高中数学单元测试——第五章统计与概率（较难版01）

**基本信息** 本卷为高中数学统计与概率单元复习较难卷，覆盖总体样本、频率分布、古典概型等核心知识，通过《数书九章》文化情境、新冠体温检测等现实问题，考查数学眼光、思维与语言，适配单元综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|总体样本、抽样估计（如“验米夹谷”问题）|结合文化传承，基础概念辨析| |多选题|3/18|互斥对立事件、方差（如体温统计方差比较）|现实情境分析，批判性思维| |填空题|3/15|百分位数、独立事件概率|简洁考查计算与概念应用| |解答题|5/77|频率估计概率、分层抽样（如郊游活动抽样）|综合应用，数据处理与逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 3．（本题5分）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 4．（本题5分）甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 6．（本题5分）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（本题5分）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 二、多选题 9．（本题6分）新冠疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛选成本比较低、性价比比较高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两位同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．甲同学体温的极差是 B．甲同学体温的众数是为 C．乙同学体温的中位数和平均数不相等 D．乙同学体温的方差比甲同学的小 10．（本题6分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与相互独立 11．（本题6分）在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B．采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C．采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D．对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 三、填空题 12．（本题5分）样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 13．（本题5分）某校开设了A，B，C，D，E这5门课程，甲、乙都任意选修了其中1门课程，则甲、乙都没有选修课程A，且他们恰有1人选修课程 B 的概率是________. 14．（本题5分）若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________. 四、解答题 15．（本题13分）某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 (1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格； (2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率. 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 16．（本题15分）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下： 83，107，91，94，80，80，100，75，102，89， 74，94，84，101，93，85，97，84，85，104    (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差； (2)请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图． 分组 频数 频率 合计 17．（本题15分）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 18．（本题17分）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得. 【详解】调查对象的全体为该校所有高中学生的平均每天自习时间， 因此总体应是该校所有高中学生的平均每天自习时间. 故选：B 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 3．（本题5分）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 4．（本题5分）甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案. 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 5．（本题5分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 【答案】B 【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案. 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 6．（本题5分）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题可知，， 又，所以，解得， 所以. 故选：D. 7．（本题5分）已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据方差的计算公式可得原数据的平均数，再根据平均数的计算公式得到新数据的平均数. 【详解】设正数的平均数为， 则方差为 ， 所以，解得， 所以数据，，，的平均数为. 故选：D. 8．（本题5分）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）新冠疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛选成本比较低、性价比比较高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两位同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．甲同学体温的极差是 B．甲同学体温的众数是为 C．乙同学体温的中位数和平均数不相等 D．乙同学体温的方差比甲同学的小 【答案】ABD 【分析】根据甲同学的体温数据结合极差及众数概念判断AB，由乙同学的体温数据及中位数、平均数的概念判断C，由甲乙体温数据的稳定性判断方差大小判断D. 【详解】由图知甲的最高体温为，最低体温为，故体温的极差，故A正确； 甲的体温从低到高分别为，故众数为，故B正确； 乙同学的体温从低到高依次为，故中位数为，而平均数也，故C选项错误； 由图可知，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，所以乙同学体温的方差比甲同学的小，故D正确. 故选：ABD 10．（本题6分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与相互独立 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件，对立事件相互独立事件的定义结合古典概型注意判断即可. 【详解】由题意，不放回的随机取两次，共有种情况， 共个基本事件， 共个基本事件，故，故C正确； 显然事件与有交事件，不是互斥事件，故A错误； 共个基本事件，故， 共个基本事件， 所以与互为对立事件，故B正确； 事件共个基本事件， 所以， 所以与相互独立，故D正确. 故选：BCD. 11．（本题6分）在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B．采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C．采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D．对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 【答案】BD 【分析】根据信号传输规则及相互独立事件同时发生的概率计算可判断ABC，利用作差法比较大小可判断D. 【详解】对于A，依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的事件是发送红色信号显示青色、发送黄色信号显示青色、发送青色信号显示红色的3个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，A错误； 对于B，两次传输，发送红色信号，相当于依次发送红色、红色信号，则依次显示黄色、黄色的事件是发送红色信号接收黄色信号、发送红色信号接收黄色信号的2个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，B正确； 对于C，两次传输，发送红色信号，则译码为红色的事件是依次显示黄色、青色或青色、黄色的事件的和，它们互斥， 所以所求的概率为，故C错误； 对于D，若采用两次传输，发送红色信号，则译码为青色的概率， 若单次传输发送红色信号，则译码为青色的概率， 因此，即，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 【答案】 【分析】利用百分位数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以个数的第70百分位数为， 故答案为： 13．（本题5分）某校开设了A，B，C，D，E这5门课程，甲、乙都任意选修了其中1门课程，则甲、乙都没有选修课程A，且他们恰有1人选修课程 B 的概率是________. 【答案】/ 【分析】对甲或乙选修课程进行分类讨论，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，甲选修课程与乙选修课程相互独立， 若甲选修课程，乙没有选修课程，其概率为； 若乙选修课程，甲没有选修课程，其概率为. 因此，甲、乙两人都没有选修课程，且他们中恰有1人选修课程的概率是. 故答案为：. 14．（本题5分）若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________. 【答案】2.5 【分析】根据方差的定义列出满足的式子，结合已知条件代入即可求得. 【详解】， ， . 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 (1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格； (2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格； （2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论. 【详解】（1）两名运动员击中10环的频率如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 （2）由（1）中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以两人击中10环的概率均约为0.9. 16．（本题15分）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下： 83，107，91，94，80，80，100，75，102，89， 74，94，84，101，93，85，97，84，85，104    (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差； (2)请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图． 分组 频数 频率 合计 【答案】(1)中位数为90；极差为33. (2)答案见解析 【分析】（1）由中位数和极差的计算方法计算即可； （2）由绘制频率分布表和频率分布直方图的步骤进行绘制即可. 【详解】（1）将样本数据由小到大排序，结果如下： 74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107. 由样本容量为20可知，数据由小到大排序的中间项应为第10个、第11个数据，分别为89，91，故水果店过去30天苹果日销售量的中位数为. 由上可知，样本数据的最小值为74，最大值为107，故极差为. （2）由（1）中对数据排序可得频率分布表如下： 分组 频数 频率 2 0.1 13 0.65 5 0.25 合计 20 1 由分组可知组距为20，将各组的频率除以组距可得数据如下: 分组 故频率分布直方图如图所示：    17．（本题15分）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件与事件相互独立. 【分析】（1）根据题意求出样本空间以及事件的样本点，利用古典概型公式即可求解； （2）先求事件与事件的样本点，进而求，根据事件的独立性的定义即可求解. 【详解】（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码， 则共有36个样本点，共有18个样本点， 所以； （2）共有18个样本点， 共有个样本点， 所以，，所以， 所以事件与事件相互独立. 18．（本题17分）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为，根据题意，列出方程求得，求得的值； （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为，进而求得高三年级应抽取的人数. 【详解】（1）解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. （2）解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $