高中数学单元测试——第一章空间向量与立体几何（较难版02）

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元较难版测试卷，通过基础题与综合探究题结合，适配单元复习，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称点、向量基底判断、方向向量求解|立足基础，考查空间向量基本概念与运算| |多选题|3/18|平行六面体向量关系、线面角与二面角判定|多选项设计，提升逻辑辨析能力| |填空题|3/15|向量垂直坐标计算、动态点最值、二面角范围|融入动态问题，培养数学思维灵活性| |解答题|5/67|直三棱柱向量表示、正方体面面垂直证明、折叠问题异面直线角、四棱锥存在性探究|综合应用空间向量解决立体几何证明与计算，含折叠、存在性问题，发展创新意识与模型观念|

高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 11．（本题6分）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，，且，则 ________________ ． 13．（本题5分）已知，，点在直线上运动，则的最大值为_____. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 16．（本题15分）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 17．（本题15分）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 5．（本题5分）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案. 【详解】由题设，易知，且， . 故选：C 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得平面的一个法向量为，再由点到平面距离向量法求解即可. 【详解】平面的方程可以化为， 则平面的一个法向量为， 且平面经过点，又， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    10．（本题6分）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解. 【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量， 对于A，易知若，则，故A正确； 对于B，由，可知，直线，， 显然当与平行时，直线可以满足，故B错误； 对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，若， 则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；计算利用向量数量积即可判断B；由向量数量积计算可得，判断C；空间向量数量积公式结合向量夹角公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，，， 所以，，， ，B正确； 对于C，又，， 所以 ，所以与不垂直，C错误； 对于D，易知， ， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，，且，则 ________________ ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 13．（本题5分）已知，，点在直线上运动，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可. 【详解】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    【答案】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角大小建立不等式求解可得. 【详解】因为底面，底面， 所以，又为直角，所以两两垂直， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为为的中点，所以， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 易知，平面的一个法向量为, 由图可知，二面角的平面角为锐角，记为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 16．（本题15分）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直证明， （2）求解法向量和方向向量，即可利用向量的夹角求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 则, 设平面的法向量为，则 取， 设平面的法向量为 取，则， 由于，故， 所以平面平面； （2）, 设平面的法向量为， 则取，则， 设直线与平面所成角为, 则 17．（本题15分）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 所以，点到直线的距离为. （2）由（1）可知，， 设平面的法向量，则， 令，得， 易知平面的一个法向量， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $