专题03 线段的双(多)中点模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学讲义通过模型分类与推导逻辑构建线段双（多）中点知识体系，以结构分析图呈现单中点基础到双中点、中点嵌套等模型的递进关系，突出动点定值探究和等量代换等重难点。 讲义亮点在于“动点情境分层练习”设计，如数轴上动点中点距离问题，培养推理意识与几何直观。方法指导包含“消元定值”推导和“双中点恒半长”口诀，易错总结帮助基础学生避坑，模型拓展支持优秀学生深入，教师可实施精准分层教学。

专题03线段的双(多)中点模型 几何定值问题一直都是初中数学几何难点之一，也是几何高分必须突破的核心板块，而线段双（多）中点模型是初中学生首次接触几何定值类推理问题，该模型主要依托线段中点定义、线段和差关系，考查数形结合、等量代换与定值探究的数学思想。熟练掌握中点定值规律，可快速秒杀各类线段中点压轴题型。本专题就线段双中点、多中点模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家精准掌握。 命题趋势：弱化单纯线段长度计算，强化动点定值探究，多以“点在线段上、点在延长线上、多层中点嵌套、动态定值证明”形式出题。 推导逻辑：数形结合，消元定值，吃透推理，拒绝死记结论。 核心素养目标： 1.掌握双中点定值结论的几何推导，规范几何说理书写； 2.能识别不同场景下的双中点模型，灵活运用定值结论； 3.培养等量代换、定值探究的几何推理能力。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 线段内双中点定值模型 2 模型2. 中点嵌套模型 8 模型3. 线段的多中点模型 8 模型4. 多线段公共中点模型 8 模型拓展 11 【易错总结】 11 【模型运用】 12 基于线段中点的定义：中点平分线段，将线段分为两条相等的线段。在线段上、线段延长线上任意取点，嵌套两层及以上中点，衍生出双中点、多中点定值模型，核心是通过线段和差消去变量，得到固定长度结论。 单中点基础模型 结构分析：一条线段，一个中点，将线段分成两条相等的子线段。 详细性质推导： 已知M是线段AB的中点，根据中点定义： ①数量关系：； ②比例关系：，； ③位置关系：M在线段AB上，且在正中间。 核心结论：若M为AB中点，则。 适用场景：基础线段计算，是所有中点模型的基础。 变式点拨：可逆向使用，由线段倍分关系证明某点是中点。 模型1. 线段内双中点定值模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 模型证明： 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 【典例1】(25-26七下·黑龙江大庆第一中学·期中)如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出和的长，再利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 【典例2】(25-26下·山东淄博淄川区·期末)若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 【典例3】(25-26七上·福建莆田秀屿区毓英中学·期末)如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 【典例4】(25-26七下·广东河源·期末)如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 【典例5】(25-26七上·安徽淮北濉溪县龙华学校·)已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）根据两点确定一条线段，数图中共有几组端点即可； （2）运用整体思想，通过，先求出和的值，再计算即可； （3）运用中点定义，，，分别求出和，再计算即可． 【详解】（1）解：图中共有，，，，，，6条线段； （2）解：由图可知，， 又， ∴， ∴； （3）解：∵C，D分别为，中点， ∴，， ∴． 【典例6】1．(25-26七下·安徽安庆潜山部分学校·)如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． (1)数轴上点表示的数是______；点表示的数是______（用含的代数式表示）． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点，同时出发，当为何值时，，之间的距离恰好等于？ (3)若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你求出线段的长． 【答案】(1)； (2)或 (3)不变， 【分析】（1）根据点，点表示的数以及点的速度可求解； （2）分类讨论相遇前和相遇后两种情况去讨论； （3）分类讨论点在的右侧和左侧进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧一点，且， 点表示的数为， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数为 故答案为：；． （2）解：由题可知，点运动的路程为，点运动的路程为． 分两种情况：点，相遇之前， 由题意得， 解得； 点，相遇之后， 由题意得， 解得； 综上所述，当的值为或时，，之间的距离恰好等于． （3）解：不变． 为的中点，为的中点， ， 由题可知，分两种情况： 当点在点的右侧时， ． 当点在点的左侧时， ． 综上所述，线段的长度不发生变化，为． 模型2. 中点嵌套模型 模型识别标志：连续多次取中点，层层嵌套，求最内层中点线段的长度。 结构分析：每取一次中点，线段长度就变为原来的一半，嵌套几次就除以2的几次方。 详细推导规律： 第一层中点：长度变为原来的；第二层中点：长度变为原来的； 第三层中点：长度变为原来的；…… 第层中点：长度变为原来的。 核心结论：每嵌套一次中点，线段长度减半。 模型3. 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次， 结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型4. 多线段公共中点模型 模型识别标志：多条线段共用同一个中点，利用中点进行等量代换。 结构分析：公共中点将不同线段分成相等的部分，通过等线段传递证明其他线段相等。 推导核心： 若M是AB中点，也是CD中点，则，； 利用线段和差可推出、等等量关系。 核心方法：利用等线段代换，推导线段相等关系。 变式点拨：常与线段和差、等量代换结合出题。 【典例1】(25-26下·山东淄博高新区·期末)如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 【典例2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；…连续这样操作2025次，则线段的长度等于______． 【答案】 【分析】根据线段中点定义先求出长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结论． 【详解】解：∵线段和的中点、， ， ； ∵线段和的中点、， ， ； ∵线段和的中点、， ， ； 发现规律：， 当时，． 【典例3】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）古希腊哲学家芝诺曾提出阿基里斯悖论“飞毛腿永远追不上乌龟”：如果阿基里斯让乌龟先跑一段，那么他每次跑到乌龟之前所在位置时，乌龟又向前移动了一小段，因此阿基里斯似乎永远追不上乌龟，受此启发，小红结合线段及其中点的有关知识，设计了以下问题：如图，为线段上一点，线段.第一次操作：分别取线段和的中点，记作，：第二次操作：分别取线段，，的中点，记作，：第三次操作：分别取线段，的中点，记作，；…，连续这样操作下去，当长度小于1时，的最小值为____________. 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，图形类规律探究．根据题意得出的长度为前一次的一半，则，进而根据长度小于1，即可求解． 【详解】解：设 ，则 ， 依题意，每次操作后， 的长度为前一次的一半， 当时，， 当时， ……， ∴ 当长度小于1时， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． 模型拓展 1. 双中点模型核心本质：动点任意动，中点距恒定，变量抵消、定值不变； 2. 可迁移至八上全等、四边形定值证明，是几何定值问题的基础模型。 模型常见易错点 1. 易错点：误以为点在延长线上结论失效 错因：只记忆线段内的情况，未理解推导本质是和差代换。 避坑：用和差公式自行推导延长线场景，验证结论。 2. 易错点：漏看“直线AB”，只讨论线段内一种情况 错因：审题不细，默认“线段”场景。 避坑：题干出现“直线”“射线”必分类，“线段”只考虑内部。 3. 易错点：多层中点不会比例缩放 错因：逐一代入计算，步骤繁琐易出错。 避坑：直接用“每次减半”的比例规律快速计算。 模型小结 1. 核心口诀：双中点恒半长，动点任意动，定值永不变； 2. 解题流程：找中点→定场景→用结论→写依据； 3. 几何证明优先用和差代换，规范书写∵∴格式。 1．(25-26·山东烟台牟平区·期中)如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意得：，， ，是线段，的中点， ，， 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，无法说明，说法错误，符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意． 2．(25-26·山东威海荣成实验联盟·期末)如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 3．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 4．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，由 M 是的中点，N 是的中点，则，，故可求． 【详解】解：∵M 是的中点，N 是的中点 ∴，， ∵，， ∴ ． 5．(25-26七上·内蒙古赤峰巴林左旗·期末)如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由作图可得，，再结合线段的和差与线段中点的定义逐一分析即可． 【详解】解：由作图可得：，， ∴，，， 故①②③正确； ∵线段，的中点分别为E，F， ∴，， ∴，故④正确； ，故⑤正确， 综上，正确的有5个． 6．(25-26六·黑龙江大庆祥阁学校·期末)如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据题意用含的代数式表示出点、、、对应的数，再逐项判断线段长度关系及方程解的情况． 【详解】解：根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， 点为的中点，点表示， 点表示的数为， 点为的中点， 点表示的数为； ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，故①正确； ②，， 当时，即， 或， 解得或，故②错误； ③，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 7．(25-26·山东淄博沂源县·期末)如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，需分点在线段上和延长线上两种情况，用线段和差表示并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，根据、均在线段上用表示和的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出和的长度，由得到绝对值方程，求解方程即可得到的值；对于④，先根据点在延长线上确定的取值范围，再依次利用中点性质表示出、、、的长度，最后通过线段和差计算的长度，判断其是否为定值． 【详解】解：①分两种情况： 当点在线段上时， ，解得； 当点在延长线上时， ，解得； 故①错误； ②∵点、均在线段上， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故②正确； ③∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当时，解得； 当时，解得； 故或2.25， 故③正确； ④∵点在延长线上， ， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴． ∵是中点， ∴ ， ∴， ∴，是定值，故④正确； 综上，②③④正确． 8．(25-26七·江苏苏州姑苏区·期末)如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 9．(25-26·山东烟台莱阳·期末)如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 10．(25-26·山东淄博张店区重庆路中学·期中)如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 11．在矩形中，为上一点，将沿翻折得到，点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上．则的长为_____． 【答案】或 【分析】①当点落在边的第一个三等分点上，利用矩形的性质得到，结合翻折变换得到和，则，再结合平移得到，那么；②当点落在边的第二个三等分点上，同理可得，，，，结合求解即可． 【详解】解：①当点落在边的第一个三等分点上，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得到，点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∵将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上 ∴， 则； ②当点落在边的第二个三等分点上，如图， 同理可得，，，， 则． 12．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】4或24 【分析】根据题意，分情况求出的长度即可． 【详解】解：①如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为4或24． 13．(25-26七下·辽宁盘锦大洼区第一中学·)如图，已知线段，，点M是的中点．在上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】10 【分析】利用求出，利用中点求出，再利用，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．(25-26七下·黑龙江大庆外国语学校·期末)如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 15．(25-26·山东泰安泰山区·期末)如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 16．(25-26·山东泰安东平县·期中)如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【来源】山东省泰安市东平县2025-2026学年下学期数学期中试题 【分析】（1）先求出，由E是的中点求出，再利用线段的和差求解即可； （2）先求出，根据线段中点定义求出，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． 17．(22-23七下·吉林吉林第七中学·)已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 18．(25-26·山东威海乳山·期末)如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 19．(25-26·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵点为的中点，且， ∴， ∴． 20．(25-26·山东威海荣成16校联考·期中)综合与实践． (1)【特例感知】如图①，线段，C，D分别是的中点，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． （i）若，求的度数． （ii）请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)22 (2)（i）；（ii），理由见解析 【分析】（1）根据题意求出，再由中点的定义可得，即可求解； （2）（i）先求出，再由角平分线的定义可得；（ii）结合角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵C，D分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：(i) ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； (ii)猜想∶ 理由： 平分，平分， ， ， ， ． 21．(25-26·山东烟台莱阳·期中)如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 【答案】 【分析】由线段中点的定义得出，，再由线段的和差关系即可得出的长． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ． 22．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 23．(21-22七上·贵州安顺紫云县·期末)已知线段，点C在线段上，且 (1)求线段，的长； (2)点P是线段上的动点，线段的中点为M，设． ①请用含有m的代数式表示线段，的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【答案】(1)， (2)①当点P在线段上时，，；当点P在线段上时，，；②m的值为6或12 【分析】（1）根据线段的和差关系并结合求解即可； （2）①分当点P在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可； ②分情况列方程可得m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：①当点P在线段上时， ， ； 当点P在线段上时，如图， ， ； ②当点P在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点P在线段上时，则， ∴， 解得：， 综上，m的值为6或12． 24．(25-26七·山西临汾霍州城区·)综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 【答案】(1)；1； (2)①秒；②2秒或7秒；③秒或秒或9秒． 【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点公式求解即可； （2）①根据的路程 的路程解答即可； ②根据相遇前和相遇后两种情况讨论即可解答； ③分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵，点A表示的数为10， ∴点B表示的数是； 点P表示的数是． （2）解：①根据题意，得， 解得． 答：当点P运动秒时，点P追上点Q． ②当点P与点Q相遇前，距离10个单位长度， ， 解得；· 当点P与点Q相遇后，距离10个单位长度， ， 解得， 答：当点P运动2秒或7秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度． ③根据题意，得当B为的中点时， 解得； 当点P为的中点时， 解得； 当点Q为的中点时， ， 解得． 答：当点P运动了秒或秒或9秒时，P，B，Q是一组“幸福点”． 25．(25-26七上·福建漳州南靖县·期末)已知线段，点M是的中点． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若点为的中点，且满足，试说明：点是线段的中点． 【答案】(1)9 (2) 解：设， ∵， ． ∵点为的中点， ， ， ， ∴点是线段的中点． 【分析】（1）根据中点的定义得，再求出，然后根据得出答案； （2）先设，可得，再根据中点的定义得，即可得出 ，根据中点的定义可解． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴． ∵， ， ； （2）略 26．(黑龙江哈尔滨南岗区第四十七中学·)已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)4或17 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由题意可得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形，然后利用线段的中点以及线段的和差求解即可； （3）先求得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形、线段的和差以及一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴．， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∵，， ∴， ∴； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ∵，， ∴， ∴； ． 综上，线段的长． （3）解：∵，， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∴ ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ， ∴， ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，t的值为4或17． 27．(七上·四川自贡·期末)如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程的解，在线段上是否存在点D．使？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，求t的值． 【答案】(1)10 (2)存在，2    (3)t的值为6或16 【分析】（1）根据题意求出a和b的值，进而即可求出线段的长； （2）由题意先解出x，再根据题意求出点在数轴上所对应的数； （3）根据题意先求出M、N初始位置对应数，再根据运动时间为t秒以及，建立关系式，并求出t值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴线段的长为； （2）解：在线段上存在点D，使． ∵， ∴解得，即点C在数轴上对应的数为14． ∵点D在线段上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点D对应的数为2； （3）解：∵点M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴M对应的数是，N对应的数是，即M、N初始位置对应的数分别为0，11． 又∵M在上，N在上， ∴可知M在0处向右，速度为6个单位/秒，N在11处向右，速度为5个单位/秒， ∴运动t秒后，M对应的数为：，N对应的数为：． ∵， ∴， 解得或． ∴t的值为6或16． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段的双(多)中点模型 几何定值问题一直都是初中数学几何难点之一，也是几何高分必须突破的核心板块，而线段双（多）中点模型是初中学生首次接触几何定值类推理问题，该模型主要依托线段中点定义、线段和差关系，考查数形结合、等量代换与定值探究的数学思想。熟练掌握中点定值规律，可快速秒杀各类线段中点压轴题型。本专题就线段双中点、多中点模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家精准掌握。 命题趋势：弱化单纯线段长度计算，强化动点定值探究，多以“点在线段上、点在延长线上、多层中点嵌套、动态定值证明”形式出题。 推导逻辑：数形结合，消元定值，吃透推理，拒绝死记结论。 核心素养目标： 1.掌握双中点定值结论的几何推导，规范几何说理书写； 2.能识别不同场景下的双中点模型，灵活运用定值结论； 3.培养等量代换、定值探究的几何推理能力。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 线段内双中点定值模型 2 模型2. 中点嵌套模型 5 模型3. 线段的多中点模型 5 模型4. 多线段公共中点模型 5 模型拓展 6 【易错总结】 6 【模型运用】 7 基于线段中点的定义：中点平分线段，将线段分为两条相等的线段。在线段上、线段延长线上任意取点，嵌套两层及以上中点，衍生出双中点、多中点定值模型，核心是通过线段和差消去变量，得到固定长度结论。 单中点基础模型 结构分析：一条线段，一个中点，将线段分成两条相等的子线段。 详细性质推导： 已知M是线段AB的中点，根据中点定义： ①数量关系：； ②比例关系：，； ③位置关系：M在线段AB上，且在正中间。 核心结论：若M为AB中点，则。 适用场景：基础线段计算，是所有中点模型的基础。 变式点拨：可逆向使用，由线段倍分关系证明某点是中点。 模型1. 线段内双中点定值模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 模型证明： 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 【典例1】(25-26七下·黑龙江大庆第一中学·期中)如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】(25-26下·山东淄博淄川区·期末)若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例3】(25-26七上·福建莆田秀屿区毓英中学·期末)如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【典例4】(25-26七下·广东河源·期末)如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【典例5】(25-26七上·安徽淮北濉溪县龙华学校·)已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 【典例6】1．(25-26七下·安徽安庆潜山部分学校·)如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． (1)数轴上点表示的数是______；点表示的数是______（用含的代数式表示）． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点，同时出发，当为何值时，，之间的距离恰好等于？ (3)若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你求出线段的长． 模型2. 中点嵌套模型 模型识别标志：连续多次取中点，层层嵌套，求最内层中点线段的长度。 结构分析：每取一次中点，线段长度就变为原来的一半，嵌套几次就除以2的几次方。 详细推导规律： 第一层中点：长度变为原来的；第二层中点：长度变为原来的； 第三层中点：长度变为原来的；…… 第层中点：长度变为原来的。 核心结论：每嵌套一次中点，线段长度减半。 模型3. 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次， 结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型4. 多线段公共中点模型 模型识别标志：多条线段共用同一个中点，利用中点进行等量代换。 结构分析：公共中点将不同线段分成相等的部分，通过等线段传递证明其他线段相等。 推导核心： 若M是AB中点，也是CD中点，则，； 利用线段和差可推出、等等量关系。 核心方法：利用等线段代换，推导线段相等关系。 变式点拨：常与线段和差、等量代换结合出题。 【典例1】(25-26下·山东淄博高新区·期末)如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；…连续这样操作2025次，则线段的长度等于______． 【典例3】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）古希腊哲学家芝诺曾提出阿基里斯悖论“飞毛腿永远追不上乌龟”：如果阿基里斯让乌龟先跑一段，那么他每次跑到乌龟之前所在位置时，乌龟又向前移动了一小段，因此阿基里斯似乎永远追不上乌龟，受此启发，小红结合线段及其中点的有关知识，设计了以下问题：如图，为线段上一点，线段.第一次操作：分别取线段和的中点，记作，：第二次操作：分别取线段，，的中点，记作，：第三次操作：分别取线段，的中点，记作，；…，连续这样操作下去，当长度小于1时，的最小值为____________. 模型拓展 1. 双中点模型核心本质：动点任意动，中点距恒定，变量抵消、定值不变； 2. 可迁移至八上全等、四边形定值证明，是几何定值问题的基础模型。 模型常见易错点 1. 易错点：误以为点在延长线上结论失效 错因：只记忆线段内的情况，未理解推导本质是和差代换。 避坑：用和差公式自行推导延长线场景，验证结论。 2. 易错点：漏看“直线AB”，只讨论线段内一种情况 错因：审题不细，默认“线段”场景。 避坑：题干出现“直线”“射线”必分类，“线段”只考虑内部。 3. 易错点：多层中点不会比例缩放 错因：逐一代入计算，步骤繁琐易出错。 避坑：直接用“每次减半”的比例规律快速计算。 模型小结 1. 核心口诀：双中点恒半长，动点任意动，定值永不变； 2. 解题流程：找中点→定场景→用结论→写依据； 3. 几何证明优先用和差代换，规范书写∵∴格式。 1．(25-26·山东烟台牟平区·期中)如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26·山东威海荣成实验联盟·期末)如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 3．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 4．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 5．(25-26七上·内蒙古赤峰巴林左旗·期末)如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 6．(25-26六·黑龙江大庆祥阁学校·期末)如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 7．(25-26·山东淄博沂源县·期末)如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 8．(25-26七·江苏苏州姑苏区·期末)如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 9．(25-26·山东烟台莱阳·期末)如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 10．(25-26·山东淄博张店区重庆路中学·期中)如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 11．在长方形中，为上一点，将沿翻折得到，点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上．则的长为_____． 12．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 13．(25-26七下·辽宁盘锦大洼区第一中学·)如图，已知线段，，点M是的中点．在上取一点N，使得，求线段的长． 14．(25-26七下·黑龙江大庆外国语学校·期末)如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 15．(25-26·山东泰安泰山区·期末)如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 16．(25-26·山东泰安东平县·期中)如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 17．(22-23七下·吉林吉林第七中学·)已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 18．(25-26·山东威海乳山·期末)如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 19．(25-26·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 20．(25-26·山东威海荣成16校联考·期中)综合与实践． (1)【特例感知】如图①，线段，C，D分别是的中点，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． （i）若，求的度数． （ii）请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 21．(25-26·山东烟台莱阳·期中)如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 22．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 23．(21-22七上·贵州安顺紫云县·期末)已知线段，点C在线段上，且 (1)求线段，的长； (2)点P是线段上的动点，线段的中点为M，设． ①请用含有m的代数式表示线段，的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 24．(25-26七·山西临汾霍州城区·)综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 25．(25-26七上·福建漳州南靖县·期末)已知线段，点M是的中点． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若点为的中点，且满足，试说明：点是线段的中点． 26．(黑龙江哈尔滨南岗区第四十七中学·)已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 27．(七上·四川自贡·期末)如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程的解，在线段上是否存在点D．使？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，求t的值． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $