四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学零诊专题复习圆锥曲线（二）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定义与几何性质，通过定义法、方程思想、几何转化等方法体系，构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|单选1、填空11|轨迹判断用定义法，内切圆结合切线长定理|从圆锥曲线定义出发，推导几何性质| |几何性质|单选2、3、8、多选9|离心率计算结合定义与余弦定理，最值问题用定义转化|性质（焦点、渐近线）与定义联动，形成逻辑闭环| |综合应用|解答题13、14|直线与曲线位置关系用方程思想，切线问题用切点公式|从单一性质到多知识点综合，体现模型观念与应用意识|

零诊复习专题--圆锥曲线（二） 一、单选题 1.动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2.已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若（O为坐标原点），则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 4.已知椭圆的左焦点为，直线与C分别交于两点（A在x轴上方），与y轴交于点为坐标原点．若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是（ ） A． B． C． D． 6.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A． B． C． D． 7.曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，育叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形隧道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形砸道就形成了苗落叶的形状．下列结论正确的个数是　　 ①曲线关于点对称； ②曲线关于直线对称； ③曲线的面积超过． A．0 B．1 C．2 D．3 8.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有　　 A．存在使得 B．的最小值为 C．若，则△的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值 10.已知抛物线（）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3、 填空题 11.已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 12.直线经过，椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.当面积取得最大值（为坐标原点）则直线的方程为_______. 四、解答题 13.记椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，已知的周长为，的周长为. (1)求的方程； (2)当时，求的斜率； (3)求的最大值. 14.已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点. (1)求曲线的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） (3)若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 参考答案 1.【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 2.【答案】B 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为： ∴设双曲线： ∵双曲线与椭圆有相同的焦点 ∴，解得： ∴双曲线的方程为. 故选：B. 3.【解题思路】因为，O是的中点，所以为PF2的中点．又，到渐近线的距离为，得出的余弦值，在△QF2F1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可. 【解答过程】根据对称性不妨设P为第一象限的点， ∵O为F1F2的中点，又，∴Q为PF2的中点， 又F2（c，0）到的距离， ∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，    连接，所以，又|F1F2|＝2c， ∵PO的斜率为，又QF2⊥PO， ∴QF2的斜率为，∴，∴， 在△QF2F1中，由余弦定理可得： ，化简可得a＝b， ∴双曲线C的离心率为＝. 故选：A. 4.【答案】D 【详解】由题意可知，直线l过点F，如图所示， 所以，而，所以． 由． 解得．设C的右焦点为，在中，由余弦定理可得 ，解得． 由椭圆的定义知，则C的离心率．故选：D． 5.【答案】B 6.【答案】A 【解析】如图，，故选A． 7.【解答】解：①，将点代入后依然为，故曲线关于原点对称，①正确； ②，将点代入后依然为，故曲线关于直线对称，②正确； ③，曲线在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分， ， 曲线上离原点最远的点的距离为2， 显然第一象限内曲线的面积小于以2为直径的圆的面积， 又， 第一象限内曲线的面积小于，则曲线的总面积小于，故③错误． 故选：． 8.【答案】D 【详解】在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上，，即， 由题知，圆心，半径，在圆上，， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时，的最小值为.故选：D. 9.【解答】解：由椭圆的方程：，可得，，所以， 中，离心率，故正确； 中，由题意得， 设，长分别为，． ， 当且仅当，时取等号，的最小值为，故正确； 中，由，可得，即， 所以， 所以△，故正确； 中，当不为椭圆的左右顶点时，，，，可得，由椭圆的方程可得，， 则，故不正确； 故选：． 10.【答案】ABD 【详解】若，则抛物线的焦点坐标为，且直线的方程为，即 联立直线与抛物线方程消去可得， 且直线l与该抛物线相交于，两点，，则，，故A正确； 且，， 则，原点到直线的距离，则，故C错误； 且，故D正确； 设直线的方程为，代入抛物线中可得， 则，则，故B正确；故选：ABD 11.【答案】 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 12.【答案】 【解析】由题意，设直线的方程为，，， 又A,B关于直线对称，可设直线的方程可设为， 由，整理得：， 则有，，即； 所以， 记A,B中点为P，则， 因为点A,B关于直线对称，所以在直线上，所以，因此， 代入整理得：，解得，所以或， 又 ， 当且仅当，即，（又，解得，） 即时，面积取得最大值，此时直线的方程为：. 13.【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）不妨设的半焦距为，则，则， 于是，故的方程为. （2）由三角形知的斜率不为，显然，，设，，，联立.则，于是，. 而，， 由知，即 ，得，于是的斜率. （3）由（2）得，而 ，，于是 ， 故，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 14. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）设点，则切线的方程分别为，， 因此，显然点的坐标满足方程，则直线的方程为， 对于任意实数，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点.   （3）当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由直线与圆相切于点，得，，则， 由消去并整理得，则， ，， 因此 ，当直线的斜率不存在时，其方程为或， 由，解得，，于是， 所以为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $