高中数学单元测试——第二章平面解析几何（较易版01）

**基本信息** 高中数学平面解析几何单元复习卷，覆盖直线、圆、圆锥曲线等核心知识，以基础巩固为主，融入卫星天线抛物线应用、双纽线等创新情境，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、双曲线渐近线、圆的方程|卫星天线抛物线应用，体现数学眼光观察科技情境| |多选题|3/18|椭圆性质、直线与圆位置关系|双纽线创新情境，考查逻辑推理与几何直观| |填空题|3/15|直线距离、抛物线最值|对称点求最值，强化运算能力与转化思想| |解答题|5/77|直线方程、圆与圆位置关系、椭圆证明|椭圆斜率证明综合题，培养数学思维与表达能力|

高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大，然后利用斜率与倾斜角的关系可得答案 【详解】解： 由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大， 因为，， 所以， 所以， 因为，所以或， 故选：D 2．（本题5分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可. 【详解】由得，所以，所以； 所以该双曲线的渐近线方程为； 故选：A 3．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 5．（本题5分）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 7．（本题5分）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（本题5分）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义将转化为，进而转化为到直线的距离减去6，再用点到直线的距离公式解得. 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（   ） A．的离心率为 B．的周长为5 C．的最大值为3 D．的最小值为8 【答案】ACD 【分析】根据的关系可得选项A正确；利用椭圆的定义可得选项B错误；当点在椭圆的右顶点处时可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D正确. 【详解】 A.由题意得，，故离心率为，A正确. B.由椭圆的定义得，， ∴的周长为，B错误. C.当点在椭圆的右顶点处时，的最大值为，C正确. D.因，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为8，D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 【答案】或 【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 解得或， 故答案为：或. 13．（本题5分）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用两点式可得答案； （2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案． 【详解】（1）由两点式可得：， 化简得AC边所在直线的一般方程为； （2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率． ∴BC边上的高所在直线方程为：， 化简得BC边上的高所在直线方程为． 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）略 （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 【答案】(1) (2) 法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得， ，，， 而，则 ， 所以. 法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得，， ，，， 而，则， ，所以 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，法一：借助作差法推理得证；法二：借助作商法计算推理得证. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）略 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)解法一：设， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为， 分别联立，有，可得或（点横坐标，舍），则， 此时直线MN的方程为，过点； 当直线MN斜率存在时，设其方程为， 由，消去y得， 所以， 由根与系数的关系得， 因为，所以，即， 即， 即， 将，代入化简得， 所以或， 当时，直线MN方程为（不合题意，舍）， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点， 综上所述，直线MN过定点．    解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为， 将双曲线E的方程变形为：，即， 将直线MN的方程代入得，， 整理得，， 变形得． 由题意，直线AM、AN的斜率存在，且， 设， 则是方程的两个根， 所以，解得， 则直线MN的方程为，整理得， 令，得，所以直线MN恒过定点． 【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线E的方程； （2）法一：讨论直线MN斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将视作对称中心，齐次化处理相关方程、设直线方程，联立方程并结合求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点； 【详解】（1）设，因为P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以，化简得，曲线E的方程为． （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立双曲线方程并应用韦达定理及求出直线方程中的相关参数为关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（本题5分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（本题5分）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（本题6分）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（   ） A．的离心率为 B．的周长为5 C．的最大值为3 D．的最小值为8 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 13．（本题5分）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $