专题31 锐角三角函数（7考点78题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 锐角三角函数中考真题汇编，覆盖7大考点，融合几何变换与实际应用，突出数学建模与综合推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|正弦余弦正切、特殊角三角函数、解直角三角形计算|结合旋转折叠（考点01）、跨运算混合（考点02）| |解答题|约15题|方向角、坡度坡比、仰角俯角问题|航海双观测点建模（考点04）、无人机测量情境（考点06）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题31锐角三角函数 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01正弦、余 基础核心考点，依托三角形、正方 融合几何变换创新，结合旋转、折叠 弦和正切 形、菱形、圆等图形命题，考查三角 求三角函数值；新增镜面反射、光影 函数定义与边角换算，常结合旋转、 测量情境题型，弱化单纯公式计算。 对称变换，以选填题为主，侧重定义 灵活运用。 考点02特殊角的 高频基础考点，常结合实数混合运 跨题型融合创新，联动因式分解、分 三角函数 算、零指数幂、二次根式化简考查， 式化简、不等式求解；多运算混合考 也融入几何角度计算，覆盖计算、化 查，强化基础运算的综合性与严谨 简求值、不等式组综合题型。 性。 考点03解直角三 中档重点考点，结合圆、正多边形、 几何深度融合，嵌套圆的性质、图形 角形计算 图形旋转折叠命题，考查边长、角 变换；新增最值探究、阴影面积计算 度、面积计算，常结合内心、直径、 题型，侧重辅助线构造与综合推理。 垂直平分线等几何性质综合设问。 考点04方向角问 实际应用高频考点，以航海、航行场 情境复杂化，增设双动点、多路段航 题 景为载体，结合双观测点、多船只航 行场景：结合速度、行程计算设问， 行模型，考查方向角识别与直角三角 强化数学建模与实际问题转化能力。 形建模求解。 考点05坡度坡比 应用型必考考点，聚焦坡道、河堤、 结合无障碍设施、基建工程命题，新 问题 山路、桥梁等实景，考查坡角、坡比 增方案设计、合规性判断题型，兼顾 换算与高度、距离计算，贴合生活工 计算与实际应用分析。 程实际场景。 考点06仰角俯角 解答题核心考点，依托无人机测量、 融入传统文化、科技测量情境，新增 问题 古建筑测算、地标高度测量等场景， 分段水准测量、双观测点差值计算， 考查仰俯角建模、分段测量计算，题 结合项目式学习设问，创新题型呈现 型经典且设问灵活。 形式。 考点07三角函数 压轴拓展考点，结合古算诗词、光学 跨学科、跨领域创新，融合物理光 1/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综合创新 反射、汽车转弯、抛物线模型等新颖 学、生活实操、古法数学；新增动态 场景，考查三角函数综合运用与几何 最值、范围探究、参数求解等高阶设 动态探究。 问。 真题考点精练 品 考点01正弦、余弦和正切 1.(2026四川遂宁中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,点M是边AC的中点. 将△ABC绕着点A逆时针旋转到△ADE的位置，点D恰好在边AC上，点M是点M的对应点，则M、M' 两点间的距离为() E M M D A.25 B.23 C 45 D.43 E M N C∠B=90,AB=5,BC=12 :.4C=VAB2+BC=13 AC13,sin∠BAC=BC12 cos∠BAC=AB、5 AC 13' 2.(2026山东德州中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,则cosB的值为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C A.5 B.5 n 3. (2026陕西中考真题)如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE=2BC, 则tan∠AFC的值为() G E 5 25 A.2 B.2 C.5 D.5 4.(2026福建中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，AC交⊙0于点D.若 AD=CD,则tanA的值是() D C 2 A. B.1 C.2 D.2 5.(2026江苏连云港中考真题)如图，菱形ABCD中，∠BCD=60°，CD=6,点P在边CD上，且 PC=2,Q为边BC上的动点，点C关于P2的对称点为C.若△CHD、aCBD PO 的面积分别记为 △CAD Sac,则 ACAD-SACBD 的最大值为一 3/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026广东·中考真题)在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现 个明壳时斑，如图12若即0D3 4,OB=8,则BC=— 墙 光斑 平面镜 桌子 7.(2026上海中考真题)在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则tanB的值为 考点02特殊角的三角函数 √2sin30°-cos45° 1.(2026天津中考真题) 的值等于() A.1-√2 B.0 c人② 2 D.√2 2.(2026四川自贡·中考真题)如图，在ABCD中，AB=8,AD=6,∠D=60°，∠DAB与∠ABC的角 平分线分别交CD于点E,F,AE与BF相交于点P,连接CP,则sin∠PCF的值为() E § 5 A.2-V5 1 B.3 C.2 D.2 3.(2026四川乐山中考真题)sin30°= 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026四川广元中考真题)计算： V9-2cos30°+1-V5 5.(2026北京中考真题)计算：V-v1⑧+（π-V5八+6sin45°. 6.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)计算、分解因式： 0，15-2*m6心( +(π-3.14)° xy-xy (2)分解因式： 7,(2026四川自贡中考真愿)计算：卜+(m60--4 8(2026广东中考真题)计算：（1°+3-V5-sin30°+ 9.(2026四川巴中中考真题)计算： a)2026-'-i2+6sin60°-h-V5, 4x-5<3(x-1) (2)求不等式组 3+1≥4x-」 2 3 的解集： x-1 2x子4+4：然后从、之3这三个数中选出合适的数代入求值：、 3)先化简x-2 10,(2026四川流中考真题)计算，（旷+1-2n45-(5+小+（」 11.(2026四川甘孜中考真题)计算及解不等式组 1)计算：V2+(2026-x°-2cos45 2x-1≥x+1① 3x-3 (2)解不等式组： 2 <x② 12.(2026四川宜宾中考真题)计算： 5/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )4-W2+0+am45° e+) 13.(2026四川内江·中考真题)按要求解答下列各题： )计算：卜2-(5+°+(-2-an45: b a (②)化简：a-bb-a 2sin30°+-3+22 14.(2026湖南中考真题)计算： 15.(2026江苏扬州中考真题)计算： 4)i8-(a-3)°-4sin450 2)a(9a+b)-(3a)} 16.(2026云南中考真题)计舞：同-2sm45°+9)+0--（万） 17.(2026四川泸州中考真题)计算： 46n30e+3+(+2- 18.(2026四川成都中考真题)计算、解不等式组： a52cm 3(x+2)≥2x+5① (2) x-1<X② 2<3 19,（2026四川遂宁中考真题)计算：8-（红-+sn30 20.(2026四川广安·中考真题)完成下列小题； )计算：1-v2-2sin45°+(-2y+(5-元 @先化简，再求值：（品+，其中x-5 .x2+3x 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21. (2026:四川达州中考真题)计算2sin30°-(2026-x9+4+十1 考点03解直角三角形的相关计算 1.(2026山东德州中考真题)如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的 距离记为(，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h,下列关于（和h的大小关 系正确的是() B A.d<h B.d=h C.d>h D.无法确定 2.(2026云南中考真题)在R△ABC中，∠C=90°.若BC=V2, tan B=/6 2,则AB=() √3 A.3 B.7 C.5 D.5 3.(2026四川广元中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，点E为△ABC的内心，CE的延 长线交⊙0于点F,连接AF,若AC=5,AF=3V见 2,则CE的长为() C B 32 A. B.22 C.5-V2 D.1+V2 7/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. (2026湖北武汉中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AB=11,BC=5, sinB=4 ,则⊙0的直径是 A A55 B.3V14 C.&2 D.2V33 5.(2026陕西中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分线交BC 于点D,交AC于点E,则DE的长为() D C.25 D.4V5 6.(2026江苏扬州中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°.将线段AB绕点A按逆时 针方向旋转至AM(∠BAM是旋转角，且O°<∠BAM<120°)，连接BM,CM,作AN⊥CM,垂足 为N.用等式表示线段BM,CM,AN之间的数量关系为 7.(2026江苏苏州中考真题)如图，在等边△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AB=2,将 △ADE沿DE翻折得到△A'DE,若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为 D 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026河北中考真题)某楼梯装有护栏，其侧面如图所示.其中AB‖CD,BD1DE于点D, AC⊥DE于点E,若LBAC=60°，AB=4m,则CE= m. 4 E 9.(2026四川甘孜中考真题)如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形 AEFG,EF交CD于点H,则四边形ADHE的面积为 G A H ⊙ 10.(2026四川广元中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点D,E,F分 别在AB,AC,BC边上，连接DE,DF,EF,若∠EDF=9O°，AD=AE,则EF的最小值为 A B 11.(2026广西中考真题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE,BE.若AB=4, an∠DAE=4,则E 9/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 12.(2026四川达州中考真题)如图，己知正六边形 ABCDEF 的中心为O、边心距OM=V3 分别以F、 C为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB,DE所围成的阴影部分面积是 13.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC为⊙O的直径，点E在AC 的延长线上，且∠CDE+∠ABD=90° D E (I)求证：DE是⊙O的切线； ②)若CE=8,DE=12 sin∠BAC= 2,求阴影部分的面积. 14.(2026广西中考真题)如图1，⊙0是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC=45°，BC=2, BD⊥AC于点D 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O。D 图1 图2 (I)求证：OD平分∠ADB: (②)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E,求AC的长及∠CBD的度数. 15.(2026新疆中考真题)如图，△ABC内接于O0,AD平分∠BAC交⊙0于点D,连接BD,CD,经 过点D的直线与AB的延长线相交于点Z,且∠BDE=∠B4C. B D )求证：DE是⊙O的切线： ②)如果点I是AHBC的内心，tan∠BAC= 5,BC=24,求DI的值. 考点04方向角问题 1.(2026新疆中考真题)如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送 货物.己知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏东53°的方向上， AB=100N10 海里，AC=500 海里，甲船航行速度为10海里时，乙船的航行速度大约是多少海里时，甲、 乙两船可以同时到达港口C(结果保留根号)，（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33 sin18.4°≈V0 tanl8.4p≈} 10. cos18.4°≈3f0 10, 3) 11/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 西 →东 南 539 18.4 B 2.(2026安徽中考真题)湖中有两个小岛，分别用点A,B表示，B在A的北偏东37°方向上.为了测 量A,B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一 观测点D,测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示.已知C,D间的 距离为660m,求A,B间的距离（精确到0.1m).参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56， sin53°≈0.80.cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80 东 B 37,9 539 1 D 56 3.(2026四川泸州中考真题)如图，某海岸线上有一观测点A,在点A的正东方向上有两个观测点C, D,且A,C相距20 nmile.某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相 距20mmil,并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C, E相距60 nmile,此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍. (1)求该轮船的航行速度： (2)求点D,E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05坡度坡比问题 1.(2026贵州中考真题)项目课题：设计无障碍坡道 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20，如图①是小红 坡度= 坡面的铅直高度 所在学校的无障碍坡道. 坡面的水平宽度 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC=4.8米，坡角∠BAC=14°.为检测该坡道是否符合国家标准， 小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计. B 图① 图② 图③ 任务： (I)如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米.小红设计了一个“回转坡道”的 方案示意图：在F处安装支柱DF=O.8米，在E处留EC=2米的通道，入口为点E,经过两个坡道ED与 DB再到达点B,且EF=16米.在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请 说明理由：如果不符合，请提出修改建议.（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97） 2.(2026四川巴中·中考真题)“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉 松世界杯于5月23日在巴河之畔举行.一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空 中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一 1:v3 条直线上).已知河堤斜坡NC的长为2m,坡比为 (计算结果保留整数)·（参考数据： sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61，tan52.4°≈1.30) 河堤 一河面 M CB A 13132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求无人机距河面的高度PM; (2)求两艘皮划艇之间的距离AB 3.(2026四川凉山中考真题)如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米 的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AW的坡度i=1:5,点A,B,C,M,N在同一平面内，AB是桥面， CN ABIICN AB⊥MN 是水平线， (计算结果均保留根号) M A30 C.- :5 B N 水平线 (I)求索塔桥面以上部分MB的高度： (2)求索塔MN的高度. 4.(2026四川达州中考真题)在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九(6)班同学需要翻越 一座小山.他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30°的山坡行走 200m到达山顶C处.估计这座小山的高度.（参考数据：sin42°≈0.67、cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， 结果保留整数) B E 5.(2026湖北中考真题)近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广 泛.某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡.如图，坡角为∠A的斜坡AB长I0m,铅直高度BC长 4.7m,∠C=90°.该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由. (参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57) B 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点06仰角俯角问题 1.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B,此时从探 测器上看日标8的俯角4=30°，探测器飞行的高度 AC=60v3 m ，则探测器到目标B的距离AB约为 （)(其中V5≈1.732 计算结果精确到.1) ◇ B A.207.8m B.207.9m c.208.8m D.208.9m 2.(2026湖北武汉·中考真题)如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一 次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度.具体过程如下：如图2，将无人机上 升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°，底端B的俯角为45°，则龟山电视 塔的高度约是 m(结果取整数，参考数据：sin50.5°≈0.772，cos50.5°≈0.636，tan50.5°≈1.213 4589 50.5o 100m B 地面 图1 图2 3.(2026山西中考真题)项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件，下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井.某校学生到 此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告 15132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 家卖袋资餐袋餐袋 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑 工艺 等工艺形成逐层向上收缩的三层结构. 调查 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱 造型 形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱 形井. 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图1为藻井仰视平面图，其中线段AB为中 间层菱形井较长的对角线（点A,B在同一 水平直线上)；图2为测量方案示意图，其 中测量点C,D在同一水平直线上，且点A 活动过程 ,B,C,D在同一竖直平面内 LLL1L1无1地 ●●◆●●0 测算 图示 图1 4户 D 图2 数据 在点D处测得点A的仰角为60°，AD=6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 米；在点C处测得点B的仰角为45°， CD=11米. 结果 … 活动反思 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线4B的长（结果精确到0.1米，参考数据： 3≈1.73 4.(2026四川眉山中考真题)人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷.如图，在公园 内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB·为确定跨湖 桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为 60°；从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB的长度 (结果精确到1米).（参考数据： sin42°≈0.67cos42°≈0.74tan42°≈0.90V5≈1.73、 】 60o 42D 阅览室A B 篮球场 5.(2026山东烟台中考真题)【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 如图，矩形广告牌ABCD的边CD为I1 米，BC与水平地面垂直，支柱EF长 6.4米，且垂直于地面.无人机从N点 活动过程 测量过程 起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行 8秒到达M点，此时测得C点的俯角 为67.4°.D点的俯角为36.9°（图中各 点均在同一平面内)· 17132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 水平线G-- 模型建构 sin67.4°≈0.92，c0s67.4°≈0.38， tan67.4°≈2.40 参考数据 sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80 tan36.9°≈0.75 求矩形广告牌ABCD的面积（结果精 问题解决 确到1平方米). 6.(2026四川广安·中考真题)某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 D 实物图和测量示意图 C G (1)测角仪在G处测得建筑物顶D的仰角为α： (2)测角仪在F处测得建筑物顶D的仰角为B； 测量说明 (3)点G,F，,E位于同一水平线上，测出AB的长，测角 仪的高AG,BF. 测量数据 AG=BF=CE=1.6m,a=35°，B=50°，AB=9.8m sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 参考数据 sin50°≈0.77.cos50°≈0.64，tan50°≈1.19 请根据以上数据求此建筑物高DE的长.（结果保留整数） 7.(2026四川甘孜中考真题)“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度，某数学兴趣小组测量一座山的 高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A,B间的距离为400米，在山腰B处测得山顶C处的仰角 3 为45，B:C间伯E高为0米求山有CD:(香考数：m8~,w53万144：计 算结果取整数.) B B45 653 A D 8.(2026四川宜宾·中考真题)宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽.某校九年级学习小组带着皮尺和测角 仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25根柱子，每 两根柱子之间的距离为4米（如图2），组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走了20米到 达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）. 0明0受 C B 图1 图2 图3 I)求DE的长： (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径. (结果保留整数.参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin50.3°≈0.77，cos50.3°≈0.64， tan50.3°≈1.20.) 9.(2026四川内江·中考真题)某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲），某数学实践小组开 展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度.如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰 角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°·雕像底端B与 观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC,求孔子雕像的高度AB.(结果保留根号) 19132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60% 459 D 甲 乙 10.(2026·天津中考真题)综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图 ①) 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,B,C,D,E在同一平面内，AB⊥BC, BC∥DE,AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平台 DE,CD=2m,在平台D处剥得纪念障顶部4的角2OD1)为42，斜坡CD的颜斜角（∠0DC)为 12°：在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角 ∠0E4)为35°，DE=9m.根据该学习小组测得的数据，求 引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数）.参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sinl2°≈0.2. Bh D E 图① 图② 11.(2026:上海·中考真题)如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆AB与建筑物的底端处 h 1 在同一水平面上，规定建筑物高度h与栏杆到建筑物的距离d满足d<8即为安全. 建 b 物 d 观测场 (1)当d=100米时，h至少需要小于多少米？ h ②)若在观测场测得4B的长是a'BC的长为b,在B处观测c的仰角为0，求d·(用含a、b、g的代 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数式表示) 12.(2026甘肃天水·中考真题)如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古 法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测 远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算.某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河 北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工 具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD 的水平距离为AB(点B，,C,D在同一条直线上)，CD⊥AB,在点A分别测得塔顶C的仰角 ∠CAB=16.73°、塔底D的仰角∠DAB=14.01°，查阅资料可知塔的高度CD=17米.根据以上信息，请你 求出观测点A到塔CD的水平距离AB.(结果精确到1米) 参考数据：sinl4.01°≈0.24，cosl4.01°≈0.97，tanl4.01°≈0.25，sinl6.73°≈0.29，col6.73°≈0.96， tanl6.73°≈0.30 泾闻十二丙 原乙之巧功所代 D 桥其 B 图1 图2 13.(2026四川遂宁·中考真题)遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥.某数 学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 在桥面A点用无人机测得主桥塔顶C点的仰角为37°，将无人机垂 测量方法及数据 直上升40米至B处，测得主桥塔顶C点的仰角为22° 21132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 测量示意图 B222 37° A D sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin37°≈0.60 参考数据 cos37°≈0.80.tan37°≈0.75 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长.（精确到1米） 14.(2026四川成都中考真题)尊老敬老是中华民族的传统美德.某社区开展了“智慧助老”行动，为 高龄老年人家庭免费安装智能门锁。如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为30°， 最大俯角为52.43°，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头 AB⊥BN,MN⊥BN 顶M.已知 ,求此人的头项M到站立点N的距离.（结果精确到0.01米：参考数据： √3≈1.732，sin52.43°≈0.793，cos52.43°≈0.610，tan52.43°≈1.300 M 门 线 30t 30A 52.43y 52.43 B 15,(2026四川自贡·中考真题)在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高 度.要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m)和笔直的竹竿（长度2m)进行测量. D G FD 围墙 F E 围墙 图1 图2 (I)小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿 DE(长度2m)顶部E恰好看到树顶端A,此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF=2m.小刚将观 测点F后移13m到F'处，采用同样方法，测得D'F'=3m.小刚眼晴距离地面的高度FG=FG=0.8m,点 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D'F D E BG EH 与树的底部在同一水平线上.据此可知点到的距离为 m ,图中两组相 似三角形是一，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m)· (2)小明提出可以这样改进：如图2，在点F处安置测角仪（高度1.5m)测得树顶端A的仰角∠AGB=26.7°， 前行到点E处测得树顶端A的仰角∠ADB=45°，点E,F与树的底部C在同一水平线上，量得EF=16m. 请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m)·(参考数据sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89， tan26.7°≈0.50) (3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）· 品 考点07其他问题 1. (2026福建·中考真题)古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶.如图是古算诗词题“争荡 秋千”所描绘的示意图.已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置 在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB=1尺.当踏板从A处绕点O运动到C处时，踏板离 地面的高度CD=4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为() A.30° B.45 C.60° D.75 2.(2026湖南中考真题)门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转， F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E.已知AC=a, EF=b,∠ACF=a,且a>b,则门吸EF离墙AC的距离AE为() Pa 门 D Eumag b 墙 A.a.tana (a-b)sina B C.(a-b)cosa D.(a-b)tana 3.(2026广东深圳中考真题)一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°.身高为1.6m的小明站在水平 23132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 地面上，此时他的影长为 （参考数据：tan53°≈ 3,c0s53°≈3 sin53°≈4 ) 4.(2026吉林中考真题)如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m,刚 好正对河对岸的一棵大树P，此时点A,B,P在一条直线上.小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m 到达C点，此时测得∠ACP=35°.求这条河的宽度PB(结果保留整数).（参考数据：sin35°=0.57， cos35°=0.82tan35°=0.70 河岸 B 10m 河岸 357、 93m C 5.(2026内蒙古中考真题)综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务. 项目 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 名称 如图是某学校操场上坐南朝北的主 席台，由地台（长方体）、四根立 柱、遮阳棚组成.从侧面看，遮阳 棚由两条抛物线形线条组成，从正 问题 面看，上方有一矩形，其一边与地 情境 台的长度相同.项目式学习小组想 为该矩形四周设置灯带，测量了地 台的长度，在测量矩形另一边的长 度时遇到了困难，需要解决. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 查找图纸：立柱ED=5m,FG=7m, 两根立柱ED与FG之间的距离 DG=8m.点F是过点E,N的抛物线 的最高点，地台高AB=lm,立柱FG 太阳光线，N 到地台前边缘的距离AG=2m 收集 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地 信息 4 HimmmgmmmmmC 春分日正午太阳光线与地面夹角的度数 为49° 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的 影子落在操场上的H点处，测得影长 HB=7.5 m 说明：①测量时间为春分日正午； ②点A,B,C,D,E,F,G,H ,M,N在同一竖直平面内；点M, M N,A,B在同一竖直方向上，点H, 太阳光线 抽象 N B,C在同一水平线上： 模型 ③各组选取不同的点作为坐标原点建立 B 平面直角坐标系解决问题.如图为“智 慧”小组以点D为原点，AD所在直线 为x轴，DE所在直线为'轴建立的平 面直角坐标系。 (I)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E,F,N的抛物线的函数表达式： (2)任务二：请你求出矩形另一边MN的长度. (参考数据：sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15) 6.(2026陕西中考真题)渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km,某数学兴趣小组开展测 量渭河河道宽度的实践活动.他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 25132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 D 1.在河道一侧的岸边选取两个观 测点B,C,分别在AB,AC的 1.在河道一侧的岸边选取两个 延长线上选取点D,E,使得 观测点B,C; 测量过程 DE∥BC: 2.测量∠ABC,∠ACB的度数： 2.测量B,C两点之间的距离， 3.测量B,C两点之间的距离. D,E两点之间的距离，BC与 DE之间的距离h BC=120m DE =150m ∠ABC=45°，∠ACB=63.4°， 测量数据 BC=120m h=20m 1.点A是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照 点： 备注 2.图中所有点均在同一平面内： 3. 参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A到BC的距离）， 7.(2026江苏苏州中考真题)如图①，点0位于竖直墙面上，平面镜AB与墙面1平行，从点O射出一 束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面I上形成一个光点C,OC所在直线垂直于水平面，入射光线OP 与平面镜AB的夹角∠OPA=60°.（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面 的夹角) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图① 图② (I)求证：△OPC是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B位置，入射光线OP经过平面镜的反射后， 在墙面I上形成光点E,点E在直线OC上. ①∠OPE= ②若OC=60厘米，求光点向下移动的距离CE的长.（结果保留根号） 8.(2026四川广元中考真题)凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目 为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测 量 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 任 务 A B A B D 示 意 图 65N 个299 人40° 人63° M N M G H W 己 知 凤舟AB长度约为14米，训练过程中凤舟AB始终与河岸MN平行. 条 件 实 当舟头B行进到与观测点G的连线BG⊥MW 凤舟出发前，河岸观测点P与舟头B的连线 施 时开始计时，舟头B到达终点D时，用时10 PB⊥MN,同时测得P与舟尾A的连线PA与河岸 过 秒，同时测得GD与MN夹角∠DGN=40°， 27132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN ∠APM=65° 的夹角 当凤舟出发20秒时，舟 在距离G点20米的H点处测得DH与MN的 程 头到达点C并测得PC与河岸MN的夹角 夹角∠DHN=63°. ∠CPN=29° 解决对应的问题， 任务一：（参考数据：tan29°≈0.55，tan65°≈2.14） (I)求凤舟与河岸的距离BP:(结果保留整数) (2)求凤舟前20秒的平均速度.（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：tan40°≈0.84，tan63°≈1.96） (3)求凤舟最后10秒的平均速度. 9.(2026河南中考真题)某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造.为此，某数学 兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下. 活 动 地下车库入口改造 主 题 图1是地下车库入口示意图. ①点C,B,D在同一水平线 采 口00 上，点E,A,F在同一水平 B D 集 线上，CDIIEF C 车库入口地面 信 ②斜坡AB的长为10m, 车库地面 息 图1 ∠BAF=26.4° ③车库限高2.7m 设 00 如图2，保持点A不动，将点B B B' D 计 车库入口地面 沿射线BD平移到点B',使 方 EA ∠BAF=18.4°. F 车库地面 案 图2 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 任务一：求BB的长. 任务二：调整限高.经计算， 完 点C到斜坡AB'的距离约为 成 2.7m ?m 3.47m 在保障行车安全的前 任 图3 务 提下，车库限高标志上的数值 最大可为 （结果均 保留一位小数) 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4°≈0.44，cos26.4°≈0.90，tan26.4°≈0.50， sinl8.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95.tanl8.4°≈0.33) 10.(2026江西·中考真题)为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射 法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 题 主要工 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 具 水平线 反射镜 截面示 意图 D E qg 1.在水平地面上选定一个激光发射点A,使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上； 2. 操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 操作步 3.调整反射镜与水平线的夹角日，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底 骤 最右端F处； 4.在线段AD上确定一点B,使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端 G处. 29132 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内) 测量数 AB=18mDE=12m∠CAB=30°∠CBD=60°0=22.5° 据 参考数 sin75°≈0.966cos75≈0.259tan75°≈3.732√3≈1.732 据 根据以上信息，完成下列任务.（结果精确到0.01m) (I)任务一：计算点C离水平地面的高度： (②)任务二：计算∠GCF=」 °，∠BCG= (3)任务三：计算土坑的深度. 11.(2026江苏连云港中考真题)【生活观察】 HG FE D B 图1 图2 图3 5m Q D 7777777777777☑ 3m 4 B 2m 图4 图5 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆， 车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心 的距离)AB=1.5m,前轮转向角0即∠CBD=30°，则旋转半径OB=一m, 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶. 与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方 向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m,轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角8即 ∠ECF=20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数. （参考数据：tan20.6°≈3 tan26.6°≈ ’ sin20.6°≈ 2 25,tan33.6°≈2 tanl8.5°≈ 3) 【综合实践】 3)如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C,D与直角拐点 5m PO 共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为.现右前轮欲以 固定转向角日转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出s8的范围. 12.(2026山东·中考真题)我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其 正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为 左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的 弧组成角度盘. 左矩】 右矩 角度盘 709 60 矩尺盘 铅垂线 重物●G 图1 图2 图3 图4 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、 矩尺盘的交点的刻度为读数： 1)如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE=31°），矩尺盘读数为6(DE=6),可 知仰角∠P=∠DAB=31,tan∠P=am∠DAB=DE=6 00=06.如图3，有矩AD与视线PF重合，角度盘读数 为29°（∠DAE=29°），矩尺盘读数为5.5(DE=5.5),则仰角∠P= tan∠P≈ (结果 精确到0.1). 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4)的顶端E到地面的距离(EB的长度)，如图5，某同学站在 31132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到 达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°.已知AC=20m,该同学眼 睛到地面的高度是1.6m,求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.lm).函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题31锐角三角函数 答案版 考点01正弦、余弦和正切 1.B 2.B 3.B 4.B 5.6 6.6 考点02特殊角的三角函数 1.B 2.D 1 3.2 4.2 5.3+1 6.(1) 6 2) xy(x-1)(x+1) 7.0 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.2 9.(1)2 (2)-5≤x<2 3)x-2,当x=3时，值为1 10.3 11.(1)1 (2)2≤x<3 12.(1)2 2 ②)x+1 13.(1)4 (2)-1 14.8 15.a2-1 (2)ab 16.1 17. 3 18.1)3 2)-1≤x<3 20.(1)4 x+1 6 ②)化简为r;值为5： 21.3 考点03解直角三角形的相关计算 1.A 2.C 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.B 4.A 5.c 6 CM+2BM =23AN 7.4W5-6,-6+45 8.2 935 65 10.5 11.5 12.6W3-8 3 13.(1)证明：连接OD D .OC=OD ∴.∠ODC=∠OCD :∠ABD=∠OCD」 .∠ODC=∠ABD .∠CDE+∠ABD=90° ∴.∠CDE+∠ODC=90°，即∠ODE=90°. .OD⊥DE .OD为⊙0的半径， .DE是OO的切线： 319 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36 4 14.(1)证明：连接OA,OB, C.BD⊥AC∠BAC=45° .∠ABD=90°-∠BAC=45°=∠BAC, .DA=DB, .OA=OB,DO=DO,DA=DB. ∴△DOA≌△DOB(SSS) ∠ADO=∠BDO, OD平分∠ADB: ②4C=V6,∠CBD=15 15.(1)证明：连接D0并延长交⊙0于点F,连接BF, B E D .BD=BD .∠1=∠3 .DF是直径， ·.∠FBD=90° .∠1+∠2=90° :AD平分∠BAC 23-1ZBAC 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BDE=)∠BAC ∴.∠3=∠BDE ∴.∠I=∠BDE ∴.∠BDE+∠2=∠EDF=90° OD是半径， .DE是⊙O的切线； @4i3 考点04方向角问题 1 6v5 海里时 2.A,B间的距离约为328.7m 0v3nmile/h 3.(1)该轮船的航行速度为 (20√13-20 nmile (2)点D,E间的距离为 考点05坡度坡比问题 1.(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC AC tanl4e=BC ≈0.25 4.8 BC≈1.2(m) 解得 1.215、1 而4.842020， .该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求： (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点D作DG⊥BC于点G, B D A E 图③ 由题意得，在RtAEDF中，DF=0.8m,EF=l6m, ∴.tan∠DEF= DF0.81 EF1620, ∴坡道ED符合标准： :∠F=∠C=∠DGC=90°， .四边形DFCG是矩形， .CG-DF-0.8m,DG-CF-EF+CE=16+2-18(m) BG=BC-CG=1.2-0.8=0.4(m) 在RIABDG中，tan∠BDG=BC-04-11 DG184520' ∴坡道DB符合标准， 又，CF=18<20,满足地面要求， 小红设计的方案图符合标准. 2.(1)21m (2)7m 3.①100 米 2105+60）米 4.301米 5.一定能，理由如下： 在R△BC中，∠C=0r,sm乙A=C-47=04. AB 10 sin28°≈0.47， ∠A≈28°， 28<35°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·该机器人一定能爬上斜坡AB, 考点06仰角俯角问题 1.A 2.221 3.该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为2.8米 4.桥AB的长度约为148米 5.矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米 6.18m 7.744米 8.(1)8米 (2)148米 9.(8+63)m 10.引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 11.(1)h至少需要小于12.5米 h a+bsine (2)d bcos0 12.观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米 13.86m 14.此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米 15.1)1.2m,AGHEAGBA和△GH'E'aG'BA,16.4m (2)17.5m 3)不一致. 原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视 觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致. 考点07其他问题 1.C 719 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.D 3. 1.2m 4.55m 5.(①)y=- c487 (2)0.75m 6.这段河道的宽度为80m 7.(1) 证明：，∠OPA=60°， ∴.根据光的反射定律可知∠BPC=∠OPA=60° .∠OPC=180°-∠OPA-∠BPC=60° ABllI. ∴.∠POC=∠OPA=60° :∴.△OPC是等边三角形： 2)①75 ②CE的长为30,5-30)厘米 8.(1)30米： (2)2.72米/秒： 3)3.5米/秒. 9.任务一：BB'的长约为4.3m.任务二：3.4m. 10.(1)点C离水平地面的高度约为15.59m (2)30.15 (3)土坑的深度约为6.80m 11.(1)3 (②)此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6° <sine<358 3 3)8 58 12.(1)61°：1.8 (2)8.3m 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 919 专题31 锐角三角函数 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01 正弦、余弦和正切 基础核心考点，依托三角形、正方形、菱形、圆等图形命题，考查三角函数定义与边角换算，常结合旋转、对称变换，以选填题为主，侧重定义灵活运用。 融合几何变换创新，结合旋转、折叠求三角函数值；新增镜面反射、光影测量情境题型，弱化单纯公式计算。 考点02 特殊角的三角函数 高频基础考点，常结合实数混合运算、零指数幂、二次根式化简考查，也融入几何角度计算，覆盖计算、化简求值、不等式组综合题型。 跨题型融合创新，联动因式分解、分式化简、不等式求解；多运算混合考查，强化基础运算的综合性与严谨性。 考点03 解直角三角形计算 中档重点考点，结合圆、正多边形、图形旋转折叠命题，考查边长、角度、面积计算，常结合内心、直径、垂直平分线等几何性质综合设问。 几何深度融合，嵌套圆的性质、图形变换；新增最值探究、阴影面积计算题型，侧重辅助线构造与综合推理。 考点04 方向角问题 实际应用高频考点，以航海、航行场景为载体，结合双观测点、多船只航行模型，考查方向角识别与直角三角形建模求解。 情境复杂化，增设双动点、多路段航行场景；结合速度、行程计算设问，强化数学建模与实际问题转化能力。 考点05 坡度坡比问题 应用型必考考点，聚焦坡道、河堤、山路、桥梁等实景，考查坡角、坡比换算与高度、距离计算，贴合生活工程实际场景。 结合无障碍设施、基建工程命题，新增方案设计、合规性判断题型，兼顾计算与实际应用分析。 考点06 仰角俯角问题 解答题核心考点，依托无人机测量、古建筑测算、地标高度测量等场景，考查仰俯角建模、分段测量计算，题型经典且设问灵活。 融入传统文化、科技测量情境，新增分段水准测量、双观测点差值计算，结合项目式学习设问，创新题型呈现形式。 考点07 三角函数综合创新 压轴拓展考点，结合古算诗词、光学反射、汽车转弯、抛物线模型等新颖场景，考查三角函数综合运用与几何动态探究。 跨学科、跨领域创新，融合物理光学、生活实操、古法数学；新增动态最值、范围探究、参数求解等高阶设问。 考点01 正弦、余弦和正切 1．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由题意易得，则有，然后根据旋转的性质可知，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 3．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 4．（2026·福建·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质确定，利用圆周角定理得出，得出，再由正切函数即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ 是 的切线， ∴， ∵， ∴点D为的中点， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，菱形中，，，点P在边上，且，Q为边上的动点，点C关于的对称点为．若、的面积分别记为、，则的最大值为____． 【答案】6 【分析】根据得出当最小时，即最小时，最大，再根据得出，由此即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴当最小时，即最小时，最大， 由对称可知：， ∴在以为圆心为半径的圆弧上运动， ∵， ∴， ∴当在线段上时，取最小值，最小值， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值为． 【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出，将面积差最大问题转化为最小，即最小． 6．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 7．（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 考点02 特殊角的三角函数 1．（2026·天津·中考真题）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 2．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，确定，再结合含直角三角形性质得出，由等边对等角及外角性质求出，最后根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，，，则，， 平分， ， 在中，，则，， 在中，，则是等边三角形， ，则， 平分， ， 在中，，，则， 在中，，，则， ， ，则， 是的一个外角，且， ， ． 3．（2026·四川乐山·中考真题） _________． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知： . 4．（2026·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 5．（2026·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）计算、分解因式： (1)计算：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 7．（2026·四川自贡·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1． 【详解】解： ． 8．（2026·广东·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 9．（2026·四川巴中·中考真题）计算： (1)； (2)求不等式组的解集； (3)先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 【答案】(1) (2) (3)，当时，值为 【分析】（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并同类项得到最终结果． （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． （3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的，将合适的代入得到计算结果． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． （3）解： 根据分式有意义的条件，可得，，即且． ∴代入，原式． 10．（2026·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】原式先分别计算乘方、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再合并同类项得到最终结果． 【详解】解： ． 11．（2026·四川甘孜·中考真题）计算及解不等式组 (1)计算：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 12．（2026·四川宜宾·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2026·四川内江·中考真题）按要求解答下列各题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2026·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 15．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（2026·云南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，再进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17．（2026·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质分别化简每一项，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式②：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式组的解集为． 19．（2026·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 20．（2026·四川广安·中考真题）完成下列小题； (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)4 (2)化简为；值为； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 21．（2026·四川达州·中考真题）计算． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，用到特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、算术平方根、绝对值的相关知识，分别计算各项后再合并即可得到结果． 【详解】解：原式． 考点03 解直角三角形的相关计算 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 2．（2026·云南·中考真题）在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正切定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：中，，，， ， 由勾股定理得， 故选：C． 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，内接于，，，，则的直径是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接，解直角三角形求出和，继而求出，从而用勾股定理求出，再在直角三角形中利用求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：，即的直径是． 5．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中， ，．将线段绕点A按逆时针方向旋转至（是旋转角，且 ），连接， ，作 ，垂足为N．用等式表示线段， ，之间的数量关系为_______． 【答案】 【分析】过点A作于点H，延长交延长线于点E，可推得，则，分别在和中，利用特殊角三角函数关系，找到与关系，与之间的关系，再利用等腰三角形的性质，转化成，，之间的数量关系． 【详解】解：过点A作于点H，延长交延长线于点E， 由题意，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， 同理，在中，， ， ∴， ∴， 整理，得． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在等边中，，分别是，边上的点，．将沿翻折得到，若点恰好落在边上，则线段长度的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】过点D作于点H，则．设，则，，根据列出不等式，求解即可． 【详解】解：过点D作于点H，则． 设，则， 由折叠可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴的最小值为． 8．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，结合已知可判定四边形为平行四边形，从而得出；利用平行线的性质得出，最后在中利用三角函数求解的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ． 9．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，将边长为3的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，交于点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】连接，根据旋转的性质可得，，利用证明，从而得出，结合旋转角求出的度数，在中利用三角函数求出的长，最后根据四边形面积等于两个三角形面积之和求解即可. 【详解】解：连接， 四边形是边长为3的正方形， ，， 由旋转的性质可知：，，， 点在上， ， ，， ，， ； 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， 四边形的面积 . 10．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】勾股定理求得，设，延长至使得，则，进而求得，取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出，可得点在的角平分线上，时，最小，此时最小，进而解求得的最小值，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， 如图，延长至使得，则， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∴， 又∵， ∴垂直平分，是的角平分线， ∴点在的角平分线上，时，最小，此时最小， ∴此时， ∴. 11．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 12．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接 ， ． ， ． ， ，即． 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，结合已知条件得到，即，根据切线的判定可证得结论； （2）连接，设的半径为，则，．在中，利用勾股定理求得，则．利用特殊角的三角函数值求得．根据圆周角定理求得，，则，根据含30度角的直角三角形的性质求得，然后利用扇形面积公式及求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则，． 在中，， ，解得， ． ， ． ． ， 是的直径， ， ． ． ． ， ． ∴． 14．（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】(1)证明：连接，， ，， ， ， ，，， ， ， 平分； (2)， 【分析】（1）连接，，证明即可； （2）连接，，，过点作于点，根据圆周角定理先确定为等腰直角三角形，，然后解求出，再由圆的切线的性质求解，再解求出，解求出，最后根据垂径定理以及角度和差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 以为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ，均为等腰直角三角形， ， ， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 15．（2026·新疆·中考真题）如图，内接于，平分交于点D，连接，，经过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如果点I是的内心，，，求的值． 【答案】(1)证明：连接并延长交于点，连接， ∵ ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，则，由角平分线得到，结合已知条件可得，继而等量代换证明即可； （2）连接，交于点，先由圆周角定理得到证明，根据垂径定理的推论可得，，再证明，解求出，，即可求解，，再由内心的性质导角证明． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点I是的内心， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 考点04 方向角问题 1．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 2．（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】，间的距离约为 【分析】由题意可得，结合三角形的内角和定理可得，解可得的长，解可得的长． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ，间的距离约为． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1)该轮船的航行速度为 (2)点，间的距离为. 【分析】（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （2）作于点，设，则，分别解和，即可. 【详解】（1）解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 作于点， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； （2）解：作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. 考点05 坡度坡比问题 1．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意得，米，，，然后根据求解即可； （2）作于点Q，则四边形是矩形，根据斜面的坡度，求出米即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 4．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【分析】通过构造直角三角形，分别求出、，利用分段垂直高度累加法，由即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于，交于点． 由题意可得：， ∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 5．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 考点06 仰角俯角问题 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 3．（2026·山西·中考真题）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告． 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构． 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井． 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段为中间层菱形井较长的对角线（点，在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点，在同一水平直线上，且点，，，在同一竖直平面内． 数据 在点处测得点的仰角为，米；在点处测得点的仰角为，米． 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线的长（结果精确到0.1米，参考数据：）． 【答案】该藻井中间层菱形井对角线的长约为米 【分析】过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，在中根据正弦、余弦的计算得到， 在中得到，由此即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， （米）． 答：该藻井中间层菱形井对角线的长约为米． 4．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 【答案】桥的长度约为米 【分析】过点作于点M，过点B作于点，则米，，然后分别解，求出，再由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，， 由题意得， 在中，，即 ∴（米）， 在中，，即 ∴（米） ∵米， ∴（米） 答：桥的长度约为米． 5．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 【答案】矩形广告牌的面积约为平方米 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，依题意，，，，，，分别在中求得，根据，建立方程，求得进而求得的长，再求得矩形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 依题意，，，，， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴的面积 答：矩形广告牌的面积约为平方米 6．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出，，进而列方程求解即可． 【详解】解：已知，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 因此，此建筑的高约为． 7．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 9．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 10．（2026·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【答案】引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 11．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1)至少需要小于米 (2) 【分析】（1）将代入中，解得，即可求解； （2）过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，在中，，，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米； （2）解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴． 12．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米） 参考数据：，，，，，． 【答案】观测点到塔的水平距离约是米 【分析】设米，在中，由正切定义得；在中，．根据塔高米列方程，求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：观测点到塔的水平距离约是米． 13．（2026·四川遂宁·中考真题）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为． 测量示意图 参考数据 ，，，，，． 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米） 【答案】 【分析】过点作，构造矩形证，，设塔高为，然后表示出，再根据两个仰角的正切值表示出并列方程，求解得到塔高． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意可知，，，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 解得， 答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为86米． 14．（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为，最大俯角为，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：） 【答案】此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米 【分析】过点A作于点C，根据题意可知：四边形是矩形，米，根据三角函数求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点C， 根据题意可知：四边形是矩形， 米， 在中，， ∴， 在中，， 米， ∴米， 答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米． 15．（2026·四川自贡·中考真题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量． (1)小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）． (2)小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，） (3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）． 【答案】(1)， 和 ， (2) m (3)不一致． 原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致． 【分析】（1）由题意，，和，利用两次相似对应边成比例，列方程，解得，代入求，进而求树高． （2）在中，得等腰直角三角形，故，在中，利用，代入解得，进而求出树高． （3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， 图中两组相似三角形是 和 ， 由题意可得，，，，，则． 第一次测量：， ，即， 第二次测量：， ，即， ，解得， ，解得， 此树的高度为． （2）解：由题意可得，，，，， 在中，， 为等腰直角三角形，, ， 在中，，即， ， ，解得， 此树的高度为． （3）略． 考点07 其他问题 1．（2026·福建·中考真题）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处，与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点运动到处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段的长度，再结合秋千绳索长度得到斜边，最后根据余弦函数值求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，， 四边形是矩形， 尺， 尺， 尺， 尺， 在中： ， ． 2．（2026·湖南·中考真题）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·中考真题）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 4．（2026·吉林·中考真题）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 5．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 6．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1) 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； (2)①75    ②的长为厘米 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 8．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 9．（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 【答案】任务一：的长约为．任务二：． 【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解； 任务二：采用去尾法求近似数即可． 【详解】任务一： 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴在中，， ， ∴在中，， ∴． 任务二： 解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为． 10．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） (1)任务一：计算点离水平地面的高度； (2)任务二：计算_____________，______________； (3)任务三：计算土坑的深度． 【答案】(1)点离水平地面的高度约为 (2)； (3)土坑的深度约为 【分析】（1）连接，过点作交于，交于，则，根据三角形的外角的性质得出，根据等角对等边可得，解，即可求得的长； （2）根据光的反射原理得出，得出，，进而根据，即可求解； （3）证明，得出，解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于，交于，则． ，， ． 在中， 即点离水平地面的高度约为． （2）解：如图， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ． （3）解：由题意得四边形是矩形， 则， 在中，， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 即土坑的深度约为． 11．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【答案】(1)3 (2)此时左前轮的转向角的度数约为 (3) 【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：由题意得，，， ， 在中， 解得： 在中 ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为 （3）解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意，， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴，, 在中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 12．（2026·山东·中考真题）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． (1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可； （2）设，则，则中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，，，，，， ∴， ∴中，， 即， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴中，， 即， 解得：， ∴， 答：城门楼的顶端到地面的距离约为． / 学科网（北京）股份有限公司 $