，时， 原式． 12.（24-25七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 13．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂流程图是解题关键． （1）根据示意图中的运算关系列出代数式即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：图中输出的式子为． （2）解：当输入，时， 则输出的数是 ． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，搭一个正方形需要4根火柴棒． (1)按图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒． (2)若搭个这样的正方形需要______根这样的火柴棒． (3)搭110个这样的正方形需要多少根这样的火柴棒？ 【答案】(1)7  10 (2) (3)（根） 【分析】本题主要考查了代数式求值，用代数式表示，图形的规律问题， 对于（1），根据图形中火柴棒的数字特点解答； 对于（2），根据（1）中的规律得出代数式； 对于（3），将数值代入计算即可. 【详解】（1）解：第1个正方形需要根火柴棒； 第2个正方形需要根火柴棒； 第3个正方形需要根火柴棒； 故答案为：7,10； （2）解：由（1）得第x个正方形需要根火柴棒； 故答案为：； （3）解：， 所以搭110个这样的正方形需要331根火柴棒. 15．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）观察下列各式： …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_____； (2)试写出第个等式：_____． (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值， 对于（1），仿照题中的规律解答； 对于（2），根据规律写出答案即可； 对于（3），设，再表示出，然后将两式相减即可． 【详解】（1）解：因为； ； ； ； ； 故答案为：； （2）解：由（1）可得； 故答案为：； （3）解：设①； 则②， 得， 解得． 素养提升 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 2．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的意义，熟练掌握将文字叙述转化为代数式并进行对比是解题的关键．通过将甲、乙的叙述转化为代数式，与给定代数式 对比判断． 【详解】∵ 甲的叙述“x的2倍与y的和”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，甲错误； ∵ 乙的叙述“苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，乙错误； ∴ 甲、乙都不正确， 故选D． 3.（2026·云南曲靖·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察题干的代数式，找出系数和次数的规律，推导得到第个代数式即可． 【详解】解：观察已知代数式可得 第1个代数式：， 第2个代数式： 第3个代数式：， 第4个代数式：， …… 以此类推：第个代数式中，的次数为，系数为， ∴第个代数式为． 4．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【分析】先根据可得或，再根据题意进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， 或， ， ①当，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或， 5.（25-26七年级上·吉林长春·期中）下面是一名同学的小测卷答案： 填空题： ①的常数项为． ②整式是二次三项式． ③多项式的次数是8． ④关于x和y的多项式中，不含xy项，则k的值为0． ⑤多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值为． 这名同学答对的题目是______ 填序号 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据多项式的次数和项数的定义解题即可． 【详解】解：①多项式的常数项是，正确； ②整式是二次三项式，正确； ③多项式中，最高次数为5，不是8，错误； ④多项式中，合并项得，令得，不是0，错误； ⑤多项式，当时，原式，是三次二项式，正确． 故答案为：①②⑤． 6．（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【答案】 【分析】通过观察前三个图形中三角形个数的具体数值，分析数值与图形序号之间的倍数关系，归纳出第个图形中三角形个数的通项公式，最后代入进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形一共有2个△，； 第2个图形一共有8个△，； 第3个图形一共有18个△，； ， 由此规律可得，第个图形中△的个数为； 当时，． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）运用整体思想在代数式求值中经常会用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，则___________； (3)当时，代数式的值为4，则当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，将原式变形是解题关键 （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴原式； （3）解：∵当，时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴当，时， ． 8.（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算两个两位数（十位上的数字大于2）的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．例如： ． (1)发现：上面每两个两位数的积都是由两位数的十位数字乘十位数字加一的积作为千位和百位，个位数字相乘的积作为____________； (2)请写出一个符合上述规律的算式：____________； (3)设其中一个数的十位数字为，个位数字为b，请用含a，b的式子表示这个规律． 【答案】(1)十位和个位 (2)（答案不唯一） (3)． 【分析】本题主要考查的是规律的发现与整理，属于基础题型．找出一般性的规律是解决这个问题的关键．（1）根据题意得出其一般性的规律，从而得出答案； （2）模仿示例即可写出符合规律的算式即可； （3）利用代数式表示出其一般规律得出答案． 【详解】（1）解：由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位， 故答案为：十位和个位． （2）． （3）． 10．（24-25七年级上·贵州·期中）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 【答案】(1)11，19， (2)个； 不能，理由： 前一行有1个点； 前二行点数和是个点； 前三行点数和是个点； 前四行点数和是个点； 前n行的点数和是； ②不能，理由如下： 根据题意可知， 解：n不是整数，所以不能． 【分析】本题主要考查了数字变化的规律问题，用代数式表示， （1）根据点阵的变化特点得出规律，即可解答； （2）①根据排列得出规律，进而得出代数式；②将数值代入计算即可． 【详解】（1）第一行有1个点； 第二行有个点； 第三行有个点； 第四行有个点； 第6行有个点； 第10行有个点； 第n行有个点； 故答案为：11，19，； （2）略 迁移创新 1.（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据下表，回答问题： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 5 1 ⋯ ⋯ 9 4 1 0 1 9 ⋯ (1)______，______； (2)①若，则______； ②代数式的值随着的变化规律是：的值每增加1，的值就随之增加1，类似地，的值随着的变化规律是______； (3)当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1)； (2)①或；②的值每增加1，的值就随之减少2 (3)当时，值增加；当时，值减少|k| 【分析】本题考查了代数式的求值、一元二次方程的求解及代数式的变化规律，解题的关键是利用表格数据代入计算，结合方程和代数式运算分析规律． （1）将对应值代入代数式求、； （2）①根据表格找与相等的值；②分析每增加1时的变化量； （3）计算从到时代数式的差值，确定变化情况． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 故答案为：；． （2）①解：由表格知，或时，. 故答案为：或. ②解：每增加1，的变化量为， 即的值每增加1，的值就随之减少2． 故答案为：的值每增加1，的值就随之减少2． （3）解：当时，代数式的值为； 当时，代数式的值为,差值为 故当时，值增加；当时，值减少|k|． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）（1）观察图，猜想⑤中共有__________个圆，其中有__________个“○”； （2）根据（1）中的规律，第个图中共有__________个圆，第100个图中共有__________个“○”； （3）广场计划铺设图所示图案，由内而外分别为：第1层（中心）1块白色瓷砖，第2层8块灰色瓷砖，第3层16块白色瓷砖，第4层24块灰色瓷砖……（依次白色灰色相间）若铺10层，总共需___________块瓷砖，其中有__________个“○”． 【答案】（1）25，15；（2），4950；（3）361，161 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）用算式表示前4个图形中圆的个数，找出其中的规律，再利用规律求解； （2）根据（1）中得到的规律用n表示出来，再代入求值即可； （3）先求出铺10层，总共需瓷砖数量，分别求出第1、3、5、7、9层“○”的个数，求出这10层中“○”的总个数． 【详解】（1）解：第1个图中有个圆； 第2个图中有个圆； 第3个图中有个圆； 第4个图中有个圆； 第5个图中有个圆； “○”的个数，可以画图得出， 第1个图与第2个图的“○”相同，第3个图与第4个图的“○”相同，第5个图与第6个图的“○”相同，… 第1个图为一个“○”， 第3个图中最右边1列的上面两个“○”，可放为第二行，如图： 共个“○”； 第6个图应该是： 第5个图中所有“○”可排列为如图： 共个“○”； 故答案为：25，15； （2）解：根据（1）中的规律，第个图中共有个圆， 第99个图与第100个图的“○”相同， 第99个图中的所有“○”，可排列为： 第1行1个“○”， 第2行2个“○”， 第3行3个“○”， … 第99行99个“○”， 共个“○”， 故答案为：，； （3）解：铺1层有1块瓷砖； 铺2层，形成，共有9块瓷砖； 铺3层，形成，共有25块瓷砖； … 铺n层，形成，共有块瓷砖； 所以铺10层共有块瓷砖； “○”只出现在奇数层（第1、3、5、7、9层）， 第1层“○”有：， 第3层“○”有：， 第5层“○”有：， 第7层“○”有：， 第9层“○”有：， 共有个“○”． 故答案为：，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 整式及其加减 3.1 代数式 课标要点 1. 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单数量关系并用代数式表示。 2. 理解单项式、多项式、整式的概念，掌握单项式的系数、次数及多项式的项、次数等核心要素。 3. 会把具体数代入代数式进行计算，能解释代数式的实际意义，发展符号意识和抽象思维。 学习重难点 学习重点 1. 理解代数式、单项式、多项式、整式的概念，能用代数式表示实际问题中的数量关系。 2. 掌握单项式的系数与次数、多项式的项与次数的确定方法。 学习难点 1. 从实际问题中抽象数量关系并列出代数式，尤其是隐蔽关系的处理。 2. 准确区分单项式、多项式与整式的范围，正确确定多项式的次数（最高次项的次数）。 知识点 用字母表示数 用字母代替具体数，简明表达数量与规律。掌握书写规范（乘号省略、除法化分数），体会从特殊到一般的数学思想。注意同一字母表同一量，取值需符合实际意义。 特别提醒 书写规范：数字与字母相乘时乘号省略，数字在前（如“3a”）；带分数要化为假分数，除法写成分数形式；和差式子带单位需加括号。同时注意字母取值需使式子有意义且符合实际。 随学随练 1．（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江·开学考试）三个连续的偶数从小到大排列，它们的和是，那么中间的数是_____ 知识点 代数式的概念 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 特别提醒 代数式是用运算符号把数或字母连接起来的式子，单独一个数或字母也是代数式。特别注意：代数式中不含“=、>、<”等关系符号，等式和不等式都不是代数式。 随学随练 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 知识点 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 特别提醒 书写规范要记牢：数字与字母相乘时乘号省略，数字写在字母前；带分数要化成假分数；除法写成分数形式；和差式子带单位需加括号。 随学随练 1．（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北随州·期中）下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有_____个． 知识点 代数式的值 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 特别提醒 求代数式的值，必须严格按运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）。代入负数或分数时，要加括号，避免符号错误。结果要化简。 随学随练 1．（2026·河北廊坊·二模）当时，代数式的值为__________． 2．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若，为有理数，且，则________． 知识点 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 特别提醒 1. 系数是数字因数（含符号），π是常数，不是字母。 2. 次数是所有字母指数的和。 3. 单独数字（如 5）系数是本身，次数是 0；单独字母 x 系数是 1，次数是 1。 随学随练 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）下列各式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）单项式的系数是__________，次数是__________． 知识点 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 特别提醒 1. 项：多项式中的每个单项式，要带上前面的符号。 2. 次数：取最高次项的次数，不是所有项次数之和。 3. 常数项：不含字母的项，次数为0。 4. 按某个字母的降幂（指数从高到低）或升幂排列。 随学随练 1.（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）写出一个只含有，两个字母的三次二项式_____． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）整式的次数是_____次，一次项系数是_____． 知识点 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系：单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 随学随练 随学随练 1．（25-26七年级上·河北唐山·期末）在式子中，整式的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 拓展 已知式子的值，求代数式的值 1. 直接代入：若已知每个字母的具体数值，直接“对号入座”代入计算。 2. 整体代入：若已知含字母的整个式子的值，可将该部分视为一个整体代入，避免求单个字母。 3. 转化变形：先对已知或所求式子进行恒等变形（如提公因式、变号），构造出相同整体后再代入求值。 活学活用 1．（2026·安徽·二模）若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 3．（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， (1)_______，___________，__________． (2)求的值． 拓展 用代数式表示数的规律 1. 观察序号：将数字与序号（1,2,3…）对应，看每个数是序号的几倍、加减几或平方等关系。 2. 分析差值：计算相邻两数的差，若差固定为一次关系；若差再差固定为二次关系。 3. 验证修正：写出含序号n的猜想式后，代入前几项验证，若不符则调整系数或常数项。 活学活用 1．（2026·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“如意数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，则572是“如意数”．若一个“如意数”为奇数，且十位数字比个位数字大5，则所有符合条件的“如意数”为________． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）新春挂灯笼是中国传统习俗，象征吉祥喜庆．一批灯笼如果3个3个地数，正好数完没有剩余；如果5个5个地数，最后会剩下2盏；如果7个7个地数，正好数完没有剩余，则这批灯笼最少有___盏． 4．（26-27六年级·上海·小升初衔接）观察下列数列，用含的式子表示第个数： (1) (2)（提示：观察与 的幂的关系） 拓展 用代数式表示图形的规律 1. 分解图形：将复杂图形拆分为基础单元（如点、线、面），数出各部分的个数与序号的关系。 2. 找增量：观察相邻图形之间增加的元素个数，若增量固定为一次关系，增量变化则为二次关系。 3. 建立模型：用序号n表示图形中的关键量，列出代数式，代入前几个图形验证，确保符合所有已知图形。 活学活用 1．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由22根火柴棍拼成，第2个图形由33根火柴棍拼成，按此规律，则拼成第n个图形需要（    ）根火柴棍(用含n的代数式表示)． A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 3．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 4．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）探索规律，观察如图，回答问题： (1)第五个图形有_____个点 (2)第个图形，有_____个点； (3)当点数为210时，为多少？ 拓展 单项式规律题 1. 分系数与字母：将单项式拆为系数和字母部分，分别观察其随序号（1,2,3…）的变化规律。 2. 注意符号交替：若符号正负交替，用（-1）ⁿ或（-1）ⁿ⁺¹表示；系数或指数常与序号成倍数、平方等关系。 3. 合并写通项：将系数、字母、指数及符号规律整合为一个含n的代数式，代入前几项验证正确性。 活学活用 1．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）有一列单项式按如下规律排列：，，，，，则第10项可以表示成______． 3．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是__． 4．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 当时，前6项的和为． 拓展 多项式系数、指数中字母求值 1. 明确概念：系数是字母前的数字因数（含符号），指数是字母的右上角数字，先找准所求字母的位置。 2. 列方程求解：根据题目条件（如次数、项数、同类项等），列出关于字母的方程或方程组，解出字母值。 3. 代入检验：将求得的字母值代回原多项式，检验是否符合题意（如系数不为0、指数为正整数等），确保无增根。 活学活用 1.（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 2．（25-26七年级上·天津静海·期中）已知关于x的多项式是二次三项式，则______ ． 3．（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）多项式是关于x的四次三项式，则___________． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）若关于的多项式中不含二次项和一次项，求的值． 题型 用字母表示数 解题贴士 字母可代表任意数，让规律表达更简明。书写时注意：数字在前，乘号省略；除法写成分数；带分数化假分数；和差式子加括号再写单位。 ▌例1（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． ▌对点练1-1（24-25七年级上·全国·随堂练习）某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是_______． ▌对点练1-2（24-25七年级上·广西钦州·期中）如果等腰三角形的面积为，底边长为，底边上的高为，那么与的比例关系式为________，与成________关系. ▌对点练1-3（23-24七年级上·河北保定·开学考试）一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 题型 列代数式 解题贴士 抓住关键词“翻译”成运算，注意运算顺序。数字在前，乘号省略；除法写成分数；带括号避免歧义。 ▌例2（2026·吉林·中考真题）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌对点练2-1（26-27六年级·上海·小升初衔接）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． ▌对点练2-2（2026·山西长治·三模）某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） ▌对点练2-3（2026·内蒙古通辽·二模）李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 题型 代数式的概念 解题贴士 用运算符号把数和字母连成的式子叫代数式。单独一个数或字母也是。注意：不含等号或不等号，且字母取值要符合实际意义。 ▌例3（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）下列式子不是代数式的是（   ） A． B． C．2025 D． ▌对点练3-1（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26七年级上·福建福州·期中）在下列各式中：①x；②；③5；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练3-3（25-26七年级上·全国·期末）有下列各式：，，，，，其中，代数式有___个． 题型 代数式书写方法 解题贴士 数字在前，字母在后；乘号省略或记作“·”；除法写成分数；带分数化假分数；和差式子整体带括号再参与运算或写单位。 ▌例4（25-26六年级上·上海·期末）下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-1（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练4-2（25-26七年级上·湖南永州·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） ▌对点练4-3（25-26七年级上·湖北随州·期中）有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 题型 代数式的实际意义 解题贴士 赋予代数式中字母具体含义，用生活语言描述运算关系。避免照读式子，要说出“谁是谁的几倍”“总价”“面积”等实际背景。 ▌例5（25-26七年级上·河北衡水·期末）代数式的意义可以是（    ） A．2026与的和 B．2026与的积 C．2026与的差 D．2026与的商 ▌对点练5-1（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 ▌对点练5-2（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． ▌对点练5-3（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 题型 已知字母的值，求代数式的值 解题贴士 先代入数值，再按运算顺序计算。注意：负数、分数代入要添括号；代入后还原乘号；代入值需符合实际意义；结果要化简。 ▌例6（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． ▌对点练6-1（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知 ，则_______． ▌对点练6-2（25-26六年级下·四川成都·期中）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且是最大的负整数，则代数式__________． ▌对点练6-3（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 题型 程序流程图与代数式求值 解题贴士 按箭头顺序逐句执行，将输入值代入每个计算框。注意判断框条件决定分支走向，把每个框的运算结果作为下一步的输入值。 ▌例7（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 ▌对点练7-1（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． ▌对点练7-2（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． ▌对点练7-3（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图． (1)用含x，y的代数式表示输出的结果； (2)当，时，求输出的结果． 题型 单项式的判断 解题贴士 由数与字母的乘积组成（含乘方），单独数或字母也是。注意：分母含字母、含加减运算（如a+b）不是单项式；π是数字，可作系数。 ▌例8（25-26七年级上·河南周口·期末）下列代数式中，属于单项式的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-1（25-26七年级上·福建南平·期末）在代数式，2，a，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练8-2（24-25七年级上·江苏无锡·期中）式子，，，，中，单项式有______个． ▌对点练8-3（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有__________．（填序号） 题型 单项式的系数、次数 解题贴士 系数是数字因数（含符号），次数是所有字母指数之和。注意：π是数字；单独数字次数为0；字母指数为1时省略不写。 ▌例9（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 ▌对点练9-1（25-26七年级上·江苏盐城·期末）单项式的次数是_________． ▌对点练9-2（25-26七年级上·山东青岛·期末）的系数是__________． ▌对点练9-3（25-26七年级上·浙江杭州·期末）单项式的系数是______，次数是______． 题型 写出满足某些特征的单项式 解题贴士 先确定系数（符号和数字），再确定字母部分及次数。满足条件即可，答案不唯一。注意只含乘方运算，不能有加减或分母含字母。 ▌例10（2026·河南许昌·一模）写出一个含有字母的单项式：________． ▌对点练10-1（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． ▌对点练10-2（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） ▌对点练10-3（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 题型 多项式的判断 解题贴士 几个单项式的和（含减法）叫多项式。关键看是否含加减运算，分母不能含字母。单独一个数或字母是单项式，不是多项式。 ▌例11（25-26七年级上·福建宁德·期中）下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练11-1（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． ▌对点练11-2（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列各式是多项式的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练11-3（25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 题型 多项式的项、项数或次数 解题贴士 项：加减号分割的每部分（含符号）；项数：项的个数；次数：最高次项的次数。注意常数项次数为0，不要漏掉符号。 ▌例12（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练12-1（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 ▌对点练12-2（25-26七年级上·山东枣庄·期末）多项式的二次项系数是______． ▌对点练12-3（25-26七年级上·湖北武汉·期末）多项式是______次_____项式，二次项的系数是________． 题型 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 解题贴士 选定字母，只看该项中该字母的指数。升幂：从小到大排；降幂：从大到小排。常数项排在最前（升幂）或最后（降幂），注意带符号移动。 ▌例13（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练13-1（25-26七年级上·重庆北碚·期末）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练13-2（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． ▌对点练13-3（25-26七年级上·四川眉山·期末）将多项式按字母的升幂排列为____． 题型 整式的判断 解题贴士 单项式和多项式统称整式。判断标准：分母不含字母（π除外）。含分母字母或根号内字母不是整式，如1/x、√x都不是整式。 ▌例14（25-26七年级上·云南昭通·期末）下列各式中，整式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．6 B．5 C．4 D．3 ▌对点练14-1（25-26七年级上·上海·期末）代数式，，，，，中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练14-2（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有___________个． ▌对点练14-3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子中：，，，，，整式有______个． 题型 单项式、多项式、整式的分类 解题贴士 整式包含单项式和多项式。单项式：数与字母乘积；多项式：几个单项式之和。判断时看分母是否含字母（含则不是整式），含加减运算的是多项式。 ▌例15（25-26七年级上·安徽·寒假作业）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 其中属于单项式的有_____________；（填序号） 属于多项式的有________________；（填序号） 属于整式的有_______________．（填序号） ▌对点练15-1（25-26七年级下·北京·课堂例题）有下列式子：；；；；；．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） ▌对点练15-2（2024七年级上·湖南·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． ▌对点练15-3（24-25七年级上·全国·课后作业）将式子：填入相应的横线上． 单项式：__________________________； 多项式：__________________________； 整式：__________________________． 基础通关 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南·单元测试）用表示的数一定是（   ） A．负数 B．正数或负数 C．0或负数 D．以上全不对 2.（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 5.（25-26七年级上·河北沧州·期中）若多项式是一个关于、的四次三项式，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 6.（25-26七年级上·河南周口·期中）多项式是______次______项式，其中四次项有______． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，则=_____． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 9．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 10．（25-26九年级下·江苏徐州·阶段检测）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第n个图中三角形的个数是：__________ 三、解答题 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值 12.（24-25七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 13．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，搭一个正方形需要4根火柴棒． (1)按图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒． (2)若搭个这样的正方形需要______根这样的火柴棒． (3)搭110个这样的正方形需要多少根这样的火柴棒？ 15．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）观察下列各式： …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_____； (2)试写出第个等式：_____． (3)计算． 素养提升 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 3.（2026·云南曲靖·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 5.（25-26七年级上·吉林长春·期中）下面是一名同学的小测卷答案： 填空题： ①的常数项为． ②整式是二次三项式． ③多项式的次数是8． ④关于x和y的多项式中，不含xy项，则k的值为0． ⑤多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值为． 这名同学答对的题目是______ 填序号 6．（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）运用整体思想在代数式求值中经常会用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，则___________； (3)当时，代数式的值为4，则当时，求代数式的值． 8.（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算两个两位数（十位上的数字大于2）的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．例如： ． (1)发现：上面每两个两位数的积都是由两位数的十位数字乘十位数字加一的积作为千位和百位，个位数字相乘的积作为____________； (2)请写出一个符合上述规律的算式：____________； (3)设其中一个数的十位数字为，个位数字为b，请用含a，b的式子表示这个规律． 10．（24-25七年级上·贵州·期中）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 迁移创新 1.（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据下表，回答问题： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 5 1 ⋯ ⋯ 9 4 1 0 1 9 ⋯ (1)______，______； (2)①若，则______； ②代数式的值随着的变化规律是：的值每增加1，的值就随之增加1，类似地，的值随着的变化规律是______； (3)当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）（1）观察图，猜想⑤中共有__________个圆，其中有__________个“○”； （2）根据（1）中的规律，第个图中共有__________个圆，第100个图中共有__________个“○”； （3）广场计划铺设图所示图案，由内而外分别为：第1层（中心）1块白色瓷砖，第2层8块灰色瓷砖，第3层16块白色瓷砖，第4层24块灰色瓷砖……（依次白色灰色相间）若铺10层，总共需___________块瓷砖，其中有__________个“○”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $