高中数学单元测试——第一章空间向量与立体几何（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元复习卷（较易版），通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查空间向量运算、立体几何位置关系及度量计算，适配单元复习学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|对称点、方向向量、基底判定等|基础概念辨析，强化空间观念| |多选题|3题18分|向量相等、法向量应用|多角度考查位置关系，培养推理意识| |填空题|3题15分|数量积、夹角范围、二面角计算|聚焦运算能力，衔接综合应用| |解答题|5题77分|基底表示、线面平行证明、距离与角度计算|综合考查空间向量工具性，体现数学思维与语言表达|

高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 6．（本题5分）已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（本题6分）如图，棱长均为2的正三棱柱中，M、N分别是AB、的中点，则（   ）    A．平面 B． C．平面平面 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，则_____. 13．（本题5分）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    四、解答题 15．（本题13分）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 18．（本题17分）如图，在正四棱锥中，，E，F分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若平面与棱交于点M，求的值． 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 2．（本题5分）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则可得结果. 【详解】. 故选：B. 3．（本题5分）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 4．（本题5分）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 5．（本题5分）若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 6．（本题5分）已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据，，共面，可得存在唯一实数对，使得，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】因为，，共面，又向量不共线， 即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得, 故选：C 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出到平面的距离. 【详解】根据题意可知，以点为坐标原点，分别以向量的正方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：      设相交于点，连接， 易知在正四棱锥中平面，又平面，所以； 又可知，，所以； 所以可得，则， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得，即； 易知， 设到平面的距离为，则可知. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    10．（本题6分）已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，由已知可得，从而得，即可判断；对于B，由已知可得，即可判断；对于C，由已知可得或，即可判断；对于D，由已知可得或，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以或，故C错误； 对于D，，所以，又因为， 所以或，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）如图，棱长均为2的正三棱柱中，M、N分别是AB、的中点，则（   ）    A．平面 B． C．平面平面 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项的准确性． 【详解】如图，以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则即，故可取； 对于A，因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B，因为，则有，故B正确； 对于C，因为， 由，可得， 又平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 由，可知平面平面，故C正确； 对于D，因，， 设直线与所成的角为， 则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    四、解答题 15．（本题13分）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以 ； （2）设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面； （2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . （2）因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 18．（本题17分）如图，在正四棱锥中，，E，F分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若平面与棱交于点M，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角运算求出答案； （2）设，求出平面AEF的法向量，进而通过求出，最后得到答案. 【详解】（1）解：根据题意，设正四棱锥的棱长为4，易得，如图，以O为原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则， 所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值为：. （2）解：由（1），,,， 设平面AEF的法向量，则，令x=1，则，连接AM，设，则， 由,所以. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $