第一单元 第 7 课时 商不变的规律（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“商不变的规律”核心知识点，承接除法笔算、连除应用基础，系统梳理规律探究过程、正逆向应用及余数变化特征，为后续小数除法、分数基本性质学习筑牢底层逻辑，构建完整知识支架。 资料以“猜想验证—规律建构—应用拓展—易错辨析”闭环设计，通过表格探究法培养推理意识，分层练习提升运算能力，数学活动拓展深化模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化规律应用能力。

第 7 课时 商不变的规律 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：商不变规律的探究与核心内涵 3 考点二：商不变规律的正向应用（简便计算） 5 考点三：商不变规律的逆向应用与余数问题 6 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：忽略 “0 除外” 的前提，同时乘 0 或除以 0 8 易错点 2：被除数和除数乘除的数不相同，破坏商不变条件 8 易错点 3：余数变化规律搞错，认为商不变余数也不变 8 易错点 4：规律适用范围混淆，加减运算套用商不变规律 8 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 10 三、思维拓展培优练（2 题） 11 ▶ 数学活动拓展 11 第五部分 习题精准解析与知识点睛 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版四年级上册第一单元的核心规律探究课，承接前六课时的除法笔算、连除应用的知识基础，正式探究整数除法的核心运算规律 —— 商不变的规律。核心聚焦被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变的规律内涵，掌握规律的探究方法、正向与逆向应用，理解规律中余数的变化特征，能运用规律进行除法简便计算。全课时围绕运算能力、推理意识、模型意识三条新课标核心素养主线，建立 “猜想验证 — 规律建构 — 应用拓展 — 易错辨析” 的完整认知闭环，是除法简便计算的核心理论依据，为后续小数除法、分数基本性质、比的基本性质学习筑牢底层逻辑根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 商不变规律的核心内涵 规律的探究过程，核心内容表述，0 除外的前提条件，规律的公式表达 表格探究法、猜想验证法、归纳总结法 忽略 “0 除外” 的前提，被除数和除数乘除的数不相同 规律的正向应用 被除数和除数同时乘相同的数，简化除法计算，凑整简便运算 正向简算法、凑整计算法 只给被除数乘，除数不乘，破坏商不变的条件 规律的逆向应用 被除数和除数同时除以相同的数，简化除法计算，口算化运算 逆向简算法、同除缩倍法 只给除数除以，被除数不除，商的大小发生改变 规律与余数的关系 商不变时余数的变化规律，余数与被除数、除数的同步变化 余数变化规律法、验算验证法 误认为商不变余数也不变，忽略余数的同步缩放 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 表格探究法 规律探究类题型 列出除法算式→同步乘除相同数→计算商值→对比归纳规律 被除数、除数同变化，商的大小不变更 正向简算法 简便计算类除法题型 观察被除数、除数特征→同时乘相同数凑整→简化计算出商 同乘凑整商不变，计算更简便 逆向简算法 末尾有 0 的除法题型 被除数、除数同时除以相同数→缩小为口算除法→快速求商 同除缩倍商不变，口算就能算答案 余数校验法 有余数的除法简算 简算得出商→余数同步缩放还原→验算验证结果 商不变，余数变，同步缩放要记牢 三、课时数学思想与素养提升 1. 模型思想：运算规律的数学建模 核心要义：将除法运算中被除数、除数、商的变化关系，抽象为标准化的数学模型（），用数学语言精准表达规律内涵，实现从具体算式到抽象规律的建模，是模型意识在数与代数领域的核心体现。 典型范式：通过、、的具体算式，归纳出商不变的通用模型，可直接应用于所有除法算式的简便计算。 2. 推理验证思想：规律的归纳与演绎 核心要义：通过 “猜想 — 验证 — 结论 — 应用” 的完整推理链条，先通过具体算式提出商不变的猜想，再通过多组算式验证猜想的普适性，最终归纳出规律并演绎应用到各类题型中，培养严谨的逻辑推理能力，是新课标核心素养的重点培育方向。 典型范式：猜想 “被除数和除数同时乘 10，商不变”，再通过、、多组算式验证，最终确认猜想成立，归纳出规律。 3. 优化策略思想：计算方法的优化选择 核心要义：根据除法算式的数字特征，灵活运用商不变规律，将复杂的笔算除法转化为简单的口算除法，通过凑整、缩倍等方式简化计算过程，减少计算步骤，提升运算效率与准确率，是优化思想在运算领域的核心应用。 典型范式：计算，直接笔算需两步，运用商不变规律，被除数和除数同时除以 10，转化为，一步口算即可得出结果，大幅优化计算过程。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：商不变规律的探究与核心内涵 典型例题 1（基础层级）—— 规律的表格探究 题目：先填写下面的表格，再观察被除数、除数和商的变化规律，你发现了什么？ 被除数 除数 除法算式 商 10 2 5 10×10=100 2×10=20 10×100=1000 2×100=200 10÷2=5 2÷2=1 40 8 思路点拨： ① 第一步计算表格中的商：第二行，第三行，第四行，第五行，所有算式的商均为 5； ② 第二步观察变化规律：从上到下，被除数和除数同时乘 10、乘 100，商始终不变；从下到上，被除数和除数同时除以 2、乘以4，商也始终不变； ③ 第三步归纳结论：被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。 【答案】表格中商依次为 5、5、5、5；发现的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变 【知识点睛】商不变的规律是除法运算的核心基本性质，完整表述为：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。理解规律时要抓住三个核心关键点：① 必须是 “同时” 变化，被除数和除数要乘除同一个数；② 乘除的数必须是 “相同的数”，不能一个乘 10、一个乘 100；③ 必须排除 0，因为 0 不能作除数，被除数和除数同时乘 0 会导致除数为 0，算式无意义。 典型例题 2（提升层级）—— 规律的内涵判断 题目：判断：被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变。（ ） 思路点拨： ① 回忆商不变规律的完整表述，规律中明确要求乘或除以的数必须 “0 除外”； ② 举反例验证：若被除数和除数同时乘 0，除数会变成 0，除法算式无意义，商不存在； ③ 判定结论：题目表述遗漏了 “0 除外” 的前提条件，说法错误。 【答案】 【知识点睛】“0 除外” 是商不变规律的必备前提，是判断规律表述是否正确的核心依据。因为 0 不能作除数，所以被除数和除数不能同时除以 0，也不能同时乘 0，否则除数为 0，算式无意义。理解规律时必须完整掌握三个核心要素：同时、相同的数、0 除外，缺一不可。 典型例题 3（拓展层级）—— 规律的适用范围 题目：下面哪个算式的商与的商相等？（ ） A. B. C. 思路点拨： ① 先计算原式的商：； ② 分别计算三个选项的商： A 选项：； B 选项：，与原式商相等； C 选项：； ③ 结合规律判断：B 选项中被除数和除数同时除以 4，符合商不变规律，因此商相等。 【答案】B 【知识点睛】商不变规律仅适用于被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），不适用于加法和减法运算。选项 C 中被除数和除数同时加 4，不符合规律要求，商发生了改变；选项 A 中被除数乘 4、除数除以 4，乘除的数不相同，也不符合规律，商发生了改变。只有同时、同数的乘除运算，才符合商不变规律的适用条件。 考点二：商不变规律的正向应用（简便计算） 典型例题 1（基础层级）—— 基础正向简便计算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 观察算式特征：除数 25 乘 4 可以凑整为 100，符合商不变规律的正向应用条件； ② 根据商不变规律，被除数和除数同时乘 4，算式转化为； ③ 分别计算括号内的运算：，，再计算除法，最终结果为 48。 【答案】 【知识点睛】商不变规律的正向应用，核心是凑整简化计算，当除数是 25、125 等特殊数时，可通过同时乘 4、8 等数，将除数凑整为 100、1000，把复杂的除法转化为简单的口算除法。应用时必须严格遵守规律要求：被除数和除数同时乘相同的数，确保商不变。 典型例题 2（提升层级）—— 多步正向简便计算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 观察算式特征：这是一个连除算式，25 和 4 相乘可以凑整为 100，可结合连除性质和商不变规律简化计算； ② 方法一（连除性质）：根据连除性质，一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积，算式转化为； ③ 方法二（商不变规律）：先算，被除数和除数同时乘 4，得，再计算，两种方法结果一致。 【答案】 【知识点睛】连除算式的简便计算，可优先观察除数是否能凑整，利用连除性质先算除数的积，再用被除数除以积，计算更简便。该方法本质是商不变规律的延伸，连除性质是商不变规律的特殊应用场景。 典型例题 3（拓展层级）—— 正向应用的实际问题 题目：超市运来 800 千克苹果，每 25 千克装一箱，这些苹果一共可以装多少箱？ 思路点拨： ① 分析数量关系：总重量 ÷ 每箱重量 = 箱数，列式为； ② 运用商不变规律简便计算：被除数和除数同时乘 4，转化为箱； ③ 验算作答：千克，与总重量一致，计算正确。 【答案】32 箱 【知识点睛】解决实际问题时，若列出的除法算式中除数是 25、125 等特殊数，可优先运用商不变规律进行简便计算，提升运算效率。解题时先梳理数量关系列出算式，再观察算式特征选择最优简便方法，最后通过乘法验算确保结果正确。 考点三：商不变规律的逆向应用与余数问题 典型例题 1（基础层级）—— 逆向应用简便计算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 观察算式特征：被除数和除数末尾都有 1 个 0，同时除以 10 即可缩小为口算除法，符合商不变规律的逆向应用条件； ② 根据商不变规律，被除数和除数同时除以 10，算式转化为； ③ 计算得，最终结果为 18。 【答案】 【知识点睛】商不变规律的逆向应用，核心是缩倍简化计算，当被除数和除数末尾有相同个数的 0 时，可同时除以 10、100 等数，将大数除法转化为小数口算除法。应用时注意：被除数和除数末尾的 0 的个数必须相同，同时去掉相同个数的 0，商不变。 典型例题 2（提升层级）—— 商不变规律的余数变化 题目：计算，运用商不变规律简便计算，商是____，余数是____。 思路点拨： ① 运用商不变规律简化算式：被除数和除数同时除以 10，转化为，计算得商 23，余数 1； ② 分析余数的变化：被除数和除数同时除以 10，商不变，但余数也跟着除以了 10，因此原来的余数需要乘 10 还原； ③ 计算原余数：，最终商是 23，余数是 10； ④ 验算验证：，与被除数一致，结果正确。 【答案】； 【知识点睛】商不变规律中，商不变，但余数会跟着被除数和除数同步缩放，这是核心易错点。当被除数和除数同时除以 n（0 除外），商不变，余数也除以 n；要得到原式的余数，需要用简算后的余数再乘 n。牢记：商不变，余数变，同步缩放要还原。 典型例题 3（拓展层级）—— 余数变化规律的应用 题目：一道除法算式，被除数和除数同时除以 10 后，商是 8，余数是 5。原来的商是____，余数是____。 思路点拨： ① 根据商不变规律，被除数和除数同时除以 10，商不变，因此原来的商还是 8； ② 余数的变化：简算后的余数 5 是原来的余数除以 10 得到的，因此原来的余数是； ③ 反向验证：假设原式为，被除数和除数同时除以 10，得，完全符合题意。 【答案】； 【知识点睛】已知缩放后的商和余数，求原式的商和余数，核心规则是：商不变，余数反向缩放。被除数和除数同时除以 n，原式余数 = 简算余数 ×n；被除数和除数同时乘 n，原式余数 = 简算余数 ÷n。该规律是商不变规律的延伸，必须熟练掌握，避免余数计算错误。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：忽略 “0 除外” 的前提，同时乘 0 或除以 0 错误范式：认为的商与相等，忽略了 0 不能作除数的规则。 成因剖析：对商不变规律的完整表述记忆不牢，遗漏了 “0 除外” 的核心前提，对 0 不能作除数的规则重视不足。 避坑方案：牢记商不变规律的完整表述，重点标注 “0 除外”；明确 0 不能作除数，被除数和除数不能同时乘 0 或除以 0，否则算式无意义。 易错点 2：被除数和除数乘除的数不相同，破坏商不变条件 错误范式：计算时，错误转化为，只给被除数乘 4，除数不变，导致商扩大 4 倍。 成因剖析：对规律中 “同时乘或除以相同的数” 的核心要求理解不到位，只关注了被除数的凑整，忽略了除数必须同步进行相同的变化。 避坑方案：应用规律时，先明确 “同时、同数” 两大核心要求，被除数和除数必须乘或除以完全相同的数，缺一不可；计算前先检查是否符合规律的适用条件，再进行计算。 易错点 3：余数变化规律搞错，认为商不变余数也不变 错误范式：计算时，简算为，直接得出原式余数是 1，忽略了余数的同步缩放。 成因剖析：对商不变规律的理解不完整，只关注了商的变化，忽略了余数的变化规律，误认为商不变余数也不变。 避坑方案：牢记 “商不变，余数变，同步缩放要还原” 的口诀；简算后必须对余数进行反向缩放还原，再通过 “商 × 除数 + 余数 = 被除数” 验算，确保余数正确。 易错点 4：规律适用范围混淆，加减运算套用商不变规律 错误范式：认为的商与相等，在加法运算中错误套用商不变规律。 成因剖析：对商不变规律的适用条件理解模糊，规律仅适用于乘除运算，不适用于加减运算，混淆了运算类型。 避坑方案：明确商不变规律的适用范围：仅适用于被除数和除数的同时乘或除以运算，不适用于加法、减法运算；判断算式是否符合规律，先看运算类型，再看变化方式。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空：商不变的规律是：被除数和除数同时乘或除以____的数（0 除外），____不变。 2. 判断：。（ ） 3. 用简便方法计算：____。 4. 计算，商是____，余数是____。 5. 下面算式中，与的商相等的是（ ） A. B. C. 6. 一道除法算式，被除数和除数同时除以 100 后，商是 5，余数是 3，原来的商是____，余数是____。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 用简便方法计算： 8. 列竖式计算并运用商不变规律验算：____。 9. 水果店运来 600 千克橘子，每 15 千克装一箱，这些橘子可以装多少箱？（用简便方法计算） 10. 两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时除以 10，商是多少？余数是多少？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 小马在计算除法时，把被除数 1200 写成了 120，把除数 30 写成了 3，得到的商是 4，这个商对吗？为什么？ 12. 用简便方法计算：。 ▶ 数学活动拓展 实践探究：商不变规律的拓展应用 活动任务：请你结合商不变的规律，探究下面的问题： 1. 两个数相除，商是 12，如果被除数乘 3，除数不变，商是多少？ 2. 两个数相除，商是 12，如果被除数不变，除数乘 3，商是多少？ 3. 两个数相除，商是 12，如果被除数乘 3，除数除以 3，商是多少？ 要求：写出探究过程和结论，总结商的变化规律与被除数、除数变化的关系。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 相同；商 思路点拨： ① 回忆商不变规律的完整表述； ② 规律的核心是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商保持不变； ③ 两个空依次填 “相同”“商”。 【知识点睛】本题考查商不变规律的核心概念，必须准确记忆规律的完整表述，尤其是 “相同的数”“0 除外”“商不变” 三个核心要素。 2. 【答案】 思路点拨： ① 观察算式，左边，被除数和除数同时除以 10，得到右边； ② 符合商不变规律的适用条件，商不变； ③ 计算验证：，，两边商相等，说法正确。 【知识点睛】商不变规律的基础应用，被除数和除数同时除以 10，去掉相同个数的 0，商不变，这是口算除法的核心算理。 3. 【答案】 思路点拨： ① 观察算式，除数 25 乘 4 可凑整为 100，符合商不变规律正向应用条件； ② 被除数和除数同时乘 4，转化为； ③ 计算结果为 60。 【知识点睛】除数是 25 的简便计算，核心是乘 4 凑整 100，将复杂除法转化为口算，是商不变规律的典型正向应用。 4. 【答案】 ； 思路点拨： ① 运用商不变规律，被除数和除数同时除以 10，转化为； ② 商不变，仍为 13；余数同步除以 10 后是 2，因此原余数为； ③ 验算：，结果正确。 【知识点睛】商不变规律的余数变化问题，牢记商不变、余数同步缩放的规则，简算后必须对余数进行还原，再通过验算验证。 5. 【答案】 B 思路点拨： ① 原式； ② A 选项被除数乘 2、除数除以 2，不符合规律，商变为； ③ B 选项被除数和除数同时除以 10，符合商不变规律，商为，与原式相等； ④ C 选项被除数和除数同时加 10，不符合规律，商变为。 【知识点睛】商不变规律的适用条件判断，必须同时满足 “同时、同数、乘除运算” 三个条件，缺一不可，加减运算不适用该规律。 6. 【答案】 ； 思路点拨： ① 根据商不变规律，被除数和除数同时除以 100，商不变，仍为 5； ② 余数同步除以 100 后是 3，因此原余数为； ③ 反向验证：原式为，同时除以 100 后为，符合题意。 【知识点睛】已知缩放后的商和余数求原式结果，核心是商不变，余数反向缩放，这是商不变规律的逆向应用，必须熟练掌握。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】 ； 思路点拨： ① 第一题：利用连除性质，； ② 第二题：除数 125 乘 8 可凑整为 1000，被除数和除数同时乘 8，转化为； ③ 均通过凑整简化计算，结果正确。 【知识点睛】简便计算的核心是观察数字特征，25 配 4、125 配 8 是常用的凑整组合，结合商不变规律和连除性质，可大幅简化计算过程。 8. 【答案】 思路点拨： ① 竖式计算：被除数 950，除数 50，前两位 95＞50，商 1 写在十位，余 45，落 0 得 450，商 9 写在个位，，刚好除尽，商为 19； ② 验算：运用商不变规律，，与竖式计算结果一致，验证正确。 【知识点睛】商不变规律可用于除法笔算的验算，通过同时缩倍转化为口算，快速验证笔算结果是否正确，是验算的简便方法。 9. 【答案】 40 箱 思路点拨： ① 数量关系：总重量 ÷ 每箱重量 = 箱数，列式为； ② 简便计算：被除数和除数同时乘 2，转化为箱； ③ 验算：千克，与总重量一致，结果正确。 【知识点睛】实际问题中的简便计算，先梳理数量关系列出算式，再观察除数特征，运用商不变规律凑整简化计算，最后验算确保结果正确。 10. 【答案】 商是 8，余数是 2 思路点拨： ① 根据商不变规律，被除数和除数同时除以 10，商不变，仍为 8； ② 余数同步除以 10，原余数 20 除以 10，得余数 2； ③ 验证：原式，同时除以 10 后，，符合规律。 【知识点睛】商不变规律中，商的变化和余数的变化是分离的，商始终不变，余数随被除数和除数同步缩放，这是核心规律，必须牢记。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 这个商不对；被除数和除数同时除以 10，符合商不变规律，商应该是 40，小马计算错误得到了 4。 思路点拨： ① 分析变化：被除数从 1200 变成 120，除以了 10；除数从 30 变成 3，也除以了 10； ② 根据商不变规律，被除数和除数同时除以相同的数 10（0 除外），商不变； ③ 计算验证：，，正确的商应为 40，小马得到的商 4 是计算错误的结果。 【知识点睛】商不变规律的核心是 “同时、同数、商不变”，当被除数和除数缩放比例一致时，商的数值保持不变；可通过分别计算原式与变化后的算式验证结论。 12. 【答案】 思路点拨： ① 观察算式，除数 45 可拆分为，利用连除性质逆用，将除法转化为连续除以两个数； ② 算式转化为； ③ 也可运用商不变规律，被除数和除数同时乘 2，转化为，结果一致。 【知识点睛】简便计算的方法不唯一，可根据算式特征灵活选择连除性质、商不变规律等方法，核心是通过转化凑整，将复杂计算简化为口算，提升运算效率。 ▶ 数学活动拓展解析 探究过程与结论： 1. 问题 1：被除数乘 3，除数不变，商也乘 3。 举例验证：原式，被除数乘 3 得，商从 12 变成 36，乘了 3，结论成立。 2. 问题 2：被除数不变，除数乘 3，商反而除以 3。 举例验证：原式，除数乘 3 得，商从 12 变成 4，除以了 3，结论成立。 3. 问题 3：被除数乘 3，除数除以 3，商乘 9（3×3）。 举例验证：原式，被除数乘 3 得 108，除数除以 3 得 1，，商从 12 变成 108，乘了 9，结论成立。 最终结论：商的变化与被除数的变化同向，与除数的变化反向；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 【知识点睛】商的变化规律是商不变规律的拓展，核心是理解被除数、除数的变化对商的影响，同向变化、反向变化的规律，为后续小数除法、分数运算等内容学习筑牢基础。 1 学科网（北京）股份有限公司 $