高中数学单元测试——第四章概率与统计（较难版01）

**基本信息** 高中数学概率与统计单元复习较难卷，覆盖两点分布、线性回归、正态分布等核心知识点，通过现实情境与分层设计提升数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、线性回归方程|基础概念辨析，如第1题两点分布期望计算| |多选题|3/18|独立性检验、随机变量分布列|选项分层，如第10题结合列联表考查检验| |填空题|3/15|正态分布、条件概率|情境化设计，如第14题投篮得分期望| |解答题|5/77|分布列与期望、回归方程、独立性检验|现实应用，如第18题机械设备失效费回归分析，第19题满意度调查检验，培养数学建模与数据分析能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 2．（本题5分）已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据回归直线过样本点的中心求解即可. 【详解】, 所以. 故选：. 3．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，. 故选：B 4．（本题5分）已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（   ） 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据样本中心在回归直线上可求的值，从而可求残差. 【详解】由题设可得，故， 故即，故残差为， 故选：A. 5．（本题5分）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C 6．（本题5分）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 7．（本题5分）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 【答案】A 【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 10．（本题6分）（多选）对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表： 优秀 不优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（ ）. A．列联表中c的值为的值是35 B．列联表中c的值为的值为50 C．根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系 D．不能根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系 【答案】ABD 【分析】根据成绩优秀概率求出b和c；根据的值判断是否有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系. 【详解】由题意，知成绩优秀的学生人数是，成绩不优秀的学生人数是， 所以，，选项A，B错误； 因为， 所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系，故C正确，D错误. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质、数学期望公式、方差公式计算可得答案. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故B错误，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，随机变量，则________. 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 【答案】3 【分析】根据态分布的性质分析求解. 【详解】因为，所以． 又因为，则，所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 【答案】 【分析】直接根据条件概率来计算事件的概率及数学期望. 【详解】由题意可知的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第次投篮得1分”的事件， 表示“第次投篮得2分”的事件. ， ， ， 所以分布列为 X 3 4 5 6 P 0.18 0.32 0.32 0.18 故. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的期望与方差公式计算可得； （2）根据、求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意， 所以，. （2）因为， 所以，， ，， 又， 所以，，. 所以甲获胜有以下情况：，；，；，. 所以甲获胜的概率. 16．（本题15分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面向上的次数为． (1)写出该试验的样本空间，并求已知至少有一次正面向上的条件下，至少有一次反面向上的概率； (2)求的分布列与数学期望． 【答案】(1) 样本空间为正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反 概率为 (2) 0 1 2 3 期望为 【分析】（1）列出试验的样本空间，根据样本空间及条件概率的性质求解即可； （2）先求出X所有可能值的概率，再据此列出分布列即可，最后再根据此求出对应数学期望． 【详解】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币3次， 试验的样本空间为正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反， 共有8种不同的情况，至少有一次正面向上的次数为7， 至少有一次正面向上且至少有一次反面向上的次数为6， 故所求概率为． （2）由题意可知，的取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． 17．（本题15分）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. （2）由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 18．（本题17分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)，线性相关性很强 (2)，8.5万元 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【详解】（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2) 0 1 2 3 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 3．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（   ） 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题5分）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 6．（本题5分）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、多选题 9．（本题6分）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表： 优秀 不优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（ ）. A．列联表中c的值为的值是35 B．列联表中c的值为的值为50 C．根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系 D．不能根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系 11．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，随机变量，则________. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 14．（本题5分）小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 四、解答题 15．（本题13分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 16．（本题15分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面向上的次数为． (1)写出该试验的样本空间，并求已知至少有一次正面向上的条件下，至少有一次反面向上的概率； (2)求的分布列与数学期望． 17．（本题15分）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 18．（本题17分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $