专题22 直角三角形全等的判定（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题22 直角三角形全等的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 添加条件证明全等 题型02 直角三角形的判定依据 题型03 证明三角形全等 题型04 二次全等 题型05 角平分线的判定 题型06 角平分线的性质与判定综合 题型07 补充依据 题型08 尺规作图 ▌题型01 添加条件证明全等 1. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 适用前提：两个三角形必须是直角三角形！ 2. 解题思路 （1）先确认：两个三角形是否标明直角（Rt△），不满足直角→不能用HL （2）找出现有相等线段：分清是斜边还是直角边 （3）HL还差另一组： - 已有斜边 ➜ 补一组直角边 - 已有直角边 ➜ 补斜边 （4）❌易错陷阱： 不要补充另外一组直角边！两条直角边相等是SAS，不是HL！ 【典例1】（2026春•汝州市期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，若补充一个条件后能用“HL”的方法判定Rt△ABO≌Rt△CDO，则补充的条件可以是（　　） A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD 【分析】根据垂直定义可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用HL证明Rt△ABO≌Rt△CDO，即可解答． 【解答】解：能用“HL”的方法判定Rt△ABO≌Rt△CDO，则补充的条件可以是AB＝CD， 理由：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， 在Rt△ABO和Rt△CDO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△CDO（HL）， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•银川期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE．若用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是（　　） A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 【分析】根据全等三角形判定方法“HL”即可求解． 【解答】解：∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE， ∴用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是BC＝EF， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【变式1-2】（2025春•建平县校级月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【分析】根据“HL”的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB， ∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，根据“HL”可判断Rt△ABC≌Rt△ABD． 故选：B． 【变式1-3】如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D或　∠ACB＝∠DEB 或AC＝DE 或AB＝DB 或　∠A+∠E＝90°　 或　∠D+∠ACB＝90°等　 ． 【分析】要使Rt△ABC≌Rt△DBE，现有直角对应相等，一直角边对应相等，还缺少一边或一角对应相等，答案可得． 【解答】解：∵BD⊥AE ∴∠ACB＝∠DEB， ∵BC＝BE， 加∠ACB＝∠BDE就可以用ASA使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加AC＝DE就可以用HL使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加AB＝DB就可以用SAS使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加∠ACB＝∠D也可以使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°一样可以证明Rt△ABC≌Rt△DBE． 所以填∠ACB＝∠BDE或AC＝DE或AB＝DB或∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°等． ▌题型02 直角三角形全等的判定依据 1. 通用判定（所有三角形都能用，直角三角形同样适用） ①SSS：三边对应相等 ②SAS：两边及其夹角对应相等 ③ASA：两角及其夹边对应相等 ④AAS：两角及其中一角对边对应相等 2. 直角三角形专属判定：HL HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 条件要求： ① 两个三角形都是直角三角形 ② 斜边相等 + 任意一组直角边相等。 【典例1】（2025秋•古县期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【分析】根据所给图形结合全等三角形的判定方法（ASA）求解即可． 【解答】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法ASA，可画出与此直角三角形全等的三角形， 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•秦淮区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AB长为半径画弧，与BC的延长线相交于点D，可以判定△ABC≌△ADC，依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝90°， ∴△ABC和△ADC是直角三角形， 根据画法得，AB＝AD， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， 故选：D． 【变式1-2】将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和∠ABC的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线BP，则BP为∠ABC的角平分线的依据是（　　） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂直平分线的性质 C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．利用“SSA”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 【分析】根据图形可得∠DEP＝∠FGP＝90°，EP＝GP，再根据角平分线的判定即可． 【解答】解：如图所示： ∵∠DEP＝∠FGP＝90°，EP＝GP， ∴BP为∠ABC的角平分线， ∴根据角平分线的判定定理可知： 依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故选：C． 【变式1-3】（2026•道里区二模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（　　） A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS 【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：∵小李同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理；故D不符合题意； ∵小张同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理，故B不符合题意； ∵小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，故A不符合题意； 小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB的长，故C符合题意， 故选：C． ▌题型03 证明三角形全等 1. HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ⚠️ 硬性前提：两个三角形必须是直角三角形！普通三角形不能使用HL。 2. 所需条件（缺一不可） 设 Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F＝90°需要满足： （1）斜边相等：AB=DE （2）任意一组直角边相等：AC=DF 或 BC=EF。 【典例1】（2026•商南县二模）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等． 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【变式1-1】（2024秋•内黄县期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若AM⊥CE、AN⊥BD，AM＝AN，求证：Rt△ABN≌Rt△ACM． 【分析】利用“HL”证明全等即可． 【解答】证明：∵如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，AM⊥CE、AN⊥BD， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°（垂直的定义）， 在Rt△ABN和Rt△ACM中， ， ∴Rt△ABN≌Rt△ACM（HL）． 【变式1-2】（2025春•雁塔区期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE． 【分析】根据BE＝FC，可得BC＝FE，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE即可． 【解答】证明：∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， 即BC＝FE， ∵∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 【变式1-3】（2025春•陈仓区期中）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC与点E，DF⊥AC与点F．求证Rt△ABE≌Rt△CDF． 【分析】根据等式的性质得出AE＝CF，进而利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF即可． 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． ▌题型04 二次全等 1. 需要证明两组三角形全等。 第一组全等，得到边相等/角相等，当作条件，再证明第二组全等。 简单概括：第一次全等，制造条件；第二次全等，完成目标。 3. 通用标准解题模板 （1）观察结论：看最终要证哪两个三角形全等（目标△） （2） 逆向寻找：目标△缺少一组相等线段/相等角 （3）确定第一组全等：通过已知条件，先证第一组全等，补齐缺失条件 （4）再证第二次全等，得出最终结论 【典例1】（2025秋•旌阳区校级月考）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，DE＝CF，AC＝BD．猜想CE，DF的数量和位置关系，并说明理由． 【分析】由题意可知AD＝BC，根据SSS证明△ADE≌△BCF，则∠A＝∠B，证明△ACE≌△BDF，得到∠ACE＝∠BDF，进而可证CE∥DF 【解答】解：CE∥DF，CE ＝DF．理由如下： ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC． 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SSS）； ∴∠A＝∠B（全等三角形对应角相等）． 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴∠ACE＝∠BDF（全等三角形对应角相等）， ∴180°﹣∠ACE＝180°﹣∠BDF， 即∠ECD＝∠CDF， ∴CE∥DF（内错角相等，两直线平行）． 【变式1-1】如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD．求证：△ACF≌△BDE． 【分析】先由条件证明Rt△ACE≌Rt△BDF，得到∠A＝∠B，再证明△ACF≌△BDE即可 【解答】证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知）， ∴∠ACE＝∠BDF＝90°（垂直的定义）， 在Rt△ACE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B（全等三角形的对应角相等）， ∵AE＝BF（已知）， ∴AE﹣EF＝BF﹣EF（等式性质）， 即AF＝BE， 在△ACF和△BDE中， ， ∴△ACF≌△BDE（SAS）． 【变式1-2】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF吗？ 【分析】首先证明Rt△ABC≌Rt△BAD，可得AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，然后再证明△ACE≌△BDF，进而可得CE＝DF． 【解答】解：CE＝DF．理由： 在Rt△ABC和Rt△BAD中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA． 在△ACE和△BDF中 ， ∴△ACE≌△BDF（AAS）， ∴CE＝DF． 【变式1-3】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，EB⊥AD于点B，FC⊥AD于点C，AE＝DF．求证： （1）∠EAB＝∠FDC； （2）AF＝DE． 【分析】（1）证Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），即可得出∠EAB＝∠FDC； （2）证△AFD≌△DEA（SAS），即可得出AF＝DE． 【解答】证明：（1）∵EB⊥AD于点B，FC⊥AD于点C， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， ∴∠EAB＝∠FDC； （2）由（1）得：∠EAB＝∠FDC， 在△AFD和△DEA中， ， ∴△AFD≌△DEA（SAS）， ∴AF＝DE． ▌题型05 角平分线的判定 1. 判定定理 文字表述：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言： 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥ OA，PE⊥OB，PD=PE 结论：OP平分∠AOB。 2. 备使用条件（三个缺一不可） （1）点在角内部 （2）两条垂直（垂线段，代表距离） （3）两条垂线段长度相等 ⚠️只有线段相等，没有垂直，不能用判定！ 【典例1】（2026春•宝山区校级期末）如图，AO平分∠DAC，CO平分∠ACE，求证：BO平分∠EBD． 【分析】过点O作OM⊥BD，ON⊥BE，OP⊥AC，根据角平分线性质推理即可． 【解答】解：过点O作OM⊥BD，ON⊥BE，OP⊥AC， ∵AO平分∠DAC，CO平分∠ACE， ∴OM＝OP，ON＝OP， ∴OM＝ON， ∴BO平分∠EBD． 【变式1-1】（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【变式1-2】（2025秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 【分析】（1）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，先根据角平分线的性质可得EM＝EH，EN＝EH，从而可得EM＝EN，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线，可得，，再由∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，可得，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，再求解即可； （3）设EM＝EH＝EN＝x，再根据S△ABE＝12求得x＝4，再利用三角形的面积公式可得答案． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN（等量代换）， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （2）解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC， ∴． 则∠BEC的度数为15°； （3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ABE＝12， ∴， 解得x＝4， ∴EM＝EH＝EN＝4， ∴． 【变式1-3】（2026春•龙岗区校级期中）如图，点A，B分别在射线OP，OQ上，点C在∠POQ的内部，CA＝CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD＝BE． （1）求证：OC平分∠POQ； （2）如果OD＝6，OB＝4，求OA的长． 【分析】（1）证明出Rt△CDA≌Rt△CEB（HL），得到CD＝CE，即可得到OC平分∠POQ； （2）证明出Rt△OCD≌△OCE（HL），得到OD＝OE＝6，然后利用线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥OP，CE⊥OQ， ∴∠CDA＝90°，∠CEB＝90°（垂直的定义）， 在Rt△CDA和Rt△CEB中， ， ∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL）， ∴CD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∴点C在∠POQ的平分线上， ∴OC平分∠POQ； （2）解：在Rt△OCD和Rt△OCE中， ， ∴Rt△OCD≌△OCE（HL）， ∴OD＝OE＝6（全等三角形对应边相等）， ∴AD＝BE＝OE﹣OB＝6﹣4＝2， ∴OA＝OD+AD＝6+2＝8． ▌题型06 角平分线的性质与判定综合 1. 角平分线性质（正方向） 点在角平分线上点到两边距离相等 角平分线判定（逆方向） 点到角两边距离相等点在角平分线上 2. 解题四步法 （1）看目标 ① 要证线段相等：优先找角平分线，使用性质 ② 要证角相等/射线平分角：优先证明垂线段相等，使用判定 （2）缺垂线，辅助线必做：过平分线上一点，向角两边作垂直！ （3）利用得到的相等线段、相等角，结合全等（HL、AAS、SAS）推导 （4）规范书写，不要混用性质与判定. 【典例1】（2026春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 【分析】（1）过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，根据角平分线性质得GE＝GD，GE＝GF，进而得GE＝GD＝GF，由此即可得出结论； （2）过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，根据角平分线性质得PM＝PN，PM＝PQ，进而得PN＝PQ，由此的AP是∠NAC的平分线，则∠PAC∠NAC，再根据∠BAC＝60°得∠NAC＝120°，据此即可得出∠PAC的度数． 【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． 【变式1-1】（2026•桐城市开学）如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证： （1）CP平分∠ACF； （2）∠ABC+2∠APC＝180°． 【分析】（1）作PQ⊥AC于点Q，由∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，根据角平分线的性质得PM＝PN，PM＝PQ，则PN＝PQ，所以点P在∠ACF的平分线上，即可证明CP平分∠ACF． （2）由∠PAC∠EAC（180°﹣∠BAC），∠PCA∠ACF（180°﹣∠BCA），推导出∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA（∠BAC+∠BCA），则2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，所以∠ABC+2∠APC＝180°． 【解答】证明：（1）作PQ⊥AC于点Q， ∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， ∴点P在∠ACF的平分线上， ∴CP平分∠ACF． （2）∵AP平分∠EAC，CP平分∠ACF， ∴∠PAC∠EAC（180°﹣∠BAC），∠PCA∠ACF（180°﹣∠BCA）， ∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA ＝180°（180°﹣∠BAC）（180°﹣∠BCA） （∠BAC+∠BCA）， ∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-2】（2025秋•山丹县校级期末）已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P． （1）如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC的度数． 【分析】（1）作PH⊥AE，PM⊥BC，PN⊥AD，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）先借助（1）的结论得出AP平分∠BAC，得，再利用BF、CG分别平分△ABC的外角，结合△PBC内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，进而算出外角和；最后通过三角形外角性质推导∠BAC的度数，再根据角平分线求出∠PAC的度数． 【解答】（1）证明：过点P分别作PH⊥AE，PM⊥BC，PN⊥AD，垂足分别为H，M，N． ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PH， ∴PH＝PM＝PN（等量代换）， ∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）解：根据（1）得PH＝PN，PH⊥AE，PN⊥AD， ∴． ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线， ∴∠CBD＝2∠PBC，∠BCE＝2∠PCB． 在△PBC中，∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣75°＝105°， ∴∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°， 又∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCE＝210°， ∴∠BAC+180°＝210°（等量代换）， 解得∠BAC＝30°， ∴∠PAC∠BAC30°＝15°， 则∠PAC的度数为15°． 【变式1-3】（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　m °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可； （2）过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H，利用角平分线的性质解答即可． 【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：， 可得：∠Em， 故答案为：m； （2）证明：过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H， ∵EB，EC分别平分∠ABC，∠ACD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴E在∠EAC的平分线上， ∴EA平分∠FAC． ▌题型07 补充依据 1.证明全等的5条判定（写在最后一行） （1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等 （2）SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 （3）ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 （4）AAS：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （5）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2.用来推出角相等 （1）对顶角相等 （2）公共角 （3）两直线平行，同位角相等 （4）两直线平行，内错角相等 （5）同角（等角）的余角相等 （6）同角（等角）的补角相等 （7）角平分线定义 （8）垂直定义 ⇒ 直角相等（90°） （10）等边对等角 （11）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等（等角±公共角） 4.用来推出线段相等 （1）公共边 （2）中点定义 （3）线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 （4）角平分线上的点到角两边的距离相等 （5）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等 （7）等角对等边 5.全等之后，得到结论的依据 （1）全等三角形的对应边相等 （2）全等三角形的对应角相等 【典例1】（2026春•重庆期中）完成下面的推理证明： 已知：如图，点A，B，C在一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF．求证：∠DAB＝∠EBC． 证明：∵DB⊥BF（已知）， ∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（①　垂直的定义　 ）． ∵BF平分∠EBC（已知）， ∴∠EBF＝∠CBF（②　角的平分线的定义　 ）． ∵∠D+∠CBF＝90°（已知）， ∴∠DBE＝③　∠D （④　等角的余角相等　 ）． ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）． ∴∠DAB＝∠EBC（⑤　两直线平行，同位角相等　 ）． 【分析】利用垂直的定义，角的平分线的定义以及等角的余角相等等知识完成证明即可． 【解答】证明：由条件可知：∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（①垂直的定义）， ∵BF平分∠EBC（已知）， ∴∠EBF＝∠CBF（②角的平分线的定义）， ∵∠D+∠CBF＝90°（已知）， ∴∠DBE＝③∠D（④等角的余角相等）， ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠DAB＝∠EBC（⑤两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义，角的平分线的定义，∠D，等角的余角相等，两直线平行，同位角相等． 【变式1-1】（2026春•深圳期中）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E、F分别在AB、AC边上， （1）请用直尺和圆规，过点D作DH∥AC交BC于点H．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠1+∠HDC＝180°，∠1＝148°，则： ①证明EF∥CD； ②求∠BHD的度数． 请完成如下的几何推导： 解：∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠HDC＝180°﹣　∠1　 ＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质） ∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC＝32°，（　两直线平行，内错角相等　 ） ∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°， ∴EF∥CD，（　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝　2∠2　 ＝2×32°＝64°，（角平分线的定义） ∵DH∥AC， ∴∠BHD＝　∠ACB ＝64°．（两直线平行，同位角相等） 【分析】（1）根据题意，画出图形即可； （2）①根据平行线的判定与性质进行证明即可；②根据平行线的判定与性质将所给推导过程补充完整即可． 【解答】解：（1）如图所示， DH即为所求作的直线； （2）①∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC． ∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴EF∥CD； ②∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠HDC＝180°﹣∠1＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）． ∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC＝32°，（两直线平行，内错角相等）． ∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°， ∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠2＝2×32°＝64°，（角平分线的定义）， ∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB＝64°．（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；2∠2；∠ACB． 【变式1-2】（2026春•海淀区校级期中）如图，直线AD，BC被直线CD所截，AC平分∠BAD，∠1+∠BCD＝180°． 求证：∠BCA＝∠BAC． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：∵直线AD与CD相交于点D， ∴∠1＝∠ADC（①　对顶角相等　 ）（填推理的依据）． ∵∠1+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∴AD∥BC（②　同旁内角互补，两直线平行　 ）（填推理的依据）． ∴∠BCA＝∠DAC（③　两直线平行，内错角相等　 ）（填推理的依据）． ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（④　角平分线的定义　 ）（填推理的依据）． ∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）． 【分析】先根据对顶角的性质得到∠1＝∠ADC，所以∠ADC+∠BCD＝180°，则根据平行线的判定方法得到AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠BCA＝∠DAC，接着根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，然后利用等量代换得到∠BCA＝∠BAC． 【解答】证明：∵直线AD与CD相交于点D， ∴∠1＝∠ADC（对顶角相等）， ∵∠1+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠BCA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（角平分线的定义）， ∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）． 【变式1-3】（2025秋•旺苍县期中）如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于点F，DE⊥BC于E，AB＝DC，BE＝CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答： 理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）， ∴∠AFB＝∠DEC＝　90°　 （垂直的定义）． 在Rt△ABF 和Rt△DEC 中， ， ∴　Rt△ABF ≌　Rt△DEC （HL ）． ∴∠B ＝∠C （　全等三角形的对应角相等　 ）． ∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）． 【分析】先根据垂直的定义得出∠AFB＝∠DEC＝90°，再由HL定理得出Rt△ABF≌Rt△DEC，故可得出∠B＝∠C，由此可得出结论． 【解答】解：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AFB＝∠DEC＝90°． 在Rt△ABF和Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DEC（HL）． ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：90°；ABF；DEC；Rt△ABF；Rt△DEC；HL；B；C；全等三角形的对应角相等；AB∥CD． ▌题型08 尺规作图 1. 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 2. 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线。 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】以C为圆心画弧交OA于K、L，分别以K、L为圆心大于KL的长为半径画弧交于点F，作直线CF交OA于点E，点E即为所求作的点． 【解答】解：如图所示：点E即为所求作的点，理由如下： 过C作CH⊥OB于H， 由作图知CE⊥OA， ∵OM平分∠AOB， ∴CE＝CH， ∵△OCD的面积OD•CH＝24， ∵OD＝12， ∴CH＝4， ∴CE＝4． 【变式1-1】（2025秋•上海校级期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． （1）符合要求的位置有　4　 个； （2）请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； （3）你的作图依据是　角平分线的判定定理　 ． 【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【解答】解：（1）三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）利用角平分线的性质作出图形，如图所示，P1、P2、P3、P4即为加油站的位置， （3）作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式1-2】（2025春•渭滨区期末）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． 【解答】解：如图： 点C即为所求作的点． 【变式1-3】（2025秋•鞍山月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC于点D，并使D到BC，AB的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD的长． 【分析】（1）步骤：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、CB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，相交于点P；③作射线BP，交AC于点D，BP即为所求的平分线，则点D到BC，AB的距离相等； （2）过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据，列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 由条件可知DE＝DC， 设DE＝DC＝x， 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴， ∴， 解得：x＝3， 即CD的长为3． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 直角三角形全等的判定 （题型突破·举一反三） ▌题型01 添加条件证明全等 【典例1】D． 【变式1-1】A． 【变式1-2】B． 【变式1-3】∠ACB＝∠BDE或AC＝DE或AB＝DB或∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°等． ▌题型02 直角三角形全等的判定依据 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】C． ▌题型03 证明三角形全等 【典例1】 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【变式1-1】 【解答】证明：∵如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，AM⊥CE、AN⊥BD， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°（垂直的定义）， 在Rt△ABN和Rt△ACM中， ， ∴Rt△ABN≌Rt△ACM（HL）． 【变式1-2】 【解答】证明：∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， 即BC＝FE， ∵∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 【变式1-3】 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． ▌题型04 二次全等 【典例1】 【解答】解：CE∥DF，CE ＝DF．理由如下： ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC． 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SSS）； ∴∠A＝∠B（全等三角形对应角相等）． 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴∠ACE＝∠BDF（全等三角形对应角相等）， ∴180°﹣∠ACE＝180°﹣∠BDF， 即∠ECD＝∠CDF， ∴CE∥DF（内错角相等，两直线平行）． 【变式1-1】 【解答】证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知）， ∴∠ACE＝∠BDF＝90°（垂直的定义）， 在Rt△ACE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B（全等三角形的对应角相等）， ∵AE＝BF（已知）， ∴AE﹣EF＝BF﹣EF（等式性质）， 即AF＝BE， 在△ACF和△BDE中， ， ∴△ACF≌△BDE（SAS）． 【变式1-2】 【解答】解：CE＝DF．理由： 在Rt△ABC和Rt△BAD中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA． 在△ACE和△BDF中 ， ∴△ACE≌△BDF（AAS）， ∴CE＝DF． 【变式1-3】 【解答】证明：（1）∵EB⊥AD于点B，FC⊥AD于点C， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， ∴∠EAB＝∠FDC； （2）由（1）得：∠EAB＝∠FDC， 在△AFD和△DEA中， ， ∴△AFD≌△DEA（SAS）， ∴AF＝DE． ▌题型05 角平分线的判定 【典例1】 【解答】解：过点O作OM⊥BD，ON⊥BE，OP⊥AC， ∵AO平分∠DAC，CO平分∠ACE， ∴OM＝OP，ON＝OP， ∴OM＝ON， ∴BO平分∠EBD． 【变式1-1】 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN（等量代换）， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （2）解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC， ∴． 则∠BEC的度数为15°； （3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ABE＝12， ∴， 解得x＝4， ∴EM＝EH＝EN＝4， ∴． 【变式1-3】 【解答】（1）证明：∵CD⊥OP，CE⊥OQ， ∴∠CDA＝90°，∠CEB＝90°（垂直的定义）， 在Rt△CDA和Rt△CEB中， ， ∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL）， ∴CD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∴点C在∠POQ的平分线上， ∴OC平分∠POQ； （2）解：在Rt△OCD和Rt△OCE中， ， ∴Rt△OCD≌△OCE（HL）， ∴OD＝OE＝6（全等三角形对应边相等）， ∴AD＝BE＝OE﹣OB＝6﹣4＝2， ∴OA＝OD+AD＝6+2＝8． ▌题型06 角平分线的性质与判定综合 【典例1】 【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． 【变式1-1】 【解答】证明：（1）作PQ⊥AC于点Q， ∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， ∴点P在∠ACF的平分线上， ∴CP平分∠ACF． （2）∵AP平分∠EAC，CP平分∠ACF， ∴∠PAC∠EAC（180°﹣∠BAC），∠PCA∠ACF（180°﹣∠BCA）， ∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA ＝180°（180°﹣∠BAC）（180°﹣∠BCA） （∠BAC+∠BCA）， ∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：过点P分别作PH⊥AE，PM⊥BC，PN⊥AD，垂足分别为H，M，N． ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PH， ∴PH＝PM＝PN（等量代换）， ∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）解：根据（1）得PH＝PN，PH⊥AE，PN⊥AD， ∴． ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线， ∴∠CBD＝2∠PBC，∠BCE＝2∠PCB． 在△PBC中，∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣75°＝105°， ∴∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°， 又∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCE＝210°， ∴∠BAC+180°＝210°（等量代换）， 解得∠BAC＝30°， ∴∠PAC∠BAC30°＝15°， 则∠PAC的度数为15°． 【变式1-3】 【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：， 可得：∠Em， 故答案为：m； （2）证明：过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H， ∵EB，EC分别平分∠ABC，∠ACD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴E在∠EAC的平分线上， ∴EA平分∠FAC． ▌题型07 补充依据 【典例1】 【解答】证明：由条件可知：∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（①垂直的定义）， ∵BF平分∠EBC（已知）， ∴∠EBF＝∠CBF（②角的平分线的定义）， ∵∠D+∠CBF＝90°（已知）， ∴∠DBE＝③∠D（④等角的余角相等）， ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠DAB＝∠EBC（⑤两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义，角的平分线的定义，∠D，等角的余角相等，两直线平行，同位角相等． 【变式1-1】 【解答】解：（1）如图所示， DH即为所求作的直线； （2）①∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC． ∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴EF∥CD； ②∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠HDC＝180°﹣∠1＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）． ∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC＝32°，（两直线平行，内错角相等）． ∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°， ∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠2＝2×32°＝64°，（角平分线的定义）， ∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB＝64°．（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；2∠2；∠ACB． 【变式1-2】 【解答】证明：∵直线AD与CD相交于点D， ∴∠1＝∠ADC（对顶角相等）， ∵∠1+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠BCA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（角平分线的定义）， ∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）． 【变式1-3】 【解答】解：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AFB＝∠DEC＝90°． 在Rt△ABF和Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DEC（HL）． ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：90°；ABF；DEC；Rt△ABF；Rt△DEC；HL；B；C；全等三角形的对应角相等；AB∥CD． ▌题型08 尺规作图 【典例1】 【解答】解：如图所示：点E即为所求作的点，理由如下： 过C作CH⊥OB于H， 由作图知CE⊥OA， ∵OM平分∠AOB， ∴CE＝CH， ∵△OCD的面积OD•CH＝24， ∵OD＝12， ∴CH＝4， ∴CE＝4． 【变式1-1】 【解答】解：（1）三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）利用角平分线的性质作出图形，如图所示，P1、P2、P3、P4即为加油站的位置， （3）作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式1-2】 【解答】解：如图： 点C即为所求作的点． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 由条件可知DE＝DC， 设DE＝DC＝x， 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴， ∴， 解得：x＝3， 即CD的长为3． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 直角三角形全等的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 添加条件证明全等 题型02 直角三角形的判定依据 题型03 证明三角形全等 题型04 二次全等 题型05 角平分线的判定 题型06 角平分线的性质与判定综合 题型07 补充依据 题型08 尺规作图 ▌题型01 添加条件证明全等 1. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 适用前提：两个三角形必须是直角三角形！ 2. 解题思路 （1）先确认：两个三角形是否标明直角（Rt△），不满足直角→不能用HL （2）找出现有相等线段：分清是斜边还是直角边 （3）HL还差另一组： - 已有斜边 ➜ 补一组直角边 - 已有直角边 ➜ 补斜边 （4）❌易错陷阱： 不要补充另外一组直角边！两条直角边相等是SAS，不是HL！ 【典例1】（2026春•汝州市期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，若补充一个条件后能用“HL”的方法判定Rt△ABO≌Rt△CDO，则补充的条件可以是（　　） A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD 【变式1-1】（2026春•银川期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE．若用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是（　　） A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 【变式1-2】（2025春•建平县校级月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【变式1-3】如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D或　 或　 或　 或　 或　　 等　 ． ▌题型02 直角三角形全等的判定依据 1. 通用判定（所有三角形都能用，直角三角形同样适用） ①SSS：三边对应相等 ②SAS：两边及其夹角对应相等 ③ASA：两角及其夹边对应相等 ④AAS：两角及其中一角对边对应相等 2. 直角三角形专属判定：HL HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 条件要求： ① 两个三角形都是直角三角形 ② 斜边相等 + 任意一组直角边相等。 【典例1】（2025秋•古县期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【变式1-1】（2025秋•秦淮区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AB长为半径画弧，与BC的延长线相交于点D，可以判定△ABC≌△ADC，依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【变式1-2】将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和∠ABC的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线BP，则BP为∠ABC的角平分线的依据是（　　） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂直平分线的性质 C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．利用“SSA”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 【变式1-3】（2026•道里区二模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（　　） A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS ▌题型03 证明三角形全等 1. HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ⚠️ 硬性前提：两个三角形必须是直角三角形！普通三角形不能使用HL。 2. 所需条件（缺一不可） 设 Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F＝90°需要满足： （1）斜边相等：AB=DE （2）任意一组直角边相等：AC=DF 或 BC=EF。 【典例1】（2026•商南县二模）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【变式1-1】（2024秋•内黄县期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若AM⊥CE、AN⊥BD，AM＝AN，求证：Rt△ABN≌Rt△ACM． 【变式1-2】（2025春•雁塔区期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE． 【变式1-3】（2025春•陈仓区期中）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC与点E，DF⊥AC与点F．求证Rt△ABE≌Rt△CDF． ▌题型04 二次全等 1. 需要证明两组三角形全等。 第一组全等，得到边相等/角相等，当作条件，再证明第二组全等。 简单概括：第一次全等，制造条件；第二次全等，完成目标。 3. 通用标准解题模板 （1）观察结论：看最终要证哪两个三角形全等（目标△） （2） 逆向寻找：目标△缺少一组相等线段/相等角 （3）确定第一组全等：通过已知条件，先证第一组全等，补齐缺失条件 （4）再证第二次全等，得出最终结论 【典例1】（2025秋•旌阳区校级月考）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，DE＝CF，AC＝BD．猜想CE，DF的数量和位置关系，并说明理由． 【变式1-1】如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD．求证：△ACF≌△BDE． 【变式1-2】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF吗？ 【变式1-3】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，EB⊥AD于点B，FC⊥AD于点C，AE＝DF．求证： （1）∠EAB＝∠FDC； （2）AF＝DE． ▌题型05 角平分线的判定 1. 判定定理 文字表述：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言： 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥ OA，PE⊥OB，PD=PE 结论：OP平分∠AOB。 2. 备使用条件（三个缺一不可） （1）点在角内部 （2）两条垂直（垂线段，代表距离） （3）两条垂线段长度相等 ⚠️只有线段相等，没有垂直，不能用判定！ 【典例1】（2026春•宝山区校级期末）如图，AO平分∠DAC，CO平分∠ACE，求证：BO平分∠EBD． 【变式1-1】（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【变式1-2】（2025秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 【变式1-3】（2026春•龙岗区校级期中）如图，点A，B分别在射线OP，OQ上，点C在∠POQ的内部，CA＝CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD＝BE． （1）求证：OC平分∠POQ； （2）如果OD＝6，OB＝4，求OA的长． ▌题型06 角平分线的性质与判定综合 1. 角平分线性质（正方向） 点在角平分线上点到两边距离相等 角平分线判定（逆方向） 点到角两边距离相等点在角平分线上 2. 解题四步法 （1）看目标 ① 要证线段相等：优先找角平分线，使用性质 ② 要证角相等/射线平分角：优先证明垂线段相等，使用判定 （2）缺垂线，辅助线必做：过平分线上一点，向角两边作垂直！ （3）利用得到的相等线段、相等角，结合全等（HL、AAS、SAS）推导 （4）规范书写，不要混用性质与判定. 【典例1】（2026春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 【变式1-1】（2026•桐城市开学）如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证： （1）CP平分∠ACF； （2）∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-2】（2025秋•山丹县校级期末）已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P． （1）如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC的度数． 【变式1-3】（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　 ；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． ▌题型07 补充依据 1.证明全等的5条判定（写在最后一行） （1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等 （2）SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 （3）ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 （4）AAS：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （5）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2.用来推出角相等 （1）对顶角相等 （2）公共角 （3）两直线平行，同位角相等 （4）两直线平行，内错角相等 （5）同角（等角）的余角相等 （6）同角（等角）的补角相等 （7）角平分线定义 （8）垂直定义 ⇒ 直角相等（90°） （10）等边对等角 （11）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等（等角±公共角） 4.用来推出线段相等 （1）公共边 （2）中点定义 （3）线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 （4）角平分线上的点到角两边的距离相等 （5）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等 （7）等角对等边 5.全等之后，得到结论的依据 （1）全等三角形的对应边相等 （2）全等三角形的对应角相等 【典例1】（2026春•重庆期中）完成下面的推理证明： 已知：如图，点A，B，C在一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF．求证：∠DAB＝∠EBC． 证明：∵DB⊥BF（已知）， ∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（①　 ）． ∵BF平分∠EBC（已知）， ∴∠EBF＝∠CBF（②　 ）． ∵∠D+∠CBF＝90°（已知）， ∴∠DBE＝③　 （④　 ）． ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）． ∴∠DAB＝∠EBC（⑤　 ）． 【变式1-1】（2026春•深圳期中）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E、F分别在AB、AC边上， （1）请用直尺和圆规，过点D作DH∥AC交BC于点H．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠1+∠HDC＝180°，∠1＝148°，则： ①证明EF∥CD； ②求∠BHD的度数． 请完成如下的几何推导： 解：∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠HDC＝180°﹣　 ＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质） ∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC＝32°，（　 ） ∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°， ∴EF∥CD，（　 ） ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝　 ＝2×32°＝64°，（角平分线的定义） ∵DH∥AC， ∴∠BHD＝　 ＝64°．（两直线平行，同位角相等） 【变式1-2】（2026春•海淀区校级期中）如图，直线AD，BC被直线CD所截，AC平分∠BAD，∠1+∠BCD＝180°． 求证：∠BCA＝∠BAC． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：∵直线AD与CD相交于点D， ∴∠1＝∠ADC（①　 ）（填推理的依据）． ∵∠1+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∴AD∥BC（②　　 ）（填推理的依据）． ∴∠BCA＝∠DAC（③　 ）（填推理的依据）． ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（④　 ）（填推理的依据）． ∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）． 【变式1-3】（2025秋•旺苍县期中）如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于点F，DE⊥BC于E，AB＝DC，BE＝CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答： 理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）， ∴∠AFB＝∠DEC＝　 （垂直的定义）． 在Rt△　 和Rt△　 中， ， ∴　 ≌　 （　 ）． ∴　 ＝　 （　 ）． ∴　 （内错角相等，两直线平行）． ▌题型08 尺规作图 1. 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 2. 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线。 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-1】（2025秋•上海校级期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． （1）符合要求的位置有　 个； （2）请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； （3）你的作图依据是　 ． 【变式1-2】（2025春•渭滨区期末）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【变式1-3】（2025秋•鞍山月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC于点D，并使D到BC，AB的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $