高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（较难版01）

**基本信息** 本卷为高中数学集合与常用逻辑用语单元较难版测试，通过基础辨析、逻辑推理及创新应用题，全面考查抽象能力、推理意识与创新意识，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合符号运用、空集判定、命题否定、集合运算|基础概念辨析，如第3题考查特称命题否定，体现逻辑推理| |多选题|3/18|集合描述法、充分必要条件与集合关系、韦恩图|综合理解，如第10题结合集合关系判断充要条件，培养数学思维| |填空题|3/15|集合关系求参数、韦恩图阴影表示、命题充要条件|情境应用，如第14题探究命题为真的充分不必要条件，提升数学语言表达| |解答题|5/67|集合元素个数、集合运算与命题真假、新定义集合运算|分层递进，如第19题定义M⁺,M⁻考查创新应用，发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）下列集合表示空集的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）集合U，A，B的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知集合，，若，则实数__________. 13．（本题5分）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为______. 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 四、解答题 15．（本题13分）设全集，集合． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，求． 16．（本题15分）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题.求m的取值范围. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 18．（本题17分）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 2．（本题5分）下列集合表示空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空集的概念判断即可. 【详解】解：对于A：因为方程无实数根，所以，故A正确； 对于B：集合含有一个元素的集合，故B错误； 对于C：集合含有一个元素的集合，故C错误； 对于D：不是一个集合，故D错误； 故选：A 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解 【详解】命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是“任意一个四边形，它的对角线不垂直”. 故选：C. 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据包含关系，问题转化为求集合的子集的个数，即可得. 【详解】由题意，集合的个数为集合的子集的个数，共个. 故选：B 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】代入或1并结合全称命题的否定判断即可； 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 13．（本题5分）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为______. 【答案】 【分析】先求出，然后利用韦恩图知阴影部分表示的集合为，利用交集运算求解即可. 【详解】由集合，，得， 而，所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为：. 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．（本题13分）设全集，集合． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解； （2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解. 【详解】（1）解：因为集合，且集合A恰有一个元素， 所以，解得； （2）因为集合，且 ， 所以，， 解得，， 所以， 则． 16．（本题15分）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题.求m的取值范围. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. （2）利用存在量词命题的否定及交集的结果列式求解. 【详解】（1）由或，得，. （2）由为假命题，得为真命题，则， 而，， 则当时，，即，； 当时，由，得或，解得， 所以m的取值范围为或. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1);;或; (2)或， 【分析】（1）利用交、并、补运算的定义求解即可；（2）分别讨论和不为空集两种情况，结合集合关系求解即可. 【详解】（1）当时，, 所以;; 由于或;或; 所以或; （2）由于或;因为， 当,则,解得：,此时满足， 当不为空集时，要使，则，或，解得：或， 综上：实数的取值范围为或， 18．（本题17分）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【分析】（1）根据已知条件结合充要条件定义即可证明； （2）根据韦达定理得出，再代入计算求解； （3）先根据已知条件得出，再结合，得出进而分类讨论计算求解即可. 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $