四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学零诊复习专题-导数（一）

**基本信息** 聚焦导数核心应用，以“概念-方法-迁移”为主线，系统整合切线、单调性、极值等题型，提炼构造函数、参变量分离等实用方法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-5、填空11|导数几何意义、函数性质分析|从导数计算到几何意义，构建“求导-切线-图像”认知链| |综合应用|选择6-8、多选9-10、填空12|参变量分离、构造新函数、极值点判断|结合单调性、极值拓展至不等式恒成立，强化逻辑推理| |拓展探究|解答13-14|分类讨论、导数证明不等式|从函数单调性讨论到数列比较大小，体现模型观念与应用意识|

零诊复习专题--导数（一） 姓名 一、选择题 1．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 3．已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．若在上单调递增，则实数最大值是（     ） A． B． C．1 D． 7．已知函数的导函数为，且与的定义域都是，若对，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知为自然对数的底数，均为大于1的实数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，则（    ） A．当时，只有一个零点 B．当时，在定义域内单调递增 C．对于任意实数的图象都是中心对称图形 D．若存在极值点，则一定存在两个 10．数列，满足函数，其中，，，现令，则（     ） A． B．为公差为的等差数列 C．的前2026项和为1013 D．，， 三、填空题 11．若函数，则________ 12．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的范围是____________． 四、解答题 13．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性；(3)若有极小值，且，求a的取值范围. 14． 已知函数. (1) 证明：当时，； (2) 若恒对一切成立，求实数的取值范围； (3)已知数列满足：，数列满足：，试比较与的大小. 参考答案 1．D 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 2．D 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 3．C 【详解】已知函数，则， 对于A，由得，当时，有或；当时，有， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，极大值为，极小值为，故A错误； 对于B，由于，所以当且仅当或，故B错误； 对于C，因为，所以，由在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，假设的图象关于对称，则有， 而，所以的图象关于对称，而不是对称，故D错误. 4．D 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 5．B 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 6．D 【详解】因为，则， 由题意可知对任意的，恒成立， 因为，故只需对任意的，， 参变量分离可得，构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，所以，即当时，， 由可得，由可得. 所以函数在上递减，在上递增， 所以，故的最大值为. 7．B 【详解】令，则， 因为对，， 所以，即， 所以在上单调递减，又， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集为． 8．B 【详解】由，可得，，，即. 设，可得. ，当时，，在单调递增. ，，又，即. ，即. 9．ACD 【详解】对于A选项，将代入可得，， 此时的定义域为，解得， 当时，即，解得， 所以当时，只有一个零点，故A正确； 对于B选项，当时，， ，因为， 所以，故，所以当时，在定义域内单调递减，故B错误； 对于C选项，因为函数的定义域为， ， ， 所以， 所以对称中心为，故C正确； 对于D选项，，， 当时，解得，令，， 当时，，所以，所以当时，无解，无极值点； 当时，的解为，但在两侧均有，不变号，非极值点； 当时，有两个解，在上单调递减，在单调递增，最小值为， 所以当时，存在两个极值点，故D正确. 10．ABD 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以，故A正确； 所以，所以， 所以数列是等差数列，其首项为，公差， 所以，所以， 所以，所以， 所以为公差为的等差数列，故B正确； 设的前项和为， 则， ，故C错误； 当时，， 令， 求导，得， 所以，所以， 令，所以， 所以 ，故D正确. 11．2 【详解】由可得， 故. 12． 【详解】不等式可化为， 令，因为， 令，所以函数在上为增函数， 令，所以函数在上为减函数， 所以当时，， 即当时，所以， 所以 设为过原点且与相切的直线的斜率，设切点， 则，所以，又，所以，所以， 设为过原点且与相切的直线的斜率，设切点， 则，且， 解得或（舍去），所以， 画出函数与的图像，如图： 数形结合可得，，所以. 13．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 14．(1)由题意，当时，证明， 设，则， 则在递增，所以，即， 设，则， 令，， 所以在递增，则， 所以在递增，则，即， 所以时，. (2) (3) 【详解】（1）略； （2）设， 则， ①当时，，所以在递增，所以； ②当时，， 设，则， 1）当时，即时，，则在递增， 所以，则，所以在递增，所以； 2）当时，令，则，所以， 则，其中，， 所以在递减，所以， 所以，所以在递减， 所以时，，不合题意， 综上，， 所以实数的取值范围为. （3）因为，设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 设，则， 所以，因为，所以，所以， 由（2）知当时，，即， 由（1）（2）知，所以， 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $