专题19 圆（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2024-2026山东中考真题及模拟题，聚焦圆的垂径定理、圆中角、正多边形与圆、弧长及扇形面积四大核心考点，融入《九章算术》弧田、割圆术等数学文化与玉璧、纸扇等本土情境，强化定理综合应用与几何转化能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约15题（3分/题）|圆中角（圆周角定理、切线性质）、正多边形内切圆半径|2024年新增多结论辨析，结合三角形内心分层设问| |填空|约10题（3-4分/题）|垂径定理+勾股/三角函数、弧长公式|融入古代弧田计算，侧重几何量转化| |解答|约5题（8-12分/题）|切线证明、阴影面积割补、圆锥侧面积|联动相似三角形与圆内接四边形，推理链条加长|

专题19 圆 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 垂径定理及其应用 2025 滨州卷（填空） 以填空题为主，分值 3 分左右。核心依托垂径定理推导弧、弦中点关系，常联动圆周角定理、特殊角三角函数求解角度与线段长。早年题型直白，近年逐步融入古代弧田等数学文化素材，弱化纯定理识记，转向 “垂径定理 + 勾股 / 三角函数” 的小综合考查，侧重几何转化逻辑，运算量适中，整体难度中等偏下，属基础中档必掌握考点。 考点02圆中的角 2025 青岛卷（单选）、2024 泰安卷（单选 + 填空）、2024 潍坊卷（多选）、2024 山东统考卷（填空）、2025 德州卷（解答） 覆盖选择、多选、填空、解答全题型，分值 3-12 分。核心考查圆周角定理、圆内接四边形性质、切线性质，早期以单一角度计算为主。2024 年起新增多结论正误辨析题型；2025 年解答题结合三角形内心、相似三角形分层设问，推理链条显著加长，从孤立角度计算转向多定理融合的综合推导，区分度逐年提升。 考点03正多边形与圆 2024 济宁卷（单选）、2024 东营卷（填空） 以选择、填空题为主，分值 3-4 分。围绕正六边形、正八边形等常见正多边形设题，核心考查内切圆半径、面积近似计算，常融入 “割圆术” 数学文化背景。早年侧重公式直接套用，2024 年起新增面积估算、勾股定理联动的探究型考法，从基础计算转向文化情境下的转化应用，对空间与运算结合能力要求稳步提升，整体难度中等。 考点04弧长及扇形面积 2026 烟台卷（填空）；2025 东营 / 德州 / 山东统考 / 潍坊 / 青岛 / 烟台卷；2024 日照 / 东营 / 泰安 / 威海卷 全题型覆盖，分值 3-10 分，属高频必考考点。核心考查扇形面积、圆锥侧面积、阴影面积割补计算，早年以公式直接套用为主。2024 年起增多旋转全等、几何概率、正多边形结合的变式题；2025-2026 年融入玉璧、纸扇等本土文化情境，常联动切线证明综合考查，阴影面积需灵活割补转化，综合性与情境化程度持续增强。 考点01 垂径定理及其应用 一、填空题 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（24-25九年级下·湖南·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 考点02 圆中的角 一、单选题 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 二、多选题 4．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．四边形为菱形 【答案】ABD 【分析】本题主要考查圆的性质、圆周角定理、平行线的性质以及菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可． 【详解】解：令交于点， 由题意得：是的垂直平分线， ， ，选项A正确； 故四边形为菱形，选项D正确； ， 四边形为菱形， 四边形为平行四边形， ，选项B正确； ，故选项C错误； 故选ABD． 三、填空题 5．（21-22九年级上·广东·期末）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则________． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 四、解答题 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2) 证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 考点03 正多边形与圆 一、单选题 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 二、填空题 2．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 考点04 弧长及扇形面积 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 3．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 4．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 5．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 6．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 7．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 二、填空题 8．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 10．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 11．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 三、解答题 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，上有两点M和N，若点N在圆上匀速运动一周，那么弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的（   ） A．① B．③ C．①或③ D．②或④ 【答案】C 【分析】观察图像可知，N点的运动轨迹可以分为顺时针运动、逆时针运动两种情况，再结合运动过程中弦的长度变化进行分析，即可解题． 【详解】解：由图中可知：长度y是一开始就存在的，如果点N顺时针运动，那么长度y将逐渐变大；当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，则运动图象为①； 如果点N逆时针运动，那么长度y将逐渐变小；当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，则运动图象为③； 弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的①或③． 3．（2026·山东·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 4．（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴点O在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·山东德州·二模）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由量角器读出和的度数，计算出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， ． 6．（2026·山东枣庄·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则，根据圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，解答即可． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 7．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 8．（2026·山东临沂·二模）如图，直线，直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于直线同侧的点，，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由等腰三角形等边对等角以及平行线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如下图所示： 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 9．（2026·山东济宁·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径r为，高h为的圆锥体，那么这个扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到圆锥侧面扇形的半径R（即圆锥的母线长），圆锥底面圆的周长C（即扇形的弧长），代入扇形公式“×弧长×半径”计算即可． 【详解】解：∵底面半径r为，高h为， ∴圆锥侧面扇形的半径， 扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，, ∴S扇形． 二、填空题 10．（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 11．（2026·山东烟台·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，则有是等边三角形，然后求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵边与相切于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 12．（2026·山东临沂·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 13．（2026·山东日照·二模）如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得出的度数，，从而得到是等边三角形，根据等边三角形的性质结合正方形的性质即可求得正方形的面积；证明，由等边对等角结合三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：正六边形内接于半径为的， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是正方形， 正方形的面积为，，， ， ， ， ． 14．（2026·山东济南·二模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的内角和，弧长公式计算即可； 【详解】解：因为正六边形的一个外角为：， 故， 因为正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧， 故的长度为：； 15．（2026·山东日照·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】连接、，由、和可计算出，进而判断出是等腰直角三角形，则，，用扇形的面积减去的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ． 16．（2026·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交x轴于点；将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；将线段绕点顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；…，按此规律，则的值为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，分别求出，，，利用扇形面积求出，概括出相应的规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴，，，， ∴， ∴． 三、解答题 17．（2026·山东临沂·二模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，，可以求出，利用三角函数求出，根据勾股定理列式计算，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 弦直径， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ，， ， 在中，， ，解得， ，， 弦直径， ，， 在中，， ，， ，， 在中，， 为切线，是半径， ， ， 在中，， ， ， 则． 18．（2026·山东聊城·二模）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，进而根据平行线的性质及切线的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则根据三角函数可得，然后根据扇形面积及割补法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（2026·山东临沂·二模）某数学小组使用量角器探究圆的相关性质，如图所示，将两块量角器完全重合在一起（量角器的直径为，圆心为），保持下面一块不动，上面的一块沿所在的直线向左平移，当圆心与点重合时，量角器停止平移，此时半圆与半圆交于点，连接． (1)与半圆有怎样的位置关系？请说明理由； (2)在半圆的量角器上，当、点的读数分别为、时，问点在这块量角器上的读数是多少？ (3)若量角器的直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：与半圆相切，理由如下： 连接，如图， ∵为圆的直径， ∴，即， ∵为圆的半径， ∴与半圆相切； (2) (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角可得，由此可得位置关系； （2）得到为等边三角形，由此可得度数； （3）根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵，，为半圆的半径，即， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在这块量角器上的读数是； （3）解：∵量角器的直径， ∴半径， 由（2）可知，为等边三角形， ∴，， ∴， 过点P作于点D，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 圆 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 垂径定理及其应用 2025 滨州卷（填空） 以填空题为主，分值 3 分左右。核心依托垂径定理推导弧、弦中点关系，常联动圆周角定理、特殊角三角函数求解角度与线段长。早年题型直白，近年逐步融入古代弧田等数学文化素材，弱化纯定理识记，转向 “垂径定理 + 勾股 / 三角函数” 的小综合考查，侧重几何转化逻辑，运算量适中，整体难度中等偏下，属基础中档必掌握考点。 考点02圆中的角 2025 青岛卷（单选）、2024 泰安卷（单选 + 填空）、2024 潍坊卷（多选）、2024 山东统考卷（填空）、2025 德州卷（解答） 覆盖选择、多选、填空、解答全题型，分值 3-12 分。核心考查圆周角定理、圆内接四边形性质、切线性质，早期以单一角度计算为主。2024 年起新增多结论正误辨析题型；2025 年解答题结合三角形内心、相似三角形分层设问，推理链条显著加长，从孤立角度计算转向多定理融合的综合推导，区分度逐年提升。 考点03正多边形与圆 2024 济宁卷（单选）、2024 东营卷（填空） 以选择、填空题为主，分值 3-4 分。围绕正六边形、正八边形等常见正多边形设题，核心考查内切圆半径、面积近似计算，常融入 “割圆术” 数学文化背景。早年侧重公式直接套用，2024 年起新增面积估算、勾股定理联动的探究型考法，从基础计算转向文化情境下的转化应用，对空间与运算结合能力要求稳步提升，整体难度中等。 考点04弧长及扇形面积 2026 烟台卷（填空）；2025 东营 / 德州 / 山东统考 / 潍坊 / 青岛 / 烟台卷；2024 日照 / 东营 / 泰安 / 威海卷 全题型覆盖，分值 3-10 分，属高频必考考点。核心考查扇形面积、圆锥侧面积、阴影面积割补计算，早年以公式直接套用为主。2024 年起增多旋转全等、几何概率、正多边形结合的变式题；2025-2026 年融入玉璧、纸扇等本土文化情境，常联动切线证明综合考查，阴影面积需灵活割补转化，综合性与情境化程度持续增强。 考点01 垂径定理及其应用 一、填空题 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 2．（24-25九年级下·湖南·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 考点02 圆中的角 一、单选题 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．四边形为菱形 三、填空题 5．（21-22九年级上·广东·期末）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 6．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则________． 7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．    四、解答题 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 考点03 正多边形与圆 一、单选题 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、填空题 2．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 考点04 弧长及扇形面积 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 10．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 11．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 一、单选题 1．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，上有两点M和N，若点N在圆上匀速运动一周，那么弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的（   ） A．① B．③ C．①或③ D．②或④ 3．（2026·山东·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东德州·二模）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山东枣庄·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）如图，直线，直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于直线同侧的点，，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 9．（2026·山东济宁·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径r为，高h为的圆锥体，那么这个扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 11．（2026·山东烟台·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）． 12．（2026·山东临沂·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 13．（2026·山东日照·二模）如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 14．（2026·山东济南·二模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 15．（2026·山东日照·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为______． 16．（2026·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交x轴于点；将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；将线段绕点顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；…，按此规律，则的值为________． 三、解答题 17．（2026·山东临沂·二模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 18．（2026·山东聊城·二模）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 19．（2026·山东临沂·二模）某数学小组使用量角器探究圆的相关性质，如图所示，将两块量角器完全重合在一起（量角器的直径为，圆心为），保持下面一块不动，上面的一块沿所在的直线向左平移，当圆心与点重合时，量角器停止平移，此时半圆与半圆交于点，连接． (1)与半圆有怎样的位置关系？请说明理由； (2)在半圆的量角器上，当、点的读数分别为、时，问点在这块量角器上的读数是多少？ (3)若量角器的直径，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $