高中数学单元测试——第一章空间向量与立体几何（适中版02）

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元复习卷，覆盖空间向量运算、立体几何位置关系及度量问题，梯度设计合理，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称点、基底判断、方向向量应用|基础概念与运算结合，如第4题通过方向向量求参数| |多选题|3/18|空间向量基本性质、法向量与位置关系|辨析性强，如第9题考查相反向量、单位向量概念| |填空题|3/15|向量数量积、夹角计算、二面角相关|注重运算准确性，如第14题结合四棱锥求参数| |解答题|5/77|向量表示、垂直证明、线面角、面面角、存在性问题|综合应用突出，如第19题融合面面垂直、点面距离及探究性问题，体现空间观念与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（本题6分），分别为空间内不重合的两平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与共线 D．当时，与相交 11．（本题6分）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．长为 D．异面直线AC与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，则_____. 13．（本题5分）已知点，，，则向量与的夹角为_____． 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系的性质，直接判断结果即可. 【详解】点关于轴的对称点为． 故选：C． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 8．（本题5分）中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系，得到点坐和空间向量坐标，由空间向量的数量积求得平面的一个法向量，由空间向量的投影求得点到平面的距离. 【详解】∵平面，且平面，平面， ∴，， 在矩形中，， ∴如图建立空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 则点到平面的距离. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．（本题6分），分别为空间内不重合的两平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与共线 D．当时，与相交 【答案】ACD 【分析】根据空间中线面的位置关系，结合向量运算关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，故与共线， 由，知与共线，故B错误； 对于C，因为，所以，故可设， 故，可知与共线，故C正确； 对于D，因为，所以，显然与不共线， 于是与不共线，故显然两平面不平行， 故二者只能相交，故D正确． 故选：ACD． 11．（本题6分）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．长为 D．异面直线AC与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】利用空间基底法，来进行空间向量的线性运算和数量积运算，即可判断各选项. 【详解】因为，根据过一点只有一条直线与平行，而与显然不共线，所以是不成立的，故A错误； 设，因为， 且， 则， 所以，故B正确； 因为， 即，所以长为，故C正确； 因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误； 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知点，，，则向量与的夹角为_____． 【答案】 【分析】先求向量的坐标，再利用向量的数量积坐标运算求夹角. 【详解】由，，， 则， 则， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】（1）在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； （2）因为,故， 又， 所以. 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明：由题意得，以为坐标原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， ， 由， 所以； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零来证明即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）由题得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离向量求法即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； （2）由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的余弦值； （2）计算出平面的一个法向量的坐标，假设存在点，设，其中，求出的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解. 【详解】（1）解：，，，得， 由题意，因为，所以，， 又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. （2）解：由（1）得，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 假设存在点，设，其中， ， 由已知可得， 得，即，解得或， 因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $