高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（适中版02）

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元复习卷，分层覆盖集合关系、运算、命题否定、充要条件等核心知识点，综合题突出逻辑推理与创新应用，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|集合包含关系、方程解集、命题否定|基础巩固，如第3题考查特称命题否定，体现数学思维的推理意识| |多选题|3题/18分|集合描述法、充要条件判断|选项分层，如第10题结合集合与充分必要条件，培养数学语言表达| |填空题|3题/15分|集合元素关系、韦恩图应用|情境简洁，如第13题通过阴影部分考查补集运算，落实数学眼光的几何直观| |解答题|5题/77分|集合运算、命题真假、新定义性质P|综合应用，如第19题以性质P为数集创新情境，发展数学思维的逻辑推理与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 2．（本题5分）方程的所有解组成的集合为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念得解. 【详解】原方程化简得，显然无解，故原方程的所有解组成的集合为空集. 故选：C. 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解 【详解】命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是“任意一个四边形，它的对角线不垂直”. 故选：C. 4．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由. 5．（本题5分）已知集合，，，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】C 【分析】求出集合的元素个数即可得答案. 【详解】因为，共3个元素， 所以集合的子集个数为个. 故选：C. 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可. 【详解】， ，. 故选：B． 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】代入或1并结合全称命题的否定判断即可； 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 【答案】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    【答案】 【分析】由韦恩图得阴影部分为，即可求解. 【详解】由题意，得， 由韦恩图得阴影部分为， 故答案为： 14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可. 【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集定义结合一元二次方程根的判别式计算即可得； （2）由集合A中的元素至少有一个结合一元二次方程根的判别式计算即可得. 【详解】（1）若，则有，解得； （2）若集合A中的元素至少有一个， 则有，解得. 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1);;或; (2)或， 【分析】（1）利用交、并、补运算的定义求解即可；（2）分别讨论和不为空集两种情况，结合集合关系求解即可. 【详解】（1）当时，, 所以;; 由于或;或; 所以或; （2）由于或;因为， 当,则,解得：,此时满足， 当不为空集时，要使，则，或，解得：或， 综上：实数的取值范围为或， 18．（本题17分）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【分析】（1）根据已知条件结合充要条件定义即可证明； （2）根据韦达定理得出，再代入计算求解； （3）先根据已知条件得出，再结合，得出进而分类讨论计算求解即可. 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 19．（本题17分）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 【答案】(1)不具有性质，具有性质； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）数集中任取元素验证性质判断； （2）由性质证不成立，则成立； （3）由性质从小到大逐个构造数集中的元素. 【详解】（1）对于集合：取，则， 所以数集不具有性质； 对于数集：， 即对中任意，与中至少有一个属于， 所以数集具有性质. （2）由已知， 若，则，，所以， 又，所以数集不具有性质，不符合题意， 所以； （3）由（2）可知，， 因为， 所以，所以， 因为数集具有性质，所以， 所以， 所以，即， 因为，则，所以， 由，又，所以， 所以，所以 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）方程的所有解组成的集合为（   ） A．0 B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 4．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，，，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 18．（本题17分）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $