高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（适中版01）

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元复习卷（适中版01），全面覆盖集合表示、运算、逻辑用语等核心知识，梯度设计合理，适配单元巩固，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合概念、命题否定等|基础巩固，如集合基本关系判断| |多选题|3题18分|集合描述法、充要条件|能力提升，如差集新定义应用| |填空题|3题15分|集合运算、命题真假|情境简洁，如韦恩图元素个数| |解答题|5题77分|集合综合运算、逻辑证明|创新应用，如“性质P”新定义探究，培养推理与表达能力|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　）    A．已知，，则 B．已知或，，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 13．（本题5分）已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，. (1)若中有个元素，求实数的值； (2)若中有四个元素，求实数的值. 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系逐项分析即可． 【详解】对于A，0不属于空集，故A错误； 对于B，不是自然数，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，成立，但当两者作为集合中的元素时，也即和时，并不是的子集，故D错误． 故选：C． 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（本题5分）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，进而求解. 【详解】由命题，所以为：， 故选：A. 4．（本题5分）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据包含关系，问题转化为求集合的子集的个数，即可得. 【详解】由题意，集合的个数为集合的子集的个数，共个. 故选：B 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可. 【详解】， ，. 故选：B． 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 8．（本题5分）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　）    A．已知，，则 B．已知或，，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 【答案】BCD 【分析】根据所给定义一一判断即可. 【详解】对于A：因为，，所以，故A错误； 对于B：因为或，，所以或，故B正确； 对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确； 对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 【答案】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13．（本题5分）已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 【答案】 【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】韦恩图中阴影部分表示的集合为， ∵，， ∴，所以阴影部分表示的集合的元数个数为. 故答案为：. 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，. (1)若中有个元素，求实数的值； (2)若中有四个元素，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中的元素个数可得集合中有两个元素，即二次方程有两个不等的实根，利用根与系数关系可得； （2）根据中的元素个数，可得集合中只有一个元素，即二次方程只有一个解，可得. 【详解】（1）由中有个元素，集合中有两个元素， 即方程有两个不等的实根，， 则，且，， 则，； （2）由中有四个元素，则集合中有且只有一个元素， 则方程有且只有一个实数根， 则，且， 则，. 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解可得结果； （2）根据子集关系列式，解不等式组可得结果. 【详解】（1）命题p为真命题时，则，得， ∴. （2）由（1）知，， ∵，∴，解得. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1);;或; (2)或， 【分析】（1）利用交、并、补运算的定义求解即可；（2）分别讨论和不为空集两种情况，结合集合关系求解即可. 【详解】（1）当时，, 所以;; 由于或;或; 所以或; （2）由于或;因为， 当,则,解得：,此时满足， 当不为空集时，要使，则，或，解得：或， 综上：实数的取值范围为或， 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 【答案】(1)不具备“性质”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）若去掉一个数时，可得集合，得到剩余所有元素之和为，不能分成相等的两个数，所以不具备“性质” （2）若去掉元素，得到或，若去掉元素，得到或，分别联立方程组，推出矛盾，即可得证； （3）设集合中所有元素之和为，得到为偶数，且的奇偶性必相同，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合题设中“性质”定义，进行推理，即可求解. 【详解】（1）集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” （2）证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” （3）证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $