高中数学单元测试——第四章概率与统计（适中版01）

**基本信息** 高中数学第四章概率与统计单元卷，以盲拧魔方调查、绿化与PM2.5关系等现实情境为载体，覆盖概率、统计核心知识，适配单元复习，提升数据分析与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|两点分布、线性回归、古典概型等|第2题线性回归过定点，夯实基础；第5题正态分布应用，联系生产实际| |多选题|3题18分|随机事件概率、独立性检验|第10题列联表分析，考查逻辑辨析能力| |填空题|3题15分|正态分布、数学期望|第14题取球停止问题，设计创新，培养数学思维| |解答题|5题67分|期望方差、回归分析、独立性检验|第18题绿化与PM2.5关系，综合数据处理与模型构建，契合高考命题趋势，体现数学建模素养|

高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 2．（本题5分）已知变量x与y的5组观测值如下表：且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（   ） x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的数表，求出样本中心点即可. 【详解】由表格知，，， 所以y关于x的回归直线必过的定点. 故选：B 3．（本题5分）学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从8名候选人中选4名同学，共有种选择， 甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的个数有， 所以概率为， 故选：C 4．（本题5分）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 【答案】A 【分析】先求出新增数据后的样本中心点，从而得到修正后的回归直线，得到的估计值为即可求出残差. 【详解】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 5．（本题5分）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C 6．（本题5分）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 7．（本题5分）已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 【答案】D 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案． 【详解】由条件概率知：，因为,，所以，故A不正确； ，，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确； ，，所以，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABD． 10．（本题6分）（多选）对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表： 优秀 不优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（ ）. A．列联表中c的值为的值是35 B．列联表中c的值为的值为50 C．根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系 D．不能根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系 【答案】ABD 【分析】根据成绩优秀概率求出b和c；根据的值判断是否有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系. 【详解】由题意，知成绩优秀的学生人数是，成绩不优秀的学生人数是， 所以，，选项A，B错误； 因为， 所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系，故C正确，D错误. 故选：ABD. 11．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，若，则________. 【答案】9 【分析】根据二项分布求方差，再根据方差的性质求解的值即可. 【详解】由于，所以， 则，解得. 故答案为：. 13．（本题5分）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则___________． 【答案】1 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】连续型随机变量服从正态分布，其正态曲线关于直线对称， 则有， 所以. 故答案为：1 14．（本题5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 【答案】// 【分析】先根据题意确定停止取球的条件，再确定的取值，求出其分布列，根据期望的计算公式计算. 【详解】当，；当时，；当时，； 由题，则当标有数字或者或者的球均已被取出，则停止取球， 所以的可能取值是， ；；； 所以的分布列为 . 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的期望与方差公式计算可得； （2）根据、求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意， 所以，. （2）因为， 所以，， ，， 又， 所以，，. 所以甲获胜有以下情况：，；，；，. 所以甲获胜的概率. 16．（本题15分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2) X 0 1 2 3 4 5 P ， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中可能情况有6种， 故． 其中可能情况有10种，， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 17．（本题15分）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. （2）由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 18．（本题17分）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据公式求出可得答案； （2）根据已知求出线性回归方程，由解不等式可得答案 【详解】（1）因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； （2）因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2) 0 1 2 3 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $