高中数学单元测试——第三章空间向量与立体几何（较难版02）

**基本信息** 高中数学第三章空间向量与立体几何较难版单元卷，通过正三棱柱、折叠体等典型几何体情境，分层考查空间向量运算、线面关系及空间角距离，适配单元复习，培养空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|空间直角坐标系对称点、基底判定等|如第5题正三棱柱中向量数量积，基础中渗透空间几何直观| |多选题|3题18分|平行六面体向量相等、线面关系论证|如第11题多面体线面平行及体积范围，考查批判性思维| |填空题|3题15分|向量模长、二面角距离计算|如第14题二面角中距离求解，体现数学语言精确表达| |解答题|5题77分|向量表示、线面垂直、空间角及存在性问题|如第19题四棱锥面面角探究，综合运算与推理，贴合高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系的性质，直接判断结果即可. 【详解】点关于轴的对称点为． 故选：C． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 6．（本题5分）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由空间向量共面的基本定理即可求解. 【详解】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出到平面的距离. 【详解】根据题意可知，以点为坐标原点，分别以向量的正方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：      设相交于点，连接， 易知在正四棱锥中平面，又平面，所以； 又可知，，所以； 所以可得，则， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得，即； 易知， 设到平面的距离为，则可知. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    10．（本题6分）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解. 【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量， 对于A，易知若，则，故A正确； 对于B，由，可知，直线，， 显然当与平行时，直线可以满足，故B错误； 对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，若， 则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．存在点，使得 C．不存在点，使得异面直线与所成的角为 D．三棱锥体积的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判定定理判断与平面的位置关系，判断A的真假；建立空间直角坐标系，利用空间向量的垂直关系判断点的存在与否，判断B的真假；利用空间向量，根据两异面直线所成的角判断点的存在性，判断C的真假；对D，方法1，利用空间向量求底面三角形面积和三棱锥的高，进而求三棱锥的体积，判断D的真假；方法2，利用锥体的体积公式求三棱锥的体积，判断D的真假. 【详解】对于A，因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为平面，平面，所以，. 又四边形是正方形，所以.故两两垂直. 所以，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 对于B，假设存在点，使得， 因为，，所以，解得，不合题意，故B错误； 对于C，假设存在点，使得异面直线NQ与PE所成的角为， 因为，， 所以，解得， 不符合，则不存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为，故C正确； 对于D，方法一：因为，， 所以， ， 则， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 设，则， 则点到平面的距离， 则三棱锥的体积为， 因为，所以，故D正确. 方法二：设，则， 因为， 点到平面的距离， 所以，因为，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则______. 【答案】 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示及模长的坐标表示求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 【答案】 【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】（1）在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； （2）因为,故， 又， 所以. 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离向量求法即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； （2）由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，设，推导出底面，然后以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：连接、，设，则为的中点， 由已知，，则，， 所以为二面角的平面角，所以，因此， 因为，、平面，故底面． 以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设． 则、、、， ，， 所以，故直线与所成角为． （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 由题意可得， 因为，解得，则，故， 因此，当时，平面与平面夹角的余弦值为. 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. (2)1 (3)存在， 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 6．（本题5分）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 11．（本题6分）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．存在点，使得 C．不存在点，使得异面直线与所成的角为 D．三棱锥体积的取值范围为 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则______. 13．（本题5分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $