高中数学单元测试——第五章统计与概率（较易版01）

**基本信息** 高中数学第五章统计与概率单元测试（较易版01），以文化传承（如秦九韶《数书九章》“验米夹谷”问题）和生活情境（如公交站点下车概率）为载体，覆盖统计与概率基础知识点，适配单元复习巩固，培养数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|样本量、频率分布、古典概型|结合《数书九章》文化素材，考查统计基本概念| |多选题|3/18|众数、对立事件、独立事件|通过“取鞋”“摸球”情境，深化概率关系理解| |填空题|3/15|分位数、样本空间、方差|聚焦统计量计算，强化数据处理能力| |解答题|5/67|频率估计概率、频率分布表与直方图、抽样与独立性|以抽检西装、扔手球记录等真实数据为背景，考查统计与概率综合应用，体现模型意识与逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（   ） A．42 B．50 C．126 D．150 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 3．（本题5分）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 4．（本题5分）甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图是是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数为（    ）    A．24 B．25 C．26 D．27 6．（本题5分）某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（本题5分）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0.下列叙述正确的是（   ） A．这组数据的标准差一定不为0 B．这组数据的众数一定不为3 C．这组数据的中位数一定小于平均数 D．这组数据的极差可能小于平均数 10．（本题6分）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（    ） A．该试验的样本空间共有6个样本点 B．事件A与事件C互为对立事件 C． D．事件B与事件C相互独立 11．（本题6分）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ） A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为 C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为 三、填空题 12．（本题5分）一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，则它们的分位数是________． 13．（本题5分）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则______. 14．（本题5分）已知一组样本数据的标准差为，则数据的方差为________. 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 16．（本题15分）某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 17．（本题15分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 18．（本题17分）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（   ） A．42 B．50 C．126 D．150 【答案】C 【分析】由样本量的定义可得答案. 【详解】由题意可知样本量是. 故选：C 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 3．（本题5分）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 4．（本题5分）甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】恰有一人成功破译的概率为. 故选：D. 5．（本题5分）如图是是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数为（    ）    A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据频率之和为1求出最后一组对应的频率，利用相关公式求出平均数，得到答案. 【详解】设最后一组对应的频率为， 由题意得，，解得， 故， 所以可以估计总体的平均数为26. 故选：C 6．（本题5分）某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出甲、乙在同一站下车的概率，然后由对立事件概率公式计算． 【详解】设事件“甲、乙两人不在同一站下车”， 因为甲、乙两人同在站下车的概率为； 甲、乙两人同在站下车的概率为； 甲、乙两人同在站下车的概率为； 所以甲、乙两人在同一站下车的概率为，则. 故选A. 【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件及独立事件的概率及分段函数的解析式，利用互斥事件、独立事件的概率公式求出甲、乙两人在同一站下车的概率,再利用对立事件的概率公式，即可得结果，属于基础题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 7．（本题5分）已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据方差的计算公式可得原数据的平均数，再根据平均数的计算公式得到新数据的平均数. 【详解】设正数的平均数为， 则方差为 ， 所以，解得， 所以数据，，，的平均数为. 故选：D. 8．（本题5分）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0.下列叙述正确的是（   ） A．这组数据的标准差一定不为0 B．这组数据的众数一定不为3 C．这组数据的中位数一定小于平均数 D．这组数据的极差可能小于平均数 【答案】AB 【分析】本题考查标准差、众数、中位数、极差和平均数.根据标准差、众数、中位数、极差和平均数的概念可分析. 【详解】对于A，若这组数据的标准差为0，根据标准差的公式， 可得每个数应均与平均数相等，显然不是，故A正确； 对于B，这组数据中没有3，所以众数一定不为3，故B正确； 对于C，这组数据的中位数与平均数不确定，故C错误； 对于D，设这组数据的第6个数为，若，则平均数为，极差为，可得； 若，平均数为，极差为4，可得； 若，则平均数为，极差为，，综上可得极差不可能小于平均数，故D错误. 故选：AB. 10．（本题6分）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（    ） A．该试验的样本空间共有6个样本点 B．事件A与事件C互为对立事件 C． D．事件B与事件C相互独立 【答案】AC 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记两双鞋子分别为，，，，则， ，，，则，故A正确； A与C互斥但不对立；故B错误； ，故C正确； ， 所以事件B与事件C不相互独立，故D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ） A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为 C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为 【答案】BD 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D. 【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中摸出一个红球”为事件， 则，且独立. 在A中，小明得6分的概率为，A错误； 在B中，小明得分低于6分的概率为，B正确； 在中，小明得分不少于3分的概率为，C错误； 在D中，小明恰好得3分的概率为，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，则它们的分位数是________． 【答案】10.5 【详解】把数据从小到大排序得3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8，8.1，9.6，10，11，12.3，15.9，共有12个数， 因为，所以分位数是第9项和第10项数据的平均数，即． 13．（本题5分）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解. 【详解】由题意，，，， ， 所以事件与相互独立，则与也相互独立， . 故答案为：. 14．（本题5分）已知一组样本数据的标准差为，则数据的方差为________. 【答案】 【分析】利用方差的性质即可求解. 【详解】的标准差为，则数据的方差为， 所以的方差为. 故答案为：36. 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 16．（本题15分）某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图见解析 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分5组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 3 7 11 6 3 合计 30 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 17．（本题15分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 18．（本题17分）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为，根据题意，列出方程求得，求得的值； （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为，进而求得高三年级应抽取的人数. 【详解】（1）解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. （2）解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $