高中数学单元测试——第五章统计与概率（适中版02）

**基本信息** 高中数学统计与概率单元复习卷，以文化传承（秦九韶《数书九章》问题）、社会热点（新冠体温检测）、科学情境（医学数据研究）为载体，覆盖抽样调查、频率分布、古典概型等核心知识，梯度合理适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|抽样调查（第1题）、古典概型（第8题）|融入文化情境（第2题“验米夹谷”问题）| |多选题|3题18分|独立性检验（第10题）、概率计算（第11题）|结合生活数据（第10题班级团员统计）| |填空题|3题15分|百分位数（第12题）、方差（第14题）|基础概念直接应用| |解答题|5题77分|频率分布（第16题医学数据）、概率综合（第19题面试通过）|科学情境与分层抽样（第18题学习时间调查）|

高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 3．（本题5分）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【分析】运用频率定义计算即可. 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 4．（本题5分）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率公式可求. 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 5．（本题5分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 【答案】B 【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案. 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 6．（本题5分）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若对立，则 【答案】D 【分析】根据事件的包含关系与概率之间的关系判断AB，根据互斥事件和对立事件的概率关系判断CD. 【详解】选项A：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项B：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项C：若 和 互斥，则 ，故 ，而非 ，错误. 选项D：若 和 对立，则 为必然事件，故 ，正确. 故选：D. 7．（本题5分）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 8．（本题5分）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）新冠疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛选成本比较低、性价比比较高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两位同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．甲同学体温的极差是 B．甲同学体温的众数是为 C．乙同学体温的中位数和平均数不相等 D．乙同学体温的方差比甲同学的小 【答案】ABD 【分析】根据甲同学的体温数据结合极差及众数概念判断AB，由乙同学的体温数据及中位数、平均数的概念判断C，由甲乙体温数据的稳定性判断方差大小判断D. 【详解】由图知甲的最高体温为，最低体温为，故体温的极差，故A正确； 甲的体温从低到高分别为，故众数为，故B正确； 乙同学的体温从低到高依次为，故中位数为，而平均数也，故C选项错误； 由图可知，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，所以乙同学体温的方差比甲同学的小，故D正确. 故选：ABD 10．（本题6分）我市某中学高一三班有50人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示． 项目 团员 非团员 合计 男生 10 20 30 女生 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件为“在班级里随机选一人，选到团员”．下列说法正确的是（   ） A．事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生” B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【答案】AC 【分析】对于A，根据对立事件的定义判断即可；对于B，根据互斥事件的定义判断即可；对于C，直接用古典概型概率的公式计算即可；对于D，直接使用独立事件的定义验证即可. 【详解】对于A，事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到的不是男生”，即“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确； 对于B，由于存在既是男生又是团员的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误； 对于C，总人数为50，男生30人，团员15人，则，故C正确； 对于D，总人数为50，既是男生又是团员的人数为10，则， 结合选项C可知，故事件与事件不相互独立，故D错误， 故选：AC． 11．（本题6分）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ） A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为 C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为 【答案】BD 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D. 【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中摸出一个红球”为事件， 则，且独立. 在A中，小明得6分的概率为，A错误； 在B中，小明得分低于6分的概率为，B正确； 在中，小明得分不少于3分的概率为，C错误； 在D中，小明恰好得3分的概率为，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 【答案】 【分析】利用百分位数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以个数的第70百分位数为， 故答案为： 13．（本题5分）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解. 【详解】由题意，，，， ， 所以事件与相互独立，则与也相互独立， . 故答案为：. 14．（本题5分）若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________. 【答案】2.5 【分析】根据方差的定义列出满足的式子，结合已知条件代入即可求得. 【详解】， ， . 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 16．（本题15分）某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和频率分布折线图见解析 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图，再由频率分布直方图得出折线图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分7组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 11 12 16 3 3 1 合计 50 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 频率折线图如图： 17．（本题15分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【答案】(1) (2)相互独立，证明见解析 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可； （2）根据事件独立的定义计算判断即可； 【详解】（1）因为每次抽取都有4种可能，两次抽取相互独立， 共包含个基本事件 其中事件包含3个基本事件． 所以； （2）一次抽取两张共包含6个基本事件， 事件，所以．． 事件所以． 事件所以， 因为，所以事件C和D相互独立． 18．（本题17分）某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图. (1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数； (2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）. 【答案】(1)72人 (2)3.28小时 【分析】（1）由分层抽样的比例计算可得； （2）先由频率分布直方图计算平均数，再由分层抽样中平均值的计算估计即可. 【详解】（1）由题意得，抽取的200名学生中，男生人数为人， 由图1得，所求男生人数为人； （2）设样本中男生每天的平均课后学习时间为，样本中女生每天的平均课后学习时间为，高一年级全体学生每天的平均课后学习时间为， 由图1得的估计值为， 由图2得的估计值为， 因此的估计值为， 即该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间的估计值为3.28小时. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 3．（本题5分）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 4．（本题5分）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 5．（本题5分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 6．（本题5分）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若对立，则 7．（本题5分）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）新冠疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛选成本比较低、性价比比较高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两位同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．甲同学体温的极差是 B．甲同学体温的众数是为 C．乙同学体温的中位数和平均数不相等 D．乙同学体温的方差比甲同学的小 10．（本题6分）我市某中学高一三班有50人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示． 项目 团员 非团员 合计 男生 10 20 30 女生 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件为“在班级里随机选一人，选到团员”．下列说法正确的是（   ） A．事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生” B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 11．（本题6分）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ） A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为 C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为 三、填空题 12．（本题5分）样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 13．（本题5分）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则______. 14．（本题5分）若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________. 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 16．（本题15分）某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 17．（本题15分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 18．（本题17分）某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图. (1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数； (2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $